《連續(xù)的定義》PPT課件

1、YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)極極限限方方法法: )(不不連連續(xù)續(xù)連連續(xù)續(xù)與與間間斷斷.在在所所有有整整數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)都都不不連連續(xù)續(xù)xy ,sin都都連連續(xù)續(xù)在在每每點(diǎn)點(diǎn) xxy YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),)(),()(),()(lim0000000時時當(dāng)當(dāng)xxDxxfADorxDxxfAAxffffxx.)(),()(00點(diǎn)點(diǎn)“連連結(jié)結(jié)”的的圖圖形形在在表表明明xxfxfxf一、延續(xù)的定義一、延續(xù)的定義YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)函函數(shù)數(shù)在在一一點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù).1及及其其附附近近有有意意義義，且

2、且在在若若0)(xxf),()(lim00 xfxfxx .)(0點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱xxf點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)的的三三要要素素：在在0)(xxf,)(lim)2(0 xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).()(0間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)不不連連續(xù)續(xù)在在任任何何一一條條不不滿滿足足，就就稱稱xxf:Def的定義域，的定義域，屬于屬于)() 1 (0 xfxYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連連續(xù)續(xù)的的等等價價敘敘述述在在點(diǎn)點(diǎn)0)(.2xxf).()(lim)1 (00 xfxfxx(定義定義)時時，有有當(dāng)當(dāng)對對0, 0, 0)2(xx.)()(0 xfxf)(”方方法法“),

3、(),(),),()3(0000 xOxxOxxfO當(dāng)當(dāng)鄰鄰域域的的鄰鄰域域).),()(0 xfOxf時時，有有,., 0, 0ts).),(),(00 xfOxOf都都有有對對任任何何數(shù)數(shù)列列,lim,)4(00 xxxxxnnnn).()(lim0 xfxfnn( Heine Th .)鄰域表達(dá)YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).0)()(lim)()(lim)5(0000 xfxfxfxfxxxx由由，可可正正可可負(fù)負(fù)稱稱為為自自變變量量的的改改變變量量設(shè)設(shè))(,0 xxx 的的改改變變量量相相應(yīng)應(yīng)地地，)(,0 xfxxx ).()(00 xfxxfy 連連續(xù)續(xù)等

4、等價價于于在在點(diǎn)點(diǎn)于于是是0)(,xxf. 0)()(limlim0000 xfxxfyxx(改動量方式改動量方式)xyo)(xfy 0 xxx0 xyxyxx0YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)右右連連續(xù)續(xù)的的概概念念左左,)6(:Def)()(lim)(0000 xfxfxxfxx左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱，000)().()0(.xxfxfxfei).()0(.)()(lim00000 xfxfeixfxfxx，,)()(00既左連續(xù)既左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)于是，于是，xxfxxf).()(lim)(lim00000 xfxfxfxxxx

5、又又右右連連續(xù)續(xù)，即即YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)便便性性連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)極極限限運(yùn)運(yùn)算算的的簡簡. 3連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)，由由00)(lim0 xxfxxxx).lim()()(lim000 xfxfxfxxxx”與與“連連續(xù)續(xù)等等價價于于兩兩種種運(yùn)運(yùn)算算“在在點(diǎn)點(diǎn)可可見見，0lim)(0 xxfxxf.可可以以交交換換次次序序YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間連連續(xù)續(xù).4:Def),(),()(0baxbaxf對對內(nèi)內(nèi)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)都都連連續(xù)續(xù)，即即在在若若.,)()(lim00）內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)）在在（，則則稱稱皆皆有有bax

6、fxfxfxx內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且）在在（上上連連續(xù)續(xù)在在稱稱),(,)(baxfbaxf.0,)0(）（）（）（bfbfafafYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).,cos,sin. 1）內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在（證證明明例例xx，由由），（證證明明：對對00 x.2sin2sin2coscos0000 xxxxxxxx.coscos,00 xxxx時時，則則當(dāng)當(dāng)取取.cos0連連續(xù)續(xù)在在即即xxYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)顯顯然然上上連連續(xù)續(xù)）在在（）（證證明明例例1.0. 2aRaaxfx有有證證明明：對對,0Rx ).1(000 xxxxxaaaay.

