第8講 鏡像法

1、第八講第八講 鏡像法鏡像法電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子工程學(xué)院電子工程學(xué)院 陳其科陳其科第八講第八講 鏡像法鏡像法第八講第八講 鏡像法鏡像法鏡像法的基本原理鏡像法的基本原理接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體圓柱面的鏡像導(dǎo)體圓柱面的鏡像點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像本講內(nèi)容本講內(nèi)容第八講第八講 鏡像法鏡像法幾個(gè)實(shí)例：幾個(gè)實(shí)例： 非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效等效點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位替代。產(chǎn)生的電位替代。 求解位于接

2、地導(dǎo)體板附近的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位求解位于接地導(dǎo)體板附近的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出q qqq非均勻感應(yīng)面電荷非均勻感應(yīng)面電荷等效電荷等效電荷第八講第八講 鏡像法鏡像法 鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷或線電荷的作用。鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷或線電荷的作用。幾個(gè)實(shí)例：幾個(gè)實(shí)例： 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 接地導(dǎo)體球附近點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位接地導(dǎo)體球附近點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位用用等效電荷等效電荷代替非代替非均勻感應(yīng)電荷均勻感應(yīng)電荷q q非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷qq等效電荷等效電荷 等效點(diǎn)電荷一般位于點(diǎn)電荷關(guān)于分界面的鏡像位置等效點(diǎn)電荷一般位于點(diǎn)電荷關(guān)于分界面的鏡像位置鏡

3、像法鏡像法。第八講第八講 鏡像法鏡像法問(wèn)題問(wèn)題：這種等效電荷是否存在？：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？這種等效是否合理？條件：條件：回顧：回顧：靜電場(chǎng)的靜電場(chǎng)的惟一性定理惟一性定理 已知場(chǎng)域已知場(chǎng)域V 內(nèi)的自由電荷分布和電介質(zhì)特性內(nèi)的自由電荷分布和電介質(zhì)特性結(jié)論：結(jié)論：場(chǎng)域場(chǎng)域V 內(nèi)的位函數(shù)具有惟一確定解。內(nèi)的位函數(shù)具有惟一確定解。SSn 已知已知 場(chǎng)域場(chǎng)域V的邊界面的邊界面S上的上的 或或 的值的值一、鏡像法原理一、鏡像法原理方法：方法：在求解在求解區(qū)域外區(qū)域外設(shè)置等效電荷，替代設(shè)置等效電荷，替代邊界上邊界上分布電荷的作用分布電荷的作用目的：目的：將復(fù)雜邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為將復(fù)雜邊值問(wèn)

4、題轉(zhuǎn)換為無(wú)界均勻媒質(zhì)無(wú)界均勻媒質(zhì)空間的問(wèn)題空間的問(wèn)題第八講第八講 鏡像法鏡像法一、鏡像法原理一、鏡像法原理根據(jù)根據(jù)唯一性定理唯一性定理，若鏡像電荷的引入滿足：，若鏡像電荷的引入滿足：u 電位函數(shù)仍然電位函數(shù)仍然滿足原方程滿足原方程（拉氏方程或泊松方程）（拉氏方程或泊松方程）u 電位分布仍電位分布仍滿足原邊界條件滿足原邊界條件則可確保求得的解就是正確的。則可確保求得的解就是正確的。引入鏡像電荷的引入鏡像電荷的兩條原則兩條原則：u 等效電荷必須位于所求解的場(chǎng)等效電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外區(qū)域以外的空間中；的空間中；u像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小根據(jù)場(chǎng)區(qū)域的像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小根

5、據(jù)場(chǎng)區(qū)域的邊界條件邊界條件來(lái)確定。來(lái)確定。：像電荷的：像電荷的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)、位置位置及其及其電量電量鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)：鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)： 鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定 明確明確等效求解的等效求解的“有效場(chǎng)域有效場(chǎng)域”。第八講第八講 鏡像法鏡像法 等效問(wèn)題與原問(wèn)題在求解區(qū)域內(nèi)等效問(wèn)題與原問(wèn)題在求解區(qū)域內(nèi)邊界條件邊界條件及及電荷分布相同。電荷分布相同。由唯一由唯一性定理，知解唯一正確。性定理，知解唯一正確。二、平面導(dǎo)體界面的鏡像二、平面導(dǎo)體界面的鏡像1 1、點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像、點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像q qh有效區(qū)域有效區(qū)域q qhhq 原電荷：原電荷： 鏡像電荷鏡像電荷:

