第四章功與能

1、123第四章第四章 功和能功和能(Work and Energy )1 功；動(dòng)能定理功；動(dòng)能定理2 保守力和系統(tǒng)勢(shì)能保守力和系統(tǒng)勢(shì)能3 機(jī)械能守恒定律；守恒定律的意義機(jī)械能守恒定律；守恒定律的意義4 碰撞碰撞5 兩體問題兩體問題 6 質(zhì)心系質(zhì)心系 7 流體的穩(wěn)定流動(dòng)；伯努利方程流體的穩(wěn)定流動(dòng)；伯努利方程4本章研究：功；動(dòng)能；勢(shì)能；動(dòng)能定理；機(jī)械本章研究：功；動(dòng)能；勢(shì)能；動(dòng)能定理；機(jī)械能守恒定律等。能守恒定律等。要求：要求：搞清各規(guī)律的內(nèi)容、研究對(duì)象搞清各規(guī)律的內(nèi)容、研究對(duì)象(分清它們是屬于分清它們是屬于質(zhì)點(diǎn)系，還是質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系，還是質(zhì)點(diǎn))、成立的條件以及是否與參、成立的條件以及是否與參考系有關(guān)等

2、?？枷涤嘘P(guān)等。 51 功；動(dòng)能定理。功；動(dòng)能定理。 一。功一。功 定義：功是指力與受力質(zhì)點(diǎn)位移的定義：功是指力與受力質(zhì)點(diǎn)位移的標(biāo)量積標(biāo)量積。 212112rdFdAAFrrdFrdFrdFrdFdA cos功反映力對(duì)空間路程的積功反映力對(duì)空間路程的積累效應(yīng)。累效應(yīng)。功是標(biāo)量，有正負(fù)之分，功是標(biāo)量，有正負(fù)之分，功功的正負(fù)取決于力與位移的夾角的正負(fù)取決于力與位移的夾角；m 2LFrd6功是過程量；功的量綱、單位功是過程量；功的量綱、單位(書書P.114) 二。動(dòng)能定理（二。動(dòng)能定理（kinetic energy theorem）1 。對(duì)質(zhì)點(diǎn)。對(duì)質(zhì)點(diǎn) 動(dòng)能定理：動(dòng)能定理：1212kkEEA 221v

3、mEk 動(dòng)能動(dòng)能(對(duì)慣性系對(duì)慣性系) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理的推導(dǎo)：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理的推導(dǎo)：思路：與推導(dǎo)動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理相同思路：與推導(dǎo)動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理相同，從，從牛頓第二定律出發(fā)。元功牛頓第二定律出發(fā)。元功mvdvvdvmvddtrdmrddtvdmrdFdA 7222121abvbamvmvmvdvAdAba v v功功質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理：合力合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量功的大小功的大小反映傳遞給系統(tǒng)能量的多少；反映傳遞給系統(tǒng)能量的多少；正負(fù)正負(fù)反反映是傳給系統(tǒng)能量還是從系統(tǒng)取走能量映是傳給系統(tǒng)能量還是從系統(tǒng)取走能量。kEA 8證明

4、證明cosvdvvdvvvdvdvvdvvdvvvdvdvvddvcosvd 9例例1書書P.115例例4.3：質(zhì)量為：質(zhì)量為m的滑雪運(yùn)動(dòng)員從高的滑雪運(yùn)動(dòng)員從高度為度為H的山頂?shù)纳巾擮開始沿滑雪道下滑至地面，求在開始沿滑雪道下滑至地面，求在這一過程中重力對(duì)他做的功。這一過程中重力對(duì)他做的功。 解：在直角坐標(biāo)系中重力解：在直角坐標(biāo)系中重力 運(yùn)動(dòng)員的元位移運(yùn)動(dòng)員的元位移jmg重力的元功：重力的元功：HYXOjdyidxl d mgdyl djmgdA 重力的功：重力的功：mgHdymgAH 010重力作正功，重力作的功轉(zhuǎn)變成運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能。重力作正功，重力作的功轉(zhuǎn)變成運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能。功是過程量，但在本

5、例題中，重力所作的功功是過程量，但在本例題中，重力所作的功mgH與過程無(wú)關(guān)。與過程無(wú)關(guān)。(注意書注意書P.115的一段話的一段話)如果運(yùn)動(dòng)員與滑雪軌道之間的摩擦系數(shù)為如果運(yùn)動(dòng)員與滑雪軌道之間的摩擦系數(shù)為 ，滑滑雪軌道如圖，求摩擦力對(duì)運(yùn)動(dòng)員做的功雪軌道如圖，求摩擦力對(duì)運(yùn)動(dòng)員做的功解：摩擦力為解：摩擦力為mgNfcos 力的方向與運(yùn)動(dòng)員滑行的方力的方向與運(yùn)動(dòng)員滑行的方向相反，摩擦力對(duì)運(yùn)動(dòng)員作向相反，摩擦力對(duì)運(yùn)動(dòng)員作負(fù)功負(fù)功.YH 11dsmgsdfdA cos cotsinsincoscos00mgHSmgSmgsdfdAAHH 功是過程量，摩擦力所作的功與滑雪道的長(zhǎng)度功是過程量，摩擦力所作的功與

6、滑雪道的長(zhǎng)度有關(guān)，在高度有關(guān)，在高度H相同的情況下，相同的情況下， 愈小，愈小，滑雪道滑雪道愈長(zhǎng)，愈長(zhǎng)，摩擦力所作的功也摩擦力所作的功也愈多愈多 。摩擦力作功與。摩擦力作功與路徑有關(guān)。路徑有關(guān)。12例例2。書書P.115-4.4：有一水平放置、勁度系數(shù)為有一水平放置、勁度系數(shù)為k的彈簧，其一端固定，另一端系一質(zhì)量為的彈簧，其一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的靜的靜止小球如圖。止小球如圖。 (1)外力外力緩慢緩慢地把彈簧從地把彈簧從xA拉到拉到xB，求外力對(duì)小球的功；求外力對(duì)小球的功； (2)在此過程中彈力對(duì)小球的功；在此過程中彈力對(duì)小球的功； (3) 合力對(duì)小球的功。合力對(duì)小球的功。 AxBxox

7、13解：取解：取x軸如圖，原點(diǎn)軸如圖，原點(diǎn)o為小球的平衡位置。已知為小球的平衡位置。已知小球質(zhì)量小球質(zhì)量m ；彈簧勁度系數(shù)；彈簧勁度系數(shù)k 。 (1)當(dāng)當(dāng)外力外力把彈簧從把彈簧從xA緩慢地拉到緩慢地拉到xB，外力的大小，外力的大小為為F=kx，外力對(duì)小球所作的功，外力對(duì)小球所作的功AxBxox0212122 ABBABAkxkxdxkxxdFA外力作正功外力作正功!(2)彈力彈力對(duì)小球作的功：對(duì)小球作的功： 彈性力的大小為彈性力的大小為F= -kx ，方向，方向與小球的位移相反，彈性力所與小球的位移相反，彈性力所作的功為作的功為140212122 BABABAkxkxdxkxxdFA彈性力作彈