7、 1limlim0000 xxxxaa，即即只只須須證證要要證證1lim. 0lim00 xxxaynx，則則設(shè)設(shè)10, .ts時時，當(dāng)當(dāng)nnx10于于是是. 00 xContinueYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù); 1101 xnaaa時時，有有當(dāng)當(dāng).111nxaaa 時時，有有當(dāng)當(dāng).1lim, 1lim001xxnnaa故故因因則則，且且，設(shè)設(shè)對對, 00 ttxx.11limlimlim000000ttttxxaaa. 1limlim00000aaaxxxx從從而而上上連連續(xù)續(xù)。在在這這證證明明了了Raaxfx)0()( YunnanUniversity3. 連續(xù)

8、函數(shù)連續(xù)函數(shù)二、延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算二、延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算.中中質(zhì)質(zhì)，都都可可移移到到連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)有有關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)極極限限的的許許多多性性0)()(00 xfxxf連連續(xù)續(xù)，且且在在點(diǎn)點(diǎn)若若0)(, 0)0)(00 xfxxxf時時，有有當(dāng)當(dāng)，則則或或).0)( xf或或.02)()(02)(:000 xfxfxf對對證證明明).02)()(02)(0000 xfxfxf（連續(xù)函數(shù)保號性）（連續(xù)函數(shù)保號性）. 1ThYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).證證得得如如下下定定理理根根據(jù)據(jù)極極限限四四則則運(yùn)運(yùn)算算立立即即連連續(xù)續(xù)，則則都都在在點(diǎn)點(diǎn)與與若若0)()(. 2xx

9、gxfTh)0)()()(),()(),()(0 xgxgxfxgxfxgxf.0連連續(xù)續(xù)也也在在點(diǎn)點(diǎn)x),()(,)()(000 xgxfxxgxf 且且連連續(xù)續(xù)都都在在點(diǎn)點(diǎn)與與一一般般地地，若若).()(, 00 xgxfxx 時時，有有當(dāng)當(dāng)則則YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性知知，據(jù)據(jù)此此，由由xx cossinxxxxxxctgxxxxsin1csc,cos1sec,sincos,cossintan.在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)續(xù)續(xù)？、差差、積積、商商是是否否不不連連兩兩個個不不連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，其其和和不不一一定定，如如.0, 10, 1)(

10、,0, 10, 1)(xxxgxxxf.1)()(0)()(均均連連續(xù)續(xù)，但但xgxfxgxf定不連續(xù)，定不連續(xù)，續(xù)的函數(shù)，其和、差一續(xù)的函數(shù)，其和、差一一個連續(xù)而另一個不連一個連續(xù)而另一個不連.但但其其積積卻卻不不然然YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)（反函數(shù)的連續(xù)性）（反函數(shù)的連續(xù)性）. 3Th，則則）（，）（嚴(yán)嚴(yán)格格增增加加（減減少少），設(shè)設(shè)bfaf），（，），它它在在（）存存在在反反函函數(shù)數(shù)（1yfxxfy.）和和連連續(xù)續(xù)的的上上也也是是嚴(yán)嚴(yán)格格增增加加（減減少少.證證明明參參見見極極限限續(xù)續(xù)論論中中上連續(xù)，且上連續(xù)，且，在在若若)(baxfy YunnanUniv

11、ersity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),arctan.xy 如如內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)反反三三角角函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域,2,2tan20上嚴(yán)格上升且連續(xù)上嚴(yán)格上升且連續(xù)在在，由，由任取任取x.2tan,2tanarctan上嚴(yán)格上升且連續(xù)上嚴(yán)格上升且連續(xù)）（）（在在知知y,0充充分分小小，可可取取的的任任意意性性，對對任任意意點(diǎn)點(diǎn)由由y,.ts在在任任意意點(diǎn)點(diǎn)于于是是）（）（yyarctan,.2tan2tan0.0）連連續(xù)續(xù)，（yYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)時時，有有，當(dāng)當(dāng)證證：由由定定義義，即即證證00, 0 xx.)()(0 xgfxgf00, 0, 0)(uuuuf

