實驗名稱數(shù)值積分1

1、探索實驗7 數(shù)值積分法一、 實驗?zāi)康?了解求積公式及代數(shù)精度概念，理解并掌握求定積分的求積公式的算法構(gòu)造和計算，學(xué)習(xí)用計算機(jī)求定積分的一些科學(xué)計算方法和簡單的編程技術(shù)和能用程序?qū)崿F(xiàn)這些算法。二、概念與結(jié)論1. 求積公式：計算定積分的如下形式的近似公式：稱為求積公式。2代數(shù)精度： 若求積公式 對一切不高于m次的 多項都準(zhǔn)確成立，而對于m+1次多項式等號不成立，則稱此求積公式 的代數(shù)精度為m。 代數(shù)精度越高，求積公式越好。3.求積余項：4.Newton-Cotes求積公式的代數(shù)精度 n點Newton-Cotes求積公式的代數(shù)精度至少可以達(dá)到n-1,且當(dāng)n為奇數(shù)時，可以達(dá)到n。5.Richardso

2、n外推定理： 設(shè)函數(shù)F1(h)逼近量F*的余項為：F*-F1(h)=a1h p1+a2h p2+····+a k p k+···式中p k>p k-1>···>p2>p1>0, F*和a i (i=1,2, ···)都是與h無關(guān)的常數(shù),且k³1時，a k ¹0，則由：定義的函數(shù)F2(h)也逼近F*，且有F*-F2(h)= b2h p2+····+b k p k+·&#

3、183;·6. 關(guān)于復(fù)合梯形公式的展開定理設(shè)f(x)在a,b區(qū)間上無窮次可微，則有如下展開式：T(h)=I+a1h2+a2h4+a3h6+amh2m+式中T(h)是函數(shù)f(x)在a,b區(qū)間上的復(fù)化梯形值Tn,三、程序中Mathematica語句解釋： 1. 隨機(jī)函數(shù) Random 隨機(jī)給出閉區(qū)間0,1內(nèi)的一個實數(shù) RandomReal, xmax 隨機(jī)給出閉區(qū)間0,xmax內(nèi)的一個實數(shù) RandomReal, xmin, xmax 隨機(jī)給出閉區(qū)間xmin,xmax內(nèi)的一個實數(shù) RandomInteger 隨機(jī)給出整數(shù)0或1 RandomInteger, xmin, xmax 隨機(jī)給出

4、xmin到xmax之間的一個整數(shù) RandomComplex 隨機(jī)給出單位正方形內(nèi)的一個復(fù)數(shù)2a1,a2,an 表示由元素a1,a2,an組成的一個表，元素可以是任何內(nèi)容。如：1，3，4，5，1,x,2,3,x+y，1，3，1，2，3，3，2，4等3listk 表list中的第k個元素4listi,j 表list中第i個元素中的第j個元素,此時list中的第i個元素應(yīng)該也是一個表。 四、方法與程序在實際問題中，往往會遇到被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)來表示，或函數(shù)只能用表格表示，或有的雖然能用初等函數(shù)表示，但過分復(fù)雜，所以這些情形都需要去建立定積分的近似計算公式來做積分計算。數(shù)值積分是

5、進(jìn)行定積分計算的一種方法，它可以解決不能用定積分基本公式計算的所有定積分問題。數(shù)值積分涉及很多計算公式，這里主要介紹Newton-Cotes求積公式、復(fù)合求積公式、Romberg求積方法和Monte-Carlo方法的構(gòu)造過程和算法程序。1. n點 NewtonCotes求積公式 n點 NewtonCotes求積公式又稱為等距節(jié)點求積公式，它是利用被積函數(shù)f(x)在積分區(qū)間a,b的n個等分節(jié)點上的函數(shù)值構(gòu)造的插值函數(shù)j(x)代替f(x)做定積分計算所構(gòu)造求積公式。這個求積公式是通常做定積分近似計算的梯形公式和拋物線公式的推廣，主要在理論上用的多些。1.1 n點 NewtonCotes求積公式的構(gòu)

6、造過程： 將積分區(qū)間a,b 分為n-1等分，其中n個節(jié)點 xi=a+(i-1h, i=1,2,n，h=(b-a)/(n-1)，然后用f(x)在這n個節(jié)點上建立插值于f(x)的n-1次代數(shù)多項式Pn-1(x)，引入變換x=a+th, 0£t£n-1則有 帶入定積分，有：Ck(n)稱為Cotes(柯特斯)系數(shù), 則得到n點 NewtonCotes求積公式:n點 NewtonCotes求積公式的求積余項為當(dāng)n=2時，2點的 NewtonCotes求積公式就是如下梯形公式： 梯形求積公式求積余項為當(dāng)n=3時，3點的NewtonCotes求積公式就是如下拋物線（Simpson）公式：

