高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)整理篇

1、高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)整理篇一、集合與簡(jiǎn)易邏輯一、理解集合中的有關(guān)概念(1)集合中元素的特征：確定性，互異性，無(wú)序性。(2)集合的性質(zhì)：任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為AA空集是任何集合的子集，記為A空集是任何非空集合的真子集；(3)集合的表示法：列舉法，描述法，韋恩圖說(shuō)說(shuō)下列集合的區(qū)別：A x | y2x1 ,B y | y2x 1C( x, y) | y2x1，D x | x2x1E( x, y) | y2x1, x Z , yZ(4)空集是指不含任何元素的集合，0、 和 的區(qū)別； 0與三者間的關(guān)系；注意： 條件為 AB,在討論的時(shí)候不要遺忘了A的情況；如： A x | ax22x10,如果 A

2、R, 求 a 的取值 .二、集合間的關(guān)系及其運(yùn)算(1)符號(hào) “ ,”是表示元素與集合之間關(guān)系的，如立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線（面）的關(guān)系：符號(hào) “ ,”或“,”或 “”等是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線（面）的關(guān)系.(2)交、并、補(bǔ)的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)于任意集合A、B，則： （見(jiàn)課本）切記：A BABA ， ABABB“交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并，即CU(A B)CU ACU B”“并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交，即CU(A B)CU ACU B”(3)集合中元素的個(gè)數(shù)的計(jì)算：含有 n 個(gè)元素的集合的子集有2n 個(gè)含有 n 個(gè)元素的集合的真子集有 2n1 個(gè)1含有 n 個(gè)元素的集合的非空真子集有2n2 個(gè)

3、 . card ( A B) card ( A) card ( B) card ( A B) .(4)韋思圖的運(yùn)用：三、邏輯聯(lián)接詞與真值表1邏輯聯(lián)接詞：或、且、非（命題的否定）2真值表：pqp qpqp q真真真真真真真假假真假真假真假假真真假假假假假假“p 或 q” 命題的真假判斷：一真為真；“p 且 q” 命題的真假判斷：一假為假 .命題 “ p ”與命題 p 的真假間的關(guān)系：pp若 p 是真命題，則p 必是假命題；真假若 p 是假命題，則p 必是真命題；假真四、四個(gè)命題與充要條件1四個(gè)命題及其關(guān)系(1)寫(xiě)原命題的逆命題、否命題和逆否命題時(shí)，首先要分清條件p（題設(shè)）和結(jié)論q；其次要正確寫(xiě)出

4、非p 和非 q；再次，有時(shí)命題帶有大前提，在寫(xiě)逆命題、 否命題和逆否命題時(shí)，大前提不能變化；(2)注意否命題與命題的否定的區(qū)別，不能將兩者混淆；2“p 或 q”命題的否定：p 且p ； “p 且 q”命題的否定：p 或p(3)互為逆否命題的兩個(gè)命題具有相同的真假性。2充要條件(1)定義：命題：若p，則 q若 pq ，但 qp；則 p 是 q 的充分非必要條件；若 pq，但 qp ；則 p 是 q 的必要非充分條件；若 pq ，且 qp ；則 p 是 q 的充要條件；若 pq，且 qp；則 p 是 q 的既非充分又非必要條件 .在判斷 p 是 q 的什么條件時(shí)， 由定義，一般要考察命題 pq（充

5、分性）和命題 qp（必要性） 的正確性，后者是前者的逆命題；而判斷一個(gè)命題的正確與否，可以用其等價(jià)命題（逆否命題）來(lái)解決，尤其命題是否定性的結(jié)論時(shí)，即原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的真值(2)證明充要條件時(shí)，首先要弄清楚充分性和必要性是指什么命題成立，再分別去證明，從而下結(jié)論，這樣證起來(lái)層次分明，條理清楚(3)判斷充要條件的常用方法：定義法、逆否法、集合法。五、反證法1步驟：假設(shè)結(jié)論反面成立；從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，推理論證，得出矛盾（與定理、定義等矛盾、與假設(shè)矛盾、推出自相矛盾）；由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確。2當(dāng)證明 “若 p，則 q”感到困難時(shí)，改證它的等價(jià)命題“若p 則p

