高中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載第十四講數(shù)形結(jié)合思想基礎(chǔ)知識點：1 數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化?！皵?shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。2 數(shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想思想方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查”，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能。3 “對數(shù)學(xué)思想方法的考查是對數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括的考查，考查時要與數(shù)

2、學(xué)知識相結(jié)合”， 用好數(shù)形結(jié)合的思想方法，需要在平時學(xué)習(xí)時注意理解概念的幾何意義和圖形的數(shù)量表示，為用好數(shù)形結(jié)合思想打下堅實的知識基礎(chǔ)。4 函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標(biāo)表示則是“以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了“數(shù)形結(jié)合”的知識平臺。5 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中，要善于運用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休”。經(jīng)典例題剖析1 選擇題x2，（ 1 ）（ 2007

3、浙江）設(shè) f ( x)x10， ，則 g( x)x， xg( x) 是二次函數(shù)， 若 f (g (x) 的值域是1，的值域是（）yA ， 1 1，B， 1 0，1C 0，D1，。 O 1x解析：因為 g( x) 是二次函數(shù)， 值域不會是 A、B ，畫出函數(shù) yf (x) 的圖像（圖圖 11）易知，當(dāng) g( x) 值域是 0， 時， f ( g( x) 的仁政域是0， ，答案： C 。點評：本題考查函數(shù)的圖像、定義域、值域，是高考的一個重點，考題多以小題形式出現(xiàn)。（ 2 ）（ 2007 黃岡模擬）平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2y22y 1)(x2y3)2 表示橢圓，則實數(shù) m 的取值范圍是（）

4、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載A.（0，5）B. （1， +）C.（ 0，1）D.（5，+）解析：分析方程的結(jié)構(gòu)特點，聯(lián)想橢圓第二定義，可知應(yīng)把左右兩邊分別化為兩點間的距離和點到直線的距離：m x2( y 1)2| x 2 y3 |5 ，5x2( y1)25即 e2 y3|(0,1) 時表示橢圓，解得 m>5, 故選 D。| xm5點評：本題考查橢圓的第二定義，考查數(shù)形結(jié)合和綜合運用解析幾何知識分析解題的能力。2 設(shè) A=x|x|=kx+1,若 AR+= ,A R-,求實數(shù) k 的取值范圍解法 1:方程 |x|=kx+1的解是函數(shù) y=|x| 和 y=kx+1 交點的橫坐標(biāo) ,結(jié)合圖形知（如圖2）

5、 ,當(dāng)直線 y=kx+1在角 范圍內(nèi)時 ,方程有負(fù)根 ,且沒有正根 ,故 k 1 x0解法 2:由題意須有解 ,xkx1yy=|x+1|y=|x|x0xx無解-1o1kx 1圖 21中 k=-1 時無解 ,時得;k1 , x0k1k11中 k=1 時無解 ,k 0 時 ,若x0即k1,1k則有解 ,所以 , k 1點評：解法 1 中，把方程解的討論問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點的問題，利用k 的幾何意義易得解，這是最常用的方法，較之法2 要簡捷得多，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。3 設(shè)集全 A B C 1,2,3,4,5，且A B1,3 ，求有序集合組 A ， B， C 的個數(shù) (不同的順序算不同的組

6、)。解析：借助文氏圖（圖3 ）可知，三個集合A、B、C 把全集 U 分成八個部分，需按 1 、3 是否屬于 C 分類，再把2 、4 、5 三個數(shù)放到如圖中U1,3B五個位置即可，每一種放法對應(yīng)一個有序集合組。A按 1、3 是否屬于 C 分四類：C (1)1 、 3 C;(2)1 C 且 3C;圖 3(3)3 C 且 1 C;(4)1 、 3 C共有 53 × 4=500 種。點評：畫出文氏圖，提高了解題的直觀性，使解題思路清晰，分類清楚，易于操作。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載4 解三角不等式組4 cos2x3 0tan x105y分析：利用三角函數(shù)的圖像或三角函數(shù)線（如圖4）求解64,先求出

