現(xiàn)代非線性電路研究方法PPT課件

1、1現(xiàn)代非線性電路研究方法引例 一、引例電路方程的建立 電子線路是由電子線路元件連接起來的電子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，電路節(jié)點電壓與電路支路電流的變化規(guī)律是電子線路的研究目標(biāo)。以下面的引例電路3-1(a)為例，其中vC1、vC2、iL是隨時間變化的物理量，是電路的狀態(tài)變量； R、C1、C2、L是電路元件的值，可以控制，是電路參數(shù)變量，GNL是非線性子電路。實例電路分析的任務(wù)是，找出各個狀態(tài)變量的變化規(guī)律以及它們之間的相互關(guān)系。 第1頁/共51頁LC1C2R+_ 子電路GNLiNLiL (a) 電路圖 (b) 子電路GNL伏安特性曲線 圖3-1 引例電路的設(shè)計思想第2頁/共51頁 研究非線性電路的主要方法有：（

2、1）數(shù)學(xué)分析方法；（2）圖解法；（3）利用電路仿真軟件仿真；（4）物理電路實驗。本節(jié)擬對引例先進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)分析，之后仿真。將引例物理變量寫成數(shù)學(xué)微分方程的形式，稱為電路狀態(tài)方程。圖3-1引例電路的狀態(tài)方程是2212212111)(1)(1VcLdtdiiRVcVcCdtdVcRVcVcGCdtdVcLLNL3-1 方程中，GNL表示圖3-1(a)中的子電路，它的伏安特性函數(shù)關(guān)系曲線由圖3-1（b）表示，斜率的量綱是電導(dǎo)，是電壓控制型的電流源，在線性電路中是一次方形式且為正數(shù)，稱為線性電導(dǎo)，對應(yīng)一個電阻元件，現(xiàn)在的非線性是將一次項取負(fù)數(shù)且加一正的三次項，即 312111CCNLVKRKVRG3

3、-2 第3頁/共51頁這就是非線性電導(dǎo)，既然是電導(dǎo)，所以用GNL表示，還有一種電導(dǎo)量綱的公式用hNL表示。易見：當(dāng)VC1較小時，GNL為負(fù)值從而呈現(xiàn)負(fù)電阻的特性，當(dāng)VC1較大時才呈現(xiàn)正電阻的特性，它的具體電路在下節(jié)詳細(xì)討論。式3-1成為 22122123121111)(1)11(1VcLdtdiiRVcVcCdtdVcRVcVcVKRKVRCdtdVcLLCC3-3 是非線性微分方程，因為方程中出現(xiàn)了變量VC1的非線性的三次項 31CV，對應(yīng)的電路圖3-1即為非線性電路。 為了本節(jié)后面的敘述方便，做變量代換， /L,R C , /CC , t/RCR/E ,i/E , z V/E , y Vx

4、 LCC2212221 將3-3改寫成yzzyxyxkkxxyx)(32第4頁/共51頁進(jìn)而yzzyxyxkxkyx)(321 3-4 當(dāng)K1=0.25、K2=0.1、=5.5、=7.4時，引例電路是混沌電路。引例電路中，有了非線性元件，電路狀態(tài)方程稱為非線性方程?，F(xiàn)代非線性電路的理論與實驗發(fā)現(xiàn)，即使少數(shù)的甚至于電路的一個元件是非線性元件，就足以產(chǎn)生豐富多彩的電路運動形態(tài)，形成五彩繽紛的電路動態(tài)圖象，因此，我們很容易找到非線性電路的切入點，而且它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也不難，本節(jié)引例就是這樣的電路。第5頁/共51頁二、引例電路方框圖及其仿真 對于式3-4所描述的電路，當(dāng)其中的4個控制參數(shù)選取上述數(shù)值后，電

5、路動態(tài)特性是不是混沌的，要進(jìn)行系統(tǒng)仿真予以鑒定，MATLAB是首選軟件。根據(jù)式3-4容易設(shè)計出如下的系統(tǒng)仿真電路，如圖3-2所示。右上角的“scope”是示波器，用于觀察時域波形； 右下角的“XY Graph”是點陣儀，用于觀察李薩如圖形，李薩如圖形即“相圖”。圖3-2 根據(jù)式3-4設(shè)計的引例電路仿真圖第6頁/共51頁 仿真結(jié)果很有意思，波形圖是一種奇怪的振蕩，沒有周期性。相圖呈雙螺圈狀，是永無休止的運動。(a) 上圖，x波形圖， 下圖，y波形圖 (b) x,y相圖圖3-3 引例電路仿真結(jié)果第7頁/共51頁 仿真圖3-2盡管不是具體電路圖，但是它的使用仍然很有必要，第一，它能很容易、很快地得到

