廣東省高三數(shù)學最新理科試題分類匯編7：立體幾何 Word版含答案

1、高考數(shù)學精品復(fù)習資料 2019.5廣東省20xx屆高三最新理科試題精選（37套含13大市區(qū)的二模）分類匯編7：立體幾何一、選擇題 （廣東省東莞市20xx屆高三第二次模擬數(shù)學理試題）如圖是一個幾何體的三視圖,若它的體積是3,則=（）abcd【答案】c （廣東省中山市20xx屆高三上學期期末統(tǒng)一考試數(shù)學（理）試題）如圖,在透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進一些水,將容器底面一邊固定于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下列四個說法:水的部分始終呈棱柱狀;水面四邊形的面積不改變;棱始終與水面平行;當時,是定值.其中所有正確的命題的序號是（）abc d【答案】d （廣東省肇慶市20xx屆高三上學期期

2、末統(tǒng)一檢測數(shù)學（理）試題）已知某個幾何體的三視圖如圖2所示,根據(jù)圖中標出的尺寸(單位:cm),則這個幾何體的體積是（）abcd【答案】b解析:三視圖的直觀圖是有一個側(cè)面垂直于底面三棱錐,底面是底邊長為6高為4的等腰三角形,三棱錐的高為3,所以,這個幾何體的體積 （廣東省湛江一中等“十?！?0xx屆高三下學期聯(lián)考數(shù)學（理）試題）某幾何體的三視圖如圖所示,當取最大值時,這個幾何體的體積為（）abcd 【答案】d （廣東省深圳市南山區(qū)20xx屆高三上學期期末考試數(shù)學（理）試題）如圖所示,一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是一個直徑為1的圓,那么這個幾何體的全面積為主視圖左視圖

3、俯視圖（）abcd 【答案】d （廣東省汕頭市東山中學20xx屆高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題（詳解）若某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是【答案】b （廣東省潮州市20xx屆高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題）已知一個幾何體的三視圖及其大小如圖1,這個幾何體的體積（）abcd 【答案】b （廣東省廣州市20xx屆高三4月綜合測試（二）數(shù)學理試題（word版）一個圓錐的正(主)視圖及其尺寸如圖2所示.若一個平行于 圓錐底面的平面將此圓錐截成體積之比為17的上、下兩部分,則截面的面積為（）abcd46圖2【答案】c （廣東省惠州市20xx屆高三4月模擬考試數(shù)學理試題（word版）如圖

4、是某簡單組合體的三視圖,則該組合體的體積為 （）abcd【答案】【解析】由三視圖可知幾何體是由截面相同的半個圓錐與半個三棱錐組合而成的.圓椎底面半徑為,椎體底面邊長為,高為.故選. （廣東省江門佛山兩市20xx屆高三4月教學質(zhì)量檢測（佛山二模）數(shù)學理試題）下列命題中假命題是（）a若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行; b垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直; c若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直; d若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的相交直線分別平行,那么這兩個平面相互平行.【答案】b （廣東省揭陽市高中畢業(yè)班第二次高考模擬考試理科數(shù)學試題）

5、一個棱長為2的正方體沿其棱的中點截去部分后所得幾何體的三視圖如圖(1)示,則該幾何體的體積為（）a7bcd 圖(1)【答案】依題意可知該幾何體的直觀圖如右上圖,其體積為.,故選d （廣東省汕頭市普通高中高三教學質(zhì)量測試試題(二)理科數(shù)學試卷）某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的體積是（）abcd【答案】a 二、填空題（廣東省中山市20xx屆高三上學期期末統(tǒng)一考試數(shù)學（理）試題）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積等于_【答案】 （廣東省汕頭市東山中學20xx屆高三下學期入學摸底考試數(shù)學（理）試題）一個幾何體的三視圖如圖所示,正視圖是正方形,俯視圖為半圓,側(cè)視圖為矩形,則其表