6、”成立。3適用與待證命題的結(jié)論涉及“不可能 ”、 “不是 ”、 “至少 ”、 “至多 ”、 “唯一 ”等字眼時(shí)。原詞語(yǔ)=><是都是至多有一個(gè)至多有 n個(gè)至少有一個(gè)任意的 都是否定詞語(yǔ)不是不都是至少有兩個(gè)至少有 n+1 個(gè) 一個(gè)也沒(méi)有存在一個(gè) 非3二、函數(shù)一、函數(shù)的定義及其表示1、函數(shù)的定義、映射的概念；2、函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則；3、函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖象法、分段函數(shù)等。二、函數(shù)的性質(zhì)1定義域（自然定義域、分段函數(shù)的定義域、應(yīng)用題中的定義域、復(fù)合函數(shù)的定義域等）；2值域（求值域的方法：配方法、分拆法、圖象法、單調(diào)性法、基本不等式法、換元法、判別式法等）

7、；定義域和值域只能用集合或區(qū)間表示。3奇偶性（在整個(gè)定義域內(nèi)考慮）(1) 定義： (2) 判斷方法：定義法一一步驟：求出定義域并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；求 f (x) ，比較 f (x) 與 f ( x) 或 f (x) 與f (x) 的關(guān)系；圖象法(3)常用的結(jié)論已知： H (x)f ( x) g(x)若非零函數(shù)f ( x), g( x) 的奇偶性相同，則在公共定義域內(nèi)H ( x) 為偶函數(shù)；若非零函數(shù)f ( x), g( x) 的奇偶性相反，則在公共定義域內(nèi)H ( x) 為奇函數(shù)；若 f ( x) 是奇函數(shù)；且0定義域，則f (0)0.4單調(diào)性（在定義域的某一個(gè)子集內(nèi)考慮）(1) 定義

8、： (2) 證明函數(shù)單調(diào)性的方法：定義法步驟：設(shè)x1, x2A 且 x1x2 ；作差f ( x1 )f ( x2 ) （一般結(jié)果要分解為若干個(gè)因式的乘積，且每一個(gè)因式的正或負(fù)號(hào)能清楚地判斷出）；判斷正負(fù)號(hào)。（多項(xiàng)式函數(shù)） 用導(dǎo)數(shù)證明： 若 f ( x) 在某個(gè)區(qū)間A 內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則 f ( x)0( xA)f (x)在 A 內(nèi)為增函數(shù)；f '( x)0( xA)f ( x) 在 A 內(nèi)為增函數(shù)(3)求單調(diào)區(qū)間的方法：a定義法； b導(dǎo)數(shù)法； c圖象法； d復(fù)合函數(shù)yf g ( x) 在公共定義域上的單4調(diào)性：若 f 與 g 的單調(diào)性相同， 則 f g( x) 為增函數(shù)； 若 f 與 g 的

9、單調(diào)性相反， 則 f g( x) 為減函數(shù)。簡(jiǎn)稱(chēng)：“同增異減 ”。注意： 先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集(4)一些有用的結(jié)論：奇函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反；一個(gè)重要的函數(shù)； 函數(shù) y xb (b0)在(, b 或 b ,) 上單調(diào)遞增； 在xb ,0) 或 ( 0,b 上是單調(diào)遞減 ( 對(duì)勾函數(shù)或 NIKE 函數(shù) )5函數(shù)的周期性(1)定義：若 T 為非零常數(shù)， 對(duì)于定義域內(nèi)的任一x，使 f (xT )f (x) 恒成立，則 f (x)叫做周期函數(shù)，T 叫做這個(gè)函數(shù)f ( x) 的一個(gè)周期三、函數(shù)的圖象1基本函數(shù)的圖象： （要求掌握并能熟練應(yīng)用）(1)