12、y當(dāng)當(dāng)連連續(xù)續(xù)，故故對對在在由由.)()()()(00 xgfufufuf時時，有有，當(dāng)當(dāng)連連續(xù)續(xù)，故故對對上上述述在在又又0, 0)(0 xxgu.)()(000從從而而得得證證時時，有有uuxgxgxx（復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性）. 4Th連連續(xù)續(xù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)）在在點(diǎn)點(diǎn)（，而而000)(uufyxgu.0連連續(xù)續(xù)）在在點(diǎn)點(diǎn)（xxgfy 連連續(xù)續(xù)，且且在在點(diǎn)點(diǎn)若若0)(xxgu YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)數(shù)數(shù)個個連連續(xù)續(xù)一一個個不不連連續(xù)續(xù)的的函函？兩兩個個不不連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)或或一一？其其復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)是是否否不不連連續(xù)續(xù)但但上上的的每每一一

13、點(diǎn)點(diǎn)都都不不連連續(xù)續(xù)，在在RQxQxxD_, 0, 1)(不不在在而而又又如如連連續(xù)續(xù)0sgn, 3)(.1)(xxuufxDD.3)(sgn連連續(xù)續(xù)連連續(xù)續(xù)，但但xf的的結(jié)結(jié)論論等等價價于于4Th).(lim()()(lim000 xgfxgfxgfxxxx.),(),1sin(222內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)都都在在據(jù)據(jù)此此，xayx., 0ln）內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在（冪冪函函數(shù)數(shù)xex如不一定 .YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)三三. . 初等函數(shù)的延續(xù)性初等函數(shù)的延續(xù)性函函數(shù)數(shù)，數(shù)數(shù)，反反三三角角函函數(shù)數(shù)，指指數(shù)數(shù)基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)：三三角角函函. 1.續(xù)續(xù)曲曲函函數(shù)數(shù)在在其

14、其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，冪冪函函數(shù)數(shù)及及雙雙. 2義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)一一切切初初等等函函數(shù)數(shù)都都在在其其定定內(nèi)內(nèi)是是否否連連續(xù)續(xù)，只只須須或或在在判判斷斷初初等等函函數(shù)數(shù)),()() 1 (0baxxf.),(0是是否否屬屬于于其其定定義義域域即即可可或或判判別別bax點(diǎn)點(diǎn)，則則計(jì)計(jì)算算極極限限是是初初等等函函數(shù)數(shù)定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的若若0)2(x).()(lim00 xfxfxxYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)4321lim. 34xxx例例axaxaxsinsinlim. 4例例xxax)1(0loglim. 5例例axaxaxlnlnlim.6例例

15、.1ln11lnlim1aeaaaxaaxaax.31)321)(4()4(2lim4xxxx.cos22sin2coslimaaxaxaxax.logloglim1)1(0eaxaxx)0(ln1limaaxaxaxYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù))1,0(1lim.70aaxaxx例例.)log, 1()1(yaxxay則代換法，令.lnlog1)(loglimloglim1)1(0)1(01ayeayayyayy時時，取取時時，當(dāng)當(dāng)特特別別nxxeeaxx1.11lim,0.ln)1(lim11lim1aannannnnYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)

16、連續(xù)函數(shù)可可有有證證明明：若若例例)()()(,.8yfxfyxfRyx上上連連續(xù)續(xù)，且且在在則則連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)且且加加性性Rxfxf)(,0)(),).()1 ()(線線性性函函數(shù)數(shù)xfxf.0)0(:f由由已已知知得得證證明明，有有對對Rx )()(lim)(lim00 xfxfxxfxx).()0()(xffxf連連續(xù)續(xù)）在在（0)(xxf上上連連續(xù)續(xù)。在在故故Rxf)(YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).)1 ()(xfxf以以下下證證明明),1 ()11 ()(,kffxfNkkx有有當(dāng)當(dāng)),1()11()()1 (kkfkkfkkff而而).1(1)1(fkk

17、f又又有有是是正正有有理理數(shù)數(shù)，有有當(dāng)當(dāng)nmnmx,).1 ()1()(fnmnmfnmf，而而) 1() 1 (2) 1()2()1(2() 1 (ffffffYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)).1()1(ff又又有有是是正正有有理理數(shù)數(shù)，有有當(dāng)當(dāng)nmnmx,).1 ()(fnmnmf)1 (1)1(),1()()1(fkkfkkfkkff.)1 ()(,rfrfr有有于于是是，對對任任意意有有理理數(shù)數(shù),000是是無無理理數(shù)數(shù)是是有有理理數(shù)數(shù)，已已證證；若若若若現(xiàn)現(xiàn)在在，對對xxRx ,nrR上上一一有有理理數(shù)數(shù)列列則則任任取取, .ts的的連連，由由)(lim0 xf