8、性力作負(fù)負(fù)功，外力克服彈性力所作的功，外力克服彈性力所作的正功正功完完全轉(zhuǎn)變?yōu)閺椈缮扉L(zhǎng)的彈性勢(shì)能。全轉(zhuǎn)變?yōu)閺椈缮扉L(zhǎng)的彈性勢(shì)能。(3)合力對(duì)小球做的功：對(duì)小球而言，合力合力對(duì)小球做的功：對(duì)小球而言，合力為零為零，合力的功合力的功為零為零Ek=0。若在靜止的若在靜止的B點(diǎn)去掉外力，研究小球在彈性力作點(diǎn)去掉外力，研究小球在彈性力作用下由用下由B點(diǎn)回到點(diǎn)回到A點(diǎn)的過程中彈性力作的功：點(diǎn)的過程中彈性力作的功：15彈性力所作的功為彈性力所作的功為222212121mvkxkxdxkxxdFAABABAB 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，彈性力所作的功轉(zhuǎn)變彈性力所作的功轉(zhuǎn)變?yōu)樾∏蜻\(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。功是過程

9、量，但在本例為小球運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。功是過程量，但在本例AxBx題中，彈性力所作的功與題中，彈性力所作的功與過程無(wú)關(guān)，只與初態(tài)過程無(wú)關(guān)，只與初態(tài)xB和和末態(tài)末態(tài)xA有關(guān)。有關(guān)。(注意書注意書P.116的一的一段話段話 )162。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理： 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的第對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)使用動(dòng)能定理，有使用動(dòng)能定理，有質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理為的動(dòng)能定理為由于由于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移不完全相同每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移不完全相同，質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功點(diǎn)系內(nèi)力的功不為零！不為零！iiiisdfsdf)(i2022121iiiiiiiVmVmAAA內(nèi)外 i2i0ii2iiiiiiiiv

10、m21vm21AAA內(nèi)外17KEAA 內(nèi)外外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系作的功與內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系作的功外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系作的功與內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系作的功之之和和等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量。內(nèi)力雖然成對(duì)出現(xiàn)，等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量。內(nèi)力雖然成對(duì)出現(xiàn)，但內(nèi)力作功之和不一定為零，內(nèi)力也會(huì)改變系但內(nèi)力作功之和不一定為零，內(nèi)力也會(huì)改變系統(tǒng)的總動(dòng)能，如煙火、爆炸。統(tǒng)的總動(dòng)能，如煙火、爆炸。18三?？履嵯６ɡ恚嘿|(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能可以分解為三?？履嵯６ɡ恚嘿|(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能可以分解為質(zhì)點(diǎn)系的軌道動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的軌道動(dòng)能(質(zhì)心的動(dòng)能質(zhì)心的動(dòng)能)加加內(nèi)部動(dòng)能內(nèi)部動(dòng)能(所所有質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能之和有質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能之和)(資用能：資用能： ) (視頻視頻)cekin

11、kceccecceicceccecekEEmvvvvvvE,2iiii2ii2i2ii2iiii2ii21vmvm21)2v(m21)v(m21vm21 =0inkE,19小結(jié)：小結(jié)： 1)內(nèi)力也會(huì)改變系統(tǒng)的總動(dòng)能內(nèi)力也會(huì)改變系統(tǒng)的總動(dòng)能。 (內(nèi)動(dòng)能也能轉(zhuǎn)換為其他形式的能量?jī)?nèi)動(dòng)能也能轉(zhuǎn)換為其他形式的能量) 2) 質(zhì)點(diǎn)系的三個(gè)運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系的三個(gè)運(yùn)動(dòng)定理，注意注意靈活使用靈活使用動(dòng)量定理動(dòng)量定理角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)能定理動(dòng)能定理PdtF21tt外LdtM21tt外KEAA內(nèi)外202 保守力和系統(tǒng)的勢(shì)能保守力和系統(tǒng)的勢(shì)能 一一。一對(duì)內(nèi)力作功之和。一對(duì)內(nèi)力作功之和： 設(shè)設(shè)系統(tǒng)中兩個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中兩

12、個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)m1與與m2 之間的相互作用之間的相互作用力為力為 , ,這這一對(duì)內(nèi)力作功之和為一對(duì)內(nèi)力作功之和為2112ffeerdfrdfdAdAdA22111221 由牛頓第三定律有由牛頓第三定律有2112ff視頻材料：視頻材料：1.141r2r2rd1rd1221)(rdrrd 2112122112212112rdf)rdr(dfrdfrdfdAeeee 1r2r2rd1rd1221)(rdrrd 受質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)點(diǎn)2的作用力。的作用力。上式表明：一對(duì)內(nèi)力作元上式表明：一對(duì)內(nèi)力作元功之和與功之和與參考系無(wú)關(guān)參考系無(wú)關(guān)，12f是質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)1相對(duì)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)點(diǎn)2的元位移，的元位移，12rd是質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)1

13、它等于受力質(zhì)點(diǎn)它等于受力質(zhì)點(diǎn)(m1)受受的力的力 (f12) 和受力質(zhì)點(diǎn)相和受力質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于施力質(zhì)點(diǎn)對(duì)于施力質(zhì)點(diǎn) (m2)元位元位移的點(diǎn)積。移的點(diǎn)積。2212ba12bardfAdA一對(duì)力作的功只決定于質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移，和一對(duì)力作的功只決定于質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移，和所選參考系無(wú)關(guān)，因此可以選相互作用的所選參考系無(wú)關(guān)，因此可以選相互作用的一個(gè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)為參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)為參考點(diǎn)，且可，且可選參考點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)選參考點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐建坐標(biāo)系，只需計(jì)算在此坐標(biāo)系中標(biāo)系，只需計(jì)算在此坐標(biāo)系中靜止質(zhì)點(diǎn)對(duì)另一靜止質(zhì)點(diǎn)對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)的作用力所作的功質(zhì)點(diǎn)的作用力所作的功即可，這樣，求一對(duì)力即可，這樣，求一對(duì)力作功的問題可化為求一

14、個(gè)力作功的問題。作功的問題可化為求一個(gè)力作功的問題。 23例例3：在光滑斜面：在光滑斜面M上有一小物體上有一小物體m，斜面斜面M置置于光滑地面上，求圖中一對(duì)正壓力于光滑地面上，求圖中一對(duì)正壓力N1 、 N2的功的功.解：解：Mmv2N v1NMmv2N v1NmMMemMMeMemMMemeMerdNrdNrdNrdNrdrdNrdNrdNrdNMmdA 21212121)()(，24題中題中N1、N2為一對(duì)內(nèi)力，它們作功均不為零，為一對(duì)內(nèi)力，它們作功均不為零，但作功之和只與在但作功之和只與在M參考系中參考系中N2對(duì)對(duì)m的作用力所的作用力所作的功。因此可以選作的功。因此可以選M作參考物，計(jì)算作