7、 Simpson求積公式求積余項為如果想得到其他的 NewtonCotes求積公式只要在有關(guān)書中查出Cotes系數(shù)表就可以馬上得到相應(yīng)的NewtonCotes求積公式。1.2 n點 NewtonCotes求積公式算法： 1 輸入被積函數(shù)f(x)及積分上下限a,b2 選擇Cotes系數(shù)構(gòu)造求積公式3 用求積公式求定積分1.3 n點 NewtonCotes求積公式程序：Cleara,b,x,n,s;a=Input"a="b=Input"b="fx_=Input"被積函數(shù)f(x)="n= Input"求積節(jié)點個數(shù)n="c

8、=1/2,1/2,1/6,4/6,1/6,1/8,3/8,3/8,1/8,7/90,16/45,2/15,16/45,7/90,19/288,25/96,25/144,25/144,25/96,19/288,41/840,9/35,9/280,34/105,9/280,9/35,41/840,751/17280,3577/17280,1323/17280,2989/17280,1323/17280,3577/17280,751/17280,989/28350,5888/28350,-928/28350,10496/28350,-4540/28350,10496/28350,-928/28350

9、,5888/28350,989/28350;h=(b-a)/(n-1);x=Tablea+k*h,k,0,n-1;s=(b-a)*Sumcn-1,k*fxk,k,1,nPrint"定積分=",Ns,8;說明：本程序用n（n=2,3,4,5,6，7，8，9）點 NewtonCotes求積公式求a,b上的定積分近似值。程序執(zhí)行后，按要求通過鍵盤輸入積分下限a、積分上限b、被積函數(shù)f(x)和求積節(jié)點個數(shù)n后，計算機(jī)則給出定積分的近似值。程序中變量說明：a：存放積分下限b: 存放積分上限fx: 存放被積函數(shù)f(x)n: 存放求積節(jié)點個數(shù)c: 存放Cotes系數(shù)s: 存放定積分近似值

10、h: 存放節(jié)點步長x：存放節(jié)點xi注：語句c=1/2,1/2,1/6,4/6,1/6,1/8,3/8,3/8,1/8,7/90.16/45,2/15,16/45,7/90, 19/288,25/96,25/144,25/144,25/96,19/288的第i個分量表是具有i個節(jié)點的Cotes系數(shù)。1.4 例題與實驗例1. 用n=3和n=4的Newton-Cotes求積公式求定積分的近似值。解：執(zhí)行n點 NewtonCotes求積公式程后，在輸入的窗口中按提示分別輸入1、3、Exp-x/2、3，每次輸入后用鼠標(biāo)點擊窗口的“OK”按扭，計算機(jī)在屏幕上給出用n=3的Newton-Cotes求積公式計

11、算出的定積分結(jié)果： 1 2 12 (- + - + - ) 6E3/2 3 E 6 SqrtE定積分=0.76705953 再執(zhí)行n點 NewtonCotes求積公式程后，在輸入的窗口中按提示分別輸入1、3、Exp-x/2、4，每次輸入后用鼠標(biāo)點擊窗口的“OK”按扭，計算機(jī)在屏幕上給出用n=4的Newton-Cotes求積公式計算出的定積分結(jié)果： 1 3 3 12 (- + - + - + -) 8E3/2 8E7/6 8E5/6 8 SqrtE 定積分=0.76691628因此用n=3和n=4的Newton-Cotes求積公式求本題定積分近似值分別為0.76705953和0.76691628

12、注意到本題的精確值為0.766800999.,可見n=4的Newton-Cotes求積公式計算結(jié)果較好。2. 復(fù)化求積公式 復(fù)化求積公式是把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用次數(shù)不高的插值公式，如梯形公式或拋物線公式，構(gòu)造出相應(yīng)的求積公式，然后再把它們加起來得到整個區(qū)間上的求積公式。復(fù)化求積公式克服了高次Newton-Cotes公式計算不穩(wěn)定的問題，其運(yùn)算簡單且易于在計算機(jī)上實現(xiàn)。常用的復(fù)化求積公式是復(fù)化梯形公式和復(fù)化拋物線公式，下面分別討論。2.1復(fù)化梯形公式的構(gòu)造過程: 把區(qū)間a,b n等分，取節(jié)點xk=a+kh,k=0,1,.n, h=(b-a)/n,對每個小區(qū)間xk,xk+1用

