第3章_力矩與平面力偶系

1、工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案1力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系3-1 力矩的概念和計(jì)算3-2 力偶的概念3-3 平面力偶系的合成與平衡第 3 章 力矩與平面力偶系工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案2力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 力對(duì)物體作用時(shí)可以產(chǎn)生移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種外效應(yīng)。力的移動(dòng)效應(yīng)取決于力的大小和方向，為了度量力的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，需引入力矩的概念。主要研究?jī)?nèi)容： (1) 力矩和力偶的概念； (2) 力偶的性質(zhì)； (3) 平面力偶系的合成與平衡。工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案3力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系3-1 力矩的概念和計(jì)算1. 力對(duì)點(diǎn)之矩(1) 用扳手?jǐn)Q螺母

2、；(2) 開門，關(guān)門。 由上圖知，力F 使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，不僅與力的大小有關(guān)，而且與O點(diǎn)到力的作用線的垂直距離d 有關(guān)，故用乘積Fd 來度量力的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案4力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 該乘積根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的轉(zhuǎn)向取適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)稱為力F對(duì)點(diǎn)O之矩，簡(jiǎn)稱力矩，以符號(hào)M O (F)表示, 即O點(diǎn)稱為力矩的中心，簡(jiǎn)稱矩心；O點(diǎn)到力F 作用線的垂直距離d，稱為力臂。 力矩的正負(fù)號(hào)：力使物體繞逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。( )OMF d F工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案5力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系力矩的單位：Nm，kNm應(yīng)注意： 在平面問題

3、中，力對(duì)點(diǎn)之矩只取決于力矩的大小及其旋轉(zhuǎn)方向（力矩的正負(fù)），因此可以用代數(shù)量表示。力矩的性質(zhì)：(1) 力對(duì)任一已知點(diǎn)之矩，不會(huì)因該力沿作用線移動(dòng)而改變；.OFd工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案6力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 (2) 力的作用線如通過矩心，則力矩為零；反之，如果一 個(gè)力其大小不為零，而它對(duì)某點(diǎn)之矩為零，則此力的作用線必通過該點(diǎn)；(3) 互成平衡的兩個(gè)力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。Fo. F1F2O工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案7力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系2. 合力矩定理表達(dá)式：證明：由圖得而R()( )OOMMFF( )sin()(sincossinco

4、s )sincossincosOMF dF rF rF rF r Fcos,sincos,sinxyFFFFrx ry OxydxyFFxFyAr則(a)( )OyxMx Fy F F工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案8力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 若作用在 A點(diǎn)上的是一個(gè)匯交力系（F1 、F2 、 Fn）,則利用式(a)可將每個(gè)力對(duì)O點(diǎn)之矩相加，有由式(a)，該匯交力系的合力FR=F，它對(duì)矩心O的矩為比較(b)、(c)兩式有有(a)( )OyxMx Fy F F(b)()OyxMxFyFF(c)RRR()OyxyxMx Fy FxFyF FR()( )OOMMFF工程力學(xué)教程電子教

5、案工程力學(xué)教程電子教案9力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系3-2 力偶的概念1. 力偶和力偶矩(1) 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用線平行的兩個(gè)力叫做力偶。并記作（F，F(xiàn)）?？捎脠D(a)表示,例如：雙手操縱方向盤,如圖(b)。FFd力偶臂力偶作用面圖( a)F1FFABF1CD圖(b)工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案10力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系(2) 力偶的性質(zhì)(a) 力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影等于零；(b)力偶不能合成為一力，或者說力偶沒有合力，即它不能與一個(gè)力等效，因而也不能被一個(gè)力平衡；(c) 力偶對(duì)物體不產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，即它可以也只能改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)

6、。xFFd力偶臂力偶作用面工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案11力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系(3) 力偶矩 力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)是用力偶矩度量，即用力偶中的兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和來度量。FFd Ox例如：()()()OOMMF xFdxF d FF( ,)MF dMF d 或F F工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案12力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系(4) 力偶的三要素(a) 力偶矩的大?。?b) 力偶的轉(zhuǎn)向；(c) 力偶作用面在空間的方位。2. 平面力偶等效定理 定理：在同一平面內(nèi)（或兩平行平面內(nèi)）的兩個(gè)力偶，如它們的力偶矩的大小相等，而且轉(zhuǎn)向相同，則此兩力偶等

