高考第一輪復(fù)習數(shù)學：2.11函數(shù)的應(yīng)用教案含習題及答案

1、高考數(shù)學精品復(fù)習資料 2019.52.11 函數(shù)的應(yīng)用知識梳理解函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟：第一步：閱讀理解，審清題意.讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，在此基礎(chǔ)上，分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學問題.第二步：引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型.一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，必要時引入其他相關(guān)輔助變量，并用x、y和輔助變量表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實際問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學化，即所謂建立數(shù)學模型.第三步：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題（即數(shù)學模型）予以解答，求得

2、結(jié)果.第四步：將所得結(jié)果再轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答.點擊雙基1.某一種商品降價10%后，欲恢復(fù)原價，則應(yīng)提價a.10% b.9% c.11% d.11%解析：設(shè)提價x%，則a（110%）（1+x%）=a，x=11.答案：d2.今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是a.v=log2tb.v=logtc.v=d.v=2t2解析：特值檢驗，如：當t=4時，v=7.5.答案：c3.用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為a.3b.4c.6

3、d.12解析：設(shè)隔墻的長為x（0x6），矩形面積為y，y=x×=2x（6x），當x=3時，y最大.答案：a4.已知鐳經(jīng)過100年剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩量為y，則x、y之間的函數(shù)關(guān)系式為_.答案：y=0.95765.建筑一個容積為8000 m3、深6 m的長方體蓄水池（無蓋），池壁造價為a元米2，池底造價為2a元米2，把總造價y元表示為底的一邊長x m的函數(shù)，其解析式為_，定義域為_.底邊長為_ m時總造價最低是_元.解析：設(shè)池底一邊長x（m），則其鄰邊長為（m），池壁面積為2·6·x2·6·12（x）（m2），池

4、底面積為x·（m2），根據(jù)題意可知蓄水池的總造價y（元）與池底一邊長x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式為y12a（x）a.定義域為（0，）.x2（當且僅當x=即x=時取“=”）.當?shù)走呴L為 m時造價最低，最低造價為（160aa）元.答案：y=12a（x+）+a （0，+） 160a+a典例剖析【例1】 （1）一種產(chǎn)品的年產(chǎn)量原來是a件，在今后m年內(nèi)，計劃使年產(chǎn)量平均每年比上一年增加p%，寫出年產(chǎn)量隨經(jīng)過年數(shù)變化的函數(shù)關(guān)系式.（2）一種產(chǎn)品的成本原來是a元，在今后m年內(nèi)，計劃使成本平均每年比上一年降低p%，寫出成本隨經(jīng)過年數(shù)變化的函數(shù)關(guān)系式.解：（1）設(shè)年產(chǎn)量經(jīng)過x年增加到y(tǒng)件，則ya（1p%）

5、x（x*且xm）.（2）設(shè)成本經(jīng)過x年降低到y(tǒng)元，則ya（1p%）x（x*且xm）.特別提示增長率問題是一重要的模型.【例2】 “依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)”.國家征收個人所得稅是分段計算的，總收入不超過800元，免征個人所得稅，超過800元部分需征稅，設(shè)全月納稅所得額為x，x=全月總收入800元，稅率見下表：級 數(shù)全月納稅所得額稅 率1不超過500元部分5%2超過500元至2000元部分10%3超過2000元至5000元部分15%9超過10000元部分45%（1）若應(yīng)納稅額為f（x），試用分段函數(shù)表示13級納稅額f（x）的計算公式；（2）某人2000年10月份總收入3000元，試計算該人此

6、月份應(yīng)繳納個人所得稅多少元；（3）某人一月份應(yīng)繳納此項稅款26.78元，則他當月工資總收入介于a.800900元b.9001200元c.12001500元d.15002800元（1）解：依稅率表，有第一段：x·5%，0x500，第二段：（x500）×10%+500×5%，500x2000，第三段：（x2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000x5000，即f（x）= （2）解：這個人10月份應(yīng)納稅所得額x=3000800=2200，f（2200）=0.15×（22002000）+175=205，即這個人10

7、月份應(yīng)繳納個人所得稅205元.（3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人當月工資應(yīng)在13001400元之間，故選c.解法二：（逆推驗證法）設(shè)某人當月工資為1200元或1500元，則其應(yīng)納稅款分別為400×5%=20（元），500×5%+200×10%=45（元）.可排除a、b、d，故選c.答案：c評述：本題也可以根據(jù)納稅額計算公式直接計算.特別提示分段函數(shù)在新課標中占有重要地位.【例3】 某地區(qū)上年度電價為0.8元/（千瓦·時），年用電量為a千瓦·時.本年度計劃將電價降到0.55元（千瓦&

