小學奧數(shù)牛吃草講義

1、牛吃草問題大科學家牛頓在他著的普通算術一書中曾提出了一個有趣的數(shù)學問題：“12頭牛4周吃草格爾（格爾面積單位），同樣的牧草21頭牛9周吃10格爾。問24格爾牧草，多少頭牛18周吃完?”Ø 類似上面的這個問題被人們稱作為“牛頓問題”，也稱“牛吃草”問題。本講我們就來學習“牛吃草”問題的解法以及運用“牛吃草”問題的解題思想解決類似的問題。Ø “牛吃草”問題有算術解法和方程解法。在算術解法里，因為此類問題一般是求時間或是求牛的頭數(shù)，所以在就解題時感到最困難的是草的總量在不斷地變化，每時、每天或每周都在均勻地生長，時間越長，草的總量越多。我們不妨將草的總量分成兩部分：一是牧草上原有

2、的草量；二是在一段時間內新增加的草量，然后用比較法求出“牧草上原有的草量”及“單位時間內新生長的草量”，再根據(jù)具體所求分析求解。這里，一般總是設每頭牛在單位時間內吃草量為單位“1”?！纠}1】牧場上長滿牧草，每天都勻速生長。這片牧場可供27頭牛吃6天或23頭牛吃9天。問可供21頭牛吃幾天？【分析】這片牧場上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關鍵應找到不變量即原來的牧草數(shù)量。因為總草量可以分成兩部分：原有的草與新長出的草。新長出的草雖然在變，但應注意到它是勻速生長的，因而這片牧場每天新長出草的數(shù)量也是不變的。從這道題我們看到，草每天在長，牛每天在吃，都是在變化的，但是也有不變的，都是什么不變??？草是

3、以勻速生長的，也就是說每天長的草是不變的;，同樣，每天牛吃草的量也是不變的，對吧？這就是我們解題的關鍵。假設1頭牛一周吃的草的數(shù)量為1份，那么27頭牛6周需要吃27×6=162（份），此時新草與原有的草均被吃完；23頭牛9周需吃23×9=207（份），此時新草與原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的數(shù)量與6周新長出的草的數(shù)量的總和；207份是原有的草的數(shù)量與9周新長出的草的數(shù)量的總和，因此每周新長出的草的份數(shù)為：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的數(shù)量為：162-15×6=72（份）。這片草地每周新長草15份相當于可安排15頭牛

4、專吃新長出來的草，于是這片草地可供21 頭牛吃72÷（21-15）12（周）【練習1】有一片勻速生長的草地。24頭牛6天可以將草吃完，21頭牛8天可以吃完。如果有16頭牛，幾天可以吃完?【例題2】一片牧場上的草均勻地生長，如果4只羊吃草，15天可以把草吃完，如果8只羊吃草，7天可以把草吃完。若想5天把草吃完，需要多少只羊去吃?【練習2】草場上的草均勻生長，每人每天割草量相等。一片草若用17人去割，30天可以割盡，若用19人去割，則只要24天便可割盡，若要6人割盡需要多少人?【例題3】由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天或

5、可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？【分析】與例1不同的是，不但沒有新長出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類似的方法求出每天減少的草量和原來的草的總量設1頭牛1天吃的草為1份，20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷的天氣使牧場1天減少青草10份，也就是寒冷導致的每天減少的草量相當于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上寒冷導致的每天減少的草量相當于10頭牛同時在吃草，所以原有草兩有（20+10）×5=150（份），由150÷10=15知道，牧場原有的草可供15頭牛吃10天。由寒

6、冷導致的原因占去10頭牛吃的草，所以可供5頭牛吃10天?！揪毩?】由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以固定的速度在減少，經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛 吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？8天，設一頭牛一天吃的草量為一份。牧場每天減少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原來的草量：（20+4）× 5=120份，可供11頭牛吃120÷(11+4)=8天?？偨Y：想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，但是因為是勻速生長，所以每天新長出的草量也是不變的。正確計算草地上原有的草及每天新長

