高中數(shù)學(xué)平面幾何之直線與圓習(xí)題精選精解

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載平面解析幾何初步：圓與直線一、選擇題1、設(shè) M1020001, N1020011 ， P1020009 , Q1020019，則 M與 N、P與Q的10200111020021102001100102002100大小關(guān)系為()A.M N,P QB.M N,P QC.M N,P QD.M N,P Q解：設(shè)點(diǎn) A( 1,1) 、點(diǎn) B(102001 ,102000 ) 、點(diǎn) C (102002,10 2001) ，則 M、N 分別表示直線AB 、AC的斜率， BC 的方程為 y1 x ，點(diǎn) A 在直線的下方，K ABK AC ，即 MN；同理，得 PQ 。10答案選 B。仔細(xì)體

2、會題中4 個(gè)代數(shù)式的特點(diǎn)和“數(shù)形結(jié)合”的好處2、已知兩圓相交于點(diǎn) A(1,3)和點(diǎn) B(m,1)，兩圓圓心都在直線l : xyc0 上，則 mc 的值等于()A-1 B 2 C3D0解：由題設(shè)得：點(diǎn)A, B 關(guān)于直線 xyc0 對稱 , kAB411m 5 ；m1kl線段 AB 的中點(diǎn) (3,1) 在直線 xyc0 上， c2mc 3，答案選 C。3、三邊均為整數(shù)且最大邊的長為11 的三角形的個(gè)數(shù)為()A.15B.30C.36D.以上都不對解：設(shè)三角形的另外兩邊長為x,y,則0x110 y 11 ；注意“ =”號，等于 11 的邊可以多于一條。x y 11點(diǎn) ( x, y) 應(yīng)在如右圖所示區(qū)域

3、內(nèi)：當(dāng) x=1 時(shí)， y=11；當(dāng) x=2 時(shí)， y=10,11；當(dāng) x=3 時(shí)， y=9,10,11 ；當(dāng)x=4 時(shí)， y=8,9,10,11 ；當(dāng) x=5 時(shí)， y=7,8,9,10,11。以上共有再加 (6， 6）， (7， 7）， (8，8）， (9， 9）， (10， 10）、(11，15 個(gè)， x,y 對調(diào)又有15 個(gè)。11），共 36 個(gè)，答案選C。4、設(shè) m 0，則直線2( xy) m10 與圓 x2y 2m 的位置關(guān)系為（）A. 相切B.相交C. 相切或相離D.相交或相切解：圓心 (0,0)1m，圓半徑 rm 。到直線的距離為 d2 d r1 mm1 ( m 1)20 ，22

4、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離，答案選C。5、已知向量 m(2cos,2sin),n(3cos,3sin),若 m 與 n 的夾角為60 ，則直線l : x cosy sin10與圓 C : (xcos)2( ysin) 21的位置關(guān)系是（）22A相交但不過圓心B相交過圓心C 相切D相離解：m n6(cos cossin sin)cos()cos6001 ，| m | | n |2 32圓心 C (cos, sin) 到直線 l的距離 d| cos()1 |12r ，22直線與圓相離，答案選D。復(fù)習(xí)向量點(diǎn)乘積和夾角余弦的計(jì)算及三角函數(shù)公式6、已知圓 O : ( x3)2(

5、y5) 236 和點(diǎn) A(2,2), B(1,2) , 若點(diǎn) C 在圓上且ABC 的面積為5 , 則滿足條件的點(diǎn)C 的個(gè)數(shù)是（）2A.1B.2C.3D.4解: 由題設(shè)得：AB5，S ABC5，點(diǎn)C到直線AB的距離d,21直線 AB 的方程為 4x3 y20 , 與直線 AB 平行且距離為l1 : 4 x3 y301 的直線為l2: 4 x3 y70得：圓心 O (3,5) 到直線 l1 的的距離 d16r , 到直線 l2 的距離為 d24 r ,圓 O 與直線 l1 相切；與直線 l2 相交 ,滿足條件的點(diǎn) C 的個(gè)數(shù)是3，答案選 C7、若圓 C1 : (xa)2( yb) 2b21始終平分