6、面保積為_【答案】; （廣東省汕頭市第四中學20xx屆高三階段性聯(lián)合考試數(shù)學（理）試題）已知某個三棱錐的三視圖如圖所示,其中正視圖是等邊三角形,側(cè)視圖是直角三角形,俯視圖是等腰直角三角形則此三棱錐的體積等于_ .【答案】 （廣東省惠州市20xx屆高三4月模擬考試數(shù)學理試題（word版）已知集合=直線,=平面,.若,給出下列四個命題: 其中所有正確命題的序號是_.【答案】【解析】由題意知:可以是直線,也可以是平面, 當表示平面時,都不對,故選正確. （廣東省茂名市20xx屆高三4月第二次高考模擬數(shù)學理試題（word版）一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為_【答案】 三、解答題（廣東省

7、韶關(guān)市20xx屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(理科)試題（word版） ）如圖,在三棱拄中,側(cè)面,已知()求證:;()試在棱(不包含端點上確定一點的位置,使得;() 在()的條件下,求二面角的平面角的正切值.【答案】證()因為側(cè)面,故 在中, 由余弦定理有 故有 而 且平面 ()由 從而 且 故 不妨設(shè) ,則,則 又 則 在中有 從而(舍負) 故為的中點時, 法二:以為原點為軸,設(shè),則 由得 即 化簡整理得 或 當時與重合不滿足題意 當時為的中點 故為的中點使 ()取的中點,的中點,的中點,的中點 連則,連則,連則 連則,且為矩形, 又 故為所求二面角的平面角 在中, 法二:由已知, 所以二面角的平

8、面角的大小為向量與的夾角 因為 故 （廣東省汕頭市東廈中學20xx屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學（理）試題 ）四棱錐pabcd中,側(cè)面pdc是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面abcd是adc的菱形,m為pb的中點,q為cd的中點.(1) 求證:pacd;(2) 求aq與平面cdm所成的角.第18題圖cbadqpm【答案】cbadqpmn第17題圖第18題圖cbadqpmnxy z解:(1)連結(jié)pq,aq. pcd為正三角形, pqcd. 底面abcd是adc的菱形, aqcd. cd平面paq pacd. (2)設(shè)平面cdm交pa于n,cd/ab, cd/平面pab. cd/mn.由于m為pb

9、的中點,n為pa的中點. 又pd=cd=ad,dnpa. 由(1)可知pacd, pa平面cdm 平面cdm平面pab. pa平面cdm,聯(lián)接qn、qa,則Ðaqn為aq與平面cdm所成的角 在rtdpma中,am=pm=, ap=,an=,sinÐaqn=. Ðaqn =45° (2)另解(用空間向量解): 由(1)可知pqcd,aqcd. 又由側(cè)面pdc底面abcd,得pqaq. 因此可以如圖建立空間直角坐標系 易知p(0 , 0 ,)、a(, 0 , 0)、b(, 2 , 0)、 c(0 , 1 , 0)、d(0 , -1 , 0) 由=(, 0

10、, -),=(0 , -2 , 0),得×=0. pacd 由m(, 1 , -),=(, 0 , -),得×=0. pacm pa平面cdm,即平面cdm平面pab. 從而就是平面cdm的法向量 設(shè)aq與平面所成的角為q , 則sinq =|cos<,>|=. aq與平面所成的角為45° （廣東省東莞市20xx屆高三第二次模擬數(shù)學理試題）如圖,pa垂直o所在平面abc,ab為o的直徑,pa=ab,c是弧ab的中點.(1)證明:bc平面pac;(2)證明:cfbp;(3)求二面角focb的平面角的正弦值.【答案】證明:(1)pa平面abc,bc

11、4;平面abc,bcpa Ðacb是直徑所對的圓周角, ,即bcac 又,平面 (2)pa平面abc,ocÌ平面abc, ocpa c是弧ab的中點,dabc是等腰三角形,ac=bc, 又o是ab的中點,ocab 又,平面,又平面, 設(shè)bp的中點為e,連結(jié)ae,則, ,平面. 又平面, 解:(3)由(2)知平面, 是二面角的平面角 又, ,即二面角的平面角的正弦值為 （廣東省珠海一中等六校20xx屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）一個幾何體的三視圖如右圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為6的兩個全等的等腰直角三角形.()請畫出該幾何體的直觀圖,并求出它的體積;()用多少個這樣的

