輔助線做法大全

1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題幾何論證題中輔助線的添加方法常用輔助線做法 幾何證明題中輔助線的做法，對于學(xué)生來說確實很難，我看過一篇文章總結(jié)的很好，發(fā)在這里讓大家共享：基本圖形的輔助線的畫法1. 三角形問題添加輔助線方法 方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。 方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。 方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。 方法4：結(jié)論是一條線段與另

2、一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。 2. 平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）

3、連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.3. 梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（9）作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定

4、是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。4. 圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。（1）見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應(yīng)的半徑），通過垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。（2）見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的圓周角是直角"這一特征

5、來證明問題。（3）見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質(zhì)來證明問題。（4）兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。（5）兩圓相交作公共弦對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來一添輔助線有二種情況： 1按定義添輔助線： 如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2按基本圖形添輔助線：

6、每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下： （1）平行線是個基本圖形： 當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線 （2）等腰三角形是個簡單的基本圖形： 當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形： 出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延

7、長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。 （4）直角三角形斜邊上中線基本圖形 出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。 （5）三角形中位線基本圖形 幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點沒有中位線時則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線

8、得三角形中位線基本圖形。 （6）全等三角形： 全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結(jié)或過二端點添平行線 （7）相似三角形： 相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向，這類題目中往

9、往有多種淺線方法。 （8）特殊角直角三角形 當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：2；30度角直角三角形三邊比為1：2：3進(jìn)行證明 （9）半圓上的圓周角 出現(xiàn)直徑與半圓上的點，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法 方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。 方法2：含有平分

10、線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。 方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。 方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。 2.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問

11、題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形

12、外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（9）作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。4.圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。（1）見弦作弦心距

13、有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應(yīng)的半徑），通過垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。（2）見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的圓周角是直角"這一特征來證明問題。（3）見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質(zhì)來證明問題。（4）兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。（5）兩圓相交作公共弦對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的

14、圓周角或圓心角聯(lián)系起來。教師指導(dǎo):以上總結(jié)很好，很全面，很實用。但還應(yīng)記住初中幾何常見輔助線作法歌訣匯編人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，

15、尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗?；咀鲌D

16、很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。幾何證題難不難，關(guān)鍵常在輔助線；知中點、作中線，中線處長加倍看；底角倍半角分線，有時也作處長線；線段和差及倍分，延長截取證全等；公共角、公共邊，隱含條件須挖掘；全等圖形多變換，旋轉(zhuǎn)平移加折疊；中位線、常相連，出現(xiàn)平行就好辦；四邊形、對角線，比例相似平行線；梯形問題好解決，平移腰、作高線；兩腰處長義一點，亦可平移對角線；正余弦、正余切，有了直角就方便；特殊角、特殊邊，作出垂線就解決；實際問題莫要慌，數(shù)學(xué)建模幫你忙；圓中問題也不難，下面我們慢慢談；

17、弦心距、要垂弦，遇到直徑周角連；切點圓心緊相連，切線常把半徑添；兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦；切割線，連結(jié)弦，兩圓三圓連心線；基本圖形要熟練，復(fù)雜圖形多分解；以上規(guī)律屬一般，靈活應(yīng)用才方便。例1： 如圖：等腰梯形ADBC 中ABCD，底角ABC=450 對角線AC、BD交于點O，且BOC=1200 求：的值分析：在已知條件中，底角ABC=450，有的同學(xué)想到延長兩腰，出現(xiàn)一個等腰直角三角形。而在本題中這樣添輔助線，反而增加解題困難，因為 BOC=1200 的條件不能很好的運用。故本題添輔助線時，應(yīng)考慮過上底頂點D（或A）作對角線的平行線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形及頂角為1200的等腰三角形