6、原始電路方框圖的運行結(jié)果，并且能夠及時地調(diào)整原始設(shè)計思想，而不必通過工作量較大的具體電路設(shè)計， 第二，如果原始設(shè)計思想正確，它的仿真工作量也不是浪費，因為這種仿真圖很容易直接轉(zhuǎn)換成具體電路圖，由下面的論述所證。第8頁/共51頁三、引例電路物理設(shè)計及其仿真 圖3-2是電路方框圖而不是具體物理電路圖，物理電路設(shè)計基本思路是直接利用運算放大器實現(xiàn)電路方程的倍乘及加減法運算功能，利用模擬乘法器實現(xiàn)電路方程的乘法運算功能，利用積分器實現(xiàn)微分功能（不能使用微分器，因為它的抗干擾性能差，噪音大）。根據(jù)系統(tǒng)仿真圖設(shè)計的具體電路圖為圖3-4，電路運行結(jié)果見圖3-5。圖中的模擬乘法器仍然沒有畫出具體電路，這個工作

7、難度不大，是由集成電路實現(xiàn)的，只是元件價格略微偏高。第9頁/共51頁圖3-4 根據(jù)系統(tǒng)仿真圖設(shè)計的具體物理電路圖圖3-5 電路運行結(jié)果第10頁/共51頁四、引例電路的初步分析 非線性電路方程列寫容易分析難，一般沒有解析解，本引例即為無解析解的電路方程。為了分析無解析解的規(guī)律，一個有用的方法是使用差分方程分析方法：選擇一組初始X0、Y0、Z0,再選擇一個時間步長h，式3-4被一差分方程所代替，為 zhzzyhyyxhxxnnnnnn1113-5 一步一步地計算下去，找出一組關(guān)于x、y、z的數(shù)據(jù)，從而找出電路動態(tài)變化的規(guī)律。 這兒，初值的選擇是一個問題，它的選擇值可能影響所得結(jié)果漸近行為的正確性。

8、在一定的條件下，如本書中所使用電路例子的漸進(jìn)行為都是正確的，本引例就是這種情況。對于任意選擇的初值問題的差分方程，將開始的許多點舍棄后，后面的點就是差分方程所求的結(jié)果。 第11頁/共51頁 將以上結(jié)果畫出以時間為橫坐標(biāo)的x、y、z的曲線是電路波形圖，以x、y、z中任一變量為橫坐標(biāo)的曲線都是相圖，相圖很重要，圖3-3(b)圖與圖3-5所示的圖形都是相圖。 上面計算是根據(jù)電路元件R、C1、C2、L等的某一具體參數(shù)值進(jìn)行的，這些參數(shù)值的選擇對電路相圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有很大影響，例如某一個或者幾個電路元件參數(shù)改變時，引例的相圖在不動點、穩(wěn)定焦點、極限環(huán)甚至奇怪吸引子之間轉(zhuǎn)換，這是現(xiàn)代非線性科學(xué)技術(shù)中的重要發(fā)

9、現(xiàn)。使用上面的MATLAB系統(tǒng)仿真方法與EWB具體電路仿真方法都能進(jìn)行研究，還能使用通用高級語言進(jìn)行研究，如VB。使用高級語言軟件編程具有使用電路專用電路軟件編程所不能實現(xiàn)的許多功能，這是研究現(xiàn)代非線性電路的需要，應(yīng)當(dāng)引起注意。使用VB編寫引例電路動態(tài)特性的演變過程的結(jié)果見圖3-6。電路參數(shù)為：K1=0.25、K2=0.1、=7.4時，取不同的值電路動態(tài)特性的演變，值標(biāo)記在圖中。圖中還畫出電路在變化過程中非線性負(fù)電阻的對應(yīng)工作范圍。第12頁/共51頁（a） =4.00 (b) =5.00 (c) =5.10 (d) =5.159（e）=5.20 (f) =5.55 (g) =6.39 (h)

10、=7.00圖3-6 引例電路動態(tài)特性的演變過程第13頁/共51頁 引例就講到這里?，F(xiàn)在看一看非線性電路的特點。主要特點有：（1）疊加原理不適用；（2）拉普拉斯變換與Z變換不適用；（3）線性電路對于初始條件不敏感而非線性電路對于初始條件很敏感；（4）可能產(chǎn)生極限環(huán)，甚至產(chǎn)生混沌；（5）線性電路對于外界信號的頻率諧振響應(yīng)均勻變化，而非線性電路對于外界信號的頻率諧振響應(yīng)呈現(xiàn)復(fù)雜的階躍形狀。第14頁/共51頁五、現(xiàn)代非線性線路與其它學(xué)科的關(guān)系 與非線性電路科學(xué)技術(shù)密切相關(guān)的其它科學(xué)技術(shù)之間的關(guān)系如圖3-7所示。圖中間為非線性電路科學(xué)與技術(shù)體系，周圍指向它的箭頭表示非線性電路科學(xué)與技術(shù)工作者可以得到的知

11、識信息輸入，它指向周圍的箭頭表示非線性電路科學(xué)與技術(shù)研究的目標(biāo)。由圖可知，非線性電路科學(xué)與技術(shù)出于自身發(fā)展的需要，要設(shè)計新的非線性電路； 要對新的非線性電路與原先已經(jīng)出現(xiàn)的電路但尚有未被認(rèn)識的非線性現(xiàn)象分析，找出新規(guī)律，如傳統(tǒng)電子學(xué)領(lǐng)域的通信、儀器儀表、電子測量、家用電器、軍事科學(xué)等； 要將其它自然科學(xué)學(xué)科如數(shù)學(xué)、物理學(xué)、氣象學(xué)等學(xué)科的以及人文科學(xué)學(xué)科如哲學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科還有生產(chǎn)實際中的非線性問題引入到非線性電路中予以研究并加以利用； 將非線性電路的研究成果應(yīng)用到其它科學(xué)學(xué)科中。第15頁/共51頁原有未被充分認(rèn)識的復(fù)雜電路自然科學(xué)非線性問題如數(shù)學(xué)、物理學(xué)、氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)等現(xiàn)代非線性電路

12、科學(xué)與技術(shù)體系生產(chǎn)實際中提出的問題尚未模型化、新的非線性電路其它科學(xué)非線性問題如哲學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等技術(shù)難題等圖3-7 現(xiàn)代非線性電子線路的各種關(guān)系示意圖第16頁/共51頁 就目前情況來看，非線性電路理論已經(jīng)有了很大的發(fā)展并且初步形成了體系，但是遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有成熟，未解決的問題很多，正處于迅速發(fā)展的“知識爆炸”式的指數(shù)規(guī)律發(fā)展時期，各種文獻(xiàn)浩如煙海。非線性電路技術(shù)一般是在非線性電路理論指導(dǎo)下向前發(fā)展，發(fā)展中的二者結(jié)合較好，理論發(fā)現(xiàn)的任何一種有應(yīng)用價值的電路幾乎都同時被技術(shù)研究者投入到應(yīng)用研究中。從應(yīng)用需求以及從整個非線性電路科學(xué)技術(shù)自身來看，非線性電路技術(shù)發(fā)展幾乎處于零起步狀態(tài)。根據(jù)現(xiàn)有的非線性電

13、路科學(xué)技術(shù)僅有20余年的歷史，我們預(yù)言，要使非線性電路科學(xué)技術(shù)達(dá)到現(xiàn)代線性電子科學(xué)技術(shù)的相應(yīng)水平，也許需要半個世紀(jì)，甚至一個世紀(jì)。因此，現(xiàn)代非線性電子科學(xué)技術(shù)對于我們的國家和民族的發(fā)展至關(guān)重要，這是一個挑戰(zhàn)也是一個機遇。 第17頁/共51頁一、單運算放大器分段線性負(fù)電阻電路 現(xiàn)代非線性電路中經(jīng)常使用一種電路叫做非線性負(fù)電阻電路，“蔡氏二極管”就是一種非線性負(fù)電阻，由兩個分段線性負(fù)電阻電路并聯(lián)而成，或由一個分段線性負(fù)電阻電路及兩個嵌位二極管電路組成，還有一種方法是先設(shè)計正電阻網(wǎng)絡(luò)，之后改變成負(fù)電阻。分段線性負(fù)電阻電路如圖3-8所示，由一個運算放大器及外圍電路組成，利用運算放大器的限幅特性構(gòu)成分段

