結(jié)構(gòu)力學(xué)(龍馭球)第5章_虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-1 應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移計算結(jié)構(gòu)位移的目的：計算結(jié)構(gòu)位移的目的：（1）驗算結(jié)構(gòu)的剛度）驗算結(jié)構(gòu)的剛度（2）為超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析打基礎(chǔ)）為超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析打基礎(chǔ)產(chǎn)生位移的原因產(chǎn)生位移的原因:（3）制作沉降和制造誤差）制作沉降和制造誤差C1ABCab（2）溫度變化和材料收縮）溫度變化和材料收縮dsAB1t C 2t C （1）荷載作用）荷載作用ABqCCB結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-1 應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移C1ABCab結(jié)構(gòu)內(nèi)產(chǎn)生位移的同時是否會產(chǎn)生應(yīng)變呢？結(jié)構(gòu)內(nèi)產(chǎn)生位移的

2、同時是否會產(chǎn)生應(yīng)變呢？（1）靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移或者溫度改變在結(jié)構(gòu)內(nèi)部）靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移或者溫度改變在結(jié)構(gòu)內(nèi)部不產(chǎn)生內(nèi)力，所以不會產(chǎn)生應(yīng)變。不產(chǎn)生內(nèi)力，所以不會產(chǎn)生應(yīng)變。dsAB1t C 2t C 剛體體系位移剛體體系位移-有位移，無應(yīng)有位移，無應(yīng)變變結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-1 應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移（2）結(jié)構(gòu)在荷載作用下各點產(chǎn)生線位移，同時，梁內(nèi)由）結(jié)構(gòu)在荷載作用下各點產(chǎn)生線位移，同時，梁內(nèi)由于承受彎矩而產(chǎn)生曲率和應(yīng)變。于承受彎矩而產(chǎn)生曲率和應(yīng)變。ABqCCB變形體體系位移變形體體系位移-有位移，有應(yīng)變有位移，有應(yīng)變結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-1 應(yīng)用虛力原理求

3、剛體體系的位移應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移位移計算問題：幾何問題位移計算問題：幾何問題-幾何方法幾何方法ABqCCBC1ABCabCab221dxwdRk結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 結(jié)構(gòu)的位移結(jié)構(gòu)的位移ABqCCBCCxCCyCxC結(jié)構(gòu)的位移結(jié)構(gòu)的位移 PC-C點的豎向位移 CC-截面B的轉(zhuǎn)角BCx-C的水平位移 Cy- C點的豎向位移C-截面C的轉(zhuǎn)角 Cy結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-1 應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移計算結(jié)構(gòu)位移的思路：計算結(jié)構(gòu)位移的思路：（1）討論靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動而引起的位移計算問題。）討論靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動而引起的位移計算問題。-剛體體系的位移計算剛體體系

4、的位移計算（2）討論靜定結(jié)構(gòu)由于局部變形（局部拉伸、剪切、彎曲）討論靜定結(jié)構(gòu)由于局部變形（局部拉伸、剪切、彎曲變形，結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形仍為剛體）引起的位移。變形，結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形仍為剛體）引起的位移。-變形體體系位移計算變形體體系位移計算（3）討論靜定結(jié)構(gòu)由于整體變形（結(jié)構(gòu)中各個桿件的各個）討論靜定結(jié)構(gòu)由于整體變形（結(jié)構(gòu)中各個桿件的各個微段都產(chǎn)生變形）而引起的位移。微段都產(chǎn)生變形）而引起的位移。-疊加原理：由局部變形位移計算公式推導(dǎo)整體變形位疊加原理：由局部變形位移計算公式推導(dǎo)整體變形位移計算公式移計算公式結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-1 應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移

5、計算結(jié)構(gòu)位移的思路：計算結(jié)構(gòu)位移的思路：（1）化整為零：局部變形引起的位移。）化整為零：局部變形引起的位移。（2）積零為整：疊加原理）積零為整：疊加原理局部變形位移計算公式局部變形位移計算公式 整體變形位移計算公式整體變形位移計算公式結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-1 應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移位移計算的基本假定和理論基礎(chǔ)位移計算的基本假定和理論基礎(chǔ)線彈性變形體系基本假定:位移與荷載成正比條 件:線彈性材料小變形疊加原理適用理論基礎(chǔ):虛功原理 計算方法: 單位荷載法 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理處于受力平衡狀態(tài)受力平衡狀態(tài)的剛體，當(dāng)發(fā)生符合約束條件

