高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)專題精講與知識(shí)點(diǎn)突破：三角函數(shù)含答案解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.520xx高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總四、三角函數(shù)：一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角：角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，角的終邊在第幾象限，就說過角是第幾象限的角。若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就說這個(gè)角不屬于任何象限，它叫象限界角。（2）與角終邊相同的角的集合：與角終邊在同一條直線上的角的集合： ；與角終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角的集合： ；與角終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角的集合： ；與角終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角的集合： ； 一些特殊角集合的表示：終邊在坐標(biāo)軸上角的集合： ；終邊在一、三象限的平分線上角的集合： ；終邊在二、四象限的平分線上角的集合： ；終邊在四個(gè)象限的平分線上角的集合

2、： ；（3）區(qū)間角的表示：象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；寫出圖中所表示的區(qū)間角：xyoxyo（4）正確理解角：要正確理解“間的角”= ；“第一象限的角”= ；“銳角”= ；“小于的角”= ；（5）由的終邊所在的象限，通過 來判斷所在的象限。 （6）弧度制：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零；任一已知角的弧度數(shù)的絕對(duì)值，其中為以角作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長，為圓的半徑。（7）弧長公式： ；半徑公式： ；扇形面積公式： ；二、任意角的三角函數(shù)：（1）任意角的三角函數(shù)定義：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角的終邊上任取一個(gè)異于原

3、點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為，則 ； ； ； ； ； ； 如：角的終邊上一點(diǎn)，則 。（2）在圖中畫出角的正弦線、余弦線、正切線；xyoaxyoaxyoayoa比較，的大小關(guān)系： 。（3）特殊角的三角函數(shù)值：0sincos三、同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導(dǎo)公式：（1）同角三角函數(shù)的關(guān)系平方關(guān)系是 ， ， ；倒數(shù)關(guān)系是 ， ， ；商式關(guān)系是 ， 。作用：已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值。（2）誘導(dǎo)公式： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；誘導(dǎo)公式可用概括為： ， 。作用：求任意角的三角函數(shù)值。（3）同角

4、三角函數(shù)的關(guān)系與誘導(dǎo)公式的運(yùn)用：已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值。注意：用平方關(guān)系，有兩個(gè)結(jié)果，一般可通過已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以討論。求任意角的三角函數(shù)值。步驟：任意負(fù)角的三角函數(shù)任意正教的三角函數(shù)0o360o角的三角函數(shù)求值公式三、一公式一0o90o角的三角函數(shù)公式二、四、五、六、七、八、九已知三角函數(shù)值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有無數(shù)多個(gè)步驟： 確定角所在的象限；如函數(shù)值為正，先求出對(duì)應(yīng)的銳角；如函數(shù)值為負(fù)，先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角；根據(jù)角所在的象限，得出間的角如果適合已知條件的角在第二限；則它是；如果在第三或第四象限，則它是或；如果要求適合條件

5、的所有角，再利用終邊相同的角的表達(dá)式寫出適合條件的所有角的集合。如，則 ， ； ；_。注意：巧用勾股數(shù)求三角函數(shù)值可提高解題速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；四、三角函數(shù)公式：相除以代積化和差：以代以代和差化積倍角公式萬能公式：反解，以代半角公式：開方三倍角公式：；五、三角恒等變換：三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)

6、用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對(duì)角的變形如：是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。；問： ； ；等等（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通常化切、割為弦，變異名為同名。（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有： （4）冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式有： ； 。降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪，如對(duì)無理式常用升冪化為有理式，常用升冪公式有： ； ；（5）公式變形：三角公

7、式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。 如：； ； ； ； ； = ； = ； （其中 ；） ； ；（6）三角函數(shù)式的化簡運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；基本規(guī)則是：切割化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，和積互化，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。如： ； ； ； ；推廣： ；推廣：六、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)的性質(zhì)：圖 象作法： ；定義域值域最值（指出此時(shí)的值）最大值最小值周期奇偶性對(duì)稱性對(duì)稱軸中心單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間（2）與可由怎樣變化得到：（a）先平移后伸縮：（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）

8、（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（b）先伸縮后平移： 注意：對(duì)于由三角函數(shù)圖象求的解析式的問題：即確定；：可由得到，在圖象中，相鄰的最大值和最小值間的距離為周期的；相鄰的最大值或最小值與零點(diǎn)間的距離為周期的。：可運(yùn)用得到，其中為最大值左側(cè)和原點(diǎn)最近的第一個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)。與的性質(zhì)：定義域值域最值（指出此時(shí)的值）最大值最小值周期奇偶性對(duì)稱性對(duì)稱軸中心單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間如：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ；函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 ；函數(shù)的最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，頻率是 ，相位是 ，初相是 ；其圖象的對(duì)稱軸是直線 ，點(diǎn) 是該圖象的對(duì)稱中心。七、與三角有關(guān)的值域與最值問題（運(yùn)用三角函數(shù)的有

9、界性）：如：配方法（轉(zhuǎn)化為同名同角函數(shù)的二次三項(xiàng)式），如：求函數(shù)的值域。降冪（轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式），如：求函數(shù)的最大值與最小值。解不等式（等號(hào)一邊化成一個(gè)角的三角函數(shù)形式，利用正余弦的有界性解不等式），如：求函數(shù)的值域。數(shù)形結(jié)合（聯(lián)想到解析幾何中圓與橢圓的參數(shù)方程），如：求函數(shù)的值域。判別式法（運(yùn)用萬能公式，構(gòu)造成關(guān)于（可設(shè)為）的以為參數(shù)的二次函數(shù)）， 如：求函數(shù)的值域。換元法：如：設(shè)，求函數(shù)的最值。 注意：熟悉之間的換算，在具體運(yùn)用中還要注意、的符號(hào)問題：（可借助單位圓） 。 。 。 。xyoyo利用函數(shù)的單調(diào)性：如：設(shè)，求函數(shù)的最小值。分類討論（對(duì)含參數(shù)的三角函數(shù)的值域最值問題，需

10、要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論），如：設(shè)，（1）用表示的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值?；静坏仁椒ǎ喝纾呵蠛瘮?shù)的最大值。八、重要的結(jié)論：（1）特殊函數(shù)的周期：， ；， ；若函數(shù)的最小正周期是，為非零常數(shù)，則的最小正周期是 ；的最小正周期是 ；的最小正周期是 。函數(shù)的最小正周期是兩個(gè)函數(shù)與的最小正周期的最小公倍數(shù)。 如：求的最小正周期。九、解斜三角形：（1）正弦定理： = = =（為 ）（2）余弦定理： ； ； ；（3）求角公式： ； ； ；注意：正余弦定理適用的題型：（一）余弦定理適用的題型：已知三邊，求三個(gè)角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；（二）正弦定理適用的題型：已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；已知兩邊和一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩個(gè)角；（解常不唯一）（4）三角形解的個(gè)數(shù)：已知兩邊和其一邊的對(duì)角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況：（一）為銳角： acccc