初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)12：用交集解題

1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)（12）用交集解題一、內(nèi)容提要1 某種對(duì)象的全體組成一個(gè)集合。組成集合的各個(gè)對(duì)象叫這個(gè)集合的元素。例如6的正約數(shù)集合記作6的正約數(shù)1，2，3，6，它有4個(gè)元素1，2，3，6；除以3余1的正整數(shù)集合是個(gè)無(wú)限集，記作除以3余1的正整數(shù)1，4，7，10，它的個(gè)元素有無(wú)數(shù)多個(gè)。2 由兩個(gè)集合的所有公共元素組成的一個(gè)集合，叫做這兩個(gè)集合的交集例如6的正約數(shù)集合A1，2，3，6，10的正約數(shù)集合B1，2，5，10，6與10的公約數(shù)集合C1，2，集合C是集合A和集合B的交集。3 幾個(gè)集合的交集可用圖形形象地表示，右圖中左邊的橢圓表示正數(shù)集合，右邊的橢圓表示整數(shù)集合，中間兩個(gè)橢圓

2、的公共部分，是它們的交集正整數(shù)集。不等式組的解集是不等式組中各個(gè)不等式解集的交集。例如不等式組解的集合就是不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x2的交集，x>3. 如數(shù)軸所示： 0234一類(lèi)問(wèn)題，它的答案要同時(shí)符合幾個(gè)條件，一般可用交集來(lái)解答。把符合每個(gè)條件的所有的解（即解的集合）分別求出來(lái)，它們的公共部分（即交集）就是所求的答案。有時(shí)可以先求出其中的一個(gè)（一般是元素最多）的解集，再按其他條件逐一篩選、剔除，求得答案。（如例2）二、例題例1.一個(gè)自然數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)自然數(shù)的最小值。解：除以3余2的自然數(shù)集合A2，5，8，11，14，17，20，2

3、3，26，除以5余3的自然數(shù)集B3，8，13，18，23，28，除以7余2自然數(shù)集合C2，9，16，23，30，集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然數(shù)。例2. 有兩個(gè)二位的質(zhì)數(shù)，它們的差等于6，并且平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同，求這兩個(gè)數(shù)。解：二位的質(zhì)數(shù)共21個(gè)，它們的個(gè)位數(shù)字只有1，3，7，9，即符合條件的質(zhì)數(shù)它們的個(gè)位數(shù)的集合是1，3，7，9；其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三組；平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同的只有3和7；1和9二組。同時(shí)符合三個(gè)條件的個(gè)位數(shù)字是3和7這一組故所求質(zhì)數(shù)是：23，17；43，37；53，47；73，67共四組。1 / 5數(shù)學(xué)興趣小組中訂閱A種刊物的有

4、28人，訂閱B種刊物的有21人，其中6人兩種都訂，只有一人兩種都沒(méi)有訂，問(wèn)只訂A種、只訂B種的各幾人？數(shù)學(xué)興趣小組共有幾人？解：如圖左、右兩橢圓分別表示訂閱A種、B種刊物的人數(shù)集合，則兩圓重疊部分就是它們的交集（A、B兩種都訂的人數(shù)集合）。只訂A種刊物的人數(shù)是28622人；只訂B刊物的人數(shù)是21615人；小組總?cè)藬?shù)是22156144人。設(shè)N，N（A），N（B），N（AB），分別表示總?cè)藬?shù)，訂A種、B種、AB兩種、都不訂的人數(shù)，則得公式一N+ N（A）+N（B）N（AB）。例3. 在40名同學(xué)中調(diào)查，會(huì)玩乒乓球的有24人，籃球有18人，排球有10人，同時(shí)會(huì)玩乒乓球和籃球的有6人，同時(shí)會(huì)玩乒乓球和

5、排球的有4人，三種球都會(huì)的只有1人，問(wèn)：有多少人只會(huì)打乒乓球同時(shí)會(huì)打籃球和排球只會(huì)打排球？解：仿公式一,得公式二：N+ N（A）+N（B）+N(C)N（AB）N（AC）N(BC)+N(ABC)只會(huì)打乒乓球的是2464115（人）求N（BC）可用公式二：4024181064N（BC）1N（BC）3，即同時(shí)會(huì)打籃球和排球的是3人只會(huì)打排球的是10316（人）例5. 十進(jìn)制中，六位數(shù)能被33整除，求x和y的值解：0x，y9， 0x+y18， 9xy9，x+y>xy333×11，19x+y+87的和是3的倍數(shù)，故x+y=2,5,8,11,14,17(1+x+8)(9+y+7)是11的倍

6、數(shù)，故xy=4，7x+y和xy是同奇數(shù)或同偶數(shù)，它們的交集是下列四個(gè)方程組的解： 解得 （x=12不合題意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2三、練習(xí)121 負(fù)數(shù)集合與分?jǐn)?shù)集合的交集是2 等腰直角三角形集合是三角形集合與三角形集合的交集。3 12的正約數(shù)集合A，30的正約數(shù)集合B12和30的公約數(shù)集合C，集合C是集合A和集合B的4 解下列不等式組并把解集（不是空集）表示在數(shù)軸上：5 某數(shù)除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某數(shù)的最小值。6 九張紙各寫(xiě)著1到9中的一個(gè)自然數(shù)（不重復(fù)），甲拿的兩張數(shù)字和是10，乙拿的兩張數(shù)字差是1，丙拿的兩張數(shù)字積是24，丁拿的兩張數(shù)字商是3

7、，問(wèn)剩下的一張是多少？7 求符合如下三條件的兩位數(shù)：能被3整除它的平方、立方的個(gè)位數(shù)都不變兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字積的個(gè)位數(shù)與原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同。8 據(jù)30名學(xué)生統(tǒng)計(jì)，會(huì)打籃球的有22人，其中5人還會(huì)打排球；有2人兩種球都不會(huì)打。那么會(huì)打排球有幾人？只會(huì)打排球是幾人？9 100名學(xué)生代表選舉學(xué)生會(huì)正付主席，對(duì)侯選人A和B進(jìn)行表決，贊成A的有52票，贊成B的有60票，其中A、B都贊成的有36人，問(wèn)對(duì)A、B都不贊成的有幾人？10.數(shù)、理、化三科競(jìng)賽，參加人數(shù)按單科統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)24人，物理18人，化學(xué)10人；按兩科統(tǒng)計(jì)，參加數(shù)理、數(shù)化、理化分別是13、4、5人，沒(méi)有三科都參加的人。求參賽的總?cè)藬?shù)，只參加數(shù)學(xué)科的人數(shù)。（本題如果改為有2人三科都參加呢？）11.12.十進(jìn)制中，六位數(shù)能被21整除，求x,y的值（仿例5）三、練習(xí)12參考答案：1. 負(fù)分?jǐn)?shù)2.等腰，直角3.交集4 x>5, x<-2, -3<x&l