13、梯形求積公式，再累加起來得：公式就是復(fù)化梯形公式。它的求積余項為： 由復(fù)化梯形公式的余項，可以看到，當(dāng)n不斷變大時， Tn無限接近定積分值。因此復(fù)化梯形公式可以使定積分的計算達(dá)到任意精度。為了計算簡單，提高效率，常用|T2n Tn|<e來得到滿足精度要求的定積分值。2.2復(fù)化拋物線公式的構(gòu)造過程在每個小區(qū)間xk,xk+1上，有 把區(qū)間a,b n等分，取節(jié)點xk=a+kh,k=0,1,.n, h=(b-a)/n,對每個小區(qū)間xk,xk+1 用拋物線求積公式，再累加起來得：公式就是復(fù)化拋物線公式。它的求積余項為： 由復(fù)化拋物線公式的余項，可以看到，當(dāng)n不斷變大時，Sn無限接近定積分值。因此復(fù)

14、化拋物線公式也可以使定積分的計算達(dá)到任意精度，且收斂的速度比復(fù)化梯形公式更快。為了計算簡單，提高效率，常用| S2n Sn|<e來得到滿足精度要求的定積分值。2.3 復(fù)化梯形求積公式算法：1.輸入被積函數(shù)f(x),積分上下限a,b,和求積精度e2. nÜ1, 計算Tn3. 計算T2n4 判斷|T2n Tn|<e是否成立，如果成立，輸出定積分近似值，停止5 否則， Tn Ü T2n , nÜ2n,轉(zhuǎn)32.4 復(fù)化拋物線求積公式算法：1.輸入被積函數(shù)f(x),積分上下限a,b,和求積精度e2. nÜ1, 計算Sn3.計算S2n4.判斷|S2n S

15、n|<e是否成立，如果成立，輸出定積分近似值，停止5.否則， Sn Ü S2n , nÜ2n,轉(zhuǎn)32.5 復(fù)化梯形求積公式程序：(*復(fù)合梯形公式*)Cleara,b,x,n,f;a=Input"a="b=Input"b="fx_=Input"被積函數(shù)f(x)="eps=Input"精度要求eps="n=1;h=b-a;t1=(fa+fb)*h/2;h=h/2;t2=t1/2+h*fa+h;er=t2-t1/N;WhileAbser>eps,Print"n=",2n

16、,"定積分值為",Nt2,10;Print"誤差=",er;h=h/2;t1=t2;n=n+1;t2=t1/2+h*Sumfa+k*h,k,1,2n,2;er=t2-t1/N;Print"n=",2n,"定積分值為",Nt2,10;Print"誤差=",er說明：本程序從梯形公式T1開始，用復(fù)合梯形求積公式求a,b上滿足精度小于eps要求的定積分近似值。程序執(zhí)行后，按要求通過鍵盤輸入積分下限a、積分上限b、被積函數(shù)f(x)和精度要求eps 后，計算機(jī)則給出滿足精度要求的定積分近似值及中間計算值和

17、誤差。程序中變量說明：a：存放積分下限b: 存放積分上限fx: 存放被積函數(shù)f(x)eps: 存放求積精度eh: 存放節(jié)點步長x：為函數(shù)fx:提供變量t1: 存放復(fù)合梯形值Tnt2: 存放復(fù)合梯形值T2n和定積分近似值n: 存放復(fù)合梯形公式的節(jié)點加密次數(shù)er:存放誤差注：為提高計算效率，計算T2n時使用了公式2.6 復(fù)化拋物線求積公式程序：(*復(fù)合拋物線公式*）Cleara,b,x,n,f,s;a=Input"a="b=Input"b="fx_=Input"被積函數(shù)f(x)="n=Input"分割區(qū)間數(shù)n="h=(