6、: ( (求解域外求解域外) ), q h,qq hh 第八講第八講 鏡像法鏡像法1 1、點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像、點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像上半空間內(nèi)的電位分布為：上半空間內(nèi)的電位分布為：11( , , )()4qx y zRR22222211()(0)4()()qzxyzhxyzh0snnzDEnz 222 3/22 ()qhxyh222 3/22 ()inssqhqdsdxdyqxyh 點(diǎn)電荷在平面導(dǎo)體面上的點(diǎn)電荷在平面導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷電量與鏡像電荷電量相等感應(yīng)電荷電量與鏡像電荷電量相等。接地導(dǎo)體分界面上感應(yīng)電荷分布接地導(dǎo)體分界面上感應(yīng)電荷分布二、平面導(dǎo)體界面的鏡像二、平

7、面導(dǎo)體界面的鏡像第八講第八講 鏡像法鏡像法1 1、點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像、點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像思考思考 無(wú)限大導(dǎo)體平板不接地，鏡像電荷如何確定？無(wú)限大導(dǎo)體平板不接地，鏡像電荷如何確定？ 有限大接地導(dǎo)體平板問(wèn)題，可否用鏡像法求解？有限大接地導(dǎo)體平板問(wèn)題，可否用鏡像法求解？q qhq qh二、平面導(dǎo)體界面的鏡像二、平面導(dǎo)體界面的鏡像第八講第八講 鏡像法鏡像法引入像電荷后滿足原問(wèn)題的邊界條件，引入像電荷后滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得解正確。所得解正確。2 2、無(wú)限長(zhǎng)線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像、無(wú)限長(zhǎng)線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像hhl 有效區(qū)域有效區(qū)域RR l xzhl導(dǎo)

8、體 等效問(wèn)題：等效問(wèn)題：llzh 上半空間的電位分布為：上半空間的電位分布為：11( , , )(lnln)2lx y zCRR2222()ln(0)2()lxzhCzxzh二、平面導(dǎo)體界面的鏡像二、平面導(dǎo)體界面的鏡像第八講第八講 鏡像法鏡像法3 3、點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像、點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零，要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零，則必須引入則必須引入3 3個(gè)鏡像電荷。個(gè)鏡像電荷。 對(duì)于非垂直相交的兩導(dǎo)體平面對(duì)于非垂直相交的兩導(dǎo)體平面構(gòu)成的邊界，若夾角為構(gòu)成的邊界，若夾角為 ，則，則所有所有鏡像電荷數(shù)目為鏡像電荷數(shù)目為2n-1個(gè)。個(gè)。n d

9、11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1123qqqq 1231111()4qRRRR電位：電位：qd12d2160二、平面導(dǎo)體界面的鏡像二、平面導(dǎo)體界面的鏡像第八講第八講 鏡像法鏡像法三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像1 1、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球面外、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球面外PqarRd1()4qqRR?dq問(wèn)題問(wèn)題： qPaqrRRdd 球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q來(lái)等效。來(lái)等效。q應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（不影響原應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（不影響原方程），且在點(diǎn)電荷方程），且在點(diǎn)電荷q與球心的連線上，與球心的連線上，距球心為距球心為d。則有。則有 點(diǎn)電荷