15、參考物，計(jì)算M坐標(biāo)系坐標(biāo)系中中M對(duì)對(duì)m的作用力所作的功即可。的作用力所作的功即可。Mmv2N v1NMmv2N v1N25 例例4書書P. 148-4.6：M靜止在靜止在光滑光滑水平面上；子水平面上；子彈彈 m沿水平方向以速度沿水平方向以速度v射入射入M內(nèi)一段距離內(nèi)一段距離s而而停在停在M內(nèi)如圖內(nèi)如圖 (1)：m和和M之間的摩擦力對(duì)之間的摩擦力對(duì)m和和M各做了多少功各做了多少功? (2)：證明證明m和和M的總機(jī)械能增量等于一對(duì)摩擦的總機(jī)械能增量等于一對(duì)摩擦力之一對(duì)力之一對(duì)m沿相對(duì)位移沿相對(duì)位移s做的功做的功MS1SvMm解解： (1) m和和M之間的摩擦之間的摩擦力對(duì)力對(duì)m和和M各做功的多少：

16、各做功的多少：在在地面參考系地面參考系中，子彈和木中，子彈和木塊在塊在x方向不受外力，動(dòng)量方向不受外力，動(dòng)量26守恒。所以子彈射入守恒。所以子彈射入M后后(M+m)的速度的速度V ：VmMmv)( vMmmV 設(shè)設(shè)M的位移為的位移為s1，則摩擦力對(duì)，則摩擦力對(duì)M做的功等于做的功等于M動(dòng)動(dòng)能的變化：能的變化：2221)(2121vMmmMMVsf摩擦力對(duì)子彈摩擦力對(duì)子彈m做的功等于子彈動(dòng)能的變化：做的功等于子彈動(dòng)能的變化： 1)(212121)(22221MmmmvmvmVssf27MS1SM(2) ：證明證明m和和M的總機(jī)械能的增量等于一對(duì)摩的總機(jī)械能的增量等于一對(duì)摩擦力之一對(duì)擦力之一對(duì)m沿相

17、對(duì)位移沿相對(duì)位移s做的功。做的功。 一對(duì)摩擦力做的功分別為：一對(duì)摩擦力做的功分別為： 121221)Mmm(mv)sf(s221121v)MmmM(sfsf 一對(duì)摩擦力做的總功為一對(duì)摩擦力做的總功為:fsfs)sf(s 11一對(duì)摩擦力做的總功等于一對(duì)摩擦力做的總功等于M對(duì)對(duì)m的摩擦力乘以的摩擦力乘以m相對(duì)相對(duì)M的位移的位移s 。28式中式中 稱為約化質(zhì)量。稱為約化質(zhì)量。22222112121121vmMMmv)MmmM()Mmm(mvfsfs)sf(s 總機(jī)械能的增量等于總機(jī)械能的增量等于2222212121)(21vvMmmMmvVMm MmmM 系統(tǒng)總機(jī)械能的增量等于作用在系統(tǒng)總機(jī)械能的增

18、量等于作用在m上的摩擦力上的摩擦力f 沿相對(duì)沿相對(duì)M的位移的位移s做的功。因此只要做的功。因此只要選選M作參作參29考物，選考物，選M的質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，直接計(jì)算的質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，直接計(jì)算M坐坐標(biāo)系中標(biāo)系中M對(duì)對(duì)m的摩擦力對(duì)的摩擦力對(duì)m所作的功即可。所作的功即可。二二。保守力的功與相應(yīng)的勢(shì)能。保守力的功與相應(yīng)的勢(shì)能 1。保守力的定義：在前面的例保守力的定義：在前面的例1、例、例2中，中，重力重力和彈性力作功和彈性力作功與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)，只決定于系統(tǒng)的始，只決定于系統(tǒng)的始末狀態(tài)，稱這樣的力為末狀態(tài)，稱這樣的力為保守力。保守力。如果保守力如果保守力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)m作功，從作功，從 A點(diǎn)沿點(diǎn)沿L1

19、路徑運(yùn)動(dòng)到末態(tài)路徑運(yùn)動(dòng)到末態(tài)B點(diǎn)點(diǎn) 和從和從A點(diǎn)沿點(diǎn)沿L2路徑運(yùn)動(dòng)到末態(tài)路徑運(yùn)動(dòng)到末態(tài) B的過程所作的功必然相等，的過程所作的功必然相等， Fl d1L2LAB m30Frl d1L2LAB 1m2m BALBALldFldF12保守力的環(huán)流為零！保守力的環(huán)流為零！ 0022212ldFldFldFldFldFldFBALALBABLBALBAL保守力的數(shù)學(xué)表達(dá)式為保守力的數(shù)學(xué)表達(dá)式為0ldF即即31普遍意義：普遍意義： 是描述矢量場(chǎng)基本性質(zhì)是描述矢量場(chǎng)基本性質(zhì)的積分形式。的積分形式。環(huán)流為零的力場(chǎng)是保守場(chǎng)。如環(huán)流為零的力場(chǎng)是保守場(chǎng)。如靜電靜電力力場(chǎng)的環(huán)流也是零場(chǎng)的環(huán)流也是零，所以靜電場(chǎng)也是保

20、，所以靜電場(chǎng)也是保守力場(chǎng)。環(huán)流不為零的矢量場(chǎng)是非保守場(chǎng)，守力場(chǎng)。環(huán)流不為零的矢量場(chǎng)是非保守場(chǎng)，如磁場(chǎng)。如磁場(chǎng)。0ldF322 。常見的幾種保守力。常見的幾種保守力 1) 萬(wàn)有引力萬(wàn)有引力 122221) (rMmGrMmGdrrMmGl drrMmGl dFWrrBABAMm mrMB B 1r2rdrl dr l dr A abmghmghW 2) 重力是保守力！重力是保守力！3) 彈性力是保守力彈性力是保守力222121bkxkxWa 萬(wàn)有引力是保守力！萬(wàn)有引力是保守力！333。保守力的功與相應(yīng)的勢(shì)能。保守力的功與相應(yīng)的勢(shì)能1)勢(shì)能的概念：保守力是指作功與路徑無(wú)關(guān)的勢(shì)能的概念：保守力是指作