18、xrnn.)1 ()1 (lim)(lim)(00 xfrfrfxfnnnn續(xù)續(xù)性性得得.)1 ()(,0 xfxfRxx有有的的任任意意性性，對對根根據(jù)據(jù)YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)四四. . 不延續(xù)點(diǎn)的類型不延續(xù)點(diǎn)的類型 :)(0件件連連續(xù)續(xù)須須滿滿足足以以下下三三個個條條在在點(diǎn)點(diǎn)xxf,)()1 (0有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn) xxf,)0()0()2(00都都存存在在與與xfxf).()0()0() 3(000 xfxfxfYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù):例例,lim, 1lim00NxNxNxNx.是是第第一一類類不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)所所有有整

19、整數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)Nx ),0()0(,)0(),0(. 10000 xfxfxfxf但但都都存存在在.)(0的的第第一一類類不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)是是稱稱xfx不延續(xù)點(diǎn)(延續(xù)點(diǎn))分類,xy YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù))(,)0()0(. 2000 xfxxfxf是是稱稱至至少少有有一一個個不不存存在在與與.的的第第二二類類不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn):例例.0)00(,)00(),1(1ffaaxfx）（.)00()00(.0, 0, 0,1sin皆皆不不存存在在與與）（ffxxxxfYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù))0()(lim)0()0(. 30000 xfxf

20、xfxfxx存存在在，但但即即.（去去）不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)是是可可移移無無定定義義，稱稱）在在（）或或（0000)0(xxxfxfxf:例例而而）（, 01sinlim,.0, 10,1sin0 xxxxxxxfyx.0. 10是是可可去去不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)故故）（xf）在在（要要改改變變或或重重新新定定義義對對于于這這類類不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)，只只xf，則則新新的的函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值，使使其其等等于于點(diǎn)點(diǎn))(lim00 xfxxx.00的的連連續(xù)續(xù)開開拓拓）在在點(diǎn)點(diǎn)（連連續(xù)續(xù)，稱稱之之為為xxfxYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)，則則）（上上例例中中，重重新新定定

21、義義00 f連連續(xù)續(xù)，成成為為在在）（0,.0, 00,1sinxxxxxxFy，）（），定定義義（）（又又如如100, 1sinlim,sin0fxxxxxxfx.0, 10,sin是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)）（則則xxxxxF延續(xù)函數(shù).YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)可去型可去型第一類延續(xù)點(diǎn)第一類延續(xù)點(diǎn)oyx騰躍型騰躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類延續(xù)點(diǎn)第二類延續(xù)點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 xYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).tan. 9的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)討討論論例例xxy )., 2, 1, 02tannnnx（和和別別為為無無意意義義和

22、和等等于于零零的的點(diǎn)點(diǎn)分分解解：.0, 1tanlim0是是可可去去不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)故故）（xxxix), 2, 1(), 2, 1(tanlimnnxnxxiinx故故）（.是是第第二二類類不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn), 0(2), 2, 1, 0(0tanlim2nnxnxxiiinx故故）（.), 2, 1是是可可去去不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).10的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)討討論論例例xxy ., 2, 1, 0點(diǎn)點(diǎn)，即即的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)是是全全體體整整數(shù)數(shù)解解： x.0)0 ,0(0 00lim)(0是是連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)，故故考考察察xxxxix, 2, 1

23、lim),1(lim)(200NxNxxNNxxiiNxNx，故故都都是是第第一一類類不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)。YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).0, 00,) 1(1)(.112的的連連續(xù)續(xù)性性研研究究例例xxxxxxf.1 , 0)(,)(:連連續(xù)續(xù)在在由由初初等等函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性知知解解xxfi是是而而0, 0)0(,1lim)(lim)(00 xfxxxfiixx.第第二二類類不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn).1, 21lim)(lim)(11是是可可去去不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)xxxxfiiixxYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). 0, 10, 1)(xxxxxf