7、一個周期上的解再寫出全部。60x74 cos2 x30cos x3 或 cos x36 56解答：224tan x10tan x1圖 4由圖得解集為： x | kxk( k Z)66點評：三角函數(shù)圖像和三角函數(shù)線，是處理三角函數(shù)值大小問題的兩個有力武器，用好它會使解題簡捷、高效。5 已知 xy 0，并且 4x 2 -9y 2 =36 由此能否確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x) ？如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由分析： 4x 2 -9y 2 =36在解析幾何中表示雙曲線的方程，反映了變量x、 y 之間的對應(yīng)關(guān)系，但還不一定是函數(shù)關(guān)系，函數(shù)中一個x 只能對應(yīng)唯一確定的y，即圖像上

8、看不能有“上下重疊”的點。但加上條件xy 0 呢？畫出圖形（如圖5）則一目了然。解： 因為 4x29y2y2x2y36，故1 049解得 x3 或 x3 ，又 xy0x0 或 x0Oxy0y04x2圖 54( x 3)yf ( x)94 x24( x3)9因此能確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x) 其定義域為 (-， -3) )3 ，+ )且不難得到其值域為 (-， 0) (0 ， )點評：本例考查對函數(shù)概概念的理解，揭示了函數(shù)與解析幾何中方程的內(nèi)在聯(lián)系任何一個函數(shù)的解析式都可看作一個方程，但方程中x 與 y 的對應(yīng)關(guān)系未必是一個函數(shù)要要處理好這個關(guān)系，又如：（ 2006 全國 I.20 ）在平面直角

9、坐標(biāo)系xOy 中，有一個以F1 0,3 和 F2 0,3 為焦點、離心率為3 的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C ，動點 P 在 C 上， C 在點 P 處的切線與 x、 y 軸的交點分2別為 A 、B ，且向量 OMOAOB 。求：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（）點 M 的軌跡方程； （） OM 的最小值 。解 :（ I）易得橢圓方程的方程為:x2 y21 (x>0,y>0)4下面想要通過導(dǎo)數(shù)確定過第一象限點P(x 0 ,y0) （0<x 0<1 ）切線的斜率，就要建立x 與 y 的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合圖形（如圖6 ）可知：y=2 1 x2(0<x<1) （而不能是

10、 y2 1 x2 ）yBMPy '2x又 y02 1 x02, y '|x x04x0 ,1x2y0所以切線 AB 的方程為 : y4 x0(xx0 )y0y0從而 A(142y021，設(shè) M（x,y),0), B(0,) ，又 x04x0y014由 OM =OA +OB 可得 M的軌跡方程為：x2 + y2 =1 (x>1,y>2)6 已知關(guān)于 x 的實系數(shù)二次方程x2 +ax+b=0有兩個實數(shù)根 , 證明 :OAx圖 6( )如果 <2, 那么<2,2 a <4+b且 b <4;( )如果 2 a <4+b且 b <4,那么

11、<2, <2分析：借助函數(shù)圖像討論方程的解是很直觀有效的方法，由函數(shù)y=x2 +ax+b 的圖像（如圖7 ）易知 <2, <2, f ( 2) 0y證明：根據(jù)韋達(dá)定理 b=<4因為二次函數(shù) f(x)=x 2+ax+b 開口向上 , <2, <2-2o2x故必有 f( ±2)>0, 即 4+2a+b>0, 2a>-(4+b);4-2a+b>0, 2a<4+b圖 7 2a<4+b( )由 2 a <4+b 得 4+2a+b>0即 22 +2a+b>0f(2)>0 及 4-2a+b>

12、0 即 (-2) 2+(-2)a+b>0,f(-2)>0 由此可知 f(x)=0 的每個實根或者在區(qū)間 (-2,2)之內(nèi)或者在 (-2,2) 之外若兩根 , 均落在 (-2,2)之外 ,則與 b =矛盾<4若 (或 )落在 (-2,2) 外 ,則由于 b=另<4,一個根 (或 )必須落在 (-2,2) 內(nèi),則與、式矛盾綜上所述 , 均落在 (-2,2) 內(nèi) <2, <2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載點評：這是1993 年全國高考題的壓軸題,標(biāo)準(zhǔn)答案中給的第一解法是利用求根公式寫出兩根,再由已知求出的范圍 ,再轉(zhuǎn)化為a、 b 的關(guān)系，有一定的難度。但是利用數(shù)形結(jié)合，由二

