單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系

1、五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系0de)()(ttfsfstres 0 ttfftde)()(jj要討論其關(guān)系，要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號(hào)。必須為因果信號(hào)。 根據(jù)收斂坐標(biāo)根據(jù)收斂坐標(biāo) 0的值可分為以下三種情況：的值可分為以下三種情況： （1） 0-2；則則 f(j )=1/( j +2)復(fù)習(xí)（2） 0 =0，即即f(s)的收斂邊界為的收斂邊界為j 軸，軸， )(lim)(j0sff如如f(t)= (t)f(s)=1/s 2202200limlim1lim)(jjjf= ( ) + 1/j （3） 0 0，f(j )不存在。不存在。 例例 f(t)=

2、e2t (t) f(s)=1/(s 2) , 2；其傅里葉變；其傅里葉變換不存在。換不存在。復(fù)習(xí)5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì) 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 尺度變換尺度變換 時(shí)移特性時(shí)移特性 復(fù)頻移特性復(fù)頻移特性 時(shí)域微分時(shí)域微分 時(shí)域積分時(shí)域積分 卷積定理卷積定理 s s域微分域微分 s s域積分域積分 初值定理初值定理 終值定理終值定理復(fù)習(xí)f(t-t0) (t-t0)e-st0f(s) , res 0 f(t)esat f(s-sa) , res 0+ a f(t) sf(s) f(0-) sfssfflt)0()(d)(1nnnssftftd)(d)()(f1(t)*f2(t) f1(s

3、)f2(s) sdfttf)()()(lim)(lim)0(0ssftffst)(lim)(0ssffs復(fù)習(xí)5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換直接利用定義式求反變換-復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法通常的方法 :（1）查表）查表 （2）利用性質(zhì)）利用性質(zhì) （3） 部分分式展開(kāi)部分分式展開(kāi) -結(jié)合結(jié)合 若象函數(shù)若象函數(shù)f(s)是是s的有理分式，可寫(xiě)為的有理分式，可寫(xiě)為 01110111.)(asasasbsbsbsbsfnnnmmmm若若mn （假分式）（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)f(s)分分解為有理多項(xiàng)式解為有理多項(xiàng)

4、式p(s)與有理真分式之和。與有理真分式之和。 )()()()(0sasbspsf復(fù)習(xí)6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssf由于由于l- 11= (t)， l -1sn= (n)(t)，故多項(xiàng)式，故多項(xiàng)式p(s)的拉的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。 下面主要討論有理真分式的情形。下面主要討論有理真分式的情形。一、零、極點(diǎn)的概念一、零、極點(diǎn)的概念若若f(s)是是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（的實(shí)系數(shù)有理真分式（mn)，則可寫(xiě)為，則可寫(xiě)為 01110111.)()()(bsbsbsasasasasasbsfnnnmmmm)()(

5、)()()()()(2121nnmmpspspsazszszsbsasbsf分解分解零點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)0)(0)(sfsb因?yàn)?的零點(diǎn)稱為的根是sfsbzzzzm,0,321 的極點(diǎn)稱為的根是sfsappppn,0,321)(0)(sfsa因?yàn)槎?、拉氏逆變換的過(guò)程求求f(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)將將f(s)展開(kāi)為部分分式展開(kāi)為部分分式查變換表求出原函數(shù)查變換表求出原函數(shù)f(t)部分分式展開(kāi)部分分式展開(kāi)1.第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn) ,321為不同的實(shí)數(shù)根為不同的實(shí)數(shù)根npppp)()()()(21npspspssbsfnnpskpskpsksf2211)(ipsiisfpsk)()()(e11tpsltp

6、ii單階實(shí)極點(diǎn)舉例單階實(shí)極點(diǎn)舉例(1)(1)求極點(diǎn)求極點(diǎn) )3)(2)(1(3322 ssssssf(2)(2)展為部分分式展為部分分式 321321sksksksf362511)( ssssf所以所以6116332)(232 ssssssf 1estlt根據(jù) 0e6e5e)(:32 ttfttt得得(3)(3)逆變換逆變換求系數(shù)求系數(shù)1|) 3)(2(332| )() 1(1211sssssssfsk假分式情況：假分式情況：23795)(223 ssssssf作長(zhǎng)除法作長(zhǎng)除法 2 3s 462772 2379523 2223232 sssssssssssss )(22132)(1sfssss