21、功與路徑無(wú)關(guān)的力，功只取決于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，所以存在一力，功只取決于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，所以存在一個(gè)與位置有關(guān)的函數(shù)，由這個(gè)位置決定的函數(shù)個(gè)與位置有關(guān)的函數(shù)，由這個(gè)位置決定的函數(shù)稱為勢(shì)能函數(shù)。稱為勢(shì)能函數(shù)。 (1)只有保守力才有相應(yīng)的勢(shì)能只有保守力才有相應(yīng)的勢(shì)能 (2)勢(shì)能屬于有保守力作用的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)勢(shì)能屬于有保守力作用的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng) (3)勢(shì)能與參考系的選擇無(wú)關(guān)勢(shì)能與參考系的選擇無(wú)關(guān)作功與路徑作功與路徑有關(guān)有關(guān)的力稱為的力稱為非非保守力。例如：一保守力。例如：一對(duì)滑動(dòng)摩擦力作功與路徑有關(guān)；對(duì)滑動(dòng)摩擦力作功與路徑有關(guān)； 34(4)勢(shì)能的大小與勢(shì)能零點(diǎn)的選擇有關(guān)勢(shì)能的大小與勢(shì)能零點(diǎn)的選擇有關(guān)(

22、5)質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力有：保守內(nèi)力；非保守內(nèi)力。質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力有：保守內(nèi)力；非保守內(nèi)力。mrMB B 1r2rdrl dr l dr A2)常見的幾種勢(shì)能常見的幾種勢(shì)能(1).萬(wàn)有引力勢(shì)能：萬(wàn)有引力勢(shì)能： 選無(wú)限遠(yuǎn)為萬(wàn)有引力勢(shì)能的零點(diǎn)，選無(wú)限遠(yuǎn)為萬(wàn)有引力勢(shì)能的零點(diǎn)，當(dāng)外力把當(dāng)外力把m從坐標(biāo)從坐標(biāo)r移至勢(shì)能零點(diǎn)移至勢(shì)能零點(diǎn)處時(shí)，外力所作的功等于系統(tǒng)勢(shì)處時(shí)，外力所作的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的增量。能的增量。RMmGdrrMmGWRMm 235mrMB B 1r2rdrl dr l dr A0)()(2112221 prrMmErMmGrMmGrMmGrMmGdrrMmGW所以所以m在坐標(biāo)在坐標(biāo)r處的勢(shì)能為：處的勢(shì)

23、能為：RMmG(R)Ep 萬(wàn)有引力作正功等于萬(wàn)有引力勢(shì)能的減少：萬(wàn)有引力作正功等于萬(wàn)有引力勢(shì)能的減少：RMmG(R)Ep 00 pE36mghhEp )(2)重力勢(shì)能：選重力勢(shì)能：選h=0為重力勢(shì)能為重力勢(shì)能的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。重力作正功等于重力勢(shì)能的減少。重力作正功等于重力勢(shì)能的減少。hHmo(3)彈性勢(shì)能：選彈簧的原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能：選彈簧的原長(zhǎng)為 勢(shì)能的零點(diǎn)，外力使彈簧伸長(zhǎng)勢(shì)能的零點(diǎn)，外力使彈簧伸長(zhǎng)x所作的功等于所作的功等于彈性勢(shì)能的增量，彈性勢(shì)能的增量， xkxdxkxW0221 kxxEp221)( 彈性勢(shì)能的表達(dá)式為彈性勢(shì)能的表達(dá)式為37彈性力作正功等于彈性勢(shì)能的減少?gòu)椥粤ψ髡Φ扔趶椥詣?shì)

24、能的減少pbaEkxkxW 222121Ll df三三。勢(shì)能函數(shù)與保守力。勢(shì)能函數(shù)與保守力 由勢(shì)能函數(shù)由勢(shì)能函數(shù)Ep求保守力求保守力f： 如果如果質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)中沿一路徑質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)中沿一路徑L運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勢(shì)能的根據(jù)勢(shì)能的定義和保守力作功等于勢(shì)能的減少，有：定義和保守力作功等于勢(shì)能的減少，有：PldEdlfl dfdldEfpl結(jié)論：保守力在結(jié)論：保守力在l方向的分量就是相應(yīng)方向的分量就是相應(yīng)的勢(shì)能在的勢(shì)能在 l 方向?qū)?shù)的負(fù)值方向?qū)?shù)的負(fù)值。38如果引入梯度算符：如果引入梯度算符：保守力可表示為：保守力可表示為：xEfPxyEfPyzEfPzzzEyyExxEzfyfxffPPPzyx gra

25、dzzyyxx 在直角坐標(biāo)系中，勢(shì)能函數(shù)在三個(gè)坐標(biāo)軸方向在直角坐標(biāo)系中，勢(shì)能函數(shù)在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的導(dǎo)數(shù)與保守力的關(guān)系分別是：上的導(dǎo)數(shù)與保守力的關(guān)系分別是：39求保守力的大小求保守力的大小解：代公式解：代公式例例5：一物體在一物體在 x0 范圍內(nèi)在保守力的作用下沿范圍內(nèi)在保守力的作用下沿x 軸正向運(yùn)動(dòng)。與該保守力相應(yīng)的勢(shì)能函數(shù)是軸正向運(yùn)動(dòng)。與該保守力相應(yīng)的勢(shì)能函數(shù)是xbxaxEp 2)()0(x23232)2(xbxaxbxaxEfPx 則有：則有：PPEgradEf 保守力等于勢(shì)能的負(fù)梯度保守力等于勢(shì)能的負(fù)梯度( (gradient ) )402 。由勢(shì)能函數(shù)曲線分析保守力：已知某雙原子。由

26、勢(shì)能函數(shù)曲線分析保守力：已知某雙原子分子勢(shì)能曲線如圖，試分析兩原子之間的相互分子勢(shì)能曲線如圖，試分析兩原子之間的相互作用力作用力rEp r0Or 斜率斜率 = 0 斜率斜率 0 斜率斜率 r0的區(qū)域是引力。的區(qū)域是引力。r r0 ：0drdEfpr0drdEp斜率斜率 0 ，0drdEfpr斜率斜率 = 0 ，r = r0 ：r0是合力為零的平衡位置。是合力為零的平衡位置。41斜率斜率r r0 ：0drdEp0drdEfpr勢(shì)能曲線的作用：勢(shì)能曲線的作用： (1)根據(jù)勢(shì)能曲線的形狀可以討論物體的運(yùn)動(dòng)根據(jù)勢(shì)能曲線的形狀可以討論物體的運(yùn)動(dòng) (2)利用勢(shì)能曲線，可以判斷物體在各個(gè)位置所利用勢(shì)能曲線，

27、可以判斷物體在各個(gè)位置所受保守力的大小和方向。受保守力的大小和方向。在在r0 ，系統(tǒng)的動(dòng)能增加，勢(shì)能將減少。，系統(tǒng)的動(dòng)能增加，勢(shì)能將減少。45式中式中x以以m為單位，勢(shì)能以為單位，勢(shì)能以J為單位，為單位， a =1Jm2 ，b=2J m 。 (1)畫出質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能曲線；找出質(zhì)點(diǎn)的平衡位置畫出質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能曲線；找出質(zhì)點(diǎn)的平衡位置 (2)分析質(zhì)點(diǎn)受力的性質(zhì)分析質(zhì)點(diǎn)受力的性質(zhì)(3)設(shè)質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能設(shè)質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能E = - 0.50J 保持不變，求質(zhì)保持不變，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍。例例6：已知已知m=1kg的質(zhì)點(diǎn)在保守力的質(zhì)點(diǎn)在保守力F(x)的作用下的作用下沿沿x 軸正向運(yùn)動(dòng)。與該保守力相應(yīng)的勢(shì)能

