大學(xué)物理課件：11-2,3 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)

1、111-2 11-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表達(dá)式平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表達(dá)式：描述介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移：描述介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移 y 隨時(shí)間隨時(shí)間 t t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律 y( (x, t , t ) )?？紤]考慮平面余弦行平面余弦行波在理想無(wú)吸收的均勻無(wú)限大介質(zhì)中波在理想無(wú)吸收的均勻無(wú)限大介質(zhì)中情形情形。 平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波（余（余弦波或弦波或正正弦波）弦波） 平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波傳播（傳播（平面簡(jiǎn)諧平面簡(jiǎn)諧行波）時(shí)，介質(zhì)中各質(zhì)行波）時(shí)，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作同一頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任一時(shí)刻，各點(diǎn)的振動(dòng)相點(diǎn)都作同一頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任一時(shí)刻，各點(diǎn)的振動(dòng)相位一般不同，位移也不

2、相同。但是據(jù)波陣面的定義可知，位一般不同，位移也不相同。但是據(jù)波陣面的定義可知，任一時(shí)刻在同一波陣面上的各點(diǎn)有相同的相位，它們離任一時(shí)刻在同一波陣面上的各點(diǎn)有相同的相位，它們離開(kāi)各自的平衡位置有相同的位移。故只需研究與波面垂開(kāi)各自的平衡位置有相同的位移。故只需研究與波面垂直的任一條波線(xiàn)的傳播規(guī)律即可。直的任一條波線(xiàn)的傳播規(guī)律即可。21.1.平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式 平面簡(jiǎn)諧行波，在平面簡(jiǎn)諧行波，在無(wú)吸收的無(wú)吸收的均勻無(wú)限介質(zhì)中沿均勻無(wú)限介質(zhì)中沿x 軸的軸的正方向傳播，波速為正方向傳播，波速為u 。取任意一條波線(xiàn)為取任意一條波線(xiàn)為x 軸，假定軸，假定O 點(diǎn)處（點(diǎn)處（x 軸的原點(diǎn)）

3、質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：軸的原點(diǎn)）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：00( )cos()y tAtOxyuxP則波線(xiàn)上任意點(diǎn)則波線(xiàn)上任意點(diǎn)P的振動(dòng)表達(dá)式如何的振動(dòng)表達(dá)式如何？3振動(dòng)從振動(dòng)從O O點(diǎn)傳波到點(diǎn)傳波到P P點(diǎn)需點(diǎn)需時(shí)間：時(shí)間：tx u 00( )()cos()PxxytytAtuu 因?yàn)橐驗(yàn)镺 O 點(diǎn)振動(dòng)的相位超前于點(diǎn)振動(dòng)的相位超前于P P點(diǎn)，則點(diǎn)，則P P 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻刻t t 的位移就等于的位移就等于O O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在( (t- t- t t ) ) 時(shí)刻的位移：時(shí)刻的位移：xOyuxP00( )cos()y tAt 省去下標(biāo)省去下標(biāo)P P，上式即為波線(xiàn)上任一質(zhì)點(diǎn)（距原點(diǎn)為，

4、上式即為波線(xiàn)上任一質(zhì)點(diǎn)（距原點(diǎn)為x處）在任一瞬時(shí)處）在任一瞬時(shí)t的位移，即沿的位移，即沿x x 軸正方向前進(jìn)的平軸正方向前進(jìn)的平面簡(jiǎn)諧波的面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式波動(dòng)表式。 4沿沿 x 軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的表式也可寫(xiě)為軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的表式也可寫(xiě)為: : 22T ，uT 根據(jù)：根據(jù)：0( , )cos()xy x tAtu 0( , )cos 2txy x tAT 0( , )cos 2xy x tAt 0( , )cos()y x tAtkx 2k 為方便，引入角波數(shù)（或稱(chēng)波矢）為方便，引入角波數(shù)（或稱(chēng)波矢）5波動(dòng)表達(dá)式波動(dòng)表達(dá)式體現(xiàn)波動(dòng)在時(shí)間上和空間上體現(xiàn)波動(dòng)在時(shí)間上和空間上都具有