7、效。例如：雙手操作方向盤。F1FFABF1CD工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案13力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 設(shè)有一力偶 (F, F ),如圖所示 。 運(yùn)用加減平衡力系的公理并注意到：11RRRR( ,)( ,)(,)( ,)(,)F FF F F FF FF FF FRR(,)2,(,)2ABDABCABDABCMSMSSSF FFFRRRRR1R1R1R1(,)(,)(,)(,)(,)(,)MMMMMMF FFFFFFFF FFF證明：工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案14力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系兩個(gè)重要推論：推論1 力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)剛體

8、的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。ABMABMC工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案15力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系推論2 在保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任意改變力偶中力和力偶臂的大小而不改變力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。注意：上述結(jié)論只適用于剛體，而不適用于變形體。其中 F1d1=F2d2ABd1F1F1ABd2F2F2工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案16力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系：作用在物體上同一平面內(nèi)的若干力偶的總稱。1. 合成(1) 兩個(gè)力偶的情況F1F1d1d2F2F2111222,MF dMFd =F11F22F22F11d111222,

9、MFdMFd dFRFR=R1122R1122,FFFFFF工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案17力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系這樣得到新的力偶(FR , FR),則M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2 (2) 任意個(gè)力偶的情況M=M1 + M2 + + Mn , 或 M=MiM1M2Mn工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案18力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系2. 平衡條件 平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零，即M=0利用這個(gè)平衡條件，可以求解一個(gè)未知量。M1M2Mn工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案19

10、力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 兩力偶作用在板上，尺寸如圖。已知 F1=F2=1.5 kN , F3=F4=1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。解：由式M = M1 + M2 則M =-F1 0.18 F3 0.08 = -350 N m負(fù)號(hào)表明轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針。例 題 3- 1180mmF1F2F3F480mm工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案20力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 長(zhǎng)為 l=4 m的簡(jiǎn)支梁的兩端A、B 處作用有兩個(gè)力偶，大小各為M1 =16 N m，M2 = 4 N m，轉(zhuǎn)向如圖。試求A、B支座的約束力。 解：作AB梁的受力圖。AB梁上作用有二個(gè)力偶組成的平面力偶系，在A

11、、B 處的約束力也必須組成一個(gè)同平面的力偶（FA ，F(xiàn)B ）才能與之平衡。例 題 3- 2604mABM1M2M1M2ABdFAFB工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案21力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系由平衡方程M =0得-M1+ M2+FB l cos60= 0解得故FB=6 NFA、FB為正值，說明圖中所設(shè)FA、FB的指向正確。FA = FB = 6 N例例 題題 3- 2M1M2ABdFAFB604mABM1M216 + 4 + FB4cos60 = 0工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案22力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 如圖所示的鉸接四連桿機(jī)構(gòu)OABD，在桿OA和BD上分

12、別作用著矩為M1和M2的力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知OA=r，DB=2r， =30，不計(jì)各桿自重，試求M1和M2 之間的關(guān)系。BODM1M2A例 題 3- 3工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案23力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 解：因?yàn)闂UAB為二力桿，故其約束力FAB和FBA只能沿A，B的連線方向。 分別取桿OA和DB為研究對(duì)象。因?yàn)榱ε贾荒芘c力偶平衡，所以支座O和D的約束力FO 和FD 只能分別平行于FAB 和FBA ，且與其方向相反。例 題 3- 3BODM1M2A工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案24力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系BDM2FDFBAOM1FOFA

13、BA12cos 02cos 0ABBAMF rMF rABBAFF因?yàn)?12MM所以求得分別畫出受力圖。寫出桿OA和DB的平衡方程： M = 0 BODM1M2A工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案25力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 一力偶(F1,F1)作用在Oxy平面內(nèi),另一力偶(F2 ，F(xiàn)2)作用在Oyz平面內(nèi),它們的力偶矩大小相等(如圖)。試問此兩力偶是否等效，為什么？xyzF2F2F1F1O思考題 3- 1工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案26力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 如圖所示，在物體上作用有兩力偶(F1,F1)和 (F2,F2)其力多邊形封閉。問該物體是否平衡？為什么？F1F2F1F2F1F2F1F2思考題 3- 2工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案27力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 圖示圓盤由O點(diǎn)處的軸承支持，在力偶M 和力F 的作用下處于平衡。能不能說力偶被力F 所平衡？為什么？ 力矩和力偶有什么聯(lián)系？又有什么區(qū)別？FMO思考題 3- 3思考題 3- 4工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案28力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 兩輪半徑同為 r ，一輪在輪緣上受一大小為F 的力作用，另一輪在輪緣上受