18、b-a)/n;a1=a+h/2;s=h/6*(fa+fb+2Sumfa+k*h,k,1,n-1+4Sumfa1+k*h,k,0,n-1);Print"n=",n;Print"定積分值為",Ns,10說明：本程序用復(fù)合拋物線求積公式求a,b上定積分近似值。程序執(zhí)行后，按要求通過鍵盤輸入積分下限a、積分上限b、被積函數(shù)f(x)和分割區(qū)間數(shù)n 后，計算機(jī)則給出定積分的近似值Sn。程序中變量說明：a：存放積分下限b: 存放積分上限fx: 存放被積函數(shù)f(x)h: 存放節(jié)點步長x：為函數(shù)fx提供變量n: 存放分割區(qū)間數(shù)s: 存放復(fù)合拋物線值Sn和定積分近似值注：M

19、athematica數(shù)學(xué)軟件中也有一個求數(shù)值積分的命令，命令形式為：NIntegratefx,x,a,b 它可以求出a,b上的定積分近似值 2.7例題與實驗例2. 用復(fù)合梯形公式求定積分的近似值,要求誤差小于10-7。解：執(zhí)行復(fù)化梯形求積公式程后，在輸入的窗口中按提示分別輸入：0、3、Exp-x2、10(-7)，每次輸入后用鼠標(biāo)點擊窗口的“OK”按扭，計算機(jī)在屏幕上給出的計算結(jié)果如下：n=2 定積分值為0.7313702518 誤差=0.0474305n=4 定積分值為0.7429840978 誤差=0.0116138n=8 定積分值為0.7458656148 誤差=0.00288152n=1

20、6 定積分值為0.7465845968 誤差=0.000718982n=32 定積分值為0.7467642547 誤差=0.000179658n=64 定積分值為0.7468091636 誤差=0.000044909n=128 定積分值為0.7468203905 誤差=0.0000112269n=256 定積分值為0.7468231972 誤差=2.8067´10-6n=512 定積分值為0.7468238989 誤差=7.01676´10-7n=1024 定積分值為0.7468240743 誤差=1.75419´10-7n=2048 定積分值為0.7468241

21、182 誤差=4.38548´10-8從計算結(jié)果可以得出經(jīng)過11次加密分割積分區(qū)間得到滿足精度要求的定積分近似值0.7468241182。此外，通過計算過程可以明顯看到復(fù)合梯形求積公式的收斂性。例3. 分別用n=1,2,4,8,16,32的復(fù)合拋物線求積公式求定積分的近似值。解：執(zhí)行復(fù)化拋物線求積公式程后，在輸入的窗口中按提示分別輸入：0、Pi、Expx*Cosx、1，每次輸入后用鼠標(biāo)點擊窗口的“OK”按扭，計算機(jī)在屏幕上給出的計算結(jié)果如下：n=1定積分值為-11.59283955再重復(fù)如上操作，將分割區(qū)間數(shù)分別輸入2，4，8，16，32，得如下輸出結(jié)果：n=2定積分值為-11.98

22、494402n=4定積分值為-12.06420896n=8定積分值為-12.06995132n=16定積分值為-12.07032146n=32定積分值為-12.07034476。注意到本題的定積分值為-12.07034631639，從中可以看到復(fù)合拋物線求積公式收斂還是很快的。你能通過修改復(fù)合拋物線求積公式一次得出如上所有計算結(jié)果嗎？3.Romberg求積公式 Romberg又稱逐次分半加速收斂法，它是對復(fù)合梯形求積公式采用Richardson加速技術(shù)得到的一種數(shù)值求積方法。3.1 Romberg求積公式的構(gòu)造過程: 由復(fù)合梯形公式的展開定理，有如下關(guān)系式：T1(h)-I=a1h2+a2h4+

23、a3h6+amh2m+這里利用Richardson外推定理對T1(h)進(jìn)行加速，注意到這里p1=2,取q=1/2有于是得到收斂于I的加速公式T2(h),如果再T2(h) 進(jìn)行加速，可以有繼續(xù)加速下去，可以得到加速序列式中m代表對I進(jìn)行的加速次數(shù)。 此外，注意到T1(h/2)=T2n ，且直接計算可以知道T2(h)就是復(fù)合拋物線公式Sn,于是有計算關(guān)系式類似地，還有如下計算格式： 和于是我們至少可以得到如下3個收斂于定積分I的數(shù)列：T型值數(shù)列：T1、T2、T4、T8 、T16 、T2n 、Simpson數(shù)列：S1、S2、S4、S8 、S16 、S2n 、Cotes數(shù)列：C1、C2、C4、C8 、