28、函數(shù)是軸正向運(yùn)動(dòng)。與該保守力相應(yīng)的勢(shì)能函數(shù)是xbxaxEp2)()0(x46解解：(1)根據(jù)根據(jù)勢(shì)能的表達(dá)式作數(shù)據(jù)表來(lái)畫出勢(shì)能勢(shì)能的表達(dá)式作數(shù)據(jù)表來(lái)畫出勢(shì)能曲線曲線x/mEp(x)/J0.20.51501-1.0-0.75-0.55-0.44234xbxaxEp2)(a =1Jm2 ，b=2J m 。從數(shù)據(jù)表與勢(shì)能曲線可從數(shù)據(jù)表與勢(shì)能曲線可看出，在看出，在x=1m附近勢(shì)能附近勢(shì)能最小，質(zhì)點(diǎn)的平衡位置最小，質(zhì)點(diǎn)的平衡位置就在就在x=1m附近。附近。 10 01 115151 12 23 34 4x /mEP /J47用公式求物體的平衡位置：用公式求物體的平衡位置：xbxa(x)Ep 2)( 12

29、mbax 0223 xbxadxdEFp解得解得x=1m ，這就是質(zhì)，這就是質(zhì)點(diǎn)的平衡位置，在該點(diǎn)的平衡位置，在該點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)受合力為零。點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)受合力為零。 10 01 115151 12 23 34 4x /mEP /J48mx0 . 1 為吸引力為吸引力(2) x1.0m為排斥力為排斥力0)( 1 Fmx(3)運(yùn)動(dòng)范圍：運(yùn)動(dòng)范圍： 物體的總能量物體的總能量E=Ep(x)+Ek(x)=-0.5J保持不變，保持不變，物體的運(yùn)動(dòng)被斥力和引力束縛在一定范圍之內(nèi)物體的運(yùn)動(dòng)被斥力和引力束縛在一定范圍之內(nèi),即即物體動(dòng)能物體動(dòng)能為零的位置為零的位置就是物體運(yùn)動(dòng)范圍的邊就是物體運(yùn)動(dòng)范圍的邊界界。EP /J 10

30、01 115151 12 23 34 4x /mE49由此解得由此解得 10 01 115151 12 23 34 4x /mEP /Jmx)22( )(59. 0221m-x )(14. 3222mx JxbxaxEp50. 0)(2 m.xm.143590 物體的運(yùn)動(dòng)范圍物體的運(yùn)動(dòng)范圍在在動(dòng)能為零處有動(dòng)能為零處有思考：?jiǎn)螖[的勢(shì)能曲線思考：?jiǎn)螖[的勢(shì)能曲線與右圖有什么不同？與右圖有什么不同？50三。普遍的能量守恒定律三。普遍的能量守恒定律一個(gè)一個(gè)孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)，如果考慮各種物理現(xiàn)象，計(jì)及，如果考慮各種物理現(xiàn)象，計(jì)及各種能量，則該孤立系統(tǒng)不管經(jīng)歷何種變化，各種能量，則該孤立系統(tǒng)不管經(jīng)歷何種變化

31、，系統(tǒng)所有能量的總和保持不變，這就是普遍的系統(tǒng)所有能量的總和保持不變，這就是普遍的能量守恒定律。機(jī)械能守恒定律是普遍能量守能量守恒定律。機(jī)械能守恒定律是普遍能量守恒定律在機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的體現(xiàn)。恒定律在機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的體現(xiàn)。四。守恒定律的意義四。守恒定律的意義(參看書參看書P.131 )1.守恒定律守恒定律力學(xué)中：動(dòng)量守恒定律；角動(dòng)量守恒定律；機(jī)力學(xué)中：動(dòng)量守恒定律；角動(dòng)量守恒定律；機(jī)械能守恒定律。械能守恒定律。51自然界中還有：自然界中還有：質(zhì)能質(zhì)能守恒定律；守恒定律；電荷電荷守恒定律；守恒定律； (粒子物理中的粒子物理中的)重子數(shù)、輕子數(shù)、奇異數(shù)、宇重子數(shù)、輕子數(shù)、奇異數(shù)、宇稱守恒定律稱守恒

32、定律- - - 2。守恒定律的特點(diǎn)。守恒定律的特點(diǎn)(1)方法上：不針對(duì)過程的細(xì)節(jié)，只研究始末態(tài)方法上：不針對(duì)過程的細(xì)節(jié)，只研究始末態(tài)的關(guān)系。的關(guān)系。(2)適用范圍廣：宏觀、微觀、高速、低速均適適用范圍廣：宏觀、微觀、高速、低速均適用。用。3。物理學(xué)家特別重視對(duì)守恒量和守恒定律的研。物理學(xué)家特別重視對(duì)守恒量和守恒定律的研究！究！52(1)遇到問題，首先從已有的守恒定律去思遇到問題，首先從已有的守恒定律去思 考、研究。考、研究。(2)如發(fā)現(xiàn)矛盾，一般是堅(jiān)信守恒定律，而去如發(fā)現(xiàn)矛盾，一般是堅(jiān)信守恒定律，而去 探尋問題中的未知因素探尋問題中的未知因素(如中微子的發(fā)現(xiàn)如中微子的發(fā)現(xiàn))53例例7 P.12

33、8-4.11 用一個(gè)輕彈簧把一個(gè)金屬盤懸掛起來(lái)使彈簧伸用一個(gè)輕彈簧把一個(gè)金屬盤懸掛起來(lái)使彈簧伸長(zhǎng)了長(zhǎng)了l1=10cm。一個(gè)質(zhì)量和盤質(zhì)量相同的泥球從。一個(gè)質(zhì)量和盤質(zhì)量相同的泥球從高于盤高于盤h = 30cm處由靜止下落到盤上。求：盤處由靜止下落到盤上。求：盤向下運(yùn)動(dòng)的最大距離向下運(yùn)動(dòng)的最大距離l2(視頻材料視頻材料)2l1lh討論討論：設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)；：設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)；彈簧的最低點(diǎn)彈簧的最低點(diǎn)l2為重力勢(shì)能的零點(diǎn)。為重力勢(shì)能的零點(diǎn)。初態(tài)系統(tǒng)的能量：彈簧的彈性勢(shì)能；泥球初態(tài)系統(tǒng)的能量：彈簧的彈性勢(shì)能；泥球的重力勢(shì)能和盤的重力勢(shì)能的重力勢(shì)能和盤的重力勢(shì)能2221)(21m