7、出的草，問題就會迎刃而解?！纠}4】自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級臺階，女孩每分鐘走15級臺階，結果男孩用5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級臺階？【分析】與前面的題比較，“總的草量”變成了“扶梯的臺階總數(shù)”，“草”變成了“臺階”，“?！弊兂闪恕八俣取保部梢钥闯墒桥３圆輪栴}。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5分鐘走了20×5=100（級），女孩6分鐘走了15×6=90（級），女孩比男孩少走了10090=10（級），多用了65=1（分鐘），說明電

8、梯1分鐘走10級。因男孩5分鐘到達樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（20+10）×5=150（級）【練習4】兩只蝸牛同時從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的，結果一只蝸牛恰好用了5個晝夜到達井底，另一只恰好用了6個晝夜到達井底。那么，井深多少米？大家說這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？蝸牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米所以井深：（20+10）×5=150分米=15米【例題5

9、】有一片牧草，每天均勻生長，它可供17只羊吃30天；或可供19只羊吃24天。現(xiàn)有若干只羊，6天后賣了4只，余下的羊2天將草吃完，那么原來有羊多少只?【練習5】有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天。假設草每天的生長速度不變，現(xiàn)在羊若干只，吃了4天后增加了6只，這樣又吃了2天便將草吃完，原有羊多少只?【例題6】一塊草地，每天生長的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天?【練習6】有一片青草，每天生長的速度相同，已知這片青草可供15頭牛吃20天，或者供76只羊吃12天。

10、如果一頭牛的吃草量相當于4只羊的吃草量，那么8頭牛與64只羊一起吃，可以吃多少天?【例題7】有一條船因觸礁破了一個洞，河水均勻地進入船內，發(fā)現(xiàn)船漏時，船已進了一些水；如果12個人淘水則3小時可以把水淘完；如果5個人淘水則10小時可以把水淘完；如果需要2小時內淘完水，需要多少人?【分析】已漏進的水，加上3小時漏進的水，每小時需要（12×3）人舀完，也就是36人用1小時才能舀完。已漏進的水，加上10小時漏進的水，每小時需要（5×10）人舀完，也就是50人用1小時才能舀完。通過比較，我們可以得出1小時內漏進的水及船中已漏進的水。1小時漏進的水，2個人用1小時能舀完：（5×

11、;1012×3）÷（103）=2已漏進的水：（122）×3=30已漏進的水加上2小時漏進的水，需34人1小時完成：30+2×2=34用2小時來舀完這些水需要17人：34÷2=17（人）【練習7】有一條船因觸礁破了一個洞，河水均勻地進入船內，發(fā)現(xiàn)船漏時，船已進了一些水；現(xiàn)在要派人將水淘出船外，如果派10個人淘水則3小時可以把水淘完；如果5個人淘水則8小時可以把水淘完；如果需要2小時內淘完水，需要派多少人淘水?【例題8】一水池有一根進水管不間斷的進水，另有若干根相同的抽水管，若用24根抽水管抽水，6小時即可把池中的水抽干；若用21根抽水管抽水，8小

12、時可將池中的水抽干，若用16根抽水管，幾小時可以將水池中的水抽干？【練習8】有一水庫的存水量一定，每天河水均勻流入水庫。如果4臺抽水機連續(xù)15天可將水庫的水抽干，6臺同樣的抽水機連續(xù)9天可將水庫的水抽干。問水庫中原有的水需要幾臺抽水機1天可將水抽干？【例題9】假設地球上的新生長資源的增長速度是一定的，照此計算，地球上資源可供110億人生活90年，或可供90億人生活210年。為使人類能夠不斷繁衍，那么地球最多能養(yǎng)活多少億人?【例題10】有三塊草地，面積分別為5，6，和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草薦地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問第三塊草地可供19頭

13、牛吃多少天？前幾天我們接觸的是在同一塊草地上，同一個水池中，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。即5，6，8=120這樣，第一塊5公頃可供11頭牛吃10天，120÷5=24，變?yōu)?20公頃草地可供11×24=264（頭）牛吃10天第二塊6公頃可供12頭牛吃14天，120÷6=20，變?yōu)?20公頃草地可供12×20=240（頭）牛吃14天。120÷8=15。問題變成：120公頃草地可供19×15=285（頭）牛吃幾天？因為草地面積相同，可忽略具體公頃數(shù)，原題可變?yōu)椋阂粔K草地勻速生長，可供264頭牛吃

