第一講插值法

1、航海數(shù)學(xué)航海數(shù)學(xué)Nautical MathematicsSeptember 7, 2015武漢理工大學(xué)武漢理工大學(xué) 航運(yùn)學(xué)院航運(yùn)學(xué)院劉文劉文第一章第一章 航海數(shù)值內(nèi)插法航海數(shù)值內(nèi)插法 插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，早在一千多年前的隋唐時(shí)期定制歷法時(shí)就廣泛應(yīng)用了二次插值。劉焯將等距節(jié)點(diǎn)的二次插值應(yīng)用于天文計(jì)算。 插值理論卻是在17世紀(jì)微積分產(chǎn)生后才逐步發(fā)展起來(lái)的，Newton插值公式理論是當(dāng)時(shí)的重要成果。 由于計(jì)算機(jī)的使用以及航空、造船、精密儀器的加工，插值法在理論和實(shí)踐上都得到進(jìn)一步發(fā)展，獲得了廣泛的應(yīng)用。在航海數(shù)值計(jì)算中，經(jīng)常要用到一些專用表冊(cè)，如：航海表、吃水差表等等，這些表冊(cè)都是按一定的函

2、數(shù)關(guān)系編排的，如： 數(shù)值內(nèi)插在航海工程中的意義數(shù)值內(nèi)插在航海工程中的意義 根據(jù)已知的x值，查表可求得y值，但是表內(nèi)不可能一一列出全部y值，當(dāng)所求的函數(shù)值y正好在兩表列數(shù)值之間，利用表列數(shù)據(jù)間的引數(shù)求y值的方法稱為內(nèi)插法。內(nèi)插法：內(nèi)插法：利用函數(shù)表冊(cè)，根據(jù)任意居間引數(shù)查取相應(yīng)函數(shù)的方法。 內(nèi)插分類：內(nèi)插分類：a：按使用目的： 正內(nèi)插已知引數(shù)求函數(shù)； 反內(nèi)插已知函數(shù)求引數(shù)。b b：按引數(shù)的個(gè)數(shù)：按引數(shù)的個(gè)數(shù)： 單內(nèi)插、雙內(nèi)插、三內(nèi)插c c：按函數(shù)的性質(zhì)：按函數(shù)的性質(zhì)： 線性內(nèi)插、變率內(nèi)插、高次內(nèi)插第一節(jié)第一節(jié) 比例內(nèi)插比例內(nèi)插 (Proportional Interpolation)一比例單內(nèi)插一

3、比例單內(nèi)插 (proportional single interpolation)引數(shù)引數(shù)函數(shù)值函數(shù)值x0yox1y1 1比例正內(nèi)插 已知 求 。 比例內(nèi)插公式：Ox0y0 x1y1xyf(x)xyabced 比例內(nèi)插的幾何意義：用表列引數(shù)兩點(diǎn)的直線代替曲線進(jìn)行內(nèi)插，即以弦代替曲線進(jìn)行內(nèi)插。結(jié)論：1）f(x)為線性函數(shù)，求得的y值沒(méi)有誤差 2) f(x)為非線性函數(shù)，求得的y值有df誤差 Ox0y0 x1y1xyf(x)xyabcedf：對(duì)非線性函數(shù)，表間距越小，利用線性內(nèi)插求得的函數(shù)值的誤差越小。但是表的篇幅會(huì)增大。 Ox0y0 x1y1xyf(x)xyabcedf：只要在誤差允許的范圍內(nèi)，

4、均可采用線性內(nèi)插。例211：設(shè)物標(biāo)高h(yuǎn)，垂直角，水平距離Dh ctg，利用該式編表如下： （1）求4，h13.4m時(shí)的D*？ h 10 20345 6.2 12.3 4.6 9.3 3.7 7.413.46.2 （2）求5，h13.4m時(shí)的D*？ h 10 20345 6.2 12.3 4.6 9.3 3.7 7.413.45.0 2. 比例反內(nèi)插比例反內(nèi)插 (inverse proportional interpolation) 內(nèi)插的逆運(yùn)算，已知求？ 內(nèi)插的逆運(yùn)算，已知求？ 比例內(nèi)插公式 比例反內(nèi)插公式 二二. 比例雙內(nèi)插比例雙內(nèi)插 (proportional double interpo