7、ssf 2112)(1 sssf tttf2)(e)(e22tttt第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù) 221ssasbsf sssfjj1共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在j .jj21 sksksf ssfskj j1 fj2j1 ssfskj j2 fj2j1成共軛關(guān)系：成共軛關(guān)系：可見(jiàn)可見(jiàn)21,kkbakj1 *12jkbak 求f(t)j11e|jkbakj1*12e|jkkbak skskltfjj*1110 tttkk eee*11 tbtat sincose2 je|je|jj)(j1j1*110sksksksksf=2|k1|e- tcos( t+ ) (t) 共

8、軛極點(diǎn)舉例共軛極點(diǎn)舉例。的的逆逆變變換換求求)()52)(2(3)(22tfsssssf )2)(2j1)(2j1(32 sssssf2j12j12210 sksksk02, 1 取取 57)2(20 ssfsk52j1)2j1)(2(32j121 ssssk52,51 ba 0 2sin522cos51e2e572 ttttftt另一種方法另一種方法 22sssff(s)具有共軛極點(diǎn)，不必用部分分式展開(kāi)法具有共軛極點(diǎn)，不必用部分分式展開(kāi)法 2222ssssf 0 sinecose ttttftt 求得求得 222)(cose )(sine sstlstltt利用利用第三種情況：有重根存在23

9、2122) 1(12) 1)(2()(skskskssssf4) 1)(2()2(2221sssssk1) 1)(2() 1(12223sssssk為重根最高次系數(shù)為單根系數(shù)31,kk如何求如何求k2 ?k2的求法的求法0)2() 1()2)(1(222211ksskkss22222)2(4)2()2(22ddssssssssss3 2k所以2) 1( s對(duì)原式兩邊乘以兩邊再求導(dǎo)若求只能求出時(shí)令, 1,123kks3212) 1(2) 1(ddkksskss右邊)() 1(dd2sfss左邊2, 1ks右此時(shí)令3)2(4122ssss左邊32122) 1(2) 1(2ksksksss逆變換2)

10、1(11324)( ssssf)()ee3e4()()( 21ttsfltfttt所以一般情況一般情況1!)(nnsnttl111211111)()()()(kkkpskpskpssf1121)1(1)(pskpskkk求求k11，方法同第一種情況，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式求其他系數(shù)，要用下式 11)()()(1111pskpssfpssfkkisfsikpsiii, 3 , 2 , 1 )(dd)!1(1111111)(dd , 2112pssfski 當(dāng)當(dāng)1)(dd21 , 312213pssfski 當(dāng)當(dāng))(e!1)(11111ttnpsltpnn舉例舉例3) 1(2)(s

11、sssfsksksksksf213212311) 1() 1() 1()(3|2| )() 1(11311sssssfsk2|)2(|)() 1(dd121312ssssssfssk2|421|)() 1(dd2114132213sssssfssk2|) 1(2| )(0302ssssssfk)()2e2e2e23()(2ttttftttsssssf2) 1(2) 1(2) 1(3)(235.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解一、微分方程的變換解 描述描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 nimjjjiitfbtya00)()()()(系統(tǒng)的初始狀態(tài)為系統(tǒng)的

12、初始狀態(tài)為y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路思路：用拉普拉斯變換微分特性：用拉普拉斯變換微分特性)0()()()(101)(pippiiiyssysty若若f (t)在在t = 0時(shí)接入系統(tǒng)，則時(shí)接入系統(tǒng)，則 f (j)(t) s j f(s)niniipmjjjppiiiisfsbysasysa00100)(1)()0()()()()()()()()()(sysysfsasbsasmsyzsziy(t)， yzi(t)， yzs(t)s域的代數(shù)域的代數(shù)方程方程舉例舉例例例1 描述某描述某lti系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t

13、) = 2f (t)+ 6 f (t)已知初始狀態(tài)已知初始狀態(tài)y(0-) = 1，y(0-)= -1，激勵(lì)，激勵(lì)f (t) = 5cost (t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)解：解： 方程取拉氏變換，并整理得方程取拉氏變換，并整理得)(65) 3(265)0(5)0( )0()(22sfsssssyysysy15)(2sssfyzi(s)yzs(s)1522)3)(2(4)()()(2sssssssysysyzszijsjsssssyjj6 .266 .26e5e5243122)(y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - - 4e2t (t) + )()6 .26cos(52