12、幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體abcda1b1c1d1? 如何組拼?試證明你的結(jié)論;()在()的情形下,設(shè)正方體abcda1b1c1d1的棱cc1的中點為e, 求平面ab1e與平面abc所成二面角的余弦值.正視圖側(cè)視圖俯視圖【答案】解:()該幾何體的直觀圖如圖1所示,它是有一條 側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面abcd是邊長為6的 正方形,高為cc1=6,故所求體積是 ()依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍, 故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體, 其拼法如圖2所示 證明:面abcd、面abb1a1、面aa1d1d為全等的 abcdd1a1b1c1圖2 正方形,于是 故

13、所拼圖形成立 abcdd1a1b1c1ehxyzg圖3()方法一:設(shè)b1e,bc的延長線交于點g, 連結(jié)ga,在底面abc內(nèi)作bhag,垂足為h, 連結(jié)hb1,則b1hag,故b1hb為平面ab1e與 平面abc所成二面角或其補角的平面角 在rtabg中,則 , ,故平面ab1e與平面abc所成二面角的余弦值為 方法二:以c為原點,cd、cb、cc1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系(如圖3),正方體棱長為6,則e(0,0,3),b1(0,6,6),a(6,6,0). 設(shè)向量n=(x,y,z),滿足n,n, 于是,解得 取z=2,得n=(2,-1,2). 又(0,0,6), 故平面ab1

14、e與平面abc所成二面角的余弦值為 （廣東省中山市20xx屆高三上學期期末統(tǒng)一考試數(shù)學（理）試題）如圖,三棱柱中,平面,、分別為、的中點,點在棱上,且.()求證:平面;()在棱上是否存在一個點,使得平面將三棱柱分割成的兩部分體積之比為115,若存在,指出點的位置;若不存在,說明理由.【答案】 所以符合要求的點g不存在. （廣東省肇慶市20xx屆高三上學期期末統(tǒng)一檢測數(shù)學（理）試題）如圖5,在四棱錐中,底面為直角梯形,垂直于底面,分別為的中點. (1)求證:;(2)求平面與平面所成的二面角的余弦值;(3)求點到平面的距離. 【答案】解:(1)證明:因為是的中點, 所以 由底面,得, 又,即,又在

15、平面內(nèi), 平面,所以 , 又在平面內(nèi), 平面, . (2)方法一: 由(1)知,平面,所以 , 由已知可知, 所以是平面與平面所成的二面角的平面角 在直角三角形中, 因為直角三角形斜邊的中點,所以 在直角三角形中, 即平面與平面所成的二面角的余弦值為. 方法二:如圖建立空間直角坐標系,則, , 設(shè)平面的法向量為,則 即,令,則, 所以平面的一個法向量為 顯然是平面的一個法向量 設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為,則 即平面與平面所成的二面角的余弦值為. (3)由已知得, 設(shè)點到平面的距離為, 則 由,即,得 即點到平面的距離. （廣東省湛江一中等“十?！?0xx屆高三下學期聯(lián)考數(shù)學（理）試題）

16、如圖5,在四棱錐中,平面,是的中點. (1)求證:平面;(2)若直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等,求四棱錐的體積. 【答案】(1)如圖(1),連接,由,得 是的中點,所以 所以 而內(nèi)的兩條相交直線,所以平面 (2)過點作 由(1)平面知,平面.于是為直線與平面 所成的角,且 由知,為直線與平面所成的角 由題意,知 因為所以 由所以四邊形是平行四邊形,故于是 在中,所以 于是 又梯形的面積為所以四棱錐的體積為 解法2:如圖(2),以為坐標原點,所在直線分別為建立空間直角坐標系.設(shè)則相關(guān)的各點坐標為: (1)易知因為 所以 而是平面內(nèi)的兩條相交直線,所以 (2)由題設(shè)和(1)知,分別是、

17、的法向量 由(1)知, 而直線與所成的角和直線與所成的角相等,所以 由故 解得 又梯形的面積為,所以四棱錐的體積為 （廣東省汕頭市東山中學20xx屆高三下學期入學摸底考試數(shù)學（理）試題）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中,平面,(1)求直線與平面所成的角;(2)設(shè)點在棱上,若平面,求的值.【答案】解1:(1)平面 面 平面平面 過作交于 過點作交于, 平面平面 面 為直線與平面所成的角 在中, , 即直線與平面所成角為 (2)連結(jié),平面,平面 平面 又平面 且 平面平面 又, ,即 解2:如圖,在平面內(nèi)過作直線,交于,分別以、所在的直線為、軸建立空間直角坐標系. 設(shè),則、 (1)設(shè)面的法向量為

18、、 由 得 令可解得 直線與平面所成的角,則 即直線與平面所成的角為 (2) 設(shè)面的法向量為 、 由 得 令可解得 若平面,則 而, 所以 （廣東省汕頭市東山中學20xx屆高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題（詳解）如圖,的外接圓o的半徑為,其中為圓直徑,o所在的平面,且.(1)求證:平面平面;(2)試問線段上是否存在點m,使得直線am與平面acd所成角的正弦值為?若存在,確定m的位置,若不存在,請說明理由.【答案】解:()ab是直徑,acbc, 又cd 平面abc,cdbc,故bc平面acd 平面bcde,平面adc平面bcde ()方法一:假設(shè)點m存在,過點m作mncd于n, 連結(jié)an,作mf

19、cb于f,連結(jié)af 平面adc平面bcde,mn平面acd, man為ma與平面acd所成的角 設(shè)mn=x,計算易得,dn=,mf= 故 12分 解得:(舍去) , 故,從而滿足條件的點存在,且 方法二:建立如圖所示空間直角坐標系cxyz,則: a(4,0,0),b(0,2,0),d(0,0,4),e(0,2,1),c(0,0,0) 則 易知平面acd的法向量為c, 假設(shè)m點存在,設(shè),則, 再設(shè) ,即, 從而 設(shè)直線am與平面acd所成的角為,則: 解得, 其中應(yīng)舍去,而 故滿足條件的點m存在,且點m的坐標為 （廣東省汕頭市第四中學20xx屆高三階段性聯(lián)合考試數(shù)學（理）試題）如圖,在四棱錐p-

20、abcd中,底面abcd為直角梯形,ad/bc,adc=90°,平面pad底面abcd,q為ad的中點,m是棱pc上的點,pa=pd=2,bc=ad=1,cd=.(1)若點m是棱pc的中點,求證:pa / 平面bmq;(2)求證:平面pqb平面pad; (3)若二面角m-bq-c為30°,設(shè)pm=tmc,試確定t的值 .【答案】 ()ad / bc,bc=ad,q為ad的中點, 四邊形bcdq為平行四邊形,cd / bq adc=90° aqb=90° 即qbad. 又平面pad平面abcd 且平面pad平面abcd=ad, bq平面pad bq平面pq

21、b, 平面pqb平面pad 另證:ad / bc,bc=ad,q為ad的中點 bc / dq 且bc= dq, 四邊形bcdq為平行四邊形,cd / bq . adc=90° aqb=90° 即qbad pabcdqmnxyz pa=pd, pqad pqbq=q,ad平面pbq ad平面pad, 平面pqb平面pad ()pa=pd,q為ad的中點, pqad. 平面pad平面abcd,且平面pad平面abcd=ad, pq平面abcd (不證明pq平面abcd直接建系扣1分) 如圖,以q為原點建立空間直角坐標系. 則平面bqc的法向量為; , 設(shè), 則, , （廣東省潮

22、州市20xx屆高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題）如圖所示,已知為圓的直徑,點為線段上一點,且,點為圓上一點,且.點在圓所在平面上的正投影為點,.(1)求證:;(2)求二面角的余弦值.pabdco第18題圖【答案】解析:pabdco ()法1:連接,由知,點為的中點, 又為圓的直徑, 由知, 為等邊三角形,從而 點在圓所在平面上的正投影為點, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, (注:證明平面時,也可以由平面平面得到,酌情給分.) 法2:為圓的直徑, 在中設(shè),由,得, ,則, ,即 點在圓所在平面上的正投影為點, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, 法3:為圓的直徑, 在中由得,