34、gllhmgklE 54?21)2(212221kllhmgklE 能否用機(jī)械能守恒求解能否用機(jī)械能守恒求解?即即解：過程解：過程1：泥球從離盤：泥球從離盤h=30cm處由靜止下落處由靜止下落到與盤面接觸前的一瞬間，到與盤面接觸前的一瞬間，機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒2121mVmgh 過程過程2：泥球與盤的非彈性碰撞，：泥球與盤的非彈性碰撞， t0，除，除碰撞碰撞以外的以外的力均可忽略，動(dòng)量守恒力均可忽略，動(dòng)量守恒不能！因?yàn)榇嬖诜潜Ｊ貎?nèi)力不能！因?yàn)榇嬖诜潜Ｊ貎?nèi)力!ghV21 末態(tài)系統(tǒng)的能量末態(tài)系統(tǒng)的能量221)(21llk 55過程過程3：彈簧伸長(zhǎng)的過程，機(jī)械能守恒：彈簧伸長(zhǎng)的過程，機(jī)械能守恒221

35、21222)(2121)2()2(21llkklglmVmE 222ghV 式中由式中由mgkl 1只有一個(gè)未知數(shù)只有一個(gè)未知數(shù)l2，解之得，解之得l2=30cmmghghmVmmgh2142)2(21)2(2122 212mVmV 存在非保守內(nèi)力，機(jī)械能不守恒存在非保守內(nèi)力，機(jī)械能不守恒22212ghVV 56例例8：試求第一宇宙速度；第二宇宙速度：試求第一宇宙速度；第二宇宙速度解：第一宇宙速度是指質(zhì)點(diǎn)能夠不落回地面的解：第一宇宙速度是指質(zhì)點(diǎn)能夠不落回地面的最小速度。最小速度。RVmmgRMmG22 skmgRV/9 . 7 57第二宇宙速度：第二宇宙速度：P.128-4.12第二宇宙速度即

36、物體從地面出發(fā)的逃逸速度，第二宇宙速度即物體從地面出發(fā)的逃逸速度，逃逸速度指逃脫地球引力所需要的從地面出發(fā)逃逸速度指逃脫地球引力所需要的從地面出發(fā)的最小速度。地球半徑取的最小速度。地球半徑取R=6.4106m。 解：選地球和物體作為被研究的系統(tǒng)。解：選地球和物體作為被研究的系統(tǒng)。 逃逸速度逃逸速度：地球地球M與物體與物體m組成的系統(tǒng)只存在保組成的系統(tǒng)只存在保守內(nèi)力，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。在地球表面守內(nèi)力，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。在地球表面的機(jī)械能為的機(jī)械能為)(212RGMmmVER m逃至無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)的最小機(jī)械能為逃至無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)的最小機(jī)械能為580)(212 GMmmVE機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒0)(2

37、12 RGMmmVERRgRGMVR22 例例9： P. 129-4.13水星繞太陽(yáng)運(yùn)行軌道的近日點(diǎn)水星繞太陽(yáng)運(yùn)行軌道的近日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離為到太陽(yáng)的距離為1Vkm1059. 4r71遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離為遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離為km1098. 6r72求水星越過近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速率求水星越過近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速率2VskmgRV/2 .112 59水星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行水星與太陽(yáng)之間水星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行水星與太陽(yáng)之間的作用力為有心力，水星的的作用力為有心力，水星的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒；水星；水星與太陽(yáng)之間的作用力為保守力，與太陽(yáng)之間的作用力為保守力，機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒。已知已知r1 、r2

38、求求V1 、V22211VmrVmr 2211VrmVrm 由水星的角動(dòng)量守恒，有由水星的角動(dòng)量守恒，有水星與太陽(yáng)之間的作用力為保守力，機(jī)械能水星與太陽(yáng)之間的作用力為保守力，機(jī)械能守恒，守恒，602221212121rGMmmVrGMmmV 兩個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)方程，解得兩個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)方程，解得)(221121rrrGMrV )(221212rrrGMrV 614 碰撞碰撞碰撞是指兩個(gè)物體在碰撞是指兩個(gè)物體在急短急短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生的時(shí)間內(nèi)發(fā)生強(qiáng)烈強(qiáng)烈相相互作用的過程。碰撞過程通常十分復(fù)雜，難于互作用的過程。碰撞過程通常十分復(fù)雜，難于對(duì)過程的細(xì)節(jié)進(jìn)行分析，只能關(guān)心物體在碰撞對(duì)過程的細(xì)節(jié)進(jìn)行分析，只能

39、關(guān)心物體在碰撞前后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化前后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化 。碰撞過程中外力可以忽。碰撞過程中外力可以忽略，可以利用動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒、對(duì)彈性略，可以利用動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒、對(duì)彈性碰撞，碰撞前后的總動(dòng)能不變碰撞，碰撞前后的總動(dòng)能不變 、機(jī)械能守恒等、機(jī)械能守恒等求解。求解。例例10 ：書：書P. 133-4.15完全非彈性碰撞指兩個(gè)物體碰撞后不再分開。完全非彈性碰撞指兩個(gè)物體碰撞后不再分開。622 21 1V VV V211mmP VmmP)(212 已知兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量分別為已知兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量分別為m1 、 m2 ，碰，碰撞前兩個(gè)物體的速度分別為撞前兩個(gè)物體的速度分別為 ，碰后兩，碰后兩物

40、體粘在一起。求因碰撞而損失的動(dòng)能。物體粘在一起。求因碰撞而損失的動(dòng)能。21VV、解：無(wú)外力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。碰撞前兩物體的動(dòng)解：無(wú)外力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。碰撞前兩物體的動(dòng)量為量為碰撞后兩物體粘在一起的動(dòng)量為碰撞后兩物體粘在一起的動(dòng)量為Vm1m21V2V系統(tǒng)動(dòng)量守恒系統(tǒng)動(dòng)量守恒VmmVmVm)(212211 63粘在一起的兩物體的速度粘在一起的兩物體的速度cVmmVmVm 212211V V碰撞前系統(tǒng)的動(dòng)能為碰撞前系統(tǒng)的動(dòng)能為(參考柯尼希定理參考柯尼希定理)inkcekccceeeEEVmVmVmmVmVmE,22221122122221112121)(212121 cekceEVmmE,2212)(

41、21 碰撞后系統(tǒng)的動(dòng)能為碰撞后系統(tǒng)的動(dòng)能為0, inkEcVmmVmVm 212211V V64由于碰撞而損失的是系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)能由于碰撞而損失的是系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)能Ek,in :cekceEvmmE,2212)(21 思考：思考：例例9中中泥球與盤的資用能泥球與盤的資用能 資用能資用能： 運(yùn)用碰撞把碰撞前動(dòng)能中可用于轉(zhuǎn)變成其它形式運(yùn)用碰撞把碰撞前動(dòng)能中可用于轉(zhuǎn)變成其它形式能量的部分稱為資用能。獲得最大資用能的思路能量的部分稱為資用能。獲得最大資用能的思路是盡可能減少軌道動(dòng)能是盡可能減少軌道動(dòng)能2212212121221221121222211,)(21)(21)(212121VVVVmmmmmmVmV

42、mmmVmVmEink 65例例11 ：書：書P. 134-4.16彈性碰撞彈性碰撞指兩個(gè)物體碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量、動(dòng)指兩個(gè)物體碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量、動(dòng)能都沒有損失的碰撞。能都沒有損失的碰撞。對(duì)心碰撞對(duì)心碰撞指碰前沿一條直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體碰指碰前沿一條直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體碰撞后仍然沿同一條直線運(yùn)動(dòng)。撞后仍然沿同一條直線運(yùn)動(dòng)。已知對(duì)心碰撞的兩物體的質(zhì)量分別為已知對(duì)心碰撞的兩物體的質(zhì)量分別為m1、m2，碰撞前兩物體的速度分別為碰撞前兩物體的速度分別為v10 、 v20 。 求碰撞后的速度求碰撞后的速度v1、v2解：系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有解：系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有2211202101vmvmvmvm 66總動(dòng)能保持不

43、變：總動(dòng)能保持不變：兩個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)方程，解得彈性碰撞后兩物兩個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)方程，解得彈性碰撞后兩物體的速度為體的速度為2222112202210121212121vmvmvmvm 2021210212112vmmmvmmmmv 1021120211222vmmmvmmmmv 討論：討論：1 。如果。如果m1=m2，兩物相互交換速度：兩物相互交換速度：10220VVV 1 1V V672。如果。如果m1m2，v20=0，則有則有101021211vvmmmmv 02102112 vmmmv68對(duì)第四章的思路作一個(gè)梳理對(duì)第四章的思路作一個(gè)梳理質(zhì)點(diǎn)的功能定理質(zhì)點(diǎn)的功能定理質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系的功能定理功

44、能定理外力外力、內(nèi)力內(nèi)力000 ttiiitti)dtf(dtf內(nèi)力作功之和不為零內(nèi)力作功之和不為零00sin)( oijjiijjifrrfrr0 iim內(nèi)力矩之和為零內(nèi)力矩之和為零 iiiisd)f(sdfi內(nèi)力的沖量之和為零內(nèi)力的沖量之和為零69由由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)兩個(gè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互作用力質(zhì)點(diǎn)相互作用力作功之和作功之和兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互作用的保守力作功兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互作用的保守力作功勢(shì)能勢(shì)能(由保守力求勢(shì)能；由勢(shì)能求保守力由保守力求勢(shì)能；由勢(shì)能求保守力) (碰碰撞；資用能撞；資用能)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互作用力的牛頓定律還有沒有可以兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互作用力的牛頓定律還有沒有可以討論的？討論的？705

45、兩體問題兩體問題兩體問題是研究?jī)蓚€(gè)質(zhì)點(diǎn)在它們之間的相互作用兩體問題是研究?jī)蓚€(gè)質(zhì)點(diǎn)在它們之間的相互作用力作用下的運(yùn)動(dòng)問題，這類問題可簡(jiǎn)化為單體問力作用下的運(yùn)動(dòng)問題，這類問題可簡(jiǎn)化為單體問題處理。題處理。21f設(shè)一對(duì)相互作用質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為設(shè)一對(duì)相互作用質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1 、 m2，它們之，它們之間的相互作用力為間的相互作用力為12f12fm2m1r2r1Or21f圖中圖中 o為慣性系的坐標(biāo)原點(diǎn)，為慣性系的坐標(biāo)原點(diǎn)，是由是由m2指向指向m1的位置矢量。的位置矢量。122121rrrrrreeee r根據(jù)牛頓定律有根據(jù)牛頓定律有71（1）（2）： )2()1(12 mm12fm2m1r2r1Or21f21

46、2112dtrdmf22221221dtrdmff1221221221f )m(mdt)rr (dmm (r)fdtrd1222 （5.1）式顯示，在一對(duì)相互式顯示，在一對(duì)相互作用力的作用下，質(zhì)點(diǎn)作用力的作用下，質(zhì)點(diǎn) m1 相相對(duì)于對(duì)于 m2 的運(yùn)動(dòng)，與一個(gè)質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)，與一個(gè)質(zhì)量為為 、受同樣力作用的質(zhì)點(diǎn)、受同樣力作用的質(zhì)點(diǎn)（5.1）2121mmmm 72221222ABABBABAvvvdvrddtvdrd(r)f 在以在以m2為坐標(biāo)原點(diǎn)的參考系中的運(yùn)動(dòng)相同為坐標(biāo)原點(diǎn)的參考系中的運(yùn)動(dòng)相同，雖雖然以然以m2為坐標(biāo)原點(diǎn)的參考系不是慣性系，但是為坐標(biāo)原點(diǎn)的參考系不是慣性系，但是只要將只要將m1用用

47、 代替，代替，牛頓第二定律就適用。牛頓第二定律就適用。 稱稱為為約化質(zhì)量約化質(zhì)量功能原理：以功能原理：以m2為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)， f12對(duì)對(duì)m1 作的功作的功12fm2m1r73例例12 ：書：書P. 138-4.18 在實(shí)驗(yàn)室參考系中有相距在實(shí)驗(yàn)室參考系中有相距很遠(yuǎn)的一個(gè)質(zhì)子很遠(yuǎn)的一個(gè)質(zhì)子 (mp,+e)和氦核和氦核(M=4mp,+2e)相向相向運(yùn)動(dòng)，速率都是運(yùn)動(dòng)，速率都是v0 ，求二者能達(dá)到的最近距離，求二者能達(dá)到的最近距離解：這是機(jī)械能轉(zhuǎn)為電勢(shì)能的問題。解：這是機(jī)械能轉(zhuǎn)為電勢(shì)能的問題。 方法方法(1)運(yùn)用兩體問題求解。取氦核為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)用兩體問題求解。取氦核為坐標(biāo)原點(diǎn)，約化質(zhì)量為約

48、化質(zhì)量為5444pppppmmmmm x0v0v74質(zhì)子相對(duì)氦核的速度質(zhì)子相對(duì)氦核的速度i-2vv-vvvv0eMmeMememM x0v0v20)2(21vEk 所以質(zhì)子相對(duì)氦核的速度為所以質(zhì)子相對(duì)氦核的速度為2v0 ； 靜電力是保守力，系統(tǒng)的能量守恒，初態(tài)：質(zhì)靜電力是保守力，系統(tǒng)的能量守恒，初態(tài)：質(zhì)子、氦核相距很遠(yuǎn)時(shí)系統(tǒng)只有動(dòng)能，其值為子、氦核相距很遠(yuǎn)時(shí)系統(tǒng)只有動(dòng)能，其值為75二者達(dá)到最近距離時(shí)，質(zhì)子相對(duì)氦核的速度為二者達(dá)到最近距離時(shí)，質(zhì)子相對(duì)氦核的速度為零，相對(duì)氦核的動(dòng)能為零，動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為靜零，相對(duì)氦核的動(dòng)能為零，動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為靜電勢(shì)能電勢(shì)能rekEp22 pkEE rekmvvmvm