10、點(diǎn)電荷q 位于半徑為位于半徑為a 的接地導(dǎo)體的接地導(dǎo)體球外，距球心為球外，距球心為d 。第八講第八講 鏡像法鏡像法三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像1 1、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球面外、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球面外qPaqrRRdd104r ar aqqRR 鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定由鏡像法原理：鏡像電荷位于球內(nèi)區(qū)域，由鏡像法原理：鏡像電荷位于球內(nèi)區(qū)域，且鏡像電荷與原電荷共同作用使得在球且鏡像電荷與原電荷共同作用使得在球面上電位為面上電位為0 0，即：，即：222cosRrdrd222cosRrdrd221(42cosqadad22)02cosqadadr a22222222() ( )2 ()

11、cos0adqadqa dqd q第八講第八講 鏡像法鏡像法三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像1 1、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球面外、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球面外 鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定22222222() ( )2 ()cos0adqadqa dqd q22222222() ( )02 ()0adqadqa dqd q2(aqqqqdadddd 或舍去）qPaqrRRdd導(dǎo)體球面鏡像電荷導(dǎo)體球面鏡像電荷第八講第八講 鏡像法鏡像法三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像1 1、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球面外、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球面外 接地導(dǎo)體球邊界靜電問(wèn)題接地導(dǎo)體球邊界靜電問(wèn)題qPaqrRRdd22142

12、cosqrdrd22223 2()4 (2cos )Sr aq dara adad 2222in223 200()sin d dd4(2cos )SSq daaaqSqaadadd 導(dǎo)體球面上的總導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷感應(yīng)電荷也也與與所設(shè)置的所設(shè)置的鏡像電荷電量相等鏡像電荷電量相等。 球外的電位函數(shù)為球外的電位函數(shù)為 導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為 球面上的感應(yīng)電荷面密度為球面上的感應(yīng)電荷面密度為2222()()2 ()cosaradradr ad第八講第八講 鏡像法鏡像法三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像2 2、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球殼內(nèi)、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球殼內(nèi) 鏡像電荷

13、的確定鏡像電荷的確定aqdObqdrRRP 如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為為a 、外半徑為、外半徑為b，點(diǎn)電荷，點(diǎn)電荷q 位于球殼內(nèi)，位于球殼內(nèi)，與球心相距為與球心相距為d ( d |q|，鏡像電荷的電荷量，鏡像電荷的電荷量大于大于點(diǎn)電荷的電荷量點(diǎn)電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑像電荷的位置和電量與外半徑 b 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)（為什么？為什么？）第八講第八講 鏡像法鏡像法三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像2 2、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球殼內(nèi)、點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球殼內(nèi) 接地導(dǎo)體球殼的靜電問(wèn)題接地導(dǎo)體球殼的靜電問(wèn)題aqdObqdrRRP導(dǎo)體球面上的導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)

14、電荷與總感應(yīng)電荷與所設(shè)置的所設(shè)置的鏡像電荷不相等鏡像電荷不相等。 球殼球殼內(nèi)內(nèi)的電位函數(shù)為的電位函數(shù)為 球殼球殼內(nèi)表面內(nèi)表面的總感應(yīng)電荷為的總感應(yīng)電荷為 球殼球殼內(nèi)表面內(nèi)表面感應(yīng)電荷面密度為感應(yīng)電荷面密度為22222201()42cos()2 ()cosqarardrdd radr ad220223 2()4 (2cos )Sr aq adra adad 2222in223 200()sin d dd4(2cos )SSq adaqSqaadad 第八講第八講 鏡像法鏡像法三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像3 3、點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球面外、點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球面外aqrPd1qd2-qR

15、R導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)： 導(dǎo)體球面是導(dǎo)體球面是電位不為零電位不為零的等位面的等位面 球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但荷分布，但總的感應(yīng)電荷為零總的感應(yīng)電荷為零。u負(fù)電荷分布與接地球球分布相同負(fù)電荷分布與接地球球分布相同u正電荷均勻分布正電荷均勻分布與與 共同使使球面電位為共同使使球面電位為0 0q使球面為電位非使球面為電位非0 0的等勢(shì)面的等勢(shì)面問(wèn)題：如何確定鏡像電荷？問(wèn)題：如何確定鏡像電荷？q qa a=+a aa第八講第八講 鏡像法鏡像法0aqqqdd ，2,aaqq ddd 三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像3 3