13、次函數(shù)的圖象討論實根分布問題，就容易多了，其壓軸功能就大打了折扣。7 求函數(shù) yx2| xa |1 的值域。分析： 本題需要去絕對值化為分段函數(shù)，再按直線 x=a 相對于兩個拋物線的對稱軸的位置分類討論，借助于圖象可有效幫助解題。x解： yf (x)x22xa1xa1( x1 ) 23a(xa)y24( x1 )23a(xa)24（ 1）當(dāng) a18 知時，如圖2yf (1)3a24（ 2）當(dāng)1a12時，如圖 92知 yf ( a)a21（ 3 ）當(dāng) a1時，如圖 10213知， yf ()aa -1O 1_2_2圖 8y-1a O122圖 9yxx綜上所述：當(dāng) a1時，值域為 3a,)24-1

14、 O1 a1122a時，值域為 a21,)當(dāng)_22圖 1013當(dāng) a)時，值域為 a,24點評：分段去絕對值，數(shù)形結(jié)合，分類討論。x8 （ 2006 福建）已知函數(shù)f (x)x28x, g( x)6ln xm.（ I）求 f (x) 在區(qū)間 t, t 1 上的最大值 h(t );（ II ）是否存在實數(shù) m, 使得 y f (x) 的圖象與 y g(x) 的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，說明理由。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載分析：本題是利用導(dǎo)數(shù)方法討論單調(diào)性、最值和方程的解的問題，這些都離不開函數(shù)的圖象，要通過畫圖或想著圖一步步解答。解：（ I） f ( x)x2

15、8x( x4) 216.y當(dāng) t4時，（如圖11 ） f ( x) 在 t, t 1上單調(diào)遞減，h(t )f (t)t28t.3t4 時， h(t)Ot t+ 1x當(dāng) t4t1, 即f (4) 16;x=4圖 11當(dāng) t14, 即 t3時， f ( x) 在 t,t1 上單調(diào)遞增，h(t )f (t1)(t 1)28(t1)t26t 7;t26t7, t3,綜上， h(t)16,3t4,t28t,t4（ II ）函數(shù)yf (x) 的圖象與yg (x) 的圖象有且只有三個不同的交點（如圖12 ），即函數(shù)(x) g( x)f (x) 的圖象與 x 軸的正半軸有且只有三個不同的交點。(x) x2 8

16、x 6ln x m,'(x) 2x862x28x62( x1)(x3) ( x0),xxx當(dāng) x(0,1)時，'( x)0,( x) 是增函數(shù)；yyy=g( x)當(dāng) x(0,3)時，'( x)0,( x) 是減函數(shù)；當(dāng) x(3,) 時，'( x) 0, ( x) 是增函數(shù)；Oxx=4圖 12當(dāng) x1,或 x3時，'(x)0.(x) 最大值(1)m7,( x)最小值(3)m6ln 315.當(dāng) x 充分接近0 時，( x)0, 當(dāng) x 充分大時，( x)0.要使 ( x) 的圖象與 x 軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須(x)最大值m70,即 7m 15

17、6ln3.(x)最小值m6ln 3150,所以存在實數(shù)m ，使得函數(shù)yf ( x) 與 yg( x) 的圖象有且只有三個不同的交點，m 的取值范圍為(7,156ln 3).優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力。三、方法總結(jié)與高考預(yù)測（一）方法總結(jié)1 數(shù)形結(jié)合，數(shù)形轉(zhuǎn)化常從一下幾個方面：（ 1 ）集合的運算及文氏圖（ 2 ）函數(shù)圖象，導(dǎo)數(shù)的幾何意義（ 3 ）解析幾何中方程的曲線（ 4 ）數(shù)形轉(zhuǎn)化，以形助數(shù)的還有：數(shù)軸、函數(shù)圖象、單位圓、三角函數(shù)線或數(shù)式