14、線性特性，其伏安特性曲線如圖3-9所示。圖3-8 分段線性負(fù)電阻的電路構(gòu)成 圖3-9 分段線性負(fù)電阻電路的伏安特性曲線 第18頁/共51頁 由圖3-9，伏安特性曲線分成三段，每段都是線性的。中間一段呈線性負(fù)電阻，它對應(yīng)于運算放大器的線性放大區(qū)，另外兩段也是線性的，直流特性呈現(xiàn)為負(fù)電阻，交流特性呈現(xiàn)為正電阻。伏安特性表達(dá)式推導(dǎo)如下：在運算放大器的線性放大區(qū)，在滿足R1=R2、Vcc=|Vee|、運放是理想的條件下，有333222111111RRRRRVVRVVRR-VVVIVIVBCACCAARAAA 3-6對應(yīng)的斜率為電導(dǎo)G，013RVIGAA 3-7第19頁/共51頁 現(xiàn)在求輸入電壓VA的線

15、性工作區(qū)的電壓范圍E1。因為當(dāng)輸入信號較小時，運算放大器工作在線性工作區(qū)，VeeVcVcc，隨著輸入信號增加到某一個臨界值時，Vc值將達(dá)到供電直流穩(wěn)壓電源的電壓Vcc，輸入信號繼續(xù)增加，Vc將保持不變，這個輸入電壓在圖3-9中即為E1。由轉(zhuǎn)折電壓E1得，注意R1=R2，從而得到313313RRVccRVVRRVeeRBA3-8 即1313ERRVRCC 3-9 求得兩個折線拐點的橫坐標(biāo)。第二四象限內(nèi)的拐點坐標(biāo)分別為311311,REEREE3-10 在線性工作區(qū)外：第20頁/共51頁RIVAA13-11 對應(yīng)的電導(dǎo)G，注意這時已有G0，為正數(shù)，對應(yīng)圖3-9中曲線的兩段正斜率范圍，RG11 3-

16、12將3-10式中的兩個拐點坐標(biāo)分別代入點斜式方程，求出圖中拐點之外折線的方程，如第四象限內(nèi)1323321)(RRRVRVRRVICCACCA3-13 即得 )11(313311, RRVRRRRVICCAA313 RRVRVCCA第21頁/共51頁3-15 將3-9代入，并將IA、VA的下標(biāo)去掉，上式可以表示為11311)11(E, VERRRVIA3-14 進(jìn)而求得圖3-9曲線方程表達(dá)式為：V , EERRRVE V -E , RVE, VERRRVI1131111311311)11()11(3-15式也可以表示為11311)11(21EVEV RRRVI3-16 第22頁/共51頁 由兩

17、個上述的分段線性負(fù)電阻電路并聯(lián)構(gòu)成的雙運放非線性負(fù)阻電路如圖3-10所示，圖中兩個負(fù)電阻電路的轉(zhuǎn)折電壓是不同的。由于兩個線性負(fù)電阻是并聯(lián)的，根據(jù)疊加原理，總電流為兩個電流的代數(shù)和，如圖3-11所示，擦去原來的兩條曲線，如圖3-12所示。伏安特性曲線分五段ABCDEF，中間三段BCDE呈非線性負(fù)阻的特性，這就是我們所說的非線性負(fù)電阻，后面講到的蔡氏混沌電路主要工作在這個曲線段內(nèi)。若處于極限環(huán)狀態(tài)，則能夠工作在最外面的兩段上，稱為蔡氏振蕩器 。二、雙運算放大器非線性負(fù)電阻電路 第23頁/共51頁R1R2R3R1R3R2VAIA圖3-10雙運放非線性負(fù)電阻電路 第24頁/共51頁IAVA(1)(2)

18、(1)+(2)EbEa-Eb-Ea-EcEc0圖3-11 雙運放伏安特性曲線分析 第25頁/共51頁IAVAABCDEFGCGAEbEa-Eb-EaGBGBGCEc0圖3-12 負(fù)阻非線性特性曲線第26頁/共51頁經(jīng)過分析可以得到ABCDEF五段的曲線方程式如下式表示：VE)EG(Ga)EG(GVGEVE)EG(GVGEV-EVGEVE)EG(GVGEV)EG(Ga)EG(GVGf(V)Ibabbcbcbaababaaaabababbabbcbc3-17 第27頁/共51頁三、非線性負(fù)電阻電路實例分析 R1220R2220R33.3kR122kR32.2kR222kVAIA+15V+15V-1

19、5V-15V(a) 電路圖 第28頁/共51頁IAVAABCDEFGa=-0.000758SGb=-0.000409S 0.00626A0.00148A-0.00148A-0.00626A+1.95V+13.6V-1.95V-13.6V+15V (b) 伏安特性曲線 圖3-13 非線性負(fù)電阻電路實例第29頁/共51頁解：先計算圖2-13(a)中上邊的運算放大器電路-0.000455S2 . 21131KR-Ga0.004545S2201111RGb13.6V2202 . 2152 . 23131KVKVRRRECC之后計算下邊的運算放大器電路-0.000303S3 . 31132KRGa0.0

20、00045S221112KRGbV.KK.VK.VRRRECC9571223315333332第30頁/共51頁 對照以上計算結(jié)果，故取為非線性伏安特性轉(zhuǎn)折點，得如下方程 GA=G1A+G2A=-0.000455-0.000303=-0.000758=-1/1320 |V|1.96VGB=G1A+G2B=-0.000455+0.0000455=-0.000409=-1/2445 1.96V|V|13.6VGC=G1B+G2B=0.004515+0.0000455=0.00459=1/218 13.6V|V|得到此電路的伏安特性曲線方程為AAAAAAV. .V.V. V.- V.V.f(V)I9

21、5100034800004090613951000758095100034800004090第31頁/共51頁或)951951(00017400004090.V.V .V.f(v)IAAA第32頁/共51頁四、由非線性正電阻直接轉(zhuǎn)換成非線性負(fù)電阻 上面二種非線性負(fù)電阻的計算是比較復(fù)雜的，因而給設(shè)計者帶來麻煩，第一種非線性負(fù)電阻是由二個運算放大器構(gòu)成的線性負(fù)電阻并聯(lián)而成的，雖然伏安特性曲線表示清楚，但是具體數(shù)據(jù)處理繁瑣。第二種非線性負(fù)電阻是由一個運算放大器與一個非線性正電阻網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)而成的，顯然具體數(shù)據(jù)處理也是繁瑣的。如果再往前看單運算放大器分段線性負(fù)電阻電路，它實際是一個正電阻轉(zhuǎn)換為同阻值負(fù)電阻

22、的變換器，因此，若將這個正電阻改變成非線性正電阻網(wǎng)絡(luò)，則實現(xiàn)了非線性負(fù)電阻電路的設(shè)計，而非線性正電阻網(wǎng)絡(luò)電路的設(shè)計比較容易，這就是由非線性正電阻直接轉(zhuǎn)換成非線性負(fù)電阻電路的設(shè)計方法。 圖3-14是電路原理圖，它與圖3-8完全相同，若R1=R2，則電路輸入電導(dǎo)等于-RNL。轉(zhuǎn)折電壓為CNLNLCNLAVRRRRRVRV)1 ( 111第33頁/共51頁 其中Vc為運算放大器的供電電壓。注意，這兒所說的轉(zhuǎn)折電壓不是非線性的轉(zhuǎn)折電壓，而是運算放大器的飽和與截止轉(zhuǎn)折電壓，實際是后面非線性負(fù)電阻部分的工作電壓動態(tài)范圍。由此可見，非線性負(fù)電阻部分的工作電壓動態(tài)范圍可以由R1控制。 R1R2ABVARNL+

23、_IA圖3-14 線性正電阻直接轉(zhuǎn)換為線性負(fù)電阻第34頁/共51頁五、非線性負(fù)電阻電路的功能說明 非線性負(fù)電阻電路從物理概念來看，是一個輸出電能的電源電路，輸出電壓與輸出電流的關(guān)系仍然可以從伏安特性曲線看出來。為了使物理概念更清楚，按照電源電路的畫法畫成正向的，表示它是輸出能量的，并把它與恒壓電源及恒流電源畫在同一張圖上，如圖3-15所示。對比這三條曲線可以看出，在第一象限，三者都是輸出能量; 在第二象限，恒壓電源吸收能量； 在第四象限，恒流電源吸收能量； 而在第一、第三象限，負(fù)電阻電路輸出能量。第35頁/共51頁第一象限輸出電流0恒流電源第二象限吸收電流第一象限端電壓為正恒壓電源第四象限端電

24、壓為負(fù)IAVA圖3-15 非線性負(fù)電阻電路的伏安特性曲線第36頁/共51頁 上面敘述的非線性負(fù)電阻電路是兩端口電路，是一種廣義電阻。這種非線性負(fù)電阻電路的伏安特性曲線中，每一個電壓值對應(yīng)于一個電流值，但是每一個電流值卻不對應(yīng)于一個電壓值，所以這種廣義電阻是壓控型電阻。第37頁/共51頁 3電子學(xué)電路常用的微分方程 一、微分方程、差分方程與迭代方程 上節(jié)講到現(xiàn)代電子電路多數(shù)能夠列寫出電路方程，包括電路代數(shù)方程與電路微分方程，并且以矩陣方式出現(xiàn)。電阻元件電路列寫的方程是代數(shù)方程，電容與電感元件電路列寫的方程是微分方程，并且稱為電路狀態(tài)方程。代數(shù)電路方程一般都能找到解析解，微分電路方程一般都不能找到

25、解析解，只能進(jìn)行數(shù)值分析電路的動態(tài)特性。 進(jìn)行數(shù)值分析電路的動態(tài)特性需要使用電子計算機，因為數(shù)值分析的數(shù)學(xué)計算量很大。對于微分方程數(shù)值分析有如下幾種方法： 第38頁/共51頁 （1）可以使用程序設(shè)計語言自己編程；（2）使用專用的求解微分方程的軟件，例如MAPLE，可惜它不能解出我們的非線性電路微分方程；（3）通用數(shù)學(xué)軟件MATLAB等；（4）專用電子電路仿真軟件，例如PSPICE等。專用電子電路仿真軟件對于我們的具體應(yīng)用似乎很有利，但是它不夠靈活，只能進(jìn)行已有功能的仿真，若要全面地分析特定電路微分方程就不能滿足要求，因此，自己編程是必要的。 第39頁/共51頁 微分方程進(jìn)行數(shù)值分析的方法從應(yīng)用

26、數(shù)學(xué)的角度看是差分方程分析方法，初值問題就是這樣的問題，電子電路微分方程也是這樣的問題。差分方程分析方法的基本要領(lǐng)是，根據(jù)微分方程及其初值條件，找出初值之后的另一個點的值，這個值滿足的微分方程與原方程的關(guān)系就是差分方程的關(guān)系，有了差分方程，微分方程的解就能夠找到，一般說來，微分方程的數(shù)值解是一條曲線，稱為微分方程的積分曲線。 有時侯可以對電路直接列寫出迭代方程，這樣一來就更簡單了，但是這樣現(xiàn)成的迭代方程很難得到，也不具有普遍性。上面講到的差分方程方法具有普遍性，并且得到的方程形式也是迭代方程形式，這是構(gòu)成電子電路微分方程的數(shù)學(xué)處理方法的基礎(chǔ)。第40頁/共51頁 不同于微分方程，迭代方程反映的是

27、自然界的映射關(guān)系。一般說來，迭代方程更為逼真地反映了自然界物質(zhì)運動的規(guī)律。因為微分方程列寫的是“整體性”的運動因而反映的是“總結(jié)性”的自然規(guī)律，而迭代方程列寫的是“局域性”的運動因而反映的是“分析性”的自然規(guī)律。我們的自然界是“復(fù)雜”的，從而是豐富多彩的，規(guī)律分析是必須的。 有了迭代方程，編寫計算機程序非常簡單，這對于電路分析極為有利。編程的經(jīng)驗告訴我們，很多情況下，編寫程序主部如此簡單，甚至它的程序長度比輔助程序的長度還要短小，以至于使得編程者將大部分時間用于編寫輔助程序如界面程序等，編寫主要程序反而成為舉手之勞，使用高級語言編程如VB語言即是如此。第41頁/共51頁 現(xiàn)代電子電路多數(shù)能夠列