8、#183;時）至0.75元（千瓦·時）之間，而用戶期望電價為0.4元（千瓦·時）.經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比（比例系數(shù)為k）.該地區(qū)電力的成本價為0.3元（千瓦·時）.（1）寫出本年度電價下調(diào)后，電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)k0.2a，當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%?注：收益實際用電量×（實際電價成本價）解：（1）設(shè)下調(diào)后的電價為x元（千瓦·時），依題意知用電量增至a，電力部門的收益為y（a）（x0.3）（0.55x0.75）.（2）依題意有整理得解此不

9、等式得0.60x0.75.答：當電價最低定為0.60元（千瓦·時）時，仍可保證電力部門的收益比去年至少增長20%.深化拓展某商場預(yù)計全年分批購入每臺價值為2000元的電視機共3600臺，每批都購入x臺（xn*），且每批均需付運費400元，貯存購入的電視機全年所付的保管費與每批購入電視機的總價值（不含運費）成正比.若每批購入400臺，則全年需用去運輸和保管總費用43600元.現(xiàn)全年只有24000元資金可以用于支付這筆費用.試問：能否恰當安排每批進貨的數(shù)量，使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由.提示：設(shè)全年的運輸和保管總費用為y元，則y=×400+k·（2000x）.

10、據(jù)題設(shè)，x=400時，y=43600，解得k=5%.y=+100x2=2400（元）.因此只需每批購入120臺電視機就可以使預(yù)定資金夠用.答案：每批購入120臺可使資金夠用.【例4】 （2003年春季上海）在一次人才招聘會上，有a、b兩家公司分別開出它們的工資標準：a公司允諾第一年月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；b公司允諾第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%.設(shè)某人年初被a、b兩家公司同時錄取，試問：（1）若該人分別在a公司或b公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？（2）該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工

11、資收入總量較多作為應(yīng)聘的標準（不計其他因素），該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？（3）在a公司工作比在b公司工作的月工資收入最多可以多多少元（精確到1元）？并說明理由.剖析：第（1）問可通過第2、3年月工資歸納出所求結(jié)果.第（2）問應(yīng)注意的是年工資總量.第（3）問難度較大，是求月工資之差的最大值，轉(zhuǎn)化為cn=1270+230n2000×1.05n1，需要轉(zhuǎn)化為cncn1，cncn+1，則cn最大.解：（1）此人在a、b公司第n年的月工資數(shù)分別為an=1500+230×（n1）（nn*），bn=2000·（1+5%）n1（nn*）.（2）若該人在a公司連續(xù)工作10年，則

12、他的工資收入總量為12（a1+a2+a10）=304200（元）；若該人在b公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12（b1+b2+b10）301869（元）.因為在a公司收入的總量高些，因此該人應(yīng)該選擇a公司.（3）問題等價于求cn=anbn=1270+230n2000×1.05n1（nn*）的最大值.當n2時，cncn1=230100×1.05n2.當cncn10，即230100×1.05n20時，1.05n22.3，得n19.1.因此，當2n19時，cn1cn；當n20時，cncn1.c19是數(shù)列cn的最大項，c19=a19b19827（元），即在a公司工

13、作比在b公司工作的月工資收入最多可以多827元.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.某學生離家去學校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進，跑累了再走余下的路程.用縱軸表示離學校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖形中較符合該學生的走法的是答案：d2.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入客運，據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤y萬元與營運年數(shù)x（xn）的關(guān)系為y=x2+12x25，則每輛客車營運_年可使其營運年平均利潤最大.a.2 b.4 c.5 d.6解析：設(shè)年平均利潤為g（x），則g（x）=12（x+）.x+2=10，當x=，即x=5時，g（x）max=2.答案：c3.某縣計劃十年內(nèi)產(chǎn)值翻兩番，則產(chǎn)值平均每

14、年增長的百分率為_.（lg2=0.3010，lg11.49=1.0602）解析：設(shè)產(chǎn)值平均年增長率為x，則（1+x）10=4.兩邊同取以10為底的對數(shù)得10lg（1+x）=2lg2.lg（1+x）=0.0602.1+x=100.0602.又lg11.49=1.0602，11.49=101.0602=10·100.0602.100.0602=1.149.因此1+x=1.149，x=0.149=14.9%.答案：14.9%4.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品，成本增加1萬元，又知總收入r是單位產(chǎn)量q的函數(shù)：r（q）=4qq2，則總利潤l（q）的最大值是

15、_萬元，這時產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為_.（總利潤=總收入成本）解析：l（q）=4qq2（200+q）=（q300）2+250.答案：250 3005.（2003年福州市質(zhì)量檢測題）沿海地區(qū)某農(nóng)村在2002年底共有人口1480人，全年工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值為3180萬元.從2003年起計劃10年內(nèi)該村的總產(chǎn)值每年增加60萬元，人口每年凈增a人，設(shè)從2003年起的第x年（2003年為第一年）該村人均產(chǎn)值為y萬元.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）為使該村的人均產(chǎn)值年年都有增長，那么該村每年人口的凈增不能超過多少人？分析：本小題主要考查函數(shù)知識、函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學建模，運用所學知識解決實際問題的能力.（1