18、的結(jié)構(gòu)特征等；2 取值范圍，最值問題，方程不等式解的討論，有解與恒成立問題等等，許多問題還可以通過換元轉(zhuǎn)化為具有明顯幾何意義的問題，借助圖形求解。（二）高考預(yù)測1 在高考題中，數(shù)形結(jié)合的題目主要出現(xiàn)在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何及不等式最值等綜合性題目上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的簡捷、靈活特點的多是選擇、填空等小題。2 從近三年全國高考卷來看，全國卷與其它省市卷相比，涉及數(shù)形結(jié)合的題目略少，預(yù)測20XX年可能有所加強。因為對數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考查，是考綱明確的一個命題方向。

19、高考回顧（一）選擇題1設(shè)集合 Ax x 2 2, x R ， B y | yx2 , 1 x2，則 CRA B等于（）A RB x x R, x 0C 0D2（ 2007 浙江）設(shè)f ( x) 是函數(shù)f ( x) 的導(dǎo)函數(shù)，將yf ( x) 和 yf ( x) 的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（）yyyyOxOxOxOxABCD優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載3（ 2007 安徽）若對任意xR ，不等式 x ax 恒成立，則實數(shù)a 的取值范圍是（）A a1B a 1C a 1D a 14（ 2005 福建）設(shè) a,bR, a 22b26, 則 ab 的最小值是（）A22B53C 3D 7325

20、 (2006 湖南）若圓 x2y 24 x4 y100 上至少有三個不同點到直線 l : ax by0的距離為 2 2,則直線 l 的傾斜角的取值范圍是( )A , B , 5C ,D 0,12412126326（ 2007 安徽）函數(shù)f ( x)3sin2x的圖象為 C ，圖象 C 關(guān)于直線 x11對稱；12函數(shù) f (x) 在區(qū)間5內(nèi)是增函數(shù)；，由 y3sin 2x 的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C 以上三個論斷中，正確論斷的個數(shù)是（）A0B1C2D37（ 2007 浙江）要在邊長為16 米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪都能噴灑到水假設(shè)每個噴水龍頭的噴灑范圍都是關(guān)徑為 6 米

21、的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個數(shù)最少是（） 3 4 5 68（2005遼 寧 ） 已 知 yf ( x)是定義在 R上 的 單 調(diào) 函 數(shù) ， 實 數(shù) x1 x2 ,1, ，x1x2,x2x1，若 |f ( x1 )f ( x2 ) | f ()f ( ) | ，則（）11A 0B0C 01D 19（2006北京）在下列四個函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對于區(qū)間 (1,2)上 的 任 意 x1 , x2 ( x1x2 ) ，| f ( x1 )f ( x2 ) | | x2 x1 | 恒成立”的只有（）1（ B） f x| x |（ A） f ( x)x優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（ C）f() 2x（ D）

22、 f ( x)x2x10 （ 2006遼寧）直線y 2k 與曲線9k 2 x2y2 18 k2x(kR ,且 k0 )的 公共點的個數(shù)為（）（A）1（B）2（C）3（D）411 （ 2007天津）在R 上定義的函數(shù)f (x) 是偶函數(shù)，且 f ( x)f (2 x) ，若 f ( x) 在區(qū)間 1，2 上是減函數(shù)，則 f (x)（）在區(qū)間 2， 1 上是增函數(shù)，在區(qū)間3，4 上是增函數(shù)在區(qū)間 2， 1 上是增函數(shù)，在區(qū)間3，4 上是減函數(shù)在區(qū)間 2， 1 上是減函數(shù)，在區(qū)間3，4 上是增函數(shù)在區(qū)間 2， 1 上是減函數(shù)，在區(qū)間3，4 上是減函數(shù)12 （ 2007 全國 II）設(shè) F 為拋物線

23、y24x 的焦點， A， B， C 為該拋物線上三點， 若 FA FB FC0 ，則FA FBFC（）A 9B 6C 4D 3（二）填空題1若關(guān)于x 的方程 x24|x| 5m 有四個不相等的實根，則實數(shù)m 的取值范圍為_ 。2（ 2006 浙江）對 a,b R ,記則 max a,ba, ab, 則函數(shù)b abf x max x 1 , x 2x R 的最小值是3（ 2006 湖北）關(guān)于 x 的方程 (x2-1) 2-|x 2 -1|+k=0 ，給出下列四個命題：存在實數(shù) k，使得方程恰有2 個不同的實根存在實數(shù) k，使得方程恰有4 個不同的實根存在實數(shù) k，使得方程恰有5 個不同的實根存在