6、圓 C2 : (x1)2( y1)24 的周長 , 則實(shí)數(shù) a, b應(yīng)滿足的關(guān)系是()A a22a2b3 0B a22a 2b 5 0C a22b22a2b 1 0D 3a 22b22a 2b 1 0解：公共弦所在的直線l 方程為：(x1)2( y1)2 -4-( xa) 2( yb)2 -b2 -1=0 ，即： 2(1a) x 2(1b) ya210 ，圓 C1 始終平分圓 C2 的周長，圓 C2 的圓心1,1 在直線 l 上 ,2(1a)2(1b)a210 ，即 a22a2b50 ，答案選 B。8、在平面內(nèi) , 與點(diǎn) A(1,2) 距離為 1,與點(diǎn) B(3,1) 距離為2 的直線共有()A

7、.1條B. 2條C. 3條D. 4條解：直線 l與點(diǎn) A(1,2) 距離為1，所以直線 l是以 A 為圓心 1 為半徑的圓的切線，同理直線 l 也是以 B 為圓心 2 為半徑的圓的切線，即兩圓的公切線，AB53 ，兩圓相交，公切線有2 條，答案選 B。想一下，如果兩圓相切或相離，各有幾條公切線？優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載B二、填空題1、直線 2xy 4=0 上有一點(diǎn) P，它與兩定點(diǎn)A(4， 1)， B(3 ，4)的C距離之差最大，則P 點(diǎn)坐標(biāo)是 _ _.AB解： A 關(guān)于 l 的對稱點(diǎn) A， A B 與直線 l 的A交點(diǎn)即為所求的P 點(diǎn)。得 P(5， 6）。P想一想，為什么，與直線l的交點(diǎn)即為所求的

8、P點(diǎn)？A BP如果 A、B 兩點(diǎn)在直線的同一邊，情況又如何？2、設(shè)不等式2x1解：原不等式變換為設(shè)： f (m)( x22x22x即：2x22xm(x21) 對一切滿足m2的值均成立，則x 的范圍為。(x2 1)m(12x)0 ，1)m(12x) ， (2m2) ，按題意得：f ( 2) 0, f (2)0 。3071x31 。10223、已知直線 l : xy40 與圓 C : x12y122 ，則 C 上各點(diǎn)到 l 的距離的最大值與最小值之差為。解： 圓心 C 1,111422r2 ，到直線的距離 =11直線與圓相離，C 上各點(diǎn)到 l 的距離的最大值與最小值之差= 2r = 2 2。x21

9、t4、直線2為參數(shù))被圓x2y24截得的弦長為 _ 。1 t(ty12解：直線方程消去參數(shù)t 得： x y10，圓心到直線的距離12d，弦長的一半為2222(2) 214，得弦長為14 。225、已知圓 M : (xcos)2( ysin)21 ，直線 l : ykx ，以下命題成立的有_。對任意實(shí)數(shù) k 與 ，直線 l 和圓 M 相切；對任意實(shí)數(shù) k 與 ，直線 l 和圓 M 有公共點(diǎn)；對任意實(shí)數(shù) ，必存在實(shí)數(shù) k ，使得直線 l 和圓 M 對任意實(shí)數(shù) k ，必存在實(shí)數(shù) ，使得直線 l 和圓 M相切相切解：圓心坐標(biāo)為 Mcos ,sindk cossink2（ ）sin() 1 r ，所以命

10、題成立。1sin1 k 21 k2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載仔細(xì)體會命題的區(qū)別。6、點(diǎn) A(3，3)發(fā)出的光線 l 射到 x 軸上被 x 軸反射， 反射光線與圓 C : x2y24x4 y70相切，則光線 l 所在直線方程為 _。解：光線 l所在的直線與圓C 關(guān)于 x 軸對稱的圓 C ' 相切。圓心 C ' 坐標(biāo)為2,2，半徑 r1，直線過點(diǎn) A( 3， 3)，設(shè) l 的方程為： y3k (x3)，即： kxy3k30圓心 C ' 到直線 l 的距離 d2k23k31，12k 225K120k 21解得： k4或 k3，得直線 l的方程： 4x 3y30 或 3x4 y30