6、的無限小剛體無限小剛體體系虛位移體系虛位移時，則外力在位移上所作的虛功總和恒等于零虛功總和恒等于零。0eiiWF 虛功虛功 力的狀態(tài)力的狀態(tài)位移狀態(tài)位移狀態(tài)一個平衡力系虛設(shè)一個位移狀態(tài)虛設(shè)一個位移狀態(tài)確定真實的未知力確定真實的未知力虛設(shè)一個平衡力系虛設(shè)一個平衡力系確定真實的位移確定真實的位移虛位移原理虛力原理結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理虛力原理虛平衡力系真實位移10APR c確定 C點的豎向位移1ARcP ARbPa1bca C1ABCabABCPAbRPaABC1ab假設(shè)的力方向和位移 相反結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 支座移動時位移的計算支座移動時位移的計算ABCDBC4l3

7、4lABDC1Pl?54014B點發(fā)生支座移動，求由此引起的 C點豎向位移 由支座移動引起的真實位移虛設(shè)力系 在待求位移點沿位移方向施加單位力單位力1求出單位力作用下發(fā)生支座移動處的支座反力23由虛功原理列虛功方程 10KKR c KKR c 55()( )44BBcc 支座移動時的位移計算公式結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 支座移動時位移的計算支座移動時位移的計算支座移動時，靜定結(jié)構(gòu)的位移計算步驟：支座移動時，靜定結(jié)構(gòu)的位移計算步驟： 在待求位移點沿位移方向施加單位力在待求位移點沿位移方向施加單位力1求出單位力作用下發(fā)生支座移動處的支座反力求出單位力作用下發(fā)生支座移動處的支座反力23令虛設(shè)力系在實際位移上

8、做功，由虛功原理列虛功方程令虛設(shè)力系在實際位移上做功，由虛功原理列虛功方程 10KKR c KKR c 支座移動時的位移計算公式計算出的位移為正值，表明與假設(shè)方向一致。計算出的位移為正值，表明與假設(shè)方向一致。 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 河南理工大學(xué)河南理工大學(xué)支座移動時的位移計算支座移動時的位移計算確定B支座的水平位移和B截面的轉(zhuǎn)角例例ABlB ( ) 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 支座移動時的位移計算支座移動時的位移計算ABlBhlhl1P1AB1l1l01MAB確定B截面的轉(zhuǎn)角確定B支座的水平位移()()KKhhaR call ) 1()KKR cal （ ）結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)

9、構(gòu)位移計算的一般公式n結(jié)構(gòu)位移計算一般屬于結(jié)構(gòu)位移計算一般屬于變形體變形體體系的位移計算。體系的位移計算。n變形體體系的位移計算變形體體系的位移計算步驟步驟：先計算：先計算局部變形局部變形時的位移計時的位移計算公式，再導(dǎo)出算公式，再導(dǎo)出整體變形整體變形時的位移計算公式。時的位移計算公式。1、局部變形局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算舉例時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算舉例 當(dāng)某個微段有當(dāng)某個微段有局部變形局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算問題可時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算問題可歸結(jié)為當(dāng)該處相鄰截面有相對位移時剛體體系的位移計算歸結(jié)為當(dāng)該處相鄰截面有相對位移時剛體體系的位移計算問題。對于微段可用虛力原理計算。問題。對于微段可用

10、虛力原理計算。由于制造誤差或者其他原因引起局部由于制造誤差或者其他原因引起局部拉伸、剪切、彎曲變形，結(jié)構(gòu)其他部拉伸、剪切、彎曲變形，結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形仍為剛體。分沒有變形仍為剛體。結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式局部彎曲變形，結(jié)構(gòu)其他部局部彎曲變形，結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形仍為剛體。分沒有變形仍為剛體。例例1、圖示懸臂梁在、圖示懸臂梁在B處兩個相鄰截面有相對轉(zhuǎn)角處兩個相鄰截面有相對轉(zhuǎn)角，求，求A點豎點豎向位移。向位移。BCaaAaM101MM BCA位移狀態(tài)位移狀態(tài)BACM1虛設(shè)力系虛設(shè)力系結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公

