高考數(shù)學(xué)理一輪知識(shí)點(diǎn)專(zhuān)題講座：隨機(jī)變量的數(shù)字特征及正態(tài)分布含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5【名師面對(duì)面】20xx屆數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)講座：考點(diǎn)49隨機(jī)變量的數(shù)字特征及正態(tài)分布（解析版）加（*）號(hào)的知識(shí)點(diǎn)為了解內(nèi)容，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)使用一.考綱目標(biāo)掌握隨機(jī)變量的期望、方差和正態(tài)分布的概念.二.知識(shí)梳理1平均數(shù)的計(jì)算方法（1）如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，xn，那么=（x1+x2+xn）叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，讀作“x拔” （2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn的各個(gè)數(shù)值較大時(shí)，可將各數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna，那么，= +a（3）加權(quán)平均數(shù)：如果在n個(gè)數(shù)據(jù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，xk出現(xiàn)fk次（f1+

2、f2+fk=n），那么=2方差的計(jì)算方法（1）對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn，s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標(biāo)準(zhǔn)差（2）方差公式: s2=（x12+x22+xn2）n2（3）當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn中的各數(shù)較大時(shí)，可以將各數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna則s2=（x12+x22+xn2）n3數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnpp1p2pn則稱(chēng) 為的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望4數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平 5平均數(shù)、均值:在有限取值離散型隨機(jī)變量的概率分布中

3、，令，則有，所以的數(shù)學(xué)期望又稱(chēng)為平均數(shù)、均值 6 期望的一個(gè)性質(zhì): 7方差: 衡量數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量方差越大數(shù)據(jù)波動(dòng)越大8標(biāo)準(zhǔn)差:的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作9方差的性質(zhì)： ；10二項(xiàng)分布的期望：二項(xiàng)分布:b(n，p)，并記b(k；n，p)01knpe=np, np(1-p) 11正態(tài)分布密度函數(shù)：，（0，-x）其中是圓周率；e是自然對(duì)數(shù)的底；x是隨機(jī)變量的取值；為正態(tài)分布的均值；是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.正態(tài)分布一般記為 12正態(tài)分布）是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布13正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)：正態(tài)分布由參數(shù)、唯一確定，如果隨機(jī)變量n(，2)，根據(jù)定義有：=e，=d正態(tài)曲線(xiàn)具有以下性質(zhì)：（1）曲線(xiàn)在

4、x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x =對(duì)稱(chēng).（3）曲線(xiàn)在x =時(shí)位于最高點(diǎn).（4）當(dāng)x <時(shí)，曲線(xiàn)上升；當(dāng)x >時(shí)，曲線(xiàn)下降.并且當(dāng)曲線(xiàn)向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近線(xiàn)，向它無(wú)限靠近.（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由確定.越大，曲線(xiàn)越“矮胖”，表示總體越分散；越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，表示總體的分布越集中.五條性質(zhì)中前三條較易掌握，后兩條較難理解，因此應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對(duì)比教學(xué) 14標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線(xiàn):當(dāng)=0、=l時(shí)，正態(tài)總體稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（-x+）其相應(yīng)的曲線(xiàn)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線(xiàn) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體n（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位任何正態(tài)分

5、布的概率問(wèn)題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問(wèn)題 15標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問(wèn)題: 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體n（0，1），是總體取值小于的概率，即 ，其中，圖中陰影部分的面積表示為概率只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，（0）=0.5 16標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專(zhuān)門(mén)制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”在這個(gè)表中，對(duì)應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即 ，若，則利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可以求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線(xiàn)，與正態(tài)曲線(xiàn)、x軸所圍成的曲邊梯形的面積17小概率事件的含義：發(fā)生概率一般不超過(guò)5的事件，即事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生

6、假設(shè)檢驗(yàn)方法的基本思想:首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗(yàn)中發(fā)生的原理對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析 假設(shè)檢驗(yàn)方法的操作程序，即“三步曲”：一是提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，教科書(shū)中的統(tǒng)計(jì)假設(shè)總體是正態(tài)總體；二是確定一次試驗(yàn)中的a值是否落入(-3，+3)；三是作出判斷 三考點(diǎn)逐個(gè)突破1. 均值與方差的求法例1袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，e()1，d()11，試求a，b的值解(1)的分布列為01234pe()0×1×2×

7、;3×4×1.5，d()(01.5)2×(11.5)2×(21.5)2×(31.5)2×(41.5)2×2.75.(2)由d()a2d()，得a2×2.7511即a±2.又e()ae()b，所以當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b2；當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b4.或即為所求2. 均值與方差的實(shí)際應(yīng)用例2某投資公司在20xx年年初準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車(chē)據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況

8、發(fā)生的概率分別為和；項(xiàng)目二：通信設(shè)備據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為、和.(1)針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由；(2)若市場(chǎng)預(yù)期不變，該投資公司按照你選擇的項(xiàng)目長(zhǎng)期投資(每一年的利潤(rùn)和本金繼續(xù)用作投資)，問(wèn)大約在哪一年的年底總資產(chǎn)(利潤(rùn)本金)可以翻一番？(參考數(shù)據(jù)：lg20.3010，lg30.4771)思路點(diǎn)撥首先分別求出按項(xiàng)目一、項(xiàng)目二投資時(shí)，獲利的期望和方差解(1)若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利1萬(wàn)元，則1的分布列為1300150pe(1)300×(150)×

9、200(萬(wàn)元)若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利2萬(wàn)元，則2的分布列為：25003000pe(2)500×(300)×0×200(萬(wàn)元)d(1)(300200)2×(150200)2×35000，d(2)(500200)2×(300200)2×(0200)2×140000，所以e(1)e(2)，d(1)<d(2)，這說(shuō)明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資(2)假設(shè)n年后總資產(chǎn)可以翻一番，依題意：1000×(1)n2000，即1.2n2，兩邊取對(duì)數(shù)得：n3.805

10、3.所以大約4年后，即在年底總資產(chǎn)可以翻一番3.正態(tài)分布及應(yīng)用例3在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)服從正態(tài)分布，即n(100,100)，已知滿(mǎn)分為150分(1)試求考試成績(jī)位于區(qū)間(80,120內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有2000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)解(1)由n(100,100)知100，10.p(80<120)p(10020<10020)0.9544即考試成績(jī)位于區(qū)間(80,120內(nèi)的概率為0.9544.(2)p(90<110)p(10010<10010)0.6826，p(>110)(10.6826)0.1587，p( 90)0.68260.15870.8413.及格人數(shù)為2000×0.84131683.4.均值與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用例4如圖所示是某城市通過(guò)抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖(1)求直方圖中x的值；(2)若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望思路點(diǎn)撥(1)第(1)小題可根據(jù)概率之和為1求解(2)第(2)小題可根據(jù)x服從二項(xiàng)分布求解解(1)依題意及頻率分布直方圖知，0.020.1x0.370.391，解得x0.12.(2)由題意知，xb(3,0.