18、問題，而解等腰三角形時，常添的輔助線是作底上的高，這樣不難求的比值。證明：過D點作DFAC交BC的延長線于F，作DEBC于EADBC AD=CFACDF AC=DF 等腰梯形ABCD DB=AC BD=DF ACDFBDF=BOC=1200 DEBF BDE=600 BE=EF BE=EF= BED=900 設(shè)DEBC BCD=450 EF= .例2： 如圖：已知直線PQ是線段AB的中垂線， C是OQ上的任意一點，若ODBC是 于D，M是OD的中點 求證：CMAD分析：在已知條件中，PQ是線段AB的中垂線，同學(xué)們肯定想到連結(jié)AC運用線段中垂線性質(zhì)，但證明此題這樣的添線與其它已知條件的應(yīng)用沒有多

19、大關(guān)系，這種添線不能解答本題，而圖中出現(xiàn)“母子三角形”，使我們想到能否運用三角形相似及線段成比例來解本題。而要證CMAD，從圖中觀察到如能證得1=A ，那么CMAD即可成立；而A 除了在RtAON中，它還在AOD中，若把1也放到與AOD相似的三角形中，結(jié)論就可成立。因此構(gòu)筑一個與AOD相似的三角形是本題解答的關(guān)鍵。而已知條件M是OD的中點，想到增添中點（或添平行線）的方法，故取OC的中點為G，想法證明AOD CGM。通過基本圖形分析，發(fā)現(xiàn)2=3，故AOD=CGM。因此證：是本題又一關(guān)鍵。證明：取OC的中點為G，連GM, PQ是AB的中垂線, BOC=900設(shè)OA=OB=a，

20、OD=b . ODBC, CDO=ODB=900 4+3=900，3+B=900 . 4=B，CODOBD . ，G、M為OC、OD的中點. OC=2CG，CD=2GM. ，AODCGM . 1=A. A+ANO=900 1+CNH=900 即NHC=900，CMAD.例3：如圖：正方形ABCD中，E、F分別AB、BC的中點， AF和DE交于點P 求證：CP=CD 圖（1） 圖（2）分析：要證明CP=CD，因為CP、CD在同一三角形中，一般三種思路可證：思路（1）：只要證對角相等，即證1=2。如圖（1）分別尋找1、2的等量，ABCD是正方形，ABCD，2=AEP，1=？，延長CP交AB于G，1

21、=EPG。要證1、2只要證AEP=EPG，由已知可知，E、F為AB、BC的中點可證：AEDBFA，可得AFDE，P為垂足。假設(shè)AEP=EPG，G可能為AE的中點，因此證PG為AE的中線是本思路證題的關(guān)鍵。本題出現(xiàn)“母子”三角形基本圖形故不難，推得，設(shè)PE為a，PA為2a，PD為4a，因為AECD，可推得PE:PD=EG:CD=1:4。由此可證得G為AE的中點，PG是AE的中線，AEP=EPG成立。從分析的過程中得到思路（2），思路（3）：要證CP=CD，只要證：C在線段PD的中垂線上，取AD的中點，連CH、PH，證：四邊形AFCH為平行四邊形，由思路（1）可知，AFDE，故CHDE，再證：CH

22、平分PD，通過RtAPO易證CH平分PD。證明方法（1）：E、F為AB、BC的中點，ABCD是正方形，AB=AD，B=DAE，BF=AEADEBAF，ADE=EAPEAP+DAP=900，ADE+DAP=900，APD=APE=900，ADE=EAP，APEDPA，ABCD1:2，G為AE的中點，PG=EGGEP=GPE，GPE=1，GEP=21=2，CP=CD證明方法（2）（如圖2）： 取AD的中點為H，連CH、PH.ABCD是正方形，BCAD，BC=AD，F(xiàn)、H為BC 、AD的中點，CFAH，CF=AH，AFCH為平行四邊形.CHAF，由證明方法（1）可知APDE，故CHP.在RtAPO中，PH為斜邊中線，CH垂直平分PD，CP=CD.例4：O1與O2相交于點A，P是O1O2的中點（1） 如圖（1）如果AC切O2于點A，交O1于點C，D是AC的中點求證：PA=PD（2） 如圖（2）如果過點A作兩圓的一條割線交O1于點C，交O2于點B，點D是BC的