函數(shù)方程思想考題精選

1、精品資源函數(shù)與方程思想考題精選【例1】(湖北卷)關(guān)于x的方程存在實數(shù)k,使得方程恰有存在實數(shù)k,使得方程恰有存在實數(shù)k,使得方程恰有存在實數(shù)k,使得方程恰有 其中假命題的個數(shù)是().A.0B. 1(X2-1) 2-x2-l+k=0,給出下列四個命題2個不同的實根；4個不同的實根；5個不同的實根；8個不同的實根.C. 2D. 4歡下載本題是關(guān)于函數(shù)、方程解的選擇題，考查換元法及方程根的討論，屬一題多選型試題，要求考生具有較強的分析問題和解決問題的能力.思路分析：1 .根據(jù)題意可令x2-i=t (t ,則方程化為t2-t+k=0 , (*)0<t<1 時,作出函數(shù)t=x2-i的圖象，結(jié)

2、合函數(shù)的圖象可知當(dāng) t=0或t>1時，原方程有兩上不等的根，當(dāng)原方程有4個根，當(dāng)t=1時，原方程有3根.(1)當(dāng)k=-2時，方程(*)有一個正根t=2,相應(yīng)的原方程的解有 2個；1 1(2)當(dāng)k=4時，方程(*)有兩個相等正根t= 2 ,相應(yīng)的原方程的解有 4個；(3)當(dāng)k=0時，此時方程(*)有兩個不等根t=0或t=1 ,故此時原方程有 5個根；故相應(yīng)的(4)當(dāng)0<k<4時，方程(*)有兩個不等正根，且此時方程(*)有兩正根且均小于1, 滿足方程x2-l=t的解有8個，故選 A.2 .由函數(shù)f (x) = (x2-i)2-x2-1的圖象(如下圖)及動直線 g (x) =k可

3、得出答案為 A.3 .設(shè)t=x2-1 （t>0） , t2-t+k=0 ,方程的判別式為 A=1-4k,由k的取值 依據(jù)A>0、A=0、A <0從而得出解的個數(shù).（*一 1）（±+1 ）（父-7 2 ）（*十7 2 ）（H弟 1 或 hW 1 ） *4 .設(shè)函數(shù) f（X）1/乂工一1）.（計i）（TG<ir,利用數(shù)軸標根法得出函數(shù)與x軸的交點個數(shù)為5個，以及函數(shù)的單調(diào)性大體上 畫出函數(shù)的圖象，從而得出答案 A.【點評】 思路1、思路2、思路4都是利用函數(shù)圖象求解，但研究的目標 函數(shù)有別，思路2利用函數(shù)的奇偶 性以及交軌法直觀求解，很好地體現(xiàn)了數(shù) 形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

4、想，是數(shù)形結(jié)合法中值得肯定的一種方法；思路 3利用方程的 根的個數(shù)問題去求解，但討論較為復(fù)雜，又是我們的弱點，有利于培養(yǎng)我們思 維的科學(xué)性、嚴謹性、抽象性、邏輯推理能力等基本素質(zhì).【例2】（廣東卷）已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和為15,偶數(shù) 項之和為30,則其公差是（）.A. 5B . 4C. 3D. 215alM）展 15=>d=3 戶解：設(shè)等差數(shù)列的首項為ai,公差為d據(jù)題意得：15%+25d=3°故選C.【點評】 運用等差、等比數(shù)列的基本量（ai, d, q）列方程，方程組是求 解數(shù)列基本問題的通法.儂十口【例3】（安徽卷）設(shè)a>0,對于函數(shù)f （x）=即1

5、1H（0<x<tt）,下列結(jié)論正確的是（）.A.有最大值而無最小值B.有最小值而無最大值C.有最大值且有最小值D.既無最大值又無最小值siiix-1-a解：令 t=sinx , t ( 0 , 1 ,則函數(shù) f (x) = sim (0<x< 兀)的值a域為函數(shù)y=1+± , t e ( 0 , 1 是一個減函數(shù)，故選B .【點評】本題將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)的值域問題，既考查了等價轉(zhuǎn)化的思想方法，又考查了用函數(shù)思想解決問題的能力.【例4 (安徽卷)已知 < < a <九，tan a +cot a =- 3 .（1 ）求tan a的