10、一次函數(shù)、 (2) 二次函數(shù)、 (3) 反比例函數(shù)、(4)指數(shù)函數(shù)、 (5)對(duì)數(shù)函數(shù)、 (6)三角函數(shù)、b(7) 函數(shù) yx(b0) 等。x2圖象的變換(1)平移變換函數(shù) yf ( xa)( a0)的圖象是把函數(shù)yf ( x) 的圖象沿 x 軸向左平移a 個(gè)單位得到的；函數(shù)yf ( xa)(a0) 的圖象是把函數(shù)yf (x) 的圖象沿x 軸向右平移a 個(gè)單位得到的；函數(shù) yf ( x)a(a0) 的圖象是把函數(shù)yf (x) 的圖象沿 y 軸向上平移a 個(gè)單位得到的；函數(shù)yf ( x)a(a0) 的圖象是把函數(shù)yf ( x) 的圖象沿 y 軸向下平移 a 個(gè)單位得到的；(2) 對(duì)稱(chēng)變換函數(shù) yf

11、 ( x) 與函數(shù) yf (x) 的圖象關(guān)于直線x0對(duì)稱(chēng)；函數(shù) yf ( x) 與函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于直線y0 對(duì)稱(chēng)；5函數(shù) yf ( x) 與函數(shù) yf (x) 的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；如果函數(shù)yf ( x) 對(duì)于一切 xR, 都有 f (ax)f ( ax), 那么 yf ( x) 的圖象關(guān)于直線 xa 對(duì)稱(chēng)；函數(shù) yf ( ax) 與函數(shù) yf (ax) 的圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱(chēng)；y f ( x)y | f ( x) |y f (x)y f (| x |)同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，他們的圖像關(guān)于直線yx 對(duì)稱(chēng)；熟悉分式函數(shù)的圖象：2x173, x R, 值域 y

12、| y2, y R例： y2定義域 x | xx3x 3x 3 與 y 2 是函數(shù)的兩條漸近線(3)伸縮變換（主要在三角函數(shù)的圖象變換中）四、函數(shù)、方程與不等式1 “實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0有實(shí)數(shù)解 ”轉(zhuǎn)化為 “b24ac0 ”，你是否注意到必須 a0 , 當(dāng) a0 時(shí)，“方程有解 ”不能轉(zhuǎn)化為b24ac0 . 若原題中沒(méi)有指出是 “二次 ”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形？2二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者的關(guān)系（見(jiàn)課本）3利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論一元二次方程實(shí)根的分布。注意：根據(jù)要求先畫(huà)出拋物線，然后寫(xiě)出圖象成立的充要條件。注意端點(diǎn)，驗(yàn)證端點(diǎn)

13、。4掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值問(wèn)題的求法。處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用 “兩看法”：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系；5函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念；對(duì)于函數(shù) yf (x)(xD),把使 f ( x)0 成立的實(shí)數(shù)x 叫做函數(shù)yf ( x)( xD) 的零點(diǎn)6(2)函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) yf ( x) 的零點(diǎn)就是方程f ( x)0 實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù) yf (x) 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即：方程f ( x)0 有實(shí)數(shù)根函數(shù) yf ( x) 的圖象與x 軸有交點(diǎn)函數(shù)yf ( x) 有零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù) yf

14、 ( x) 的零點(diǎn)：（代數(shù)法）求方程f ( x)0 的實(shí)數(shù)根；（幾何法） 對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)6用二分法求方程的近似解y f ( x) 的圖象聯(lián)系起來(lái)，(1)對(duì)于在區(qū)間a,b 上連續(xù)不斷，且滿(mǎn)足f (a)f (b)0 的函數(shù) yf (x), 通過(guò)不斷地把函數(shù) f ( x) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法(2)用二分法求函數(shù)f ( x) 的零點(diǎn)近似值的步驟如下：1）確定區(qū)間a,b,驗(yàn)證f ( a) f (b) 0,給定精度 .2）求區(qū)間 (a,b) 的中點(diǎn) x1 .3）計(jì)算f ( x1 )若