24、C16 、C2n 、Romberg數(shù)列：R1、R2、R4、R8 、R16 、R2n 、利用Romberg數(shù)列求定積分I的方法稱為Romberg求積方法。 如果給定求積精度e，可以用作為終止計算的條件，并取最后算出的R值作為積分值。3.2 Romberg求積算法：1.輸入被積函數(shù)f(x),積分上下限a,b,和求積精度e2.按順序計算T1、T2、T4、T8 并做 t1Ü T1、t2Ü T2、t3Ü T4、t4Ü T8、 s1Ü (4t2-t1)/3,s2Ü (4t3-t2)/3,s3Ü (4t4-t3)/3;c1Ü (

25、16s2-s1)/15,c2Ü (16s3-s2)/15,R2Ü (64c2-c1)/63;3.nÜ1,R1Ü c2 , t1Üt4,s1Üs3 ,c1Üc24.判斷|R2 R1|<e是否成立，如果成立，輸出定積分近似值R2，停止5.否則， R1Ü R2 , t2Ü T16n, s2Ü (4t2-t1)/3, t1Üt2, c2Ü (16s2-s1)/15, s1Üs2 , R2Ü (64c2-c1)/63, c1Üc2 nÜ2n

26、,轉(zhuǎn)43.3 Romberg求積方法程序： Cleara,b,x,n,f; a=Input"a=" b=Input"b=" fx_=Input"被積函數(shù)f(x)=" eps=Input"精度要求eps="m=1;h=b-a;t=Table0,4;t1=(fa+fb)*h/2; Dom=2m;h=h/2;tk+1=tk/2+h*Sumfa+i*h,i,1,m,2/N ,k,1,n-1s1=(4t2-t1)/3;s2=(4t3-t2)/3;s3=(4t4-t3)/3;c1=(16s2-s1)/15;c2=(16s3-s

27、2)/15;r1=c2;r2=(64c2-c1)/63;t1=t4;s1=s3;c1=c2;er=r2-r1;k=1;WhileAbser>eps,r1=r2;Print"r(",k,")=",Nr2,20," eps=",Ner,10;h=h/2;m=2m;t2=t1/2+h*Sumfa+i*h,i,1,m,2/N;s2=(4t2-t1)/3;c2=(16s2-s1)/15;r2=(64c2-c1)/63;t1=t2;s1=s2;er=r2-r1;k=k+1;c1=c2;Print"r(",k,"

28、)=",Nr2,20," eps=",Ner,10;說明：本程序從用Romberg求積方法求a,b上滿足精度小于eps要求的定積分近似值。程序執(zhí)行后，按要求通過鍵盤輸入積分下限a、積分上限b、被積函數(shù)f(x)和精度要求eps 后，計算機(jī)則給出滿足精度要求的定積分近似值及中間計算值和誤差。程序中變量說明：a：存放積分下限b: 存放積分上限fx: 存放被積函數(shù)f(x)eps: 存放求積精度eh: 存放節(jié)點步長x：為函數(shù)fx:提供變量t,t1 ,t2: 存放復(fù)合梯形值Tns1 ,s2: 存放Simpson數(shù)列值Snc1 ,c2: 存放Cotes數(shù)列值CnR1 ,R2:

29、存放Romberg數(shù)列值Rnm: 存放復(fù)合梯形公式的節(jié)點加密次數(shù)er:存放誤差注：為編程方便，程序中先算出了產(chǎn)生Romberg數(shù)列的值：T1、T2、T4、T8 、S1、S2、S4、C1、C2使，其中t=Table0,4提供一個4元素的表用于存放T1、T2、T4、T8。 3.4例題與實驗例4.用Romberg求積方法求定積分的近似值,要求誤差小于10-12。解：執(zhí)行Romberg求積方法程序后，在輸入的窗口中按提示分別輸入：0、1、4/(1+x2）、10(-12)，每次輸入后用鼠標(biāo)點擊窗口的“OK”按扭，計算機(jī)在屏幕上給出的計算結(jié)果如下：r(1)=3.141585783761874 eps=-8

30、.310364015´10-6r(2)=3.141592638396796 eps=6.854634922´10-6r(3)=3.141592653590029 eps=1.519323334´10-8r(4)=3.141592653589794 eps=-2.358113704´10-13因此得到滿足精度要求的定積分值為3.141592653589794 ，誤差=-2.358113704´10-134. Monte-Carlo求積方法 Monte-Carlo求積方法以概率論大數(shù)定理為依據(jù)式，借助隨機(jī)數(shù)來求定積分的近似值的一種方法，該方法特別適