14、10天或供240頭牛吃14天， 那么可供285頭牛齒及天？即每天新長出的草：（240×14264×10）÷（1410）=180（份）草地原有草：（264180）×10=840（份）可供285頭牛吃的時間：840÷（285180）=8（天）牛吃草練習題1、有一片牧場上的草均勻生長。24頭牛6天可以把草吃完；20頭牛10天可以吧草吃完。牧場上每天生長的草可供幾頭牛吃1天?2、牧場上有一片青草，可以供27頭牛吃6天，供23頭牛吃9天，如果每天牧草生長速度相同，那么這片牧草可以供21頭牛吃多少天?3、一片草地，草每天生長的速度相同。這片草地可供5頭牛吃

15、40天，或供6頭牛吃30天。如果4頭牛吃了30天后，又增加2頭牛一起吃，這片草地還可以再吃幾天?4、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草以固定速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5天或可供24頭牛吃6天。照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃10天？5、自動扶梯以均勻速度行駛著，渺小明和小紅從扶梯上樓。已知小明每分鐘走25級臺階，小紅 每分鐘走20級臺階，結果小明用5分鐘，小紅用了6分鐘分別到達樓上。該扶梯共有多少級臺階？6、一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天，現(xiàn)有一群牛吃了4天后賣掉2頭，余下的牛又吃了4天將草吃完。這群牛原來有多少頭？7、一個水池，池底有

16、泉水不斷涌出，用10部抽水機20小時可以把水抽干，用15部相同的抽水機10小時可把水抽干。那么用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？8、某游樂場所在開門前已經(jīng)有100個人排隊等待，開門后每分鐘來的游人數(shù)十相同的，一個入口處每分鐘可以放入10名游客，如果開放2個入口處20分鐘就沒有人排隊，現(xiàn)在開放4個入口處，那么開門后多少分鐘就沒有人排隊?9、陜北某村有塊草場，假設每天草都均勻生長，這片草場經(jīng)過測算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天問：如果放牧250只羊可以吃多少天?放牧這么多羊對嗎?為防止草場沙化，這片草地最多可以放牧多少只羊?(注意：要防止草場沙化就應該使草場的草永遠吃

17、不完)10、有三塊草地，面積分別為5公頃、15公頃和24公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天。問：第三塊草地可供多少頭牛吃80天？11、畫展9點開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達的時間。12、現(xiàn)有速度不變的甲、乙兩車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2倍去追乙車，5小時后能追上，如果甲車以現(xiàn)在的速度的3倍去追乙車，3小時后能追上。那么甲車以現(xiàn)在的速度去追，幾小時后能追上乙車？13、某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物

18、，又不斷用汽車把貨物運走，如用9輛汽車，12小時可以把它們運完，如果用8輛汽車，16小時可以把它們運完。如果開始只用3輛汽車，10小時后增加若干輛，再過4小時也能運完，那么后來增加的汽車是（ ）輛。14、如果22頭牛吃33公畝牧場的草，54天后可以吃盡，17頭牛吃28公畝牧場的草，84天可以吃盡，那么要在24天內吃盡40公畝牧場的草，需要多少頭牛？15、12頭牛28天可吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可吃完30公畝牧場上全部牧草多少頭牛126天可吃完72公畝牧場上全部牧草?(每公畝牧場上原有的草量相等，且每公畝牧場上每天草的生長量相同)16、某水庫建有l(wèi)O個泄洪閘；現(xiàn)有水庫的水位已經(jīng)超過安全線，上游河水還在按不變的速度增加，為了防洪，需調節(jié)泄洪速度，假設每個閘門排洪的速度相等，經(jīng)測算，若打開個泄洪閘，30個小時水位降至安全線；若打開兩個泄洪閘。10小時水位降至安全線現(xiàn)在抗洪指揮部隊要求55小時使水位降至安全線以下問至少要同時打開幾個閘門？17、有3個牧場長滿草，第一牧場33公畝，可供