11、。347、直線 ym x 與圓 x2y2mxny40 交于 M 、N 兩點(diǎn)，且 M 、N 關(guān)于直線 xy02對稱，則弦 MN 的長為。解：由直線 ym x 與直線 xy 0 垂直m2 ，由圓心在直線 xy0 上n2 ，2110圓方程為 ( x 1)2( y1)26 ，圓心為1,1 ，圓心到直線的距離d2 ，11弦 MN 的長 = 2 r 2d 226248 、 過圓 x2y24內(nèi) 一 點(diǎn)A(1,1)作一弦交圓于 B、C 兩點(diǎn), 過點(diǎn) B、C 分別作圓的切線PB、PC ，兩切線交于點(diǎn)P ，則點(diǎn) P 的軌跡方程為。解：設(shè) P(x0, y0 ) , 根據(jù)題設(shè)條件，線段BC 為點(diǎn) P 對應(yīng)圓上的切點(diǎn)弦

12、，直線 BC 的方程為 x0 xy0 y4 ,A點(diǎn)在 BC 上，x0y04 ,即 P 的軌跡方程為：xy4 。注意掌握切點(diǎn)弦的證明方法。三、解答題1、已知過原點(diǎn)O 的一條直線與函數(shù)ylog 8 x 的圖象交于 A、 B 兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、 B 作 y 軸的平行線與函數(shù) ylog 2 x 的圖象交于 C、 D 兩點(diǎn)。（1）證明：點(diǎn) C、D 和原點(diǎn) O 在同一直線上； （2）當(dāng) BC 平行于 x 軸時(shí)，求點(diǎn) A 的坐標(biāo)。解：（ 1）設(shè) A、 B 的橫坐標(biāo)分別為x1、 x2 ，由題設(shè)知 x11、 x21得點(diǎn) A( x1,log 8 x1 )、 B(x2 ,log 8x2 ) ， C ( x1 ,lo

13、g 2x1 )、 D ( x2 ,log 2x2 ) ，A、B 在過點(diǎn) O 的直線上，log8x1log 8 x2，3log 8 x1x1x2log21log2x23log 8 x2、kOCx， kOD，得： kOCkOD ，x1x1x2x2O、C D 共線。（ 2）由 BC 平行于 x 軸，有 log 2 x1log 8 x2x2x13代入 log 8x1log 8 x2，得 x13 log 8 x1 3x1 log 8x1 ，x1 1,log 8 x10x1x2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載x133x1， x3，得 A(3,log83) 。12、設(shè)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Snna n(n1)b ，

14、 (n 1,2,) ， a、 b 是常數(shù)且 b 0 。（1）證明：an是等差數(shù)列；（2）證明：以 an , Sn1為坐標(biāo)的點(diǎn) Pn ， (n1,2,) 落在同一直線上，并求直線方程。n（ 3）設(shè) a1,b1， C 是以 (r , r ) 為圓心， r 為半徑的圓 (r 0) ，求使得點(diǎn) P1 、P2、P3 都落2在圓 C 外時(shí)， r 的取值范圍。解：（ 1）證明：由題設(shè)得a1S1a ；當(dāng) n 2 時(shí)，anSnSn1nan(n1)b(n1)a(n1)(n2)ba2(n 1)b ，anan 1a 2(n1)ba2(n2)b2b。所以an 是以 a 為首項(xiàng)，2b為公差的等差數(shù)列。證畢；（ 2）證明：

15、 b0 ，對于 n2，Sn1S11nan(n1)ba( n 1)b1kP Pn1an 1ana1a2(n1)ba2(n1)b2以an, Sn1為坐標(biāo)的點(diǎn)Pn ， (n1,2,) 落在過點(diǎn) P1 (a, a1)，斜率為1 的同一直線上，n2此直線方程為：y(a1)1 ( xa) ，即 x2 ya20 。2（ 3）解：當(dāng) a1,b1時(shí)，得 P11,0、 P22, 1、 P33,1，都落在圓 C 外的條件是22( r 1)2r 2r 2(r12)0( r 1)2( r1 ) 2r 2r 25r170222242( r3)( r1)r8r100r由不等式，得r 1由不等式，得r 5 2 或 r 5+2