11、式局部剪切變形，結(jié)構(gòu)其他部局部剪切變形，結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形仍為剛體。分沒有變形仍為剛體。例例2、圖示懸臂梁在、圖示懸臂梁在B處兩個相鄰截面有相對剪切位移處兩個相鄰截面有相對剪切位移 ，求，求A點豎向位移。點豎向位移。 BCABCA位移狀態(tài)位移狀態(tài)BAC1虛設(shè)力系虛設(shè)力系QF1QF01QFQF 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式2、局部變形時位移計算公式、局部變形時位移計算公式 位移狀態(tài)位移狀態(tài)BCAdCdddBAC1虛設(shè)力系虛設(shè)力系QFMNF懸臂梁除微段懸臂梁除微段ds有局部變形外，結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形。有局部變形外，結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形。微段微段ds局部

12、變形包括：局部變形包括：局部伸長應(yīng)變局部伸長應(yīng)變平均切應(yīng)變平均切應(yīng)變0軸線曲率軸線曲率0,k結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 位移狀態(tài)位移狀態(tài)BCAdCddd（1）根據(jù)微段）根據(jù)微段ds的三類變形，求出微段兩端截面的三種的三類變形，求出微段兩端截面的三種相對位移：相對位移：kdsRdsddsddsd0相對軸向位移：相對軸向位移：相對剪切位移：相對剪切位移：相對轉(zhuǎn)角位移：相對轉(zhuǎn)角位移： 相對位移相對位移 是描述微段總變形是描述微段總變形的三個基本參數(shù)。的三個基本參數(shù)。ddd,結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 位移狀態(tài)位移

13、狀態(tài)BCAdCddd（2）將微段變形集中化，即）將微段變形集中化，即ds 0 ，但三種相對位移，但三種相對位移仍存在。仍存在。B截面發(fā)生集中變形，其他部分是剛體，不變截面發(fā)生集中變形，其他部分是剛體，不變形。問題轉(zhuǎn)化為剛體體系的位移問題。形。問題轉(zhuǎn)化為剛體體系的位移問題。（3）應(yīng)用剛體體系的虛功原理，根據(jù)截面）應(yīng)用剛體體系的虛功原理，根據(jù)截面B的相對位移的相對位移 求求A點位移。點位移。疊加法：疊加法：ddd,dFdFdMdQN結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 （3）應(yīng)用剛體體系的虛功原理，根據(jù)截面）應(yīng)用剛體體系的虛功原理，根據(jù)截面B的相對位移的相對位移

14、求求A點位移。點位移。疊加法：疊加法：ddd,dFdFdMdQNdsFFkMdQN)(0kdsRdsddsddsd0結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 dFdFdMdQNdsFFkMdQN)(0或者：或者：dsFFkMdFdFdMdQNQN)(10即變形體系的虛功原理即變形體系的虛功原理QNFFM,分別為虛設(shè)單位荷載在截面分別為虛設(shè)單位荷載在截面B引起的彎矩，引起的彎矩，軸力和剪力。軸力和剪力。結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 3、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式：整體變形時的位移公式、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式：整體變形時的位移公式

15、整個結(jié)構(gòu)的位移是結(jié)構(gòu)各個微段變形的總和。整個結(jié)構(gòu)的位移是結(jié)構(gòu)各個微段變形的總和。疊加原理：疊加原理：dsFFkMdQN)(0dsFFkMdQN)(0若整個結(jié)構(gòu)有若干個桿件組成：若整個結(jié)構(gòu)有若干個桿件組成：結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 3、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式：整體變形時的位移公式、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式：整體變形時的位移公式如果結(jié)構(gòu)除各個微段有變形外，支座處還有給定位移：如果結(jié)構(gòu)除各個微段有變形外，支座處還有給定位移：kRKQNcFdsFFkMd)(0dsFFkMdcFQNkRK)(10適用條件：小變形適用條件：小變形位移公式實際為幾何方程，給出了已

16、知變形與擬求位移位移公式實際為幾何方程，給出了已知變形與擬求位移之間的幾何關(guān)系。之間的幾何關(guān)系。外虛功外虛功內(nèi)虛功內(nèi)虛功結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 公式的普遍性：公式的普遍性：（1）變形類型：彎曲變形、拉伸變形、剪切變形；）變形類型：彎曲變形、拉伸變形、剪切變形；（2）變形因素：荷載、支座移動；）變形因素：荷載、支座移動；（3）結(jié)構(gòu)類型：梁、桁架、剛架、拱等；）結(jié)構(gòu)類型：梁、桁架、剛架、拱等；（4）材料性質(zhì)：彈性材料、非彈性材料。）材料性質(zhì)：彈性材料、非彈性材料。kRKQNcFdsFFkMd)(0結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位