14、ttyzi(t)yzs (t)暫態(tài)分量暫態(tài)分量yt (t)穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量ys (t)若已知若已知y(0+)=1，y(0+)= 9)()()()(sfsasbsyzs二、系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)h(s)定義為定義為 )()()()()(defsasbsfsyshzs它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。狀態(tài)無(wú)關(guān)。yzs(t)= h(t)*f (t)h(s)= l h(t)yzs(s)= l h(t)f(s)例例2 已知當(dāng)輸入已知當(dāng)輸入f (t)= e-t (t)時(shí)，某時(shí)，某lti因果系統(tǒng)的因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)

15、 yzs(t) = (3e-t - -4e-2t + e-3t) (t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。 解解65823224) 3)(2()4(2)()()(2sssssssssfsyshzsh(t)= (4e-2t - -2e-3t) (t)微分方程為微分方程為 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2yzs(s) + 5syzs(s) + 6yzs(s) = 2sf(s)+ 8f(s) 取逆變換取逆變換 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2f (t)+ 8f (t) 三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的s

16、域框圖域框圖時(shí)域框圖基本單元時(shí)域框圖基本單元f(t)tftyd)()(af(t)y(t) = a f (t)s域框圖基本單元域框圖基本單元(零狀態(tài)零狀態(tài))s1f(s)y(s) = s1f(s)af(s)y(s) = a f(s)f1(t)f2(t)y(t) = f1(t)+ f2(t)+f1(s)y(s) = f1(s)+f2(s)f2(s)+例例3 如圖框圖，列出其微分方程如圖框圖，列出其微分方程4132f (t)y(t)x(s)s-1x(s)s-2x(s)解解 畫(huà)出畫(huà)出s域框圖域框圖,s-1s-1f(s)y(s)設(shè)左邊加法器輸出為設(shè)左邊加法器輸出為x(s)，如圖，如圖x(s) = f(s)

17、 3s-1x(s) 2s-2x(s) s域的代數(shù)方程域的代數(shù)方程y(s) = x(s) + 4s-2x(s) )(2311)(21sfsssx)(23141212sfsss)(23422sfsss微分方程為微分方程為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t) 再求再求h(t)?四、用拉氏變換法分析電路的步驟四、用拉氏變換法分析電路的步驟:列列s域方程（可從兩方面入手）域方程（可從兩方面入手）求解求解s域方程域方程。)()(tfsf，得到時(shí)域解答得到時(shí)域解答。l 列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；l 直接按電路的直接按

18、電路的s域模型建立代數(shù)方程。域模型建立代數(shù)方程。什么是電路的什么是電路的s s域模型？域模型？五、電路的五、電路的s域模型域模型對(duì)時(shí)域電路取拉氏變換對(duì)時(shí)域電路取拉氏變換 1、電阻元件的、電阻元件的s域模型域模型i(t)u(t)ri(s)u(s)ru(s)= r i(s)u(t)= r i(t)電阻元件的s域模型2、電感元件的、電感元件的s域模型域模型ttiltuld)(d)(u(s)= slil(s) lil(0-) sisuslsill)0()(1)(lu(t)il(t)電感元件的電感元件的s域模型域模型u(s)slil(s)lil(0 -)il(s)slil(0 -)/su(s)或3、電容

19、元件的、電容元件的s域模型域模型ttucticd)(d)(i(s)=scuc(s) cuc(0-) susiscsucc)0()(1)(i(s)uc(s)cuc(0 -)或sc1suc)0(sc1i(s)uc(s)ci(t)uc(t)電容元件的電容元件的s域模型域模型4、kcl、kvl方程方程 0)(ti 0)(tu 0)(si 0)(su求響應(yīng)的步驟求響應(yīng)的步驟畫(huà)畫(huà)0- -等效電路，求初始狀態(tài)；等效電路，求初始狀態(tài)；畫(huà)畫(huà)s域等效模型；域等效模型；列列s域方程（代數(shù)方程）；域方程（代數(shù)方程）；解解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換u(s)或或i(s)；拉氏反變換求拉氏反變換

20、求u(t)或或i(t)。例1(1)v00a,00clui初始狀態(tài)為(2)域等效模型的st0(3) 列方程列方程 susicssrislsis1解：解：如圖電路，初始狀態(tài)為如圖電路，初始狀態(tài)為0，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)時(shí)開(kāi)關(guān)s閉合，求電流閉合，求電流i(t)。 susicssrislsis1 lcslrsluscrlssusiss1112：設(shè)極點(diǎn)21pp lcrlrlp12221 lcrlrlp12222 故故 211pspslusis 2121111pspspplus tptpsppluti21ee21例例2如圖所示電路，已知如圖所示電路，已知us(t) = (t) v，is(t) =(t)，起始，起始

21、狀態(tài)狀態(tài)uc(0-) =1v，il(0-) = 2a，求電壓，求電壓u(t)。 0.51f1hus(t)is(t)il(t)uc(t)u(t)1/s1/s0.5is(s)us(s)s2/su(s)解解 畫(huà)出電路的畫(huà)出電路的s域模型域模型us(s)=1/s， is(s)=11)(2)()(12ssusssisussss22) 1(311122)(ssssssuu(t) = et (t) 3tet (t) v 若求若求uzi(t)和和uzs(t)第六章第六章 離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的z z域分析域分析 在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開(kāi)解微分方程的困難，可在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開(kāi)解微分方程的困難，可以通過(guò)拉氏變換把

22、微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同以通過(guò)拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的動(dòng)機(jī)，也可以通過(guò)一種稱為樣的動(dòng)機(jī)，也可以通過(guò)一種稱為z變換的數(shù)學(xué)工具，把變換的數(shù)學(xué)工具，把差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。 6.1 6.1 z z 變換變換 從拉普拉斯變換到從拉普拉斯變換到z z變換變換 z z變換定義變換定義 收斂域收斂域一、從拉普拉斯變換到一、從拉普拉斯變換到z變換變換對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到離散信號(hào)對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到離散信號(hào): ktskttktfttftf)()()()()(取樣信號(hào)取樣信號(hào)兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得 k

23、ktssbktfsfe)()(令令z = est，上式將成為復(fù)變量，上式將成為復(fù)變量z的函數(shù)，用的函數(shù)，用f(z)表示；表示；f(kt) f(k) ，得，得二、二、z變換定義變換定義kkzkfzf)()(稱為序列稱為序列f(k)的的雙邊雙邊z變換變換0)()(kkzkfzf稱為序列稱為序列f( (k) )的的單單邊邊z z變換變換若若f(k)為為因果序列因果序列，則單邊、雙邊，則單邊、雙邊z 變換相等，否則不變換相等，否則不等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱它們?yōu)榈取＝窈笤诓恢禄煜那闆r下，統(tǒng)稱它們?yōu)閦變換變換。 f(z) = zf(k) , f(k)= z-1f(z) ；f(k)f(z)三、收

24、斂域三、收斂域 z變換定義為一無(wú)窮冪級(jí)數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級(jí)變換定義為一無(wú)窮冪級(jí)數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即數(shù)收斂，即kkzkf)(時(shí)，其時(shí)，其z變換才存在。上式稱為變換才存在。上式稱為絕對(duì)可和條件絕對(duì)可和條件，它是，它是序列序列f(k)的的z變換存在的變換存在的充分必要條件充分必要條件。 收斂域的定義收斂域的定義： 對(duì)于序列對(duì)于序列f(k)，滿足，滿足 kkzkf)(所有所有z值組成的集合稱為值組成的集合稱為z變換變換f(z)的收斂域的收斂域。 例例1求以下有限序列的求以下有限序列的z變換變換(1) f1(k)= (k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1解（

25、解（1） 1)()()(1kkkkzkzf 可見(jiàn)，其單邊、雙邊可見(jiàn)，其單邊、雙邊z變換相等。與變換相等。與z 無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，所以其收斂域?yàn)樗云涫諗坑驗(yàn)檎麄€(gè)整個(gè)z 平面平面。 (2) f2(k)的雙邊的雙邊z 變換為變換為 f2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收斂域收斂域?yàn)闉? z 0 對(duì)有限序列的對(duì)有限序列的z變換的收斂域一般為變換的收斂域一般為0 z ，有時(shí)，有時(shí)它在它在0或或/和和也收斂。也收斂。 例例2 求求因果序列因果序列解：根據(jù)定義解：根據(jù)定義 0,0, 0)()(kakkakfkky的的z z變換變換1110101)(1lim)(lim)(azazaz