23、 設(shè),由得, 由余弦定理得, ,即. - 點在圓所在平面上的正投影為點, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, pabdcoe()法1:(綜合法)過點作,垂足為,連接 由(1)知平面,又平面, ,又, 平面,又平面, , 為二面角的平面角 由()可知, (注:在第()問中使用方法1時,此處需要設(shè)出線段的長度,酌情給分.) ,則, 在中, ,即二面角的余弦值為 法2:(坐標法)以為原點,、和的方向分別為軸、軸和軸的正向,建立如圖所示的空間直角坐標系 (注:如果第()問就使用“坐標法”時,建系之前先要證明,酌情給分.) 設(shè),由,得, , , 由平面,知平面的一個法向量為 pabdcoyzx設(shè)

24、平面的一個法向量為,則 ,即,令,則, , 設(shè)二面角的平面角的大小為, 則, 二面角的余弦值為 （廣東省廣州市20xx屆高三4月綜合測試（二）數(shù)學理試題（word版）等邊三角形的邊長為3,點、分別是邊、上的點,且滿足(如圖3).將沿折起到的位置,使二面角成直二面角,連結(jié)、 (如圖4).(1)求證:平面;(2)在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長,若不存在,請說明理由.bced圖4圖3abcde【答案】(本小題主要考查空間直線與平面垂直、直線與平面所成角等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和運算求解能力等,本小題滿分14分) abcde證明:(1)因為等邊的邊長為3,且, 所以,

25、. 在中, 由余弦定理得. 因為, 所以. 折疊后有 因為二面角是直二面角,所以平面平面 又平面平面,平面, 所以平面 (2)解法1:假設(shè)在線段上存在點,使直線與平面所成的角為. bcedhp如圖,作于點,連結(jié)、 由(1)有平面,而平面, 所以 又, 所以平面 所以是直線與平面所成的角 設(shè),則, 在中,所以 在中, 由, 得 解得,滿足,符合題意 所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時 解法2:由(1)的證明,可知,平面. bcedhxyzp 以為坐標原點,以射線、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標系如圖 設(shè), 則, 所以, 所以 因為平面, 所以平面的一個法向量為 因為直線

26、與平面所成的角為, 所以 , 解得 即,滿足,符合題意 所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時 （廣東省惠州市20xx屆高三4月模擬考試數(shù)學理試題（word版）(本小題滿分分)如圖, 中,側(cè)棱與底面垂直, ,點分別為和的中點. (1)證明: ; (2)求二面角的正弦值.【答案】(本小題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量等知識,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力) 解 : (1)證法一: 連接 由題意知,點分別為和的中點, 又平面,平面, 平面 證法二:取中點,連,而 分別為與的中點, , , , 同理可證 又 平面/平面 平面,平面 證法

27、三(向量法): 以點為坐標原點,分別以直線 為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標系,如圖所示.于是 , 向量是平面的一個法向量 , 又 平面 (2)解法一: 以點為坐標原點,分別以直線 為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標系,如圖所示. 于是, 由(1)知是平面的一個法向量, 設(shè)平面的法向量為, , 設(shè)向量和向量的夾角為,則 二面角的的正弦值為 解法二(幾何法):如圖,將幾何體補形成一個正方體,連交于點,連,顯然,都在同一平面上 易證, 平面,平面, ,又 平面. 取中點,連, 分別是的中點 , 平面, 且為垂足,即平面,過點作于, 過作交于,連, 則即是所求二面角的補角 在中, , , 在中, 又 在中, 所求二面角的正弦值為 （廣東省江門佛山兩市20xx屆高三4月教學質(zhì)量檢測（佛山二模）數(shù)學理試題）如圖甲,設(shè)正方形的邊長為,點分別在上,并且滿足,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點在平面上的射影恰好在上.(1)證明:平面;(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.圖甲圖乙第18題圖【答案】證明:在圖甲中,易知,從而在圖乙中有, 因為平面,平面,所以平面(條件2分) 解法1、 如圖,在圖乙中作,垂足為,連接, 由于平面,則, 所以平面,則