17、移計算的一般公式 kRKQNcFdsFFkMd)(0彎曲變形：彎曲變形：拉伸變形：拉伸變形：剪切變形：剪切變形：支座移動：支座移動：kdsMkdsFNdsFQ0kRKccF結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 4、結(jié)構(gòu)位移計算的一般步驟：、結(jié)構(gòu)位移計算的一般步驟：kRKQNcFdsFFkMd)(0 已知結(jié)構(gòu)各個微段的應(yīng)變已知結(jié)構(gòu)各個微段的應(yīng)變 、 、0和支座位移和支座位移ck ，求，求結(jié)構(gòu)某點沿某方向的位移結(jié)構(gòu)某點沿某方向的位移：（1）在某點沿擬求位移）在某點沿擬求位移方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載；方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載；（2）在單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件，求出結(jié)構(gòu)內(nèi)

18、力）在單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件，求出結(jié)構(gòu)內(nèi)力 和支座反力和支座反力FRK；（3）由下列位移公式求出位移。）由下列位移公式求出位移。MQFNF結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 kRKQNcFdsFFkMd)(0 kRkQNcFFFkM,0?表示力與變形之間的乘積，當(dāng)力與變形方向一致時表示力與變形之間的乘積，當(dāng)力與變形方向一致時乘積為正。乘積為正。 和和k使纖維同側(cè)受拉時使纖維同側(cè)受拉時 乘積為正。乘積為正。MkM結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 虛功虛功WP力和位移無因果關(guān)系力和位移無因果關(guān)系廣義力廣義位移PABCPMABCPMFp1Fp2121122AB對應(yīng)結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)

19、構(gòu)力學(xué) 廣義位移和廣義力廣義位移和廣義力廣義位移廣義位移:某點線位移，某點角位移，某兩個截面的相對線位移和角位移某點線位移，某點角位移，某兩個截面的相對線位移和角位移 =A+ B- A、B點左右兩側(cè)截面間的相對轉(zhuǎn)角點左右兩側(cè)截面間的相對轉(zhuǎn)角MBMAABqABC)(11BABBAAMM- 一對單位力偶一對單位力偶1BAMM廣義力：與廣義位移相對應(yīng)的荷載廣義力：與廣義位移相對應(yīng)的荷載結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 廣義位移和廣義力廣義位移和廣義力廣義力和廣義位移廣義力和廣義位移PPABAB12A BPPMM121212PPPP - 一對水平力力P - A、B間的水平相對位移AB12M- 一對力偶 - C點左右兩

20、側(cè)截面間的相對轉(zhuǎn)角1212MMPM結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 廣義位移和廣義力廣義位移和廣義力虛設(shè)力與擬求位移之間應(yīng)滿足虛設(shè)力與擬求位移之間應(yīng)滿足共軛關(guān)系共軛關(guān)系，從做功角度講：，從做功角度講： FWF-共軛力共軛力-共軛位移共軛位移表表5-1 廣義位移和廣義荷載示例廣義位移和廣義荷載示例結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-3 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算荷載荷載-內(nèi)力內(nèi)力-應(yīng)力應(yīng)力-應(yīng)變應(yīng)變N PFEA0QPFkGAPMEIBAadsPq1Rk1Rkdddsddsdds0ddsddsNPFNPFQPFQPFPMPM結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-3 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算QPN PPNQkFFM

21、FdsFdsMdsEAGAEIBNQAF dF dMd 1、荷載引起的位移計算公式、荷載引起的位移計算公式BAadsPqN PFEA0QPFkGAPMEIdds0ddsdds結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-3 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算,NQFFM -由單位荷載由單位荷載P=1引起的內(nèi)力引起的內(nèi)力,N PQPPFFM -結(jié)構(gòu)承受的真實荷載引起的內(nèi)力結(jié)構(gòu)承受的真實荷載引起的內(nèi)力（1）寫出各桿件在真實荷載作用下的）寫出各桿件在真實荷載作用下的Mp、FQp 和和F Np 方程方程； （2）寫出各桿件在虛設(shè)單位下的）寫出各桿件在虛設(shè)單位下的M、FQ 和和FN 方程方程； （3）用上述公式計算位移；