26、zazfnnnkknkkky可見(jiàn)，僅當(dāng)可見(jiàn)，僅當(dāng) az-1 a 時(shí)，其時(shí)，其z變換存在。變換存在。 azzzfy)(rezjimz|a|o收斂域收斂域?yàn)闉閨z|z|a|例例3 求求反因果序列反因果序列 解解 ) 1(0, 00,)(kbkkbkfkkf的的z z變換變換zbzbzbzbbzzfnnmmkkf111111111)(lim)()()(可見(jiàn)，可見(jiàn)， b-1z 1,即即 z b 時(shí)，其時(shí)，其z變換存在，變換存在， bzzzff)(收斂域收斂域?yàn)闉閨z|z| |b|b|rezjimzo例例4 雙邊序列雙邊序列f(k)=fy(k)+ff(k)=解解 0,0,kakbkk的的z z變換變換b

27、zzazzzfzfzffy)()()(可見(jiàn)，其收斂域?yàn)榭梢?jiàn)，其收斂域?yàn)?a z b （顯然要求（顯然要求 a 2 f2(k)= 2k ( k 1)f2(z)=2zz, z 0 (k)1zz， z 1， z 1 ( k 1)6.2 z z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 移位特性移位特性 z z域尺度變換域尺度變換 卷積定理卷積定理 z z域微分域微分 z z域積分域積分 k k域反轉(zhuǎn)域反轉(zhuǎn) 部分和部分和 初值定理初值定理 終值定理終值定理 本節(jié)討論本節(jié)討論z變換的性質(zhì)，若無(wú)特殊說(shuō)明，它既適變換的性質(zhì)，若無(wú)特殊說(shuō)明，它既適用于單邊也適用于雙邊用于單邊也適用于雙邊z變換。變換。 一、線性性質(zhì)

28、一、線性性質(zhì)若若 f1(k)f1(z) 1 z 1, f2(k) f2(z) 2 z 12 +二、移位特性二、移位特性單邊、雙邊差別大！單邊、雙邊差別大！雙邊雙邊z變換的移位：變換的移位： 若若 f(k) f(z) , z 0，則，則 f(k m) z mf(z), z ，且有整數(shù)，且有整數(shù)m0, 則則f(k-1) z-1f(z) + f(-1)f(k-2) z-2f(z) + f(-2) + f(-1)z-1 10)()()(mkkmzmkfzfzmkf前向移位f(k+1) zf(z) f(0)zf(k+2) z2f(z) f(0)z2 f(1)z 10)()()(mkkmmzkfzfzmk

29、f證明：證明：zf(k m)= mmkmkmkkkkzzmkfzmkfzmkf10)(0)()()(上式第二項(xiàng)令上式第二項(xiàng)令k m=n)()()()(10100zfzzmkfzznfzmkfmmkkmmknnk特例特例：若若f(k)為因果序列，則為因果序列，則f(k m) z-mf(z)例例1：求周期為求周期為n的有始周期性單位序列的有始周期性單位序列 0)(mmnk 的的z變換。變換。 111)(00nnnmmnmzzzzmnk解解 z 1例例2：求求f(k)= k(k)的單邊的單邊z變換變換f(z). 解解f(k+1)= (k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k)

30、 zf(z) zf(0) = f(z) + 1zzf(z)=2) 1( zz三、序列乘三、序列乘ak(z域尺度變換域尺度變換) 若若 f(k) f(z) , z ， 且有常數(shù)且有常數(shù)a 0 則則 akf(k) f(z/a) , a z a 證明：證明：zakf(k)= )()()(azfazkfzkfakkkkk例例1：ak(k) azz例例2：cos( k)(k) ? cos( k)(k)=0.5(ej k+ e-j k)(k) jje5 . 0e5 . 0zzzz四、卷積定理四、卷積定理 若若 f1(k) f1(z) 1 z 1, f2(k) f2(z) 2 z 2 則則 f1(k)*f2(k) f1(z)f2(z) 對(duì)單邊z變換，要求f1(k)、 f2(k)為因果序列其收斂域一般為其收斂域一般為f1(z)與與f2(z)收斂域的相交部分。收斂域的相交部分。 例：例：求求f(k)= k(k)的的z變換變換f(z). 解：解： f(k)= k(k)= (k)* (k-1)21) 1(11zzzzzzz五、序列乘五、序列乘k（z域微分）域微分） 若若 f(k) f(z) , z 則則 )(dd)(zfzzkkf, z 例：例：求求f(k)= k