49、M220202258)2(542121 20245mvker 76方法方法(2)運(yùn)用柯尼希定理：運(yùn)用柯尼希定理： 在實(shí)驗(yàn)室參考系中，質(zhì)子在實(shí)驗(yàn)室參考系中，質(zhì)子(mp)和氦核和氦核(M=4mp)質(zhì)質(zhì)心的速度為心的速度為0005354vmvmvmvpppc 根據(jù)柯尼希定理，系統(tǒng)的總能量可以表示為質(zhì)根據(jù)柯尼希定理，系統(tǒng)的總能量可以表示為質(zhì)心的動(dòng)能心的動(dòng)能加加內(nèi)動(dòng)能。質(zhì)子相對(duì)質(zhì)心的速度：內(nèi)動(dòng)能。質(zhì)子相對(duì)質(zhì)心的速度：CmM0005853vvvvvvvvcemeecmemc 770005253vvvvvvvvceMeecMeMc CmM氦核相對(duì)質(zhì)心的速度：氦核相對(duì)質(zhì)心的速度：質(zhì)心的動(dòng)能質(zhì)心的動(dòng)能：20)5

50、3(521vmEpc 內(nèi)動(dòng)能內(nèi)動(dòng)能202020)54(521)52(421)58(21vmvmvmEpppin 78內(nèi)動(dòng)能就是內(nèi)動(dòng)能就是資用能資用能，是這部分能量轉(zhuǎn)變成電勢(shì)，是這部分能量轉(zhuǎn)變成電勢(shì)能，所以有能，所以有re2k)v54(m521E220p20245vmkerp 79 6 質(zhì)心參考系質(zhì)心參考系(書書P.97)一。質(zhì)心參考系是以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)的參考系。一。質(zhì)心參考系是以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)的參考系。討論質(zhì)心參考系中質(zhì)點(diǎn)系的討論質(zhì)心參考系中質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)、速度速度、質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量、動(dòng)能點(diǎn)系的動(dòng)量、動(dòng)能：在質(zhì)心參考系中質(zhì)心的坐標(biāo)、速度為在質(zhì)心參考系中質(zhì)心的坐標(biāo)、速度為0 Cv在質(zhì)心參

51、考系中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在質(zhì)心參考系中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量因此也稱質(zhì)心參考系為因此也稱質(zhì)心參考系為零動(dòng)量參考系零動(dòng)量參考系。0 icivm0 iiiciiccmrmr80二二。 質(zhì)心系中的質(zhì)心系中的角動(dòng)量角動(dòng)量(書書P.106)1。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)慣性系坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量與。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)慣性系坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量與相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量之間的關(guān)系相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量之間的關(guān)系根據(jù)相對(duì)性原理有根據(jù)相對(duì)性原理有質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系oiCceicierrr 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量為點(diǎn)的角動(dòng)量為 21 2icikvmE在質(zhì)心參考系中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能在質(zhì)心參考系中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能ieieiivrmL 稱稱Ek為質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)動(dòng)能，用為質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)動(dòng)

52、能，用Ek,in 表示。表示。81 ceceiciiceceiciiiciciiceceiiicceiiceiciiiciciiiceicceiciieieiivrmvmrvrmvrmvrmvrmvrmvrmvvrrmvrmL )()()()()(）（）（）（）（00cceceiciciiceceLPrvrmvrmL )(上式說(shuō)明：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)慣性系中某點(diǎn)上式說(shuō)明：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)慣性系中某點(diǎn)O的角動(dòng)量的角動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心相對(duì)質(zhì)心相對(duì)慣性系慣性系該點(diǎn)該點(diǎn)的角動(dòng)量（軌的角動(dòng)量（軌道角動(dòng)量）道角動(dòng)量）cecePr 角動(dòng)量角動(dòng)量)(ciciiicvrmL 之和之和與與質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角質(zhì)點(diǎn)系對(duì)

53、質(zhì)心的角822 。 質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系所受到的外力矩質(zhì)點(diǎn)系所受到的外力矩 dtPdrFrFrFrFrrFrMceceiiiciiceiiiciiceiciiie )()()()(質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的變化率質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的變化率dtLddtPdrdtLddtPdrPdtrdvrmPrdtddtLdccececcecececeiicicicece )(=083兩式對(duì)比可得兩式對(duì)比可得dtLdMFrcciiic 上式說(shuō)明：質(zhì)點(diǎn)系受到的上式說(shuō)明：質(zhì)點(diǎn)系受到的對(duì)質(zhì)心的合外力矩對(duì)質(zhì)心的合外力矩等等于于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量的變化率質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量的變化率84 7 流體的穩(wěn)定流動(dòng)；伯努

54、利方程流體的穩(wěn)定流動(dòng)；伯努利方程理想流體：不可壓縮；無(wú)粘滯性。理想流體：不可壓縮；無(wú)粘滯性。穩(wěn)定流動(dòng)：在整個(gè)流道中各流體元的速度不隨穩(wěn)定流動(dòng)：在整個(gè)流道中各流體元的速度不隨時(shí)間改變。時(shí)間改變。一。連續(xù)性方程：以一。連續(xù)性方程：以v1、v2分別表示水流過截面分別表示水流過截面S1、S2的速率，在的速率，在 t時(shí)間內(nèi)流過兩截面處的水時(shí)間內(nèi)流過兩截面處的水的體積分別為的體積分別為S1v1 t和和S2v2 t ；由于討論的是；由于討論的是理想流體的穩(wěn)定流動(dòng)，所以有理想流體的穩(wěn)定流動(dòng)，所以有1S1V2V2S稱稱tvStvS 22112211vSvS 為連續(xù)性方程為連續(xù)性方程85例例13：園林工人澆花用的

55、橡皮管入水口截面直：園林工人澆花用的橡皮管入水口截面直徑是徑是r=6.4 10-2m，出水口直徑是，出水口直徑是r=2.5 10-2m，若入水口的速度是若入水口的速度是4.0m/s，求出水口的速度，求出水口的速度解：由連續(xù)性方程解：由連續(xù)性方程)/(260 . 45 . 24 . 6222112smSvSv 2211vSvS 二。伯努利方程二。伯努利方程伯努利方程是流體動(dòng)力學(xué)的基本定律，它說(shuō)明伯努利方程是流體動(dòng)力學(xué)的基本定律，它說(shuō)明理想流體在管道中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，流體中某點(diǎn)理想流體在管道中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，流體中某點(diǎn)的壓強(qiáng)的壓強(qiáng) p、流速、流速v和高度和高度h 三個(gè)量之間的關(guān)系為三個(gè)量之間的關(guān)系為86.21