5、lation)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)自變量時(shí)，用比例雙內(nèi)插求近似解。比例雙內(nèi)插是比例單內(nèi)插的自然推廣。比例單內(nèi)插是比例雙內(nèi)插的特殊情形。比例雙內(nèi)插可按照比例單內(nèi)插的計(jì)算方式進(jìn)行計(jì)算。例212：由例211的計(jì)算結(jié)果，求h13.4m，4.4時(shí)的D？ h 10 20345 6.2 12.3 4.6 9.3 3.7 7.413.46.2 例212：由例211的計(jì)算結(jié)果，求h13.4m，4.4時(shí)的D？ h 10 20345 6.2 12.3 4.6 9.3 3.7 7.413.46.25.0 例212：由例211的計(jì)算結(jié)果，求h13.4m，4.4時(shí)的D？ h 10 20345 6.2 12.3 4.6 9.3 3

6、.7 7.413.46.25.05.74.4 例213：由例211的計(jì)算結(jié)果，求h13.5m，3.5時(shí)的D？ h 10 20345 6.2 12.3 4.6 9.3 3.7 7.413.58.36.23.57.3 第二節(jié)第二節(jié) 變率內(nèi)插變率內(nèi)插 (Interpolation by Rate of Change) 當(dāng)函數(shù)是非線性函數(shù)時(shí)，如果用比例內(nèi)插計(jì)算將會(huì)導(dǎo)致一定的計(jì)算誤差為了盡量減小該誤差，則引進(jìn)了變率內(nèi)插。 當(dāng)函數(shù)是非線性函數(shù)時(shí)，如果用比例內(nèi)插計(jì)算將會(huì)導(dǎo)致一定的計(jì)算誤差為了盡量減小該誤差，則引進(jìn)了變率內(nèi)插。 一一. 變率單內(nèi)插變率單內(nèi)插 (single interpolation by r

7、ate of change)利用表中給出的函數(shù)變化率進(jìn)行內(nèi)插。 變率變率比例比例區(qū)別：區(qū)別：比例內(nèi)插只依賴于兩點(diǎn)間連線的斜率；變率內(nèi)插依兩點(diǎn)間局部斜率的變化而變化。l（1） 用比例內(nèi)插 y5.5l（2） 用x2變率內(nèi)插l y44（2.32）5.2l（3） 用x3變率內(nèi)插l y96（2.33）4.8l（4） 用yx2直接計(jì)算l y5.294684916234yxdydx例221：用yx2造表，求x2.3時(shí)的y？分析：分析： 比例內(nèi)插誤差大； x2的變率內(nèi)插較準(zhǔn)。結(jié)論：結(jié)論：使用變率內(nèi)插時(shí)，為減小誤差，應(yīng)使用最接近實(shí)際引數(shù)的表列引數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為基準(zhǔn) 。yxof(x)x0y0 x1y1xyypyx0yx1變率內(nèi)插的幾何意義： l準(zhǔn)確值yl按x0變率內(nèi)插，為yx0l按x1變率內(nèi)插，為yx1l yx0 最接近準(zhǔn)確值y 。 l按比例內(nèi)插，為yp二二. 變率雙內(nèi)插變率雙內(nèi)插 (double interpolation by rate of change)x y x0 x1 y0y1 z00 z10 z01 z11令函數(shù)的表達(dá)形式為在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)為 即 h 10 20345 6.2 12.3 4.6 9.3 3.7 7.413.44.4例222：求h13.4m，4.4時(shí)的D？ 5.8總結(jié)總結(jié)查算由非線性函數(shù)造的函數(shù)表，不論用比例內(nèi)插還是變率內(nèi)插都會(huì)導(dǎo)致一定的