5、周期性都具有周期性00( , )cos 2cos()txy x tAAtkxT 代表代表x1 處質(zhì)點(diǎn)在其平衡處質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置附近作周期為位置附近作周期為T(mén)的的簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)xyAtT 1022cos即即x 一定一定：令令x=x1 1，則質(zhì)點(diǎn)位移則質(zhì)點(diǎn)位移y 僅是時(shí)間僅是時(shí)間t 的函數(shù)。的函數(shù)。振動(dòng)周期和振幅與波源振動(dòng)周期和振幅與波源相同相同, , 相位比原點(diǎn)落后相位比原點(diǎn)落后=2 x1/ =kx1tyOAT(波源不一定在原點(diǎn)）波源不一定在原點(diǎn)）6 可以看出，位移可以看出，位移 y 隨位置隨位置 x 而變化，在而變化，在 x 和和x +處振處振動(dòng)狀態(tài)相同，表明波動(dòng)過(guò)程在空間上具有周期性，波長(zhǎng)

6、動(dòng)狀態(tài)相同，表明波動(dòng)過(guò)程在空間上具有周期性，波長(zhǎng)就是波動(dòng)的空間周期。就是波動(dòng)的空間周期。t 一定一定：令：令t=t1，則質(zhì)點(diǎn)位移則質(zhì)點(diǎn)位移y 僅是僅是x 的函數(shù)，得的函數(shù)，得 t1 時(shí)時(shí)刻的波形刻的波形102cosxyAt 即即t1時(shí)刻波線(xiàn)上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻波線(xiàn)上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形圖移所構(gòu)成的波形圖xyAu7yxo t1 t1+t utu 若若 t 和和 x 都變化時(shí)，波動(dòng)表達(dá)式將表示波線(xiàn)上各個(gè)都變化時(shí)，波動(dòng)表達(dá)式將表示波線(xiàn)上各個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移，反映了波形的傳播。不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移，反映了波形的傳播。沿波線(xiàn)方向，任意兩點(diǎn)沿波線(xiàn)方向，任意兩

7、點(diǎn)x1、x2的簡(jiǎn)諧振動(dòng)相位差為：的簡(jiǎn)諧振動(dòng)相位差為：xxx 21212( 2)2波形向前傳播的距離為：波形向前傳播的距離為：x=ut。若已知若已知t1時(shí)刻的波形，時(shí)刻的波形， t1+t時(shí)刻的波形可通過(guò)沿傳播方向平移時(shí)刻的波形可通過(guò)沿傳播方向平移 x得到。得到。8 若平面簡(jiǎn)諧波若平面簡(jiǎn)諧波沿沿x 軸負(fù)方向傳播軸負(fù)方向傳播，仍設(shè)，仍設(shè)O點(diǎn)的點(diǎn)的振動(dòng)表振動(dòng)表達(dá)式為達(dá)式為：y x ouxP 00cosyAt 因?yàn)橐驗(yàn)镻 P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)要比點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)要比O O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)早一段時(shí)間，即點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)早一段時(shí)間，即P P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的位移等于的位移等于O O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻（t+

8、x/u）的的位移，位移，P P點(diǎn)相位超前點(diǎn)相位超前, , 所以所以波動(dòng)表達(dá)式為：波動(dòng)表達(dá)式為：)(cos),(uxtAtxy911-3 11-3 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 波速波速0cosuxtAy 對(duì)對(duì) 求求x 、t 的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù), ,得到得到,cos0222uxtAty222221tyuxy平面波的波平面波的波動(dòng)方程動(dòng)方程,cos02222uxtuAxy 任何平面波可分解為一系列不同頻率簡(jiǎn)諧波，故任何平面波可分解為一系列不同頻率簡(jiǎn)諧波，故都滿(mǎn)足這一方程。方程中的都滿(mǎn)足這一方程。方程中的 u 就是這一就是這一平面平面波的傳播波的傳播速度。速度。一、波動(dòng)方程一、波動(dòng)方程10 在三維空間中的