24、ex：是是第第故故又又連連續(xù)續(xù)在在0. 1)00(, 1)00(.0)(xffxxf.一一類類不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)xyo1-12YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)五五. . 閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì),)(,).(1有有界界在在上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)閉閉區(qū)區(qū)間間有有界界性性baxfbaprop.)(, 0MxfbaxM有有對對即即）（性性質(zhì)質(zhì)，而而上上的的有有界界性性是是一一個個整整體體）在在（注注xfbaxf,. 1.0性性卻卻是是局局部部性性質(zhì)質(zhì)連連續(xù)續(xù)即即存存在在極極限限的的有有界界在在點(diǎn)點(diǎn)x例例如如連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)不不一一定定有有界界開開區(qū)區(qū)間間或或

25、半半開開區(qū)區(qū)間間上上的的注注. 2. 1 , 01上上無無界界在在（）（xxfYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)閉閉區(qū)區(qū)間間具具有有最最大大（最最小?。┲抵敌孕?)(. 2baprop,)(bamMbaxf，即即在在和和最最小小值值上上必必有有最最大大值值在在，有有對對，和和內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在兩兩點(diǎn)點(diǎn), .21baxts.)()()(21Mfxffm（或或最最數(shù)數(shù)一一般般可可能能取取不不到到最最大大注注：開開區(qū)區(qū)間間上上的的連連續(xù)續(xù)函函.) 1 , 0.Mxxf上上取取不不到到在在）（如如小?。┲抵礩unnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)

26、函數(shù)上上連連續(xù)續(xù)，且且在在（零零點(diǎn)點(diǎn)存存在在定定理理）若若,)(. 3baxfprop內(nèi)內(nèi)，則則在在異異號號與與即即),()()(0)()(babfafbfaf. 0,）（使使至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)f. 0) 1 (2 , 21)(.0)(fxxxfxf，有有，如如的的根根內(nèi)內(nèi)一一定定沒沒有有，則則不不能能說說明明在在注注：若若),(0)()(babfafYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)和和在在兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)上上的的連連續(xù)續(xù)曲曲線線在在axfyba)(,軸軸有有則則此此曲曲線線至至少少在在軸軸之之兩兩側(cè)側(cè)的的圖圖形形分分別別在在xxb,.一一個個交交點(diǎn)點(diǎn)間間以以取取其其最最小

27、小和和最最大大值值之之可可上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)閉閉區(qū)區(qū)間間介介值值性性)(,)(. 4xfbaprop.的的一一切切值值oabxy幾何意義:YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)上上的的最最在在分分別別是是與與且且上上連連續(xù)續(xù)在在若若,)(,)(baxfMmbaxf上上至至少少存存在在一一在在小小值值和和最最大大值值，則則對對,:baMcmc.)(,cf使使得得點(diǎn)點(diǎn)軸軸的的必必與與平平行行于于上上的的連連續(xù)續(xù)曲曲線線xxfyba)(,.)(相相交交直直線線McmcyyxoMcm1a2b幾何意義:YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).,)(,:定定理理顯顯然

28、然則則若若證證明明constxfMm21, 2,和和內(nèi)內(nèi)存存在在在在則則由由若若bapropMm 且且不不妨妨設(shè)設(shè),)(,)(2121Mfmf);()(,2121fcfba此此時時.,)()(2121定定理理成成立立或或則則或或若若cfcf, .ts,)()(.)()(21cxfxFfcf作作輔輔助助函函數(shù)數(shù)情情形形故故只只需需證證, 0)()(,)(11cfFbaxF且且上上連連續(xù)續(xù)在在則則使使內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)在在由由),(, 3. 0)()(2122propcfF.)(, 0)()(cfcfF即即YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)證證明明奇奇次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式方方

29、程程例例.1201221120nnnaxaxa. 0,01210aaaan是常數(shù)，是常數(shù)，中中至少存在一個實(shí)根，其至少存在一個實(shí)根，其1221120)(:nnnaxaxaxP令令證證明明).(12121012nnnxaxaax有有不不妨妨設(shè)設(shè)上上連連續(xù)續(xù)在在則則, 0.)(0aRxP.)(lim)(limxPxPxx與與,. 0)(0)(, 0,由由零零點(diǎn)點(diǎn)存存在在定定理理與與使使于于是是aPaPa,),(0 xaa內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)在在 ,.ts., 0)(0即即xPYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).32sin.1的的正正根根至至少少有有一一個個不不超超過過證證明