16、22由不等式，得r 46 或 r 4+6再注意到 r 0，1 52 46 = 5+ 24+622使 P1、 P2、 P3 都落在圓 C 外時(shí)， r 的取值范圍是 (0， 1) (1, 5 2 )(4+ 6 ,+ )。23、已知 a1、 b1、 c1 ，求證： abc2abc證一： a11a1， b11b1， c11c1b1bc11bc1 ，c1優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載設(shè)函數(shù) yf ( a)abc2(abc)(bc1)a(1b)(1c) ，則：f ( 1)(1bc)(1b)(1c)0f (1)(bc1)(1b)(1c)(1b)(1c) 0當(dāng) a( 1,1)，即 a1 時(shí)，上述函數(shù)yf (a) 表示的

17、直線都在a 軸上方，即：a1 、 b1 、 c1，不等式 abc2a bc 成立，證畢。因?yàn)轭}中變量較多，考慮“固定”某變量（這里是 a），然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)來證明代數(shù)不等式的方法值得借鑒。證二：a1、，(a1)(b1)abab 10 ，即：abab1；b 1a1ab1、 c1abcabc1（將 ab 看作一個(gè)數(shù)， 利用的結(jié)論 ）b1由式得 abab1， a b1c abcabc 1 ，即： abc2abc ，證畢。a bcdeabcde 4 ，仔細(xì)體會上述遞推證明的方法，你能進(jìn)一步推廣運(yùn)用嗎？如試證明其中 a, b, c, d, e(1,1) 。4、求與圓 x2y25 外切于點(diǎn) P( 1

18、,2) ，且半徑為2 5 的圓的方程C (a, b) ，則(a1)2(b2)2(2 5)2a3b2解一：設(shè)所求圓的圓心為（ ）b 6，a11所求圓的方程為( x3)2( y6)220。注：因?yàn)閮蓤A心及切點(diǎn)共線得（1）式解二：設(shè)所求圓的圓心為C (a, b) ，由條件知 OP1 OC( 1,2)1 (a,b)a333，所求圓的方程為 ( x3) 2( y6)220 。b 6仔細(xì)體會解法2，利用向量表示兩個(gè)圓心的位置關(guān)系，同時(shí)體現(xiàn)了共線關(guān)系和長度關(guān)系，顯得更簡潔明快，值得借鑒。y5、如圖，已知圓心坐標(biāo)為M (3,1) 的圓 M 與 x 軸及直線Dy3x均相切，切點(diǎn)分別為A、B，另一圓 N 與圓 M

19、 、Nx 軸及直線 y3x均相切，切點(diǎn)分別為C、D。（ 1）求圓 M 和圓 N 的方程；B（ 2）過 B 點(diǎn)作 MN 的平行線 l ，求直線 l 被圓 NM截得的弦的長度；xOAC解：（ 1）由于圓 M 與BOA 的兩邊相切，故 M 到 OA 及 OB 的距離均為圓M 的半徑，則 M 在BOA 的角平分線上，同理，N 也在BOA 的角平分線上，即 O、M、N 三點(diǎn)共線，且 OMN 為BOA 的角平分線，M 的坐標(biāo)為 M ( 3,1) ，M 到 x 軸的距離為1，即：圓 M 的半徑為1，圓 M 的方程為 ( x3)2( y1)21；優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載設(shè)圓 N 的半徑為 r ，由 Rt OAM

20、RtOCN ，得： OM : ONMA:NC,即21r3， OC33 ，圓 N 的方程為： ( x33) 2( y3) 29 ；3 rrA 點(diǎn)的 MN 的平行線被圓N 截得的弦長，（2）由對稱性可知，所求弦長等于過此弦所在直線方程為y3 ( x3) ，即 x3y30 ，3圓心 N 到該直線的距離d333333，則弦長 = 2r 2d 233132注：也可求得 B 點(diǎn)坐標(biāo)3,3，得過 B 點(diǎn) MN 的平行線 l 的方程 x3y30 ，再根據(jù)圓22心 N 到直線 l 的距離等于3 ，求得答案33；還可以直接求A 點(diǎn)或 B 點(diǎn)到直線的距離， 進(jìn)而求得弦長。26 、已知兩圓C1 : x2y24； