薛定諤方程應(yīng)用舉例

1、薛定諤方程應(yīng)用舉例薛定諤方程應(yīng)用舉例王新慶波函數(shù) 含義 性質(zhì) 態(tài)疊加原理 算符、本征值、本征函數(shù)薛定諤方程薛定諤方程2222xmti)()()(222rErrVm定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程自由粒子薛定諤方程自由粒子薛定諤方程00( )0( )cossinxxXXX xAeA eX xBxBx 當(dāng)時當(dāng)時0( )cossin( )ixixX xBxBxX xCeC e當(dāng)時可轉(zhuǎn)化為sin() ,2cos()2iiiieeish iiieech i 一維無限深方勢阱一維無限深方勢阱以一維定態(tài)為例，求解已知勢場的定態(tài)薛定諤方程。以一維定態(tài)為例，求解已知勢場的定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能量了解怎

2、樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果。薛定諤方程的自然結(jié)果。axxV0,0)(axxxV,0,)(已知粒子所處的勢場為已知粒子所處的勢場為：粒子在勢阱內(nèi)受力為零，勢能為零。粒子在勢阱內(nèi)受力為零，勢能為零。在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受極大的斥力。稱為一維無限深方勢阱極大的斥力。稱為一維無限深方勢阱。其定態(tài)薛定諤方程其定態(tài)薛定諤方程：)()()()(2222xExxVdxxdm)(xVxaoaxxxExdxxdm, 0)()()(2222axoxEdxxdm)()(2222在阱內(nèi)粒子勢能為零，滿足：在阱內(nèi)粒子勢能為零，滿

3、足：在阱外粒子勢能為無窮大，滿足在阱外粒子勢能為無窮大，滿足：方程的解必處處為零方程的解必處處為零。axxx, 00)(根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上0)(, 0) 0(a所以，粒子被束縛在阱內(nèi)運動所以，粒子被束縛在阱內(nèi)運動。axoxkxmEdxxd)()(2)(2222在阱內(nèi)的薛定諤在阱內(nèi)的薛定諤 方程可寫為：方程可寫為：類似于簡諧振子的方程，其通解：類似于簡諧振子的方程，其通解：)sin()(BkxAx代入邊界條件得：代入邊界條件得：0sin) 0 (BA0)sin()(BkaAa所以，所以，, 3 , 2 , 1; 0nnkaBn不能取零，否則無意義。不

4、能取零，否則無意義。222mEk因為因為, 3 , 2 , 1nnka, 3 , 2 , 122222nnmaEn結(jié)果說明粒子被束縛在勢阱中，能量只能結(jié)果說明粒子被束縛在勢阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。取一系列分立值，即它的能量是量子化的。結(jié)論結(jié)論：, 3 , 2 , 1),sin()(naxnAx220sin ()1anxAdxaaA2由歸一化條件由歸一化條件粒子被局限在有限空間內(nèi)運動的粒子被局限在有限空間內(nèi)運動的態(tài)稱為束縛態(tài)態(tài)稱為束縛態(tài)axnaxnAxn0, 3 , 2 , 1),sin()(axxxn, 0, 0)(一維無限深方勢阱中運動的粒子其波函數(shù)：一維無限深方

5、勢阱中運動的粒子其波函數(shù)：討論：# 零點能的存在零點能的存在 稱為基態(tài)能量。稱為基態(tài)能量。22212maE# 能量是量子化的。是由標(biāo)準(zhǔn)化條件而來。能量是量子化的。是由標(biāo)準(zhǔn)化條件而來。能級間隔：能級間隔：22212) 12(manEEEnnn當(dāng)當(dāng) 能級分布可視為連續(xù)的。能級分布可視為連續(xù)的。0/2/,nEEnnnE)(xnn# 稱稱 為量子數(shù)；為量子數(shù)； 為本征態(tài)；為本征態(tài)； 為本征能量。為本征能量。 23x3n 24x4n 22x2n 21x1nxa4E3E2E1E x4 x3 x2 x1)(xoxa一維無限深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度一維無限深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度穩(wěn)