9、一切波動(dòng)過(guò)程，只要介質(zhì)無(wú)吸收在三維空間中的一切波動(dòng)過(guò)程，只要介質(zhì)無(wú)吸收且各向同性，都適合下式：且各向同性，都適合下式：2222222221tuzyx 代表振動(dòng)位移代表振動(dòng)位移將上式化成球坐標(biāo)的形式，可得球面波的波動(dòng)方程：將上式化成球坐標(biāo)的形式，可得球面波的波動(dòng)方程：22222)(1)(trurr球面余弦波的波動(dòng)表式為：球面余弦波的波動(dòng)表式為：0cosurtra 振幅振幅與距離成反比與距離成反比 ra11二、波動(dòng)方程的推導(dǎo)二、波動(dòng)方程的推導(dǎo) 設(shè)固體細(xì)長(zhǎng)棒的截面為設(shè)固體細(xì)長(zhǎng)棒的截面為S、密度為、密度為 ，有平面縱，有平面縱波沿棒長(zhǎng)方向傳播波沿棒長(zhǎng)方向傳播體積元體積元ab，其原長(zhǎng)為其原長(zhǎng)為 x，體積

10、為體積為 V=S x。某時(shí)刻體某時(shí)刻體積元被拉伸，設(shè)積元被拉伸，設(shè) a 處位移為處位移為y, 脅強(qiáng)為脅強(qiáng)為( (受力向左受力向左) )，xxOxabxxxOx a byyyb b 處位移為處位移為y+ y, , 脅強(qiáng)為脅強(qiáng)為( (受力向右受力向右) )12體積元所受合力：體積元所受合力：xSxSxxS 體積元質(zhì)量為體積元質(zhì)量為 S x ，其振速為，其振速為v，據(jù)牛頓第二定，據(jù)牛頓第二定律，得：律，得：tvxSxSxtvxxy協(xié)變協(xié)變Y楊氏模量楊氏模量因因xyY,yvt 22221tyYxy細(xì)棒中平面縱波的波動(dòng)方程細(xì)棒中平面縱波的波動(dòng)方程tvx變?yōu)椋鹤優(yōu)椋?3則細(xì)長(zhǎng)棒中傳播的縱波的波速為：則細(xì)長(zhǎng)

11、棒中傳播的縱波的波速為：0cosuxtAy/Yu uxtuxtFy其一般解為其一般解為 ：222221tyuxy22221tyYxy該波動(dòng)方程的解為：該波動(dòng)方程的解為：其中其中F F和和為兩個(gè)任意周期函數(shù)。這一解為兩個(gè)任意周期函數(shù)。這一解既包含沿既包含沿x x軸軸正向傳播的波，也包含沿正向傳播的波，也包含沿x x軸負(fù)向傳播的波。軸負(fù)向傳播的波。14固體介質(zhì)中的橫波和縱波的傳播速度表達(dá)式：固體介質(zhì)中的橫波和縱波的傳播速度表達(dá)式：Gu 橫波：橫波：Yu 縱波：縱波：柔軟細(xì)索和弦線(xiàn)中的橫波：柔軟細(xì)索和弦線(xiàn)中的橫波：Fu F細(xì)索或弦線(xiàn)中張力細(xì)索或弦線(xiàn)中張力細(xì)索或弦線(xiàn)單位長(zhǎng)度的質(zhì)量細(xì)索或弦線(xiàn)單位長(zhǎng)度的質(zhì)