15、f ( x1 )0, 則 x1 就是函數(shù)的零點(diǎn)；若 f ( a)f (x1)0, 則令 bx1 （此時(shí)零點(diǎn) x0(a, x1 ) ）若(x1)fb0,ax1x0( x1,b)f則令（此時(shí)零點(diǎn)）( )4）判斷是否達(dá)到精度即若 | ab | , 則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值a（或 b）；否則重復(fù)步驟2 4五、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（一）基本初等函數(shù)71指數(shù)式與對(duì)數(shù)式：2對(duì)數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：N0 ； log a 10 ； loga a1對(duì)數(shù)運(yùn)算： log a ( MN )log a Mlog a N、 log aMlog a Mlog a NNlog a M nn log a ( M ) 、 log a nM1 log

16、a M 、 alog a NNn換底公式： log aNlog bNlog ba推論： log a b log b clogc a1loga1 a2log a2a3loga n 1 anlog a1 an（以上 M0, N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1, a1 , a2 an0且1）3指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算：(1)正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義mnm*規(guī)定：n(0,1)aaam nNnm11*an(a0,m, n, n1)mnamNa n(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ar arar s(a 0, r , s Q ) (ar ) sars(a 0, r , s Q) (ab) rar a s(a0,

17、b0, rQ)(3)結(jié)論：當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)， nana當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)， nan| a |a( a0)a( a0)4指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(1)定義和關(guān)系：(2)特征圖象與性質(zhì)歸納（列表）指數(shù)函數(shù) yax (a 0, a1)對(duì)數(shù)函數(shù) ylog a x( a 0,a 1)0 a 1a10 a 1a 1特征圖象定義域(,)(0,)值域(0,)(,)8單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)定點(diǎn)(0,1)(1,0)函數(shù)值分布x 0 時(shí)， y 1x0 時(shí)，0y 1 0 x 1 時(shí)， y0 0 x 1 時(shí)， y 00 時(shí)， yx 1 時(shí)， y0x 1時(shí)， y 0x 0 時(shí)，0 y 1x1(3)有用的結(jié)論函數(shù) yax

18、與 y log a x (a0 且 a0) 圖象關(guān)于直線 yx 對(duì)稱(chēng)；函數(shù)ya x 與x且圖y a (a0 且 a 1) 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù) ylog 1 x 與 y loga x(a 0a0)a象關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)記住兩個(gè)指數(shù)（對(duì)數(shù)）函數(shù)的圖象如何區(qū)別？（研究底的大小與函數(shù)的關(guān)系）（二）冪函數(shù)（要求會(huì)畫(huà)圖像）冪函數(shù)性質(zhì)歸納(1)所有的冪函數(shù)在(0,) 都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1);(2)0 時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間 0,) 上是增函數(shù)， 特別地，當(dāng)1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)01時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；(3)0 時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間( 0,) 上是減函數(shù) 在第一象限內(nèi)，

19、 當(dāng) x 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y 軸右方無(wú)限地逼近y 軸正半軸，當(dāng)x 趨于時(shí)，圖象在x 軸上方無(wú)限地逼近 x 軸正半軸三、導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè) x0 是函數(shù) yf (x) 定義域上的一點(diǎn)，如果自變量x 在 x0 處有增量x, 則函數(shù)值 y 也引起相應(yīng)的增量yf(x0)(x0); 比值yf (x0x)f (x0 ) 稱(chēng)為函數(shù) y f (x)xfxxyf (x0x)f (x0) 存在，則在點(diǎn) x0 到 x0x 之間的平均變化率；如果極限limlimx 0xx 0x稱(chēng)函數(shù) yf ( x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做 yf ( x) 在 x0 處的導(dǎo)數(shù)，記作 f '( x0 )