6、值;-rSiri -cob±1 lees2-82222x/2-sin （a-三）（2）求2的值.10解：（1 ）由 tan a +cot a =- 3 得 3tan2 a +10tan a +3=0,即 tan a =-31或 tan a =- 3 ,37r1又4 < a <兀，所以tan a =- ?為所求.5sin2- -i-Ssir 尊 cos 尊+ 11 cob2 與-822225上支三川11上9絲-8_22-VTcasa_ 5-5匚心皿4-8與1門口+11+1 Iodgq 16-2VTcosa_ 8tgno!±6 5 V-2 V- co&cx6

7、【點評】 第（1）問是對方程思想方法靈活考查，能否把條件10tan a+cot a =- 3變形為關(guān)于tan a的一元二次方程，取決于解題的目標意識和是否對方程思想方法的深刻把握和理解.711【例5】（重慶卷）與向量a= （ 2 , 2）, b=（ 2 , - 2 ）的夾角相 等，且模為1的向量是（）.（告一）14T 或（"）A.55B.5555（二邑W）（$）或（_宜邑W）C.33d.3333【分析】 本題涉及單位向量、共線向量、向量的夾角等知識，解題的入口 較寬，可從方程、解析幾何、復(fù)數(shù)及向量運算的幾何意義等角度入手，對訓(xùn)練 我們思維的廣闊性有幫助.思路分析：1 .設(shè)所求向量為（

8、x, y）,則由向量模的定義與夾角公式可得乙12222 解得該方程組可知答案為B .2 .設(shè)次 =a, 3H=b，則可借助直線的夾角公式求得/ AOB的平分線所3 成一葭y在直線方程為y=- 4 x,再由V 4=1可知答案為B .111 73 .在復(fù)平面上，向量a, b分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)zi=2 +2 i , z2=2 - 2 i ,因為zi=z2 - i ,故所求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 Z2 -50Tcob-),化簡后可知答案選B4 .容易知道符合題意的向量有兩個，所以先排除選項A和選項C ,由于a, b的模相等，故所求向量應(yīng)與a+b= (4 , 3)共線，從而答案選B .【點評】 思路1運用了方程思

9、想；思路2用的是解析幾何知識；思路3借 助了復(fù)數(shù)運算；思路4最為巧妙，采用了特征分析法并靈活運用了向量運算的 幾何意義.1【例6】(江西卷)若不等式 x2+ax+1>0對于一切xC (0, 2成立,則a的最小值是().5A.OB.2C.2D.3【分析】與x2+ax+1>0在R上包成立相比，本題的難度有所增加.思路分析：_ x1 .分離變量，有a>- (x+H ) , xC (0, 2 恒成立.右端的最大值5為2 ,故選C .J_2 .看成關(guān)于a的不等式，由f (0) >0,且f (2 ) >0可求得a的范圍.3 .設(shè)f (x) =x2+ax+1,結(jié)合二次函數(shù)圖象，

10、分對稱軸在區(qū)間的內(nèi)外三種 情況進行討論.14 . f (x) =x2+1, g (x) = ax,則結(jié)合圖形(象)知原問題等價于f ( * )g ( 2),即 a> - 2 .5 .利用選項，代入檢驗，D不成立，而C成立 .故選C.【點評】 思路14具有函數(shù)觀點，可謂高屋建領(lǐng).思路5又充分利用了 題型特點.【例7】(全國卷H)已知拋物線 x2=4y的焦點為F, A、B是拋物線上 的兩動點，且江二川麗* (人0).過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其 交點為M.(1)證明麗.市為定值；(2)設(shè) ABM的面積為S,寫出S=f (入)的表達式，并求S的最小值.解：(1)證明：由已知條件，得F

11、(0, 1),入0.設(shè)A (xi, yi) , B (X2, yz).由療小就，得(-Xi, 1-y i)=入(X2, yz-1 ),尸=3？之即nT)將式兩邊平方并把巾=丁的次干孫代入得 刀”工 _ 2解、式得y尸入，丫2=入,且有XiX2=-M"-4入yz=-4 ,拋物線方程為y=4I1X2,求導(dǎo)得y'二2 x.所以過拋物線上A B兩點的切線方程分別是y=2 xi(x-Xi)1+yi, y= X2 (x-x 2) +y2,尸，一»：（一回 一&M RI$ 一） 解出兩條切線的交點M的坐標為 2 42,所以一丁=唆.-2）-（吁5，）=吳£4）-2（+工：-¥：）=0值.為定值，其值為0.1（2）由（1）知在4ABM 中，F(xiàn)ML AB ,因而 S=2 |AB| |FM|.|FM=1一一Vw+T2+/“Y）+4 丫*+2 W+ =.因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y=-1的距離，所以1V5T+|AB|=|AF|+|BF|=y i+y2+2=入+'+2= (