12、量G 切變模量切變模量演示橫波與縱波演示橫波與縱波.PPT三、波速三、波速Bu Y 楊氏模量楊氏模量B 體變模量體變模量細(xì)長(zhǎng)棒中的縱波：細(xì)長(zhǎng)棒中的縱波：15Bu 對(duì)于理想氣體，有對(duì)于理想氣體，有 MRTpu 液體和氣體中只有體變彈性，只能傳播與體變有關(guān)液體和氣體中只有體變彈性，只能傳播與體變有關(guān)的彈性縱波的彈性縱波. .液體和氣體中波速為：液體和氣體中波速為：M, , R, T 分別為理想氣體的摩爾質(zhì)量，比熱容比，分別為理想氣體的摩爾質(zhì)量，比熱容比，普適氣體常數(shù)，熱力學(xué)溫度。普適氣體常數(shù)，熱力學(xué)溫度。B 體變模量體變模量16ghu 淺水波淺水波( )( )h深水波深水波( )( )h2gu 若

13、不考慮表面張力，當(dāng)水深為若不考慮表面張力，當(dāng)水深為h 時(shí)時(shí) 液體的表面可出現(xiàn)有重力和表面張力所引起的液體的表面可出現(xiàn)有重力和表面張力所引起的縱波和橫波疊加的表面波，其速度計(jì)算式為：縱波和橫波疊加的表面波，其速度計(jì)算式為：hTgu2th22h液體深度液體深度波長(zhǎng)波長(zhǎng)T表面張力系數(shù)表面張力系數(shù)液體密度液體密度g重力加速度重力加速度th雙曲正切函數(shù)雙曲正切函數(shù)17例題例題1 已知已知 t = 0 時(shí)的波形曲線(xiàn)為時(shí)的波形曲線(xiàn)為，波沿，波沿 x 正向傳播，正向傳播，在在 t = 0.5 s 時(shí)波形變?yōu)榍€(xiàn)時(shí)波形變?yōu)榍€(xiàn)。已知波的周期。已知波的周期T 1 s ，試根據(jù)圖示條件求波動(dòng)表達(dá)式函數(shù)和試根據(jù)圖示條

14、件求波動(dòng)表達(dá)式函數(shù)和 P 點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式。點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式。（已知（已知 A = 0.01 m）解：解：波形向前傳播的距離：波形向前傳播的距離：. m s.xut 10 010 020 5y(cm)x(cm)123456POu., 0.01+ , 0.01+2 .x 0 01 x取取0.01，則波速為：，則波速為：m18設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式)cos() (0tAtycos0A根據(jù)初始條件，根據(jù)初始條件，0sinAv22y(cm)x(cm)123456POu. s,.Tu 0 0420 021s2T考慮到波的周期考慮到波的周期T 1 s，若若 x0.01+ ，則，則T0.4s，

15、不不成立。成立。m19)2cos(01. 0) (0tty2)02. 0(cos01. 0),(xttxy波函數(shù)波函數(shù)P點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式:2)02. 001. 0(cos01. 0) (ttyPttyPcos01. 0) (已知已知 A = 0.01 m故故mmmm20ty4cos38m5m9mCDABux例例2 一平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中以速度一平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中以速度 u=20m/s 沿沿 ox 軸軸負(fù)向直線(xiàn)傳播，已知傳播路徑上某點(diǎn)負(fù)向直線(xiàn)傳播，已知傳播路徑上某點(diǎn)A的振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式表達(dá)式為為 , 求（求（1）以）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)表達(dá)式；（波動(dòng)表達(dá)式；（2）以

16、距）以距 A點(diǎn)點(diǎn)5m處的處的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)表達(dá)式；（寫(xiě)出波動(dòng)表達(dá)式；（3）以）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出傳播點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出傳播方向上點(diǎn)方向上點(diǎn)B、點(diǎn)、點(diǎn)C、點(diǎn)、點(diǎn)D的的振動(dòng)振動(dòng)表達(dá)式。表達(dá)式。21解：解：因?yàn)椴ㄑ匾驗(yàn)椴ㄑ豿軸軸負(fù)向傳播，其負(fù)向傳播，其 波動(dòng)一般表式為波動(dòng)一般表式為cos ()oxyAtu （1）點(diǎn)點(diǎn)A的振動(dòng)表達(dá)式為：的振動(dòng)表達(dá)式為：ty4cos3以以A點(diǎn)為原點(diǎn)的波動(dòng)表達(dá)式為點(diǎn)為原點(diǎn)的波動(dòng)表達(dá)式為)20(4cos3xty（2）51022AB22201042uuuT mB點(diǎn)的相位落后點(diǎn)的相位落后于于A(yíng)點(diǎn)的點(diǎn)的 相位相位8m5m9mCDABux原點(diǎn)原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)