16、、點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球面外、點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球面外q qaq qa+qPaqrRRddqq qa a=+a aa第八講第八講 鏡像法鏡像法三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像3 3、點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球面外、點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球面外0aqqqdd ，01()4qqqRRr球外任意點(diǎn)的電位為球外任意點(diǎn)的電位為qPaqrRRddq2,aaqq ddd 結(jié)論：結(jié)論：不接地導(dǎo)體球外存在點(diǎn)電荷不接地導(dǎo)體球外存在點(diǎn)電荷q時(shí)，其鏡像電荷為：時(shí)，其鏡像電荷為：第八講第八講 鏡像法鏡像法三、導(dǎo)體球面的鏡像三、導(dǎo)體球面的鏡像4 4、點(diǎn)電荷位于不接地空心球殼內(nèi)、點(diǎn)電荷位于不接地空心球殼內(nèi)aqqd, add

17、2 aqdobaqobPaqrRRddqPbrqq= q，位于球心，位于球心（為什么？）（為什么？）第八講第八講 鏡像法鏡像法四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像1 1、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像線電荷與導(dǎo)體圓柱線電荷與導(dǎo)體圓柱lxoa0d線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像ald( , )P xo0ld問(wèn)題：?jiǎn)栴}：密度為密度為l 的無(wú)限長(zhǎng)線電荷位于半徑的無(wú)限長(zhǎng)線電荷位于半徑為為a 的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為軸線平行且到軸線的距離為d。特點(diǎn)：特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓柱在導(dǎo)體圓

18、柱面上有感應(yīng)電荷，圓柱外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。分析方法：分析方法：根據(jù)電位邊界條件確定。根據(jù)電位邊界條件確定。問(wèn)題：如何確定鏡像電荷？問(wèn)題：如何確定鏡像電荷？第八講第八講 鏡像法鏡像法由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng)由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng) 時(shí)，電位應(yīng)為零，即時(shí)，電位應(yīng)為零，即 四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像1 1、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像22221ln22cos1ln22cosllddCdd222211lnln0222cos2cosllCadadadada 設(shè)鏡像電荷的線密度為設(shè)鏡像電荷的線密度為 ，且距圓柱

19、的軸線為，且距圓柱的軸線為 ，則由，則由 和和 共同共同產(chǎn)生的電位函數(shù)產(chǎn)生的電位函數(shù)ldll線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像ald( , )P xo0ld第八講第八講 鏡像法鏡像法四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像1 1、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像將上式對(duì)將上式對(duì)求導(dǎo)，可以得到求導(dǎo)，可以得到2222()()2()cos0lllld add adadd 2222()()00lllld add ad 2lladd 線電荷與導(dǎo)體圓柱的線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像鏡像ald( , )P xo0ld222211lnln0222cos2cosllCadadada

20、d導(dǎo)體柱面鏡像電荷導(dǎo)體柱面鏡像電荷第八講第八講 鏡像法鏡像法四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像1 1、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像、線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：2242222cosln22cosldadaCddd由由 時(shí)，時(shí)，a0故故2242222222cosln22cosldadaaa dda導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度2222()2(2cos )lSadaa adad 導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷222in220()dd22coslSlSdaaSaadad 感應(yīng)電荷與鏡像電荷相

21、等感應(yīng)電荷與鏡像電荷相等ln2ldCa？第八講第八講 鏡像法鏡像法四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像2 2、兩平行導(dǎo)體圓柱面的鏡像、兩平行導(dǎo)體圓柱面的鏡像圖圖1 兩平行導(dǎo)體圓柱兩平行導(dǎo)體圓柱hahall圖圖2 兩平行導(dǎo)體圓柱的等效電荷兩平行導(dǎo)體圓柱的等效電荷lblhhbaa特點(diǎn)特點(diǎn)：兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)一側(cè)電使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)一側(cè)電荷密度大，而相背一側(cè)電荷密度較小。荷密度大，而相背一側(cè)電荷密度較小。分析方法：分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為度分別為 、且相距為、且相距為

