競賽專題講座集合

1、第一講：集合集合的劃分反映了集合與子集之間的關(guān)系，這既是一類數(shù)學(xué)問題，也是數(shù)學(xué)中的解題策略一一分類思想 的基礎(chǔ)，在近幾年來的數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，日益受到重視，本講主要介紹有關(guān)的概念、結(jié)論以及處理集 合、子集與劃分問題的方法。1 .集合的概念集合是一個不定義的概念，集合中的元素有三個特征：(1) 確定性 設(shè)A是一個給定的集合，a是某一具體對象，則a或者是A的元素，或者不是A的元素，兩 者必居其一，即a A與a A僅有一種情況成立。(2) 互異性 一個給定的集合中的元素是指互不相同的對象，即同一個集合中不應(yīng)出現(xiàn)同一個元素 .N,Z,Q, R應(yīng)熟(3) 無序性主要有列舉法、描述法、區(qū)間法、語言敘述法

2、。常用數(shù)集如: 記。2 .實數(shù)的子集與數(shù)軸上的點集之間的互相轉(zhuǎn)換，有序?qū)崝?shù)對的集合與平面上的點集可以互相轉(zhuǎn)換。對于方程、不等式的解集，要注意它們的幾何意義。3 .子集、真子集及相等集(1) A B A B 或 A = B ;(2) A B4 一個n階集合(即由個元素組成的集合)有(3) A = B2n個不同的子集，其中有2n - 1個非空子集，也有 2n - 1個真子集。5.集合的交、并、補運算A B=x|x A且 x BA B = x | x A或 x BA x | x I 且 x A要掌握有關(guān)集合的幾個運算律:(1)交換律AB = B A,AB = BA;(2)結(jié)合律A(BC )=(AB

3、)C ,A(BC )=(AB)C ；(3)分配律A(BC )=(AB)(AC )A(BC )=(AB)(AC )(4)0 1律A=A, AI =AAI =I , A=(5)等冪律AA =A, AA =A(6)吸收律A(AB)= A,A(AB)=A(7)求補律AA =I , AA =(8)反演律A B A B,A BAB6有限集合所含元素個數(shù)的幾個簡單性質(zhì)設(shè) n( X ) 表示集合 X 所含元素的個數(shù)(1) n(A B) n(A) n(B) n(A B)當(dāng) n(A B) 時， n(A B) n( A) n(B)(2) n( A B C) n(A) n(B) n(C) n( A B) n( A C

4、) n(B C) n( A B C)7映射、一一映射、逆映射(1) 映射 設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合 A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從集合 A到集合B的映射，記作f :A t B。上述映射定義中的 A、B，可以是點集，數(shù)集，也可以是其他集合。和A中元素a對應(yīng)的B中的元素b叫做a (在f下)的象，a叫做b的原象。A中的任何一個元素都有象，并且象是唯一的。(2) 一一映射 設(shè)A、B是兩個集合，f : At b是從集合A到集合B的映射，如果在這個映射的作用下，對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中的每一個元素都有原象，那么

5、這個映射叫做 A到B上的映射。(3) 逆映射 設(shè)f : At b是集合A到集合B上的一一映射，如果對于 B中的每一個元素b，使b在A中的原象a和它對應(yīng)，這樣所得映射叫做映射f : A t B的逆映射，記作f 1: B t A。注意：只有一一映射，才有逆映射。 要能夠根據(jù)這三個概念的定義，準(zhǔn)確地判斷一個給定的對應(yīng)是不是映射，是不是一一映射，并能求 出一一映射的逆映射。解題指導(dǎo)元素與集合的關(guān)系221設(shè) A = a|a = x y ,x,y Z ，求證：(1) 2k 1 A(k Z )；( 2) 4k 2 A (k Z)分析：如果集合A = a|a具有性質(zhì)p，那么判斷對象a是否是集合 A的元素的基本

6、方法就是檢驗a是否具有性質(zhì) p 。解：(1)v k,k 1 Z 且 2k 1 = k2 (k 1)2，故 2k 1 A ；(2)假設(shè) 4k 2 A (k Z)，則存在 x, y Z，使 4k 2 = x2 y2即(x y)(x y) 2(2k1)(*)由于x y與x y具有相同的奇偶性，所以(*)式左邊有且僅有兩種可能：奇數(shù)或4的倍數(shù)，另一方面，(*)式右邊只能被4除余2的數(shù)，故(*)式不能成立。由此， 4k 2 A (k Z)。332設(shè)集合 A =(- 3, 2)。已知 x, y N , x > y,x 19y y19x ,判斷a = log 1 (x y)與集合A的關(guān)系。2分析：解決

7、本題的關(guān)鍵在于由已知條件確定x y的取值范圍，從而利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定a =log 1 (x y)的范圍。2解：因為 x3y3 19(x y)且 x, y N , x > y，所以2 2 2 2x x v x xy y 19 3x由此及x N得x=3,從而y=2.所以一3v a = log 1 (3 2) log1 52,即 a A。2 23以某些整數(shù)為元素的集合P具有下列性質(zhì)： P中的元素有正數(shù)，有負(fù)數(shù)；P中的元素有奇數(shù)，有偶數(shù)；一1 P ;若x , y p ,則x + y P試判斷實數(shù)0和2與集合P的 關(guān)系。解：由若x , y P,則x + y P可知，若x P，則kx P (k