22、）用上述公式計算位移； QPN PPNQkFFMFdsFdsMdsEAGAEI （4）軸力以拉為正，剪力使微段順時針轉(zhuǎn)動者為正，）軸力以拉為正，剪力使微段順時針轉(zhuǎn)動者為正， 和和MP使桿件同側(cè)受拉為正；使桿件同側(cè)受拉為正； M 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-3 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算（1）梁和剛架：）梁和剛架：（2）桁架：）桁架： （3）桁架混合結(jié)構(gòu)：）桁架混合結(jié)構(gòu)： QPN PPNQkFFMFdsFdsMdsEAGAEI （4）拱，當(dāng)壓力線與拱軸接近時：）拱，當(dāng)壓力線與拱軸接近時： dsEIMMPlEAFFdsEAFFdsEAFFNPNNPNNPNlEAFFdsEIMMNPNPds

23、EAFFEIMMNPNP)(結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-3 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算例例x2qlMP 圖28ql2ql2qlFQP 圖xl/2l/2ABCP=11212確定跨中C截面的豎向線位移，并比較由彎曲變形和剪切變形引起的效應(yīng)。2qlABqCl/2l/22()2PqMlxx(2 )2QPqFlx14 M1212 QF12Mx12QF 真實力系虛設(shè)力系24201()()5222384lPMqxlxxMMqldsdxEIEIEI2201( )(2 )2 22 1.20.15lPQqlxQQqlkdsdxGAGAGA2420.1511.525384QMqlEIGAqlGAlEI212

24、IhA82(1)3EG22.56( )QMhl剪切變形引起的位移遠小于彎曲變形引起的結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-3 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算1QQPNN PPkF FF FMMdsdsdsEAGAEI ,NQFFM - 虛設(shè)單位荷載P=1 引起的內(nèi)力,N PQPPFFM - 真實荷載引起的內(nèi)力梁和剛架PMMdsEI 桁架NN PNN PiF FF FdslEAEA 桁梁組合結(jié)構(gòu)NN PPiF FMMldsEAEI 拱NN PPF FMMdsdsEAEI 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) qPQPM1 PiQiMxl dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 1：已知圖示梁的：已知圖示梁的

25、E 、G,求求A點的豎向位移。點的豎向位移。解：構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài).0)( 0)(xNxNPi)()( 1)(xlqxQxQPi1Px2/)()( )(2xlqxMlxxMPilhbqAdxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3鋼砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24設(shè)24GAlEIkMQ1001MQ 對于細長桿對于細長桿,剪切變形剪切變形對位移的貢獻與彎曲變對位移的貢獻與彎曲變形相比可略去不計形相比可略去不計.5-4 荷載作用下的位移計算舉例荷載作用下的位移計算舉例結(jié)構(gòu)力

26、學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 2P2PPmNq/P4qlP 1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5N2P2P例例2 計算屋架頂點的豎向位移。計算屋架頂點的豎向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB5-4 荷載作用下的位移計算舉例荷載作用下的位移計算舉例結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5NEAlNNPCADDCDE材料桿件PNNlAEAlNNPEAlNNP鋼筋砼鋼CEAEEGccAEPl97. 1ccAEPl

27、81. 3ssAEPl63. 0ssAEPl13. 1ssccCEAEAPl13. 181. 32ABCDEFGP74. 458. 1l263. 0P42. 458. 1l263. 0cAcAccAEPl84. 1P95. 00l088. 0cA75. 00P50. 10l278. 0sA0P50. 450. 1l278. 0sA3P00. 350. 1l222. 0sA2ssAEPl50. 0結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) PP=1例例3：求圖示曲桿（：求圖示曲桿（1/4圓?。╉旤c的豎向位移圓?。╉旤c的豎向位移。解：解：1）虛擬單位荷載）虛擬單位荷載虛擬荷載虛擬荷載3）位移公式為）位移公式為ds=Rddd

28、s鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)G0.4E矩形截面矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001DDMND4001DMQD2=DMNARI2412=DDMQRhGAREIk 可見剪切變形和軸向變形可見剪切變形和軸向變形引起的位移與彎曲變形引引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不起的位移相比可以忽略不計。但對于深梁剪切變形計。但對于深梁剪切變形引起的位移不可忽略引起的位移不可忽略.2）實際荷載）實際荷載h101R如如2121RhsinPRMPcosPQPsinPNPsinRMsinN cosQdsGAQkQdsEANNdsEIMMPPP2022023cossindGAkPRdEAPREI

29、PRGAkPREAPREIPR4443QNM結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) Pl/2l/2EIABx1x2例例4：求圖示等截面梁：求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。端轉(zhuǎn)角。解：解：1）虛擬單位荷載）虛擬單位荷載m=1積分?？捎脠D形相乘來代替2）MP 須分段寫須分段寫)20(2)(lxPxxMP)2(2)()(lxlxlPxMP)0()(lxlxxMlPBdxEIMM0llldxEIlxxlPdxEIlxPx2201)(2)(1)(2EIPl162結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 確定C點的水平位移 和轉(zhuǎn)角CHC例例5LACBLEIEIq解：（解：（1 1）求）求 CH寫出桿件的寫出桿件的 方程方程 MPMBCBC桿：桿： 0M 21

30、2PMqx ACBFP=1BABA桿：桿： Mx212PMqL 240124LCHqL xqLdxEIEI 5-4 荷載作用下的位移計算舉例荷載作用下的位移計算舉例結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 確定C點的水平位移 和轉(zhuǎn)角CHC例例5LACBLEIEIq （2 2）求）求 C寫出桿件的寫出桿件的 方程方程 MPMBCBC桿：桿： 1M 212PMqx BABA桿：桿： 1M 212PMqL 2230011( 1)( 1)2223LLCqxqLqLdxdxEIEIEIACBM=15-4 荷載作用下的位移計算舉例荷載作用下的位移計算舉例結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-5 圖乘法圖乘法理論基礎(chǔ):虛功原理單位荷載法梁和剛架:

31、PM MdsEI l兩種內(nèi)力函數(shù):( ),( )PM x Mxl積分:PM Md sE I麻煩結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-5 圖乘法圖乘法補充條件:直桿常數(shù)一個彎矩圖為直線圖形LpoMMdsEI 圖乘法結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-5 圖乘法圖乘法yxOAx0ABy0 xdxAB( )PMxM( )M xCdA( )( )tan( )BBPPAAM x Mx dxxMx dxtan( )BPAxMx dxMP的形心0Ax0( )( )tan()BPAM x Mx dxAx0Ay0(tan)A x( )tanM xx結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-5 圖乘法圖乘法01PM MdsAyEIEI 一個彎矩圖的圖形面積面積A

32、形心處的另一直線彎矩圖上的縱標(biāo)注意:u y0必須取自直線直線彎矩圖 u 符號規(guī)定: 兩彎矩圖位于桿件的同側(cè)同側(cè)，Ay0 為正正；反之，為負u 適用條件: 直桿; EI=C; 一個彎矩圖為直線!切莫丟掉切莫丟掉此項此項結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-5 圖乘法圖乘法常用圖形的面積和形心三角形Cabhl(l+a)/3(l+b)/32lhA l2l/3l/3Ch2lhA 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-5 圖乘法圖乘法常用圖形的面積和形心Cl/2l/2hChl5l/83l/8二次拋物線23Alh頂點頂點l3l/4l/4hC13Alh頂點標(biāo)準(zhǔn)拋物線標(biāo)準(zhǔn)拋物線: 圖形頂點的斜率必須圖形頂點的斜率必須平行于平行于桿軸線桿軸線

33、23Alh結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-5 圖乘法圖乘法圖形的分解和疊加A1y1Mk 圖I1I2A2y2A3y3Mi 圖 A1y1A2y2Mk 圖Mi 圖 分解分解多段線多段線圖形的分解變剛度變剛度桿的分解1122331()kiM MdxA yA yA yEIEI11221211kiM MdxA yA yEIEIEI結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-5 圖乘法圖乘法圖形的分解和疊加Mk 圖 Mi 圖+ + 疊加疊加11221()kiM MdxA yA yEIEIabcdA2A1y1y212133ycd21233ycdabcdA1A2y1y211221()kiM MdxA yA yEIEI11()2ycd21233

34、ycdABCDabcdA1A2ly1y211221()kiM MdxA yA yEIEI12133ycd 21233ycd分解分解結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 圖形的分解和疊加AABMAMBBMAMBqMAABMBMBMA5-5 圖乘法圖乘法 M 圖MP 圖y1y0分解分解疊加疊加011()PMM dxMM dxMM dxEIEI1021001()A yA yA yEI0 M圖A1A2A0圖 M結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 4l5-5 圖乘法圖乘法例例計算下圖所示簡支梁的跨中撓度 584l28qlC2l2lEI 常數(shù)ACAB1P真實系統(tǒng)MP 圖 M 圖虛設(shè)系統(tǒng)C點豎向位移1PMM dxEI ABq341552( )2