20、或y'|x x0 , 即 f ' ( x0 )limylimf ( x0x)f ( x0 )x 0xx 0x2導(dǎo)數(shù)的幾何、物理意義：9(1) 函數(shù) yf (x) 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y f ( x) 在點(diǎn) (x0 , f (x0 ) 處的切線的斜率， 也就是說(shuō)， 曲線 yf ( x) 在點(diǎn) P( x0 , f ( x0 ) 處的切線的斜率是f ' (x0 ), 切線方程為 yy0f ' (x0 )( x x0 ).(2) Vs'(t) 表示瞬時(shí)速度，av'(t ) 表示加速度 .3求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(u v)' u&

21、#39; v'yf1( x)f 2 ( x) .fn ( x)y'f1'( x) f2 '( x). fn '( x)(uv)'vu'v' u(cv)' c' vcv'cv' , （ c 為常數(shù)）uvu'v' u(v 0)( )'v2v4幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（8 個(gè)公式）C ' 0(C 為常數(shù) ) 、 ( x m)' mxm1 (mQ) 、 (sin x)'cos x 、 (cos x)'sin x(ex )'ex 、 (a x ) a

22、x ln a 、 (ln x)'1、 (log ax )'1 log aexx5復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yx 'yu ' ux '6導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：1）函數(shù)單調(diào)性：(1) 函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf ( x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f ' ( x)0, 則y f ( x) 為增函數(shù)；如果f ' (x)0,則 yf (x) 為減函數(shù)(2)單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程：已知yf (x)分析 yf ( x) 的定義域；求導(dǎo)數(shù)y' f ' (x)解不等式f '( x)0 ，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；解不等式f ' (x)0 ，

23、解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.（或用列表法，見(jiàn)課本）2）求極大、極小值：已知yf ( x)分析 yf ( x) 的定義域求導(dǎo)數(shù) y'f ' ( x)10求解方程f '( x)0 （設(shè)有根 x1, x2 , xn ）列表判斷n1個(gè)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷f ( x1), f ( x2 ), f ( xn ) 是否為極值，如果是，是極大還是極小值注意： f '( x0 )0 不能得到當(dāng)xx0 時(shí)，函數(shù)有極值；但是，當(dāng)xx0 時(shí)，函數(shù)有極值f '( x0 )03）求函數(shù)在某閉區(qū)間a,b 上的最大、最小值同上； 比較 f (a)、 f ( x1 ), f ( x2

24、 ), f (xn )、f (b), 最大的為f ( x)max ,最小的為 f (x)min .注意：極值最值； 最值問(wèn)題一般僅在閉區(qū)間上研究（實(shí)際應(yīng)用題除外，即應(yīng)用題中有開(kāi)區(qū)間問(wèn)題） 7導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(1)刻畫(huà)函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；(2)與幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；(3)三次函數(shù)或其它初等函數(shù)的問(wèn)題屬于較難問(wèn)題，初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便；(4)導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的綜合問(wèn)題是一種重要題型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意四、數(shù)列一、數(shù)列的定義和基本問(wèn)題1通項(xiàng)公式：anf (n) （用函數(shù)的觀念理解和研究數(shù)列，特別注意其定

25、義域的特殊性）；2前 n 項(xiàng)和： Sna1 a2.an3通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和的關(guān)系（是數(shù)列的基本問(wèn)題也是考試的熱點(diǎn)）；anS1 , n 1SnSn 1, n2二、等差數(shù)列1定義： anan 1d (n2) an 是等差數(shù)列2通項(xiàng)公式：ana1 ( n1)dAn B; 推廣： an am ( nm)d, (nm)113前 n 項(xiàng)和公式： Sna1annna1n(n1)An2Bn22d4重要性質(zhì)舉例 a 與 b 的等差中項(xiàng) Aa2b ;若 m npq,則 amanapaq ；特別地：若 mn2 p, 則 aman 2ap奇數(shù)項(xiàng) a1 , a3 , a5,成等差數(shù)列，公差為2d ；偶數(shù)項(xiàng) a2 ,

