利用C程序編寫格拉姆-施密特正交化的過程

1、利用C程序編寫格拉姆-施密特正交化的過程格拉姆-施密特正交化 在線性代數(shù)中，如果內(nèi)積空間上的一組向量能夠組成一個子空間，那么這一組向量就稱為這個子空間的一個基。GramSchmidt正交化提供了一種方法，能夠通過這一子空間上的一個基得出子空間的一個正交基，并可進一步求出對應(yīng)的標(biāo)準正交基。這種正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他們更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這一方法。在李群分解中，這種方法被推廣為巖澤分解（Iwasawa decomposition）。在數(shù)值計算中，GramSchmidt正交

2、化是數(shù)值不穩(wěn)定的，計算中累積的舍入誤差會使最終結(jié)果的正交性變得很差。因此在實際應(yīng)用中通常使用豪斯霍爾德變換或Givens旋轉(zhuǎn)進行正交化。記法· ：維數(shù)為n 的內(nèi)積空間· ：中的元素，可以是向量、函數(shù)，等等· ：與的內(nèi)積· ：、張成的子空間· ：在上的投影基本思想Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個新的正交基。設(shè)。是上的維子空間，其標(biāo)準正交基為，且不在上。由投影原理知，與其在上的投影之差是正交于子空間的，亦即正交于的正交基。因此只要將單位化，即那么就是在上擴展的子空間的標(biāo)準正交基。根據(jù)上述

3、分析，對于向量組張成的空間 ()，只要從其中一個向量（不妨設(shè)為）所張成的一維子空間開始（注意到就是的正交基），重復(fù)上述擴展構(gòu)造正交基的過程，就能夠得到 的一組正交基。這就是Gram-Schmidt正交化。算法首先需要確定已有基底向量的順序，不妨設(shè)為。Gram-Schmidt正交化的過程如下：這樣就得到上的一組正交基，以及相應(yīng)的標(biāo)準正交基。例考察如下歐幾里得空間Rn中向量的集合，歐氏空間上內(nèi)積的定義為<a, b> = bTa：下面作GramSchmidt正交化，以得到一組正交向量：下面驗證向量與的正交性：將這些向量單位化：于是就是 &

4、#160;的一組標(biāo)準正交基底。不同的形式隨著內(nèi)積空間上內(nèi)積的定義以及構(gòu)成內(nèi)積空間的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表現(xiàn)出不同的形式。例如，在實向量空間上，內(nèi)積定義為：在復(fù)向量空間上，內(nèi)積定義為：函數(shù)之間的內(nèi)積則定義為：與之對應(yīng)，相應(yīng)的GramSchmidt正交化就具有不同的形式。利用C程序編寫格拉姆-施密特正交化的過程C語言程序如下：#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 3 /N表示基的個數(shù)#define M 4 /M表示維數(shù)float zj(float a,float b) /這是求內(nèi)積函數(shù)int i;f

5、loat k=0;for(i=0;i<M;i+)k+=ai*bi;return k;main()float pNM,bNM,kN;int i,j,m;for(i=0;i<N;i+) printf("請輸入第%d個向量：n",i+1); for(j=0;j<M;j+) scanf("%f",pi+j);for(i=0;i<N*M;i+)b0i=p0i;/下面是正交化過程for(i=1;i<N;i+) /i表示第i個向量 for(m=0;m<i;m+) km=zj(bi,bm)/zj(bm,bm); /km表示正交化過程中

6、向量前的系數(shù) for(j=0;j<M;j+) /j表示每個向量中的坐標(biāo) for(m=0;m<i;m+) bij-=km*bmj; printf("正交化結(jié)果為：n"); for(i=0;i<N;i+) printf("第%d個向量是：n",i+1); for(j=0;j<M;j+) printf("%g ",bij); putchar('n');/下面是單位化過程 for(i=0;i<N;i+) for(j=0;j<M;j+) pij=bij/sqrt(zj(bi,bi); prin

7、tf("n單位化結(jié)果為：n"); for(i=0;i<N;i+) printf("第%d個向量是：n",i+1); for(j=0;j<M;j+) printf("%g ",pij); putchar('n');實驗結(jié)果如下：實踐課總結(jié)： 在這次實踐課的課題討論中，我所在的這個組個個都發(fā)揮自己得能動性。都積極主動。拿到課題后，我們馬上討論分工，針對自己所分到得板塊去查閱資料，然后再次討論總結(jié)，最后每個人都提出問題共同解決。 當(dāng)然，在整個過程中遇到問題也是必然的。例如，由于對C語言不熟練而導(dǎo)致在程序設(shè)計時遇到種種困難，多而雜得程序設(shè)計在排版上不能讓讀者一目了然，感覺有點凌亂，并且在第一次試講過程中老師和細心得同學(xué)都提出了幾個疑議。下來后我們再次討論。針對那些問題并進行機上調(diào)試。結(jié)果得出，我們得設(shè)計可能繁雜冗長了些，但沒有錯，因