17、式為：振動(dòng)表達(dá)式為：tAcos(y4mmmm22)4cos(3ty點(diǎn)點(diǎn)B的振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式表達(dá)式為為:則則 B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動(dòng)表達(dá)式為點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動(dòng)表達(dá)式為)20(4cos3xty8m5m9mCDABux（3）以）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，B ，C, D點(diǎn)的點(diǎn)的振動(dòng)振動(dòng)表達(dá)式為表達(dá)式為)4cos(3)205(4cos3ttyB)5134cos(3)2013(4cos3ttyC993cos4 ()3cos(4)205Dytt mmmmm23例題例題11-3 頻率為頻率為 =12.5kHz的平面余弦縱波沿細(xì)長(zhǎng)的的平面余弦縱波沿細(xì)長(zhǎng)的金屬棒傳播，棒的楊氏模量為金屬棒傳播，棒的楊氏模量為Y

18、 =1.9 1011N/m2，棒的，棒的密度密度 =7.6 103kg/m3。如以棒上某點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，。如以棒上某點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為已知原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為A =0.1mm，試求，試求:(1)原原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式，點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式，(2)波動(dòng)表式，波動(dòng)表式，(3)離原點(diǎn)離原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式，處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式，(4)離原點(diǎn)離原點(diǎn)20cm和和30cm兩點(diǎn)處質(zhì)兩點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位差，點(diǎn)振動(dòng)的相位差，(5)在原點(diǎn)振動(dòng)在原點(diǎn)振動(dòng)0.0021s時(shí)的波形。時(shí)的波形。解：棒中的波速解：棒中的波速 m/s100 . 5mkg106 . 7mN109 . 1333211Y

19、u波長(zhǎng)：波長(zhǎng)： m40. 0s105 .12sm100 . 51313vu24周期：周期：s10815vT(1)(1)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式y(tǒng)0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103t m (2)(2)波動(dòng)表式波動(dòng)表式式中式中x 以以m計(jì)計(jì)，t 以以s 計(jì)計(jì)。 uxtAycosm1051025cos101 . 0333xt(3)(3)離原點(diǎn)離原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式 m10511025cos01 . 0433ty式中式中t 以以s 計(jì)計(jì) 25m21025cos101 . 033ty可見(jiàn)此點(diǎn)的振動(dòng)相位比原

20、點(diǎn)落后，相位差為可見(jiàn)此點(diǎn)的振動(dòng)相位比原點(diǎn)落后，相位差為 ，或，或落后落后 ，即，即210-5s。 24T4m10. 0cm10 x(4)(4)該兩點(diǎn)間的距離該兩點(diǎn)間的距離 ，相應(yīng)，相應(yīng)的相位差為的相位差為 .x 220 10 42(5)(5)t =0.0021s時(shí)的波形為時(shí)的波形為 m1050021. 01025cos101 . 0333xym5sin101 . 03x式中式中x 以以m 計(jì)。計(jì)。 26例題例題11-4 一橫波沿一弦線(xiàn)傳播。設(shè)已知一橫波沿一弦線(xiàn)傳播。設(shè)已知t =0時(shí)的波時(shí)的波形曲線(xiàn)如下圖中的虛線(xiàn)所示。弦上張力為形曲線(xiàn)如下圖中的虛線(xiàn)所示。弦上張力為3.6N，線(xiàn)，線(xiàn)密度為密度為25g/m，求，求(1)振幅，振幅，(2)波長(zhǎng)，波長(zhǎng)，(3)波速，波速，(4)波波的周期，的周期，(5)弦上任一質(zhì)點(diǎn)的最大