8、 N)(1 )由可設(shè) x , y P，且 x > 0, y v 0,則一yx = | y |x (| y | N )故 x y , - y x P，由,0= ( y x)+ x y P。(2) 2 P。若2 P，貝U P中的負(fù)數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當(dāng)一( 2k 1 ) P ( k N )時，一1 = (2k 1)+ 2k P，與矛盾。于是，由知 P中必有正奇數(shù)。設(shè) 2m,2n 1 P (m, n N)，我 們?nèi)∵m當(dāng)正整數(shù)q，使q | 2m | 2n 1，則負(fù)奇數(shù) 2qm (2n1) P。前后矛盾。4.設(shè)S為滿足下列條件的有理數(shù)的集合：若a S, b S，貝U a + b S,ab S ；

9、對任一個有理數(shù)r，三個關(guān)系r S , r S, r = 0有且僅有一個成立。證明： S是由全 體正有理數(shù)組成的集合。證明：設(shè)任意的r Q , r工0,由知r S，或一r S之一成立。再由，若 r S，貝U r2 S ；若r S，則 r2( r) ( r) S。總之，r2 S。取r=1，貝y 1 S。再由，2=1 + 1 S , 3=1+2 s,，可知全體正整數(shù)都屬于S。1p1設(shè)p,q S，由pq S，又由前證知 S，所以 pq 2 S。因此，S含有全體正有理qq q數(shù)。再由知，0及全體負(fù)有理數(shù)不屬于 S。即S是由全體正有理數(shù)組成的集合。兩個集合之間的關(guān)系在兩個集合之間的關(guān)系中，我們感興趣的是“

10、子集”、“真子集”、“相等”這三種特殊關(guān)系。這些關(guān)系是通過元素與集合的關(guān)系來揭示的，因而判斷兩個集合之間的關(guān)系通?？蓮呐袛嘣嘏c這兩個集合的關(guān)系 入手。25.設(shè)函數(shù) f(x) x ax b (a,b R)，集合 A x|x f(x),x R, B x|x ff (x), x R。(1) 證明：A B ;(2) 當(dāng) A 1,3時，求 B o(3) 當(dāng)A只有一個元素時，求證： A B .解：(1)設(shè)任意 x0 A，則 x0 = f (x0).而 f f (x0)f (x0) x0故X0 B，所以A B .(2)因 A 1,3，所以(1)32 aa ( 1)3 b 3b1解得a1,b3故 f (x)

11、2x x3 o由xff(x)得(x2 x2 / 23) (xx3)x 30解得 x1,3,.3B = 1,3, 3，-. 3 o6. S1, S2, S3為非空集合，對于1, 2, 3的任意一個排列i, j, k，若x Sj, y Sj，則x y Sk(1 )證明：三個集合中至少有兩個相等。(2 )三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？證明：(1)若x Si, y Sj，則y x Sk,(y x) y x S所以每個集合中均有非負(fù)元素。當(dāng)三個集合中的元素都為零時，命題顯然成立。否則，設(shè)S1,S2,S3中的最小正元素為 a ,不妨設(shè)a S1，設(shè)b為S2,S3中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè)b S2,則

12、b a S3 o若b > 0,則ow b a v b，與b的取法矛盾。所以b =0。任取 xS1,因 0 S2,故 x 0 = x S3。所以S-iS3，同理S3S)。所以Si = S3。解：(A B) C = (AC)(B C)。A C 與 BC分別為方程組(I) a2x y2 1x y 1x(n) 2xay 1y2 1的解集。由(I)解得(x,y)=(o, i)2);由(n)解得a(x,y) = (1, 0), (11 aa )1a2(1 )使(AB) C恰有兩個元素的情況只有兩種可能:2a- 21 a21 a1 a22a" 2 11 a21 a1 a2由解得a=0 ；由解

13、得a=i。故a=0或1時，(A B) C恰有兩個元素。(2)使(A B) C恰有三個元素的情況是:2a1 a22 a2 a解得a12 , 故當(dāng)a 142時，(AB) C恰有三個元素。(3)可能。例如S1 =S2 =奇數(shù) , S3 =偶數(shù)顯然滿足條件，S1和S2與S3都無公共兀素。7 已知集合:A ( x, y) | ax y2 21, B (x,y)|x ay 1, C ( x, y) | x y 1問(1 )當(dāng)a取何值時，(A B) C為含有兩個兀素的集合？(2 )當(dāng)a取何值時，(A B) C為含有三個元素的集合？8.設(shè)n N且n > 15, A,B都是1 , 2, 3,，n真子集，A B ，且A B =1 , 2, 3，n。證明：A或者B中必有兩個不同數(shù)的和為完全平方數(shù)。證明：由題設(shè)，1 , 2, 3,，n的任何元素必屬于且只屬于它的真子集A,B之一。假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的 1