30、明方方程程xxex與與在在證證明明方方程程),(0.213322112xaxaxaex且且其其中中內(nèi)內(nèi)各各有有一一個個實(shí)實(shí)根根),3 , 2 , 1(0,),(32iai.321令令證證明明.,:321x)()()(312321xxaxxaxf.0)(213xxa, 0)()(312111af有有, 0)()(321222af.0)()(231333afYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)則則且且上上連連續(xù)續(xù)在在若若證證明明例例),2()0(,2 , 0)(:.13affaxf., 0)()(內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個個根根在在方方程程aaxfxf, 0)().()()(:上上連

31、連續(xù)續(xù)在在則則令令證證明明axFaxfxfxF),()0()0(affF且且).0()()2()()(fafafafaF的的是是方方程程或或則則若若)()(0),()0(axfxfaxxaff.一一個個根根YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).)()()(的的零零點(diǎn)點(diǎn)問問題題xgxfxF.,實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)也也是是求求根根問問題題對對于于不不動動點(diǎn)點(diǎn)問問題題題總可化為連續(xù)函數(shù)題總可化為連續(xù)函數(shù)內(nèi)至少存在一個根的問內(nèi)至少存在一個根的問在在,ba)()(.,)()(:xgxfbaxgxf證證明明方方程程上上連連續(xù)續(xù)在在與與設(shè)設(shè)注注0), 0(xa 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn),.ts是是即即

32、00, 0)(xxxF.)()(的的一一個個根根axfxf據(jù)據(jù)零零點(diǎn)點(diǎn)存存在在定定理理，在在則則若若, 0)()0(),()0(aFFaffYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),)(,000 xxfbaxba使使則則至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)的的集集合合也也是是且且函函數(shù)數(shù)值值上上連連續(xù)續(xù)在在若若)(,)(.3xfbaxfex.)(0 xxf至至少少有有一一個個不不動動點(diǎn)點(diǎn)即即, 0)(;, 0)(0)(aFbFaF若若證證畢畢或或若若., 0)(由由零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理證證之之bF.)(,)()(:bxfaxxfxF且且令令證證明明YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連

33、續(xù)函數(shù)，點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)）在在區(qū)區(qū)間間（000XxXxf.)()(,00 xfxfxx有時當(dāng)一一般般也也不不同同，即即不不同同時時，當(dāng)當(dāng)一一般般，對對同同一一個個0 x.,00）（而改變，記為和隨xx，都適用的能否找到一個對所有點(diǎn)Xx 0.）具有一致連續(xù)性（這要求xf一致延續(xù)性:, ）（有關(guān)，記為僅與即.0 x和同時依賴于這里YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)：Def半半閉閉）上上有有（或或開開，或或閉閉，或或半半開開）在在區(qū)區(qū)間間（設(shè)設(shè)Xxf內(nèi)內(nèi)在在，則則稱稱有有時時Xxfxfxfxx)()()(,2121.）一一致致連連續(xù)續(xù)（或或均均勻勻連連續(xù)續(xù)當(dāng)當(dāng)對對若若對對定定義義

34、,0,0,21Xxx.,.1無無關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)的的點(diǎn)點(diǎn)有有關(guān)關(guān)而而與與僅僅與與定定義義中中注注xX的通用性YunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). 2的的概概念念一一致致連連續(xù)續(xù)是是一一個個整整體體性性連連續(xù)續(xù)是是一一個個局局部部概概念念，注注內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，但但內(nèi)內(nèi)一一致致連連續(xù)續(xù)必必在在在在顯顯然然，XXxf)(.反反之之不不一一定定然然非非一一致致連連續(xù)續(xù)的的比比較較注注 . 3點(diǎn)點(diǎn)，對對內(nèi)內(nèi)非非一一致致連連續(xù)續(xù)）在在區(qū)區(qū)間間（000Xxf時時，有有，當(dāng)當(dāng)，2121xxXxx.021）（）（xfxfYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)內(nèi)內(nèi)一一致致連連續(xù)續(xù)，而而在在在在）（證證明明例例)0)(1 ,(1cos.14ccxxf.)1 , 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)但但非非一一致致連連續(xù)續(xù)，由由，對對證證明明：1, 02121xxcxx21211cos1cosxxxfxf）（）（,2sin2sin2221212121212121Cxxxxxxxxxxxxxx.0.22221，于于是是，取取得得CCCxxYunnanUniversity3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).)1 ,0(1cos)()1 ,0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在，知知考考慮慮xxf內(nèi)內(nèi)取取，在