16、）解：依題意得第x年該村的工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值為（3180+60x）萬元，而該村第x年的人口總數(shù)為（1480+ax）人，y=（1x10）.（2）解法一：為使該村的人均產(chǎn)值年年都有增長，則在1x10內(nèi)，y=f（x）為增函數(shù).設(shè)1x1x210，則f（x1）f（x2）=.1x1x210，a0，由f（x1）f（x2），得888003180a0.a27.9.又an*，a=27.解法二：y=（）=1+，依題意得530，a27.9.an*，a=27.答：該村每年人口的凈增不能超過27人.培養(yǎng)能力6.（2005年春季北京，19）經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/時）與汽車的平均速度

17、v（km/h）之間的函數(shù)關(guān)系為y=（v0）.（1）在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到0.1千輛/時）（2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解：（1）依題意，y=，當且僅當v=，即v=40時，上式等號成立，所以ymax=11.1（千輛/時）.（2）由條件得10，整理得v289v+16000，即（v25）（v64）0.解得25v64.當v=40 km/h時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時.如果要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應(yīng)大于25 km/h且小于64 km/h.7.（2003年

18、石家莊市一模題）某工廠有216名工人接受了生產(chǎn)1000臺gh型高科技產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù)，已知每臺gh型產(chǎn)品由4個g型裝置和3個h型裝置配套組成.每個工人每小時能加工6個g型裝置或3個h型裝置.現(xiàn)將工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置.設(shè)加工g型裝置的工人有x人，他們加工完g型裝置所需時間為g（x），其余工人加工完h型裝置所需時間為h（x）（單位：小時，可不為整數(shù)）.（1）寫出g（x），h（x）的解析式；（2）比較g（x）與h（x）的大小，并寫出這216名工人完成總?cè)蝿?wù)的時間f（x）的解析式；（3）應(yīng)怎樣分組，才能使完成總?cè)蝿?wù)用的時間最少？解：（1）由題意知，需加工g型裝置4000個，加工h

19、型裝置3000個，所用工人分別為x人，（216x）人.g（x）=，h（x）=，即g（x）=，h（x）=（0x216，xn*）.（2）g（x）h（x）=.0x216，216x0.當0x86時，4325x0，g（x）h（x）0，g（x）h（x）；當87x216時，4325x0，g（x）h（x）0，g（x）h（x）.f（x）= （3）完成總?cè)蝿?wù)所用時間最少即求f（x）的最小值.當0x86時，f（x）遞減，f（x）f（86）=.f（x）min=f（86），此時216x=130.當87x216時，f（x）遞增，f（x）f（87）=.f（x）min=f（87），此時216x=129.f（x）min=f（8

20、6）=f（87）=.加工g型裝置，h型裝置的人數(shù)分別為86、130或87、129.探究創(chuàng)新8.現(xiàn)代社會對破譯密文的難度要求越來越高，有一種密碼把英文的明文（真實文）按兩個字母一組分組（如果最后剩一個字母，則任意添一個字母，拼成一組），例如：wish you success，分組為wi，sh，yo，us，uc，ce，ss得到, 其中英文的a，b，c，z的26個字母（不論大小寫）依次對應(yīng)的1，2，3，26這26個自然數(shù)，見表格：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526給出如下一個變換公式將明文轉(zhuǎn)換為密

21、文.如，即ce變成mc（說明：29÷26余數(shù)為3）.又如，即wi變成oa（說明：41÷26余數(shù)為15，105÷26余數(shù)為1）.（1）按上述方法將明文star譯成密文；（2）若按上述方法將某明文譯成的密文是kcwi，請你找出它的明文.解：（1）將star分組：st，ar，對應(yīng)的數(shù)組分別為，由得，.star翻譯成密文為ggkw.（2）由得 將kcwi分組：kc，wi，對應(yīng)的數(shù)組分別為，,由得，.密文kcwi翻譯成明文為good.思悟小結(jié)1.數(shù)學的應(yīng)用問題實際上是數(shù)學模型方法的應(yīng)用問題，也就是把實際問題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學模型，利用這些模型來研究實際問題.2.所謂數(shù)學模型，簡單地說，就是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學描述.數(shù)學模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形，也可以是方程式、函數(shù)解析式等等.實際問題越復(fù)雜，相應(yīng)的數(shù)學模型也就越復(fù)雜.教師下載中心教學點睛1.在教學過程中要注意引導(dǎo)學生從數(shù)學的角度理解分析問題、把握問題，特別要強調(diào)自主地、獨立地分析、研究、探討活動，這樣才有利于培養(yǎng)閱讀理解、分析和解決實際問題的能力；有利于對數(shù)學思想方法的應(yīng)用；有利于培養(yǎng)學生的用數(shù)學意識.2.