35、4 32384qllqlEIEI結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) l M 圖虛設(shè)系統(tǒng)AB1P2qlAB5-5 圖乘法圖乘法例例真實系統(tǒng)MP 圖B點撓度1Aq2qlEI 常數(shù)ABl2A1y2y確定懸臂梁自由端撓度 2311122Al qlql ， (and， (and123yl+-2322113812Alqlql212yl334112211127()()( )2312224BPqllqllqlMM dxA yA yEIEIEIEI ！不是標(biāo)準(zhǔn)拋物線 221321qlqllA結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-5 圖乘法圖乘法例例5-72311122Al qlql ， ABCl/2l/2Pl/6計算 C點豎向位移 PABPlM

36、P 圖真實系統(tǒng)P=12lAB M 圖虛設(shè)系統(tǒng)B點撓度A0y011CPMM dxAyEIEI 41155()( )222648llqlPlEIEI結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M確定 B點豎向位移q？ql2/8l/2？ql2/32y0241 133 248BqllqllEIEI 201 1 3.2382Bql lyEI 21 13/23 8 24Bql llEI 222210.5222628 22 28lqlql lql lqlllEI24120.51723 32 22256ql l llqlEIEI5-5 圖乘法圖乘法例例結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 虛設(shè)力系A(chǔ)BC

37、1M M 圖llABC25-5 圖乘法圖乘法例例真實系統(tǒng)C截面的轉(zhuǎn)角2311122Al qlql ， (and， (計算 C截面的轉(zhuǎn)角245kNmEI ABC1y2y2A3kN/m4m1m2kN3y3A1A123y 114242A 212y 2246163A 311212A 31y MP 圖+-+1122330111211313()(4161)0.096 (rad)3233 45AyAyA yA yEIEIEIEI 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-5 圖乘法圖乘法例例計算 C 、D兩點間的水平相對位移 真實系統(tǒng)MP 圖 M 圖虛設(shè)系統(tǒng)水平相對位移EI 常數(shù)ABCDq2a2a22qa26qa1A2AABC

38、D3A4A1a1y2yABCDaa3y4ya23114624qaqaAa14455yaa232263qaqaAa2ya233222323qaAaqa3ya112233333411(2)142 22453314 ()15PMM dxAyA yA yEIEIqaaqaqaaaEIqaEI +-+結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-5 圖乘法圖乘法例例C點豎向位移確定C點的豎向位移ABCD4m3m3m6kN23738 10 kNEA 23484kN mEI 6kN真實系統(tǒng)MP 圖 和FNP 圖 ABCD6kN8kN-10kN12kNm4kNA4kN組合結(jié)構(gòu)及其荷載 NMF和圖虛設(shè)系統(tǒng)ABCD23234353y11

39、P 2m03211121452(3 12)(2)84( 10)()5233348128250 14.11 10 m( )34843738 103PNN PNN PMMF FF FdxlAylEIEAEIEAEIEA 梁式桿結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 1t2tds5-6 溫度改變時的位移計算溫度改變時的位移計算dsAB1t C 2t C d1t ds2t dsh假定:l溫度沿截面高度h線形線形分布l發(fā)生變形后，截面應(yīng)變分布仍滿足平截面假定. 虛設(shè)力系由溫度變化引起的真實位移AB1P 0t dsd211221011ttt ht htthhhtds21ttt 0dt ds21()ttddsh00=NNttMd

40、sFt dsMdstF dshh NQMdF dF d 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-6 溫度改變時的位移計算溫度改變時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)材料自由伸長或壓縮溫度改變變形不引起內(nèi)力01t C02t C12tt結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-6 溫度改變時的位移計算溫度改變時的位移計算例例4ma ABC0C0 C15 C 15 C aa M 圖ABC1PN F圖確定C點的豎向位移。真實系統(tǒng)CAB1P虛設(shè)系統(tǒng)0.00001線膨脹系數(shù)40cm01200157.522tttC02115015tttC 0NCtMdstF dsh 溫度變化引起的彎曲變形方向與虛設(shè)力系引起的相反0.93( )Ccm 151()7.5 ()2a