26、 a4 ,a6 ,成等差數(shù)列，公差為 2d.在等差數(shù)列an 中： i. 若項(xiàng)數(shù)為2n,則SSnd ,S偶an1an偶奇S奇ii. 若項(xiàng)數(shù)為 2n1，則 S奇S偶S偶n1an 1,nS奇S2 n 1( 2n1) an 1設(shè) A a1a2an , B an 1an 2a2n , C a2 n 1a2n 2a3n ,則有 2BAC;等差數(shù)列 an 的任意連續(xù) m 項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2mSm、S3 m S2 m、S4m S3m 仍為等差數(shù)列。用一次函數(shù)理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；用二次函數(shù)理解等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式在等差數(shù)列 an 中，有關(guān) Sn 的最值問(wèn)題 常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：當(dāng) a10, d0

27、時(shí)， Sn 有最大值；當(dāng)a10, d0 時(shí)， Sn 有最小值am0i. 當(dāng) a10, d0 時(shí)，滿(mǎn)足am 10am0ii. 當(dāng) a10,d0 時(shí)，滿(mǎn)足am 10三、等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù) m 使得 Sm 取最大值的項(xiàng)數(shù) m 使得 Sm 取最小值 .1定義：anq( n 2, an 0, q0) an 成等比數(shù)列；an12通項(xiàng)公式：an a1 qn 1 ; 推廣 anam qn m; (n m)12na1 ( q1)3前 n 項(xiàng)和 Sna1 (1q n )a1an q；（注意對(duì)公比的討論）1q1(q1)q4重要性質(zhì)舉例 a 與 b 的等比中項(xiàng) GG2abGab （ a，b 同號(hào)）；若 mnpq, 則 a

28、m ana paq ，特別地：若 m n2 p, 則 am an ap2設(shè) Aa1a2an , Ban 1an 2a2 n, C a2n 1a2n 2 a3n ，則有 B 2A C等比數(shù)列 an 的任意連續(xù) m 項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列 Sm、S2mSm、S3 m S2m、S4mS3m、 仍為等比數(shù)列 .在等比數(shù)列 an 中： i. 若項(xiàng)數(shù)為 2n, 則S偶q ， ii.若數(shù)為 2n1 ，則 S奇 a1qS奇S偶用指數(shù)函數(shù)理解等比數(shù)列（當(dāng)a10, q0, q1時(shí)）的通項(xiàng)公式四、等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系舉例1 an 成等差數(shù)列 ba n 成等比數(shù)列；2 an 成等比數(shù)列l(wèi)og b an 成等差數(shù)列 .五

29、、數(shù)列求和方法1等差數(shù)列與等比數(shù)列求和（公式法）2幾種特殊的求和方法(1)裂項(xiàng)相消法： an1111)( AnB)( AnC )C(BAnBAnC如： an111 , an1(4n1)1 (11)( n1) nn1 n(4n 3)4 4n 34n1(2)錯(cuò)位相減法：anbn cn ,其中 bn 是等差數(shù)列， cn 是等比數(shù)列記 Sn b1c1b2c2bn 1cn 1bn cn ;則 qSnb1c2bn 1cnbncn 1(3)通項(xiàng)分解法：anbncn(4)倒序相加法 .六、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的常見(jiàn)應(yīng)用題：13(1)生產(chǎn)中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問(wèn)題，例如，第一年產(chǎn)量為a，年增長(zhǎng)率為r ，則每年的