24、實數(shù) k，使得方程恰有8 個不同的實根其中假命題的個數(shù)是 _4 設(shè)奇函數(shù) f(x)的定義域為 (-， 0) (0， +)且在 (0 ，+ )上單調(diào)遞增， f(1) 0，則不等式 f x(x-1)2 0 的解集是 _（三） 解答題優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載1若不等式 2x1 m(x 21)對滿足 m2 的所有 m 都成立。求 x 的取值范圍。2求函數(shù)1x 2y的最大值。2x3（ 2006 春上海）設(shè)函數(shù) f ( x)x24x5 （ 1）在區(qū)間 2, 6 上畫出函數(shù)f (x) 的圖像；（ 2）設(shè)集合 Ax f (x) 5 ,B(,2 0,4 6,) 試判斷集合 A和 B之間的關(guān)系，并給出證明；（ 3）當(dāng)

25、 k 2 時，求證：在區(qū)間1,5 上， ykx3k 的圖像位于函數(shù) f (x) 圖像的上方4 已知 acos +bsin =c, acos +bsin =c(ab 0, k , k Z) 求證：cos2c 2b22a 25 已知二次函數(shù)y=f 1（ x）的圖象以原點為頂點且過點（1 ，1 ），反比例函數(shù) y=f 2（ x）的圖象與直線 y=x的兩個交點間的距離為8 ， f（ x） =f1 （ x） +f 2（x）（ 1 ）求函數(shù) f（ x）的表達(dá)式；（ 2 ）證明：當(dāng) a 3 時，關(guān)于 x 的方程 f（ x） =f （ a）有三個實數(shù)解6（ 2006 浙江）設(shè)f(x)=3ax 2 +2bx+c

26、, 若 a+b+c=0, ,f(0) 0，f(1) 0 ，求證：( )a 0 且 -2 a -1 ； ( )方程 f(x)=0 在（ 0 ， 1 ）內(nèi)有兩個實根b（四）創(chuàng)新試題1 求函數(shù) u2t46t 的最值。2 設(shè)函數(shù) f ( x) a 2+8x+3( a <0), 對于給定的負(fù)數(shù)a ，有一個最大的正數(shù)l ( a) ，使得在整個區(qū)間 ，優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載l (a) 上，不等式f (x) 都成立。問a 為何值時 l (a) 最大？求出這個最大的l (a) ，證明你的結(jié)論。解析答案：選擇題： 1-12 ：ADCCBCBAADBB填空題：1畫出y24 | x |和ym 的圖象可知，有四個交

27、點則m (1， 5) ；x52解析：由 x1x2x 1 2x 2 2x1，2yx11x13f x2如右圖 fmin1x f2x22x2y= |x-2|y=|x+ |1|-1o 2x3設(shè) u=x 2-1, 化原式為： |u |2|u | k ，畫出函數(shù) y |u |2 | u| 的圖象，看使u-1 的解的個數(shù)，可知假命題的個數(shù)為0 。4解析：由已知畫出 y=f(x) 的圖象可知：y當(dāng) x (-1 ，0) (1 ， + )時 f(x) 0當(dāng) x（ -， -1 ） (0 ， 1) 時f(x) 0-1 O1x又 x(x- 1 )=(x- 1 )2- 1 - 1 -1241616 f x(x-1) 0

28、成立，則必有20 x(x-1) 1,解之得： 117x 0 或 1 x 1172424解答題1 解：原不等式化為（x2-1 ） m- （ 2x-1 ） 0 記 f（ m） =（ x2-1 ） m-（ 2x-1 ）（ -2m2），其圖像是線段。結(jié)合圖像和題意知，只須： f （ -2 ） =-2 （x2 -1 ） -（ 2x-1 ） 0f （ 2） =2 （ x2-1 ） -（2x-1 ） 0即2x 2+2x-3 0 2x 2-2x-1 01713解之， x 的取值范圍為2x2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2 解：由定義知 1-x 20 且 2+x 0 -1 x 1，故可設(shè)sinsin0可看作是動點M（ c