28、寫出電路方程，包括電路代數(shù)方程與電路微分方程，并且以矩陣方式出現(xiàn)。然而，多數(shù)的教科書與文獻(xiàn)在講授與研究電路時對于電路微分方程的使用相對較少，許多從事于電子學(xué)的科技工作者利用簡單的代數(shù)運算就能夠設(shè)計出非常復(fù)雜的實用電子電路，現(xiàn)在進(jìn)行非線性電路研究,就要較多地使用電路微分方程以及迭代方程。 二、幾個著名電路微分方程與迭代方程以下列出的幾個著名的非線性微分方程與迭代方程，經(jīng)常應(yīng)用于現(xiàn)代電子技術(shù)中。1、李納德（Lienard)方程0)()(xgxxfx 第42頁/共51頁2、范德坡（Van Der Pol)方程0) 1(2xxxx 3、杜芬（Duffing)方程tAaxkxxxcos23 4、洛倫茨（

29、Lorenz)方程zxyzxzyxyxyx)(5、蔡氏電路（Chuas Cuicut，蔡少棠)方程yzzyxyG(x)x(yx)11)(21(x)axxGGxGGbb第43頁/共51頁6、洛斯勒（Rosslor)方程)()(cxzbzaxxyzyx7、陳氏（Chens，陳關(guān)榮)方程bzxyzcyxzxacyxyax)()( 8、負(fù)阻尼振蕩器)cos()1 (32ftbxyxayyx 9、依儂（Henon)迭代方程tttttbxyyaxX1211 10、邏輯斯蒂（Logistic)映射)1 (1nnnxxx第44頁/共51頁11、圓周映射（circle map）)2cos(21iiixkxx12

30、、曼德波特復(fù)數(shù)映射（Mandelbrot map）cZznn21 其中，前面8個方程是微分方程，后面4個是迭代方程，第一個微分方程是通式形式的微分方程，沒有給出具體方程，但是它給出了一些具體條件，仍然是一個重要的微分方程。8個微分方程中，按照歷史習(xí)慣，前面3個寫成一元高階微分方程形式，后面6個寫成多元一階微分方程形式，二者是很容易相互轉(zhuǎn)換的。第45頁/共51頁三、幾個著名方程的初步評論 這幾個方程多數(shù)其貌不揚，表面上看似乎沒有什么獨特之處。實際上，這些方程中的參數(shù)的值多數(shù)都會使得方程是平庸的，沒有多少獨特之處，但是，當(dāng)參數(shù)取某些特殊的值時，方程表現(xiàn)出奇特的特性。以蔡氏電路為例，它有四個控制參數(shù)

31、、ma和mb，固定ma和mb，若較小較大時，x、y與z穩(wěn)定后都是固定值（不動點），電路是直流電路; 若若較大較小時，x、y與z都是周期振蕩，電路是交流電路，僅僅當(dāng)與滿足一個有限的范圍內(nèi)，方程才會呈現(xiàn)出奇特的混沌特性，一般說來控制參數(shù)的變化范圍還不到一個數(shù)量級，這也是混沌現(xiàn)象遲遲未被發(fā)現(xiàn)的一個歷史原因。 這是問題的一個方面，另一個方面，我們的自然界是非線性的，各種實際自然運動幾乎是在任何數(shù)量級上處于非線性運動的，這是因為各種運動的非線性效果都被放大了它指數(shù)式地分布到自然界的各處，將可憐的線性部分掩蓋了。 第46頁/共51頁 因此在自然界中時時處處都能看到混沌，我們被淹沒在深深的混沌海洋里面。洛倫茨方程表明整個地球表面的長期天氣預(yù)報是不可能的，正是這個原因?，F(xiàn)代電子電路的歷史似乎是說明，電子電路中的混沌特性是很少的，穩(wěn)定的電路是絕對多數(shù)，整個現(xiàn)代電子工業(yè)發(fā)展的歷史也似乎支持這一觀點，然而非也，現(xiàn)代電子電路工業(yè)體