22、2b 的兩根無(wú)限長(zhǎng)的兩根無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線帶電細(xì)線來(lái)等效替代。來(lái)等效替代。l問(wèn)題：?jiǎn)栴}：兩平行導(dǎo)體圓柱半徑均為兩平行導(dǎo)體圓柱半徑均為a，軸線間，軸線間距為距為2h，單位長(zhǎng)度分別帶電荷，單位長(zhǎng)度分別帶電荷 和和 。ll第八講第八講 鏡像法鏡像法四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像四、導(dǎo)體圓柱面的鏡像2 2、兩平行導(dǎo)體圓柱面的鏡像、兩平行導(dǎo)體圓柱面的鏡像兩平行導(dǎo)體圓柱的等效電荷兩平行導(dǎo)體圓柱的等效電荷lblhhbaa 通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸電軸，因而這，因而這種方法又稱為種方法又稱為電軸法電軸法。2add 由由2()()hb hba22bha 利用線電荷與

23、接地導(dǎo)體圓柱面的利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定鏡像確定b 。由對(duì)稱性。由對(duì)稱性第八講第八講 鏡像法鏡像法五、無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像五、無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像 1 1、點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)分界平面的鏡像、點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)分界平面的鏡像 圖圖1 1 點(diǎn)電荷與電介質(zhì)點(diǎn)電荷與電介質(zhì)分界平面分界平面zx12qh問(wèn)題：?jiǎn)栴}：求解空間中的電位分布（上半空間求解空間中的電位分布（上半空間及下半空間）。及下半空間）。特點(diǎn)：特點(diǎn)：在介質(zhì)分界面上存在在介質(zhì)分界面上存在極化電荷極化電荷分布分布空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷與與極化電極化電荷荷共同產(chǎn)生。共同產(chǎn)生。問(wèn)題：如何確定鏡像電

24、荷？問(wèn)題：如何確定鏡像電荷？第八講第八講 鏡像法鏡像法五、無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像五、無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像 1 1、點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)分界平面的鏡像、點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)分界平面的鏡像 計(jì)算計(jì)算上半空間上半空間中的電位中的電位由鏡像法，鏡像電荷須位于下半空間由鏡像法，鏡像電荷須位于下半空間介質(zhì)介質(zhì)1 1的鏡像電荷的鏡像電荷Pqhh11xzqRR 計(jì)算計(jì)算下半空間下半空間中的電位中的電位由鏡像法，鏡像電荷須位于上半空間由鏡像法，鏡像電荷須位于上半空間介質(zhì)介質(zhì)2 2的鏡像電荷的鏡像電荷22qqPxzhR?qq問(wèn)題問(wèn)題： 由由邊界條件邊界條件來(lái)確定。來(lái)確定。第八講第八講 鏡像法鏡像法五、無(wú)限大

25、介質(zhì)分界平面的鏡像五、無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像 1 1、點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)分界平面的鏡像、點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)分界平面的鏡像 介質(zhì)介質(zhì)1 1的鏡像電荷的鏡像電荷Pqhh11xzqRR介質(zhì)介質(zhì)2 2的鏡像電荷的鏡像電荷22qqPxzhR介質(zhì)介質(zhì)1 1中的電位為中的電位為122222211( , , )4()()qqx y zxyz hxyz h(0)z 222221( , , )4()q qx y zxyz h(0)z 介質(zhì)介質(zhì)2 2中的電位為中的電位為待求待求第八講第八講 鏡像法鏡像法五、無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像五、無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像 1 1、點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)分界平面的鏡像、點(diǎn)電荷

26、與無(wú)限大電介質(zhì)分界平面的鏡像 12121212qqqq 1020zz211020zzzz由電位的邊界條件由電位的邊界條件qqqq1211()()qqqq點(diǎn)電荷對(duì)電介質(zhì)平面分界面的鏡像電荷點(diǎn)電荷對(duì)電介質(zhì)平面分界面的鏡像電荷 對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無(wú)對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無(wú) 限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶），其鏡像電荷為限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶），其鏡像電荷為12121212,llll 第八講第八講 鏡像法鏡像法五、無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像五、無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像 2 2、線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)分界平面的鏡像、線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)分界平面的鏡像 圖圖