31、用于求多重積分和積分區(qū)域復(fù)雜的重積分，不足之處是收斂較慢。4.1 Monte-Carlo求積方法的構(gòu)造過程: 假設(shè)重積分是有限的，式中WÍRn，G(x)是定義在W上的多元函數(shù), P(x)是定義在W上的分布函數(shù)，則有只要式中x(k)是W上關(guān)于分布P(x)的n個任意獨立選取的隨機(jī)點列即可，這個結(jié)論可以有概率論中的大數(shù)定律： 以概率1成立。 利用以上結(jié)果求重積分的方法就稱為Monte-Carlo求積方法。對具體的積分計算有如下計算公式：1） 求定積分的計算公式式中xk是a,b均勻分布的n個任意獨立選取的隨機(jī)數(shù)列。2） 求二重積分的計算公式式中(xk,yk)是 平面區(qū)域D中均勻分布的n個任意

32、獨立選取的隨機(jī)點列，|D|表示區(qū)域D的面積。3） 求三重積分的計算公式式中(xk,yk,zk)是空間區(qū)域W中均勻分布的n個任意獨立選取的隨機(jī)點列，|W|表示區(qū)域W的體積。 Monte-Carlo求積方法的收斂階為O(n1/2).4.2 Monte-Carlo求積方法算法：1.輸入被積函數(shù)f(x),積分區(qū)域邊界和隨機(jī)點的個數(shù)n2.在積分區(qū)域中產(chǎn)生n個隨機(jī)點列3.計算被積函數(shù)f(x)在隨機(jī)點列上的函數(shù)值并相加求平均4.用平均值與積分區(qū)域的測度之積作為積分近似值，這里測度就是長度、面積、體積之類的度量。4.3 Monte-Carlo求積方法程序： （*求定積分*） Cleara,b,x,n,f; a

33、=Input"a=" b=Input"b=" fx_=Input"被積函數(shù)f(x)=" n=Input"隨機(jī)點個數(shù)n="s=(b-a)*SumfRandomReal,a,b,n/nPrint"n=",n," 積分»",Ns,10;說明：本程序從用Monte-Carlo求積方法求a,b上的定積分近似值。程序執(zhí)行后，按要求通過鍵盤輸入積分下限a、積分上限b、被積函數(shù)f(x)和隨機(jī)點個數(shù)n 后，計算機(jī)則給出定積分近似值。程序中變量說明：a：存放積分下限b: 存放積分上限f

34、x: 存放被積函數(shù)f(x)n: 存放隨機(jī)點個數(shù)n（*求二重積分*） Cleara,b,x,y,n,f; a=Input"a="b=Input"b=" c=Input"c=" d=Input"d=" fx_,y_=Input"被積函數(shù)f(x,y)=" n=Input"隨機(jī)點個數(shù)n="s=(b-a)*(d-c)*SumfRandomReal,a,b, RandomReal,c,d,n/nPrint"n=",n," 積分»",Ns,

35、10;說明：本程序從用Monte-Carlo求積方法求a,b´c,d上的定積分近似值。程序執(zhí)行后，按要求通過鍵盤輸入積分變量x的下限a、積分上限b和積分變量y的下限c、積分上限d、被積函數(shù)f(x)和隨機(jī)點個數(shù)n 后，計算機(jī)則給出定積分近似值。程序中變量說明：a：存放積分變量x下限b: 存放積分變量x上限c：存放積分變量y下限d: 存放積分變量y上限fx: 存放被積函數(shù)f(x)n: 存放隨機(jī)點個數(shù)n4.4例題與實驗例5.用Monte-Carlo求積方法求定積分的近似值,隨機(jī)點個數(shù)取為200。解：執(zhí)行Monte-Carlo求積方法求定積分程序后，在輸入的窗口中按提示分別輸入：0、1、Sinx/x、200后，每次輸入后用鼠標(biāo)點擊窗口的“OK”按扭，計算機(jī)在屏幕上給出的計算結(jié)果如下：n=200 積分=0.9463437539本題積分準(zhǔn)確值為0.94608307036.例6.用Monte-Carlo求積方法求定積分的近似值,用隨機(jī)點個數(shù)分別取為50，60，70，80，200的計算值進(jìn)行計算實驗來觀察計算結(jié)果特點并提出一種從一組Monte-Carlo求積計算值推斷的較好積分近似值的方法。解：修改Monte-Carlo求積方法求二重積分程序為：fx_,y_:=Exp-(x+y);Dos=SumfRandomReal,1,2,y=RandomReal,2