6、定的駐波能級穩(wěn)定的駐波能級n+1個節(jié)點個節(jié)點能量本征值能量本征值 對應(yīng)的能量本征函數(shù)對應(yīng)的能量本征函數(shù) 組成組成完備完備的集合。能量量子數(shù)的集合。能量量子數(shù)n從從1至至 nE)(xnnmmn , 0在坐標(biāo)表象中任何一個疊加態(tài)的波函數(shù)都可用這一在坐標(biāo)表象中任何一個疊加態(tài)的波函數(shù)都可用這一組完備的本征函數(shù)展開。這組完備集合滿足組完備的本征函數(shù)展開。這組完備集合滿足正交性正交性。mnadxaxnaxma)sin()sin(20nmmn , 1所謂所謂疊加態(tài)疊加態(tài)，就是各本征態(tài)以一定的幾率、，就是各本征態(tài)以一定的幾率、確定的本征值、獨立完整的存在于其中。確定的本征值、獨立完整的存在于其中。實驗上物理量

7、的測量值，是各參加疊加態(tài)實驗上物理量的測量值，是各參加疊加態(tài)的可能的本征態(tài)的本征值?？梢杂帽菊鲬B(tài)的可能的本征態(tài)的本征值?？梢杂帽菊鲬B(tài)出現(xiàn)的幾率來計算物理量的平均值。出現(xiàn)的幾率來計算物理量的平均值。 3.2線性諧振子一維量子諧振子問題一維量子諧振子問題 這里，含V (0) 的一次項由于平衡位置V (0)=0而消失， 在經(jīng)典力學(xué)中，一維經(jīng)典諧振子問題是個基本的問題，它是物體在勢（或勢場）的穩(wěn)定平衡位置附近作小振動這類常見問題的普遍概括。在量子力學(xué)中，情況很類似。一維量子諧振子問題也是個基本的問題，甚至更為基本。因為它不僅是微觀粒子在勢場穩(wěn)定平衡位置附近作小振動一類常見問題的普遍概括，而且更是將來場

8、量子化的基礎(chǔ)。 眾所周知，當(dāng)粒子在勢場的平衡位置附近作小振動時，勢場V(x) 總可作泰勒展開并只取到最低階不為零的項。設(shè)平衡位置x0=0，并選取能量尺度的原點使V（0）=0，則221)0()(xVxV也由于是穩(wěn)定振動而有V (0)0。除非振動的幅度較大，否則不必考慮展開式中非簡諧的高階項。這類問題的物理例子比如，原子核內(nèi)核子（質(zhì)子或中子）的簡諧振動、原子和分子的簡諧振動、固體晶格上原子的簡諧振動、甚至一個多自由度系統(tǒng)在其平衡態(tài)附近的小漲落小振動，在通過引入簡正坐標(biāo)后也可以化為一系列退耦的一維振子之和，即可近似為線性諧振動的迭加。一. 方程的化簡 線性諧振子的勢能函數(shù)是： )12 .3(21)(

9、22xxU其中是諧振子的固有圓頻率。所以薛定諤方程是： )22 . 3(. 022222222xEdxd在方程中做如下的無量綱化變換： Exx2,則方程變成： )32 .3(.0)()(222dd當(dāng)時，方程變?yōu)椋篸d222 .我們發(fā)現(xiàn)它有近似解： ( ) e.122但是 應(yīng)該舍去。所以再進(jìn)行變換： e/22 ( )e( ),122H可得關(guān)于H()的如下方程：)42 . 3(. 0) 1(222HddHdHd二. Hermitian多項式 可以用級數(shù)法求解H()的方程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：只要H()是“真”無窮級數(shù)，那么在x的時候H()就 e ,仍然使()發(fā)散。能夠避免這種情形出現(xiàn)的唯一出路是級數(shù)“中止”

10、 或“退化”為多項式，而這就要求只能取一些特殊的值。 設(shè)要求H()是的n次多項式，那么就必須讓 =2n+1 n=0,1,2,3 這樣，我們首先得到了能量本征值：)52 . 3(.3 , 2 , 1 , 0,21nnEn現(xiàn)在H()的方程成為： )42 . 3(. 0) 1(222HddHdHd)62.3(.02222nnnnHddHdHd而不難驗證下面的函數(shù)正滿足這個方程:)72.3(.ee)1()(22nnnnddH它稱為n次Hermitian多項式。.12016032,124816,128, 24,2, 1355244332210HHHHHH頭五個Hermitian多項式是:三. 線性諧振子