27、1 1 線電流與磁介質(zhì)線電流與磁介質(zhì)分界平面分界平面zx12Ih圖圖2 2 磁介質(zhì)磁介質(zhì)1 1的鏡像線的鏡像線電流電流PIhh11xzIRR特點(diǎn)：特點(diǎn)：分界面上有分界面上有磁化電流磁化電流分布分布空間中的磁場(chǎng)由空間中的磁場(chǎng)由線電流線電流和和磁化電流磁化電流共同產(chǎn)生。共同產(chǎn)生。計(jì)算磁介質(zhì)計(jì)算磁介質(zhì)1 1中的磁場(chǎng)時(shí)，用中的磁場(chǎng)時(shí)，用圖圖2 2 所示的鏡像線電流來(lái)代替分界面所示的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流上的磁化電流圖圖3 3 磁介質(zhì)磁介質(zhì)2 2的鏡像線的鏡像線電流電流22IIPxzhR計(jì)算磁介質(zhì)計(jì)算磁介質(zhì)2 2中的磁場(chǎng)時(shí)，用中的磁場(chǎng)時(shí)，用圖圖3 3所示的鏡像線電流來(lái)代替分界面所示的鏡像線電

28、流來(lái)代替分界面上的磁化電流。上的磁化電流。第八講第八講 鏡像法鏡像法五、無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像五、無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像 2 2、線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)分界平面的鏡像、線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)分界平面的鏡像 111222211lnln22()()IIAxzhxzh(0)z 2222()1ln2()IIAxz h(0)z 電流沿軸方向流動(dòng)，則矢量磁位電流沿軸方向流動(dòng)，則矢量磁位A也只有軸向分量。磁介質(zhì)也只有軸向分量。磁介質(zhì)1和和磁介質(zhì)磁介質(zhì)2中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為102021001211zzzzAAAAzz利用矢量磁位滿足的邊界條件利用矢量磁位滿足的邊界條件12()()I

29、IIIIIII21212121IIII 第八講第八講 鏡像法鏡像法解：移動(dòng)電荷解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷q受的電場(chǎng)力受的電場(chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場(chǎng)可以用像電荷由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場(chǎng)可以用像電荷qq替代。當(dāng)電荷替代。當(dāng)電荷q移至移至x時(shí)，像電荷時(shí)，像電荷q應(yīng)位于應(yīng)位于x，則有，則有【例【例1】 一個(gè)點(diǎn)電荷一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無(wú)窮，如果把它移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，（外力）需要做多少功？。遠(yuǎn)處，（外力）需要做多少功？。qqq qx x = = 0

30、 0d d-d-d 2042xqE xex 2220014162eddWqE x dxqqdxdx 20016eqWWd O六、典型例題六、典型例題 第八講第八講 鏡像法鏡像法六、典型例題六、典型例題 【例【例2】真空中一點(diǎn)電荷真空中一點(diǎn)電荷Q位于導(dǎo)體球附近。導(dǎo)體球半徑為位于導(dǎo)體球附近。導(dǎo)體球半徑為a，點(diǎn)電荷距，點(diǎn)電荷距離球心距離為離球心距離為d（da）。求：）。求：（1）導(dǎo)體球接地時(shí)球外空間電位分布及電荷）導(dǎo)體球接地時(shí)球外空間電位分布及電荷Q所受的電場(chǎng)力；所受的電場(chǎng)力；（2）導(dǎo)體球未接地時(shí)空間電位分布及電荷）導(dǎo)體球未接地時(shí)空間電位分布及電荷Q所受的電場(chǎng)力；所受的電場(chǎng)力；PqarRdqPaqrRRdd解解:(1)當(dāng)導(dǎo)體球接地時(shí)，由鏡像法，原問(wèn)當(dāng)導(dǎo)體球接地時(shí)，由鏡像法，原問(wèn)題可等效為空間只存在題可等效