30、產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1r . 其中第 n年產(chǎn)量為(1r)n1,且過(guò)n年后總產(chǎn)量為：aaa(1r )a(1r )2a(1r )n 1aa(1r )n 1(1r )(2)銀行部門(mén)中按復(fù)利計(jì)算問(wèn)題，例如：一年中每月初到銀行存a 元，利息為 r，每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的a 元過(guò) n 個(gè)月后便成為 a(1r )n 元，因此，第二年年初可取款；a(112a(1 r )11a(1 r )10a(1r )1(1 r )12 r )a(1 r )1(1r )(3)分期付款應(yīng)用題：a 為分期付款方式中貸款為a 元； m 為 m 個(gè)月將款全部付清；r 為年利率， a(1r )mx(1r ) m 1x(1 r

31、)m 2.x(1r )xa(1r )mx(1 r )m1rar (1r ) mx(1 r )m 1五、平面向量一、向量的基本概念1向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量（平行向量）、相等向量、直線的方向向量.2關(guān)于單位向量.3關(guān)于直線的方向向量.二、向量的線性運(yùn)算（一）加法與減法運(yùn)算1代數(shù)運(yùn)算(1)A1 A2A2 A3An 1 An A1 An.(2)若 a(x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ，則 ab( x1x2, y1y2 ).(3)設(shè) A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，則 AB(x2x1 , y2y1 )，| AB | ( x2 x1 )

32、 2( y2 y1 ) 22幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則14以向量 ABa 、ADb 為鄰邊作平行四邊形ABCD ，則兩條對(duì)角線的向量ACab,BDba, DBab, 且有 | a |b | | ab | | a | b |3運(yùn)算律向量加法有如下規(guī)律：a b b a （交換律）；a(bc)( ab)c （結(jié)合律）；a0a， a( a)0a bb a ， (a) ba ( b) ， (ab) ca cb c 等等（二）實(shí)數(shù)與向量的積1實(shí)數(shù)與向量 a 的積是一個(gè)向量.2 | a | | a |(1)0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)0 時(shí)，a與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a 0.當(dāng)(2)若 a( x1

33、, y1 ), 則a ( x1, y1 ).三、兩個(gè)向量共線的充要條件：(1)向量 b 與非零向量 a 共線的充要條件是：有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù), 使得 ba .(2)若 a ( x1 , y1 ), b( x2 , y2 ) ，則 a / bx1 y2 x2 y10.(3) 設(shè) A(x1, y1 )B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ), 則 A、 B、 C 三點(diǎn)共線AB / ACABAC(0)(x2x1 , y2y1 )( x3x1, y3 y1)(0)(x2x1 ) ( y3y1 ) (x3x1 ) ( y2 y1 )(4) 向量 OA、OB 不共線， OPmOA nOB, 則 A

34、、P、B 三點(diǎn)共線的充要條件是m n 1.四、平面向量基本定理1若 e1、e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a, 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1, 2,使得 a1 e12 e2 .15指出： (1)我們把不共線向量e1、e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a 在給出基底 e1、e2 的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一1 , 2 是被 a, e1、e2 唯一確定的數(shù)量2 有用的結(jié)論：若e1、e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，若一對(duì)實(shí)數(shù)1, 2, 使得1 e12 e20 ，則 1 20.五、向量的數(shù)量

35、積1向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a 與 b,作 OAa, OB b, 則 AOB(0180 ) 叫做向量 a 與 b 的夾角（兩個(gè)向量必須有相同的起點(diǎn)）2兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a 與 b, 它們的夾角為, 則 a b| a | | b | cos . 其中 |b | cos稱(chēng)為向量 b 在 a 方向上的投影3向量的數(shù)量積的性質(zhì)：若a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 )(1)e aae | a | cos（ e 為單位向量）(2)aba b0x1x2y1 y20 （ a, b 為非零向量）22x12y12 ; （向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式）(3)aa, | a |a a(4)cosa bx1x2y1 y2y22 （可用于判定角是銳角還是鈍角）（向量夾角| a | | b |x12y12x22的計(jì)算公式）4向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：a b b a ， ( a) b(a b) a ( b) ， (ab) c a c b c.六、三