11、的能級和波函數(shù) 1.我們把線性諧振子的能級和波函數(shù)總結(jié)如下。能級是：) 82 . 3 (, 3 , 2 , 1 , 0,21nnEn對應(yīng)的波函數(shù)是： ) 92 . 3 ().(e)(e)()(2222121xnnnnnxHNHNxNn是歸一化常數(shù)，利用特殊積分 e,xdx2可得 Nnnn2!.2.討論 (1) 能級是等間隔的 ；(2)零點能是 ；(3)能級的宇稱偶奇相間，基態(tài)是偶宇稱,即n(-x)=(-1)n(x) (4)n(x)有n個節(jié)點。 E012n勢壘貫穿（隧道效應(yīng)）勢壘貫穿（隧道效應(yīng)）axxxV,0,0)(axVxV0,)(0在經(jīng)典力學(xué)中在經(jīng)典力學(xué)中,若若 ,粒子的動能粒子的動能為正為

12、正,它只能在它只能在 I 區(qū)中運動。區(qū)中運動。0VE 0VVOaIIIxIII定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程的解又如何呢？的解又如何呢？0),()(212122xxEdxxdmaxxExVdxxdm0),()()(22202222axxEdxxdm),()(2323220, 0)()(12212xxkdxxdaxxkdxxd0, 0)()(221222axxkdxxd, 0)()(322322021)(2EVmk222mEk 令：三個區(qū)間的薛定諤方程化為：三個區(qū)間的薛定諤方程化為：0VVaoxIIIIII0,Re)(1xAexikxikx若考慮粒子是從若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在區(qū)入射，在 I

13、 區(qū)中有入射波區(qū)中有入射波反射波；粒子從反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢壘到區(qū)穿過勢壘到III 區(qū)，區(qū)，在在III區(qū)只有透射波。粒子在處的幾率要大區(qū)只有透射波。粒子在處的幾率要大于在處出現(xiàn)的幾率。于在處出現(xiàn)的幾率。0 xax其解為：其解為：112( ),0k xk xxTeT exaaxCexikx,)(3根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件：)0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32求出解的形式畫于圖中。求出解的形式畫于圖中。定義粒子穿過勢壘的貫穿系數(shù)：定義粒子穿過勢壘的貫穿系數(shù)：2123| ) 0(| )(|aP) 02ex

14、p()2exp(| ) 0(| )(|112222kTakTaP) )(22exp()2exp(01EVmaak0VVaoxIIIIII隧道效應(yīng)當(dāng)當(dāng) 時，勢壘的寬度約時，勢壘的寬度約50nm 以上時，以上時，貫穿系數(shù)會小六個數(shù)量級以上。隧道效應(yīng)在貫穿系數(shù)會小六個數(shù)量級以上。隧道效應(yīng)在實際上已經(jīng)沒有意義了。量子概念過渡到經(jīng)典了。實際上已經(jīng)沒有意義了。量子概念過渡到經(jīng)典了。eVEV50 隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱悖砻孢吔缰畠?nèi)，電子密

15、度并不在表面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面以外呈指?shù)形式衰減，衰減長度越為而是在表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長度越為1nm。只要將原子線度的極細(xì)探針只要將原子線度的極細(xì)探針以及被研究物質(zhì)的表面作為以及被研究物質(zhì)的表面作為兩個電極，當(dāng)樣品與針尖的兩個電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近時，它們的表距離非常接近時，它們的表面電子云就可能重疊。面電子云就可能重疊。若在樣品與針尖之間若在樣品與針尖之間加一微小電壓加一微小電壓Ub電子電子就會穿過電極間的勢就會穿過電極間的勢壘形成隧道電流。壘形成隧道電流。隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針在垂直

16、于樣品若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。Scanning tunneling microscopy因為隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。因為隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制針尖高度不變，通過隧道電流的變化可若控制針尖高度不變，通過隧道電流的變化可得到表面態(tài)密度的分布；得到表面態(tài)密度的分布；使人類第一次能夠?qū)崟r地觀使人類第一次能夠?qū)崟r地觀測到單個原子在物質(zhì)表面上測到單個原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。闊的應(yīng)用前景?？諝庀犊諝庀禨TM工作示意圖工作示意圖樣品樣品探針探針利用利用STM可以分辨表面上可以分辨表面上原子的臺階、平臺和原子