41、aaaah 若既有溫度變化若既有溫度變化和（或）支座移和（或）支座移動，又同時作用動，又同時作用有荷載？有荷載？結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理 剛體體系的虛功原理中，剛體的應(yīng)變剛體體系的虛功原理中，剛體的應(yīng)變=？剛剛體體系體體系 內(nèi)力做功內(nèi)力做功=？ 變形體體系的虛功原理中，變形體變形體體系的虛功原理中，變形體存在應(yīng)變存在應(yīng)變嗎？嗎？外力做功，外力做功，內(nèi)力做功嗎？內(nèi)力做功嗎？結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理 設(shè)變形體在力系作用下處于設(shè)變形體在力系作用下處于平衡平衡狀態(tài)，又設(shè)變形體由于其他狀態(tài)，又設(shè)變形體由于其他原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連

42、續(xù)變形，則外力在位移上所做的原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上所做的外力虛功外力虛功We恒等于各個微段的應(yīng)力合力（即內(nèi)力）在變形上所做恒等于各個微段的應(yīng)力合力（即內(nèi)力）在變形上所做的的內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功Wi. eiWW內(nèi)力所做的虛功內(nèi)力所做的虛功外力所做的虛功外力所做的虛功注意注意: :l變形可以是任意因素引起的變形可以是任意因素引起的l小變形小變形l虛功原理對任何結(jié)構(gòu)都適用，無論其是否是彈性體虛功原理對任何結(jié)構(gòu)都適用，無論其是否是彈性體結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理ads任意原因引起的變形處于平衡狀態(tài)的梁adsBA123BA1P2P3PARBReii

43、kkWPR c dsMMds1RkdddsdNF dBiNQAWF dF dMdBeiikkNQiAWPR cF dF dMdW dsNFNFdsQFQFQF dMdidWds結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) BAads真實的位移狀態(tài)真實的位移狀態(tài)虛力狀態(tài)1P BAARBR1kekWR c dsNFNFdsQFQFdsMMd1Rk1RkdddsdsBiNQAWF dF dMdBNQAF dF dMd 單位力作用下5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理1eW ads如何虛設(shè)單如何虛設(shè)單位力？位力？結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理eiWW內(nèi)虛功內(nèi)虛功外虛功外虛功應(yīng)用條件應(yīng)用條件: :l

44、力系滿足平衡條件力系滿足平衡條件l位移滿足變形協(xié)調(diào)條件位移滿足變形協(xié)調(diào)條件結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理MAFQAFQBqxMBABpFNBFNAMFQM+dMFQ+dFQqdxqdxFN+dFNFNpdx平衡條件平衡條件:000dxFdMqdxdFpdxdFQQN結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件:AAABABBBdxddxdudxd0dx+d+ d +d結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理MAFQAFQBqxMBABpFNBFNA平衡力系平衡力系A(chǔ)AABABBB變形狀態(tài)變形狀態(tài)BAAQAANA

45、AABQBBNBBBdxqpFFMFFMW)()()(上述平衡力系在變形狀態(tài)上做功上述平衡力系在變形狀態(tài)上做功結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理微段兩側(cè)截面的應(yīng)力合力在變形上作的內(nèi)虛功為微段兩側(cè)截面的應(yīng)力合力在變形上作的內(nèi)虛功為MFQM+dMFQ+dFQqdxqdxFN+dFNFNpdxdx+d+ d +dBAQNidxFdxFMdW0結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理eiWWBAQNidxFdxFMdW0BAQNBAAQAANAAABQBBNBBBdxFdxFMddxqpFFMFFM0)()()(BAAQAANAAABQBBNBBBedxqpF

46、FMFFMW)()()(結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理變形體虛功原理的證明：變形體虛功原理的證明：000dxFdMqdxdFpdxdFQQN0)()()(BAQBAQBANdxFdMqdxdFpdxdFBAQBABAQNBAQNdxFdxqpMddFdFMFF0)()()()()(MddFdFMFFddMdFdFQNQNQN0)()(BAQBAQNdxFqpdMdFdF結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理變形體虛功原理的證明：變形體虛功原理的證明：BAQBABAQNBAQNdxFdxqpMddFdFMFF0)()()(dxddxddx0)()()()(MddxFdxFFdxqpMFFMFFQBANPBAAAQAANAABBQBBNBB?結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué) 5-8 變形體的虛功原理變形體的虛功原理推廣：推廣：桿件結(jié)構(gòu)中（計入集中荷載所作虛功）：桿件結(jié)構(gòu)中（計入集中荷載所作虛功）：PF)()()(0BAQNPBABAQNMddsFdsFFdxqpMFF)()()()(MddxFdxFF