29、osx=cos ， 0， ，則有 y2 cos( 2)cos ， sin ） ( 0， )與定點 A（ -2 ， 0 ）連線的斜率，而動點M 的軌跡方程xcos ， 0， ，ysin即 x2+y 2 =1 （y 0， 1是半圓。設(shè)切線為 AT ， T 為切點， |OT|=1 ，|OA|=2 k AT1 ， 0 kAM 133即函數(shù)的值域為 0，3，故最大值為3 。333解 :（1）（ 2 ）方程 f (x)5 的解分別是 214, 0,4 和 214 ，由于 f (x) 在 (, 1 和 2, 5 上單調(diào)遞減，在 1, 2 和 5,) 上單調(diào)遞增，因此A, 2140, 4214 ,由于 214

30、6,2142,BA （ 3 ）解法一：當(dāng)x1, 5 時， f ( x)x 24x 5g ( x) k ( x 3) ( x 24 x 5)x 2( k4) x( 3k5)x4k2k 220k36，24k2,4k1 又1x5 ，2 當(dāng)14 k1，即 2k6時，取 x4k2，2g(x) mink 220k361k102644416(k10)264,( k10) 2640 ，優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載則 g ( x) min0 當(dāng) 4 k1，即 k6時，取 x1 ，g( x) min 2k 0 2由 、可知，當(dāng)k2 時， g( x)0， x1,5因此，在區(qū)間 1,5 上， y k(x3)的圖像位于函數(shù)f

31、(x) 圖像的上方解法二：當(dāng) x1,5 時， f ( x)x 24 x5由yk( x3),得 x 2(k 4) x(3k5)0，yx24 x5,令(k4) 24( 3k5)0 ，解得 k2 或 k18 ，在區(qū)間 1,5 上，當(dāng)k2 時， y 2( x3) 的圖像與函數(shù) f ( x) 的圖像只交于一點( 1, 8 ) ；當(dāng) k18 時，y 18(x 3) 的圖像與函數(shù) f ( x) 的圖像沒有交點如圖可知， 由于直線 y k (x3)過點 ( 3, 0)，當(dāng) k 2 時，直線 yk ( x 3) 是由直線y 2(x 3) 繞點 (3, 0 ) 逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到因此，在區(qū)間 1, 5 上， y

32、k( x3) 的圖像位于函數(shù)f (x) 圖像的上方4 分析： 解決此題的關(guān)鍵在于由條件式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到直線方程進(jìn)而由 A 、B 兩點坐標(biāo)特點知其在單位圓上還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法完成解題證明 :在平面直角坐標(biāo)系中，點A （ cos ,sin ）與點 B （ cos ,sin ）是直線 l:ax+by=c與單位圓 x2 +y 2=1 的兩個交點如圖從而： AB 2 =(cos cos )2 +(sin sin )2=2 2cos( )又單位圓的圓心到直線| c |l 的距離 db2a 2由平面幾何知識知OA 2 ( 1 AB )2=d 2 即212 2co

33、s()d 2c2b4a2 cos2c22a 2b25 分析用數(shù)形結(jié)合思想求f（ x） f（a ） =0 解的個數(shù)解（ 1 ）由已知，設(shè)f 1（x） =bx 2，由 f1（ x） =1 ，b=1 f1（x） =x 2 設(shè) f2（ x） = k （k 0 ），則其圖象與直線y=x 的交點分別為A （k，k），x優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載B（ k， k），由 |AB|=8 ，得 k=8 ， f2 （ x） = 8 ，故 f（ x） =x 2+ 8 xx（ 2 ）由 f（ x） =f（ a），得 x2+ 8 =a 2 + 8 ，x a即 8 = x2+a 2+ 8 xa在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2（ x） = 8 和 f3 （x） = x2+a 2+8 的大致圖象（如圖所示），其中f2（ x）的圖xa8 ）為頂點，開口向象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，f3（ x）的圖象是以（ 0，a 2+a下的拋物線 f2（ x）與 f3（x）的圖象在第三象限有一個交點，即f（x） =f （a ）有一個負(fù)數(shù)解又 f 2（ 2） =4 ， f3（ 2） = 4+a 2+8 ，當(dāng) a 3 時，f3 （ 2） f2（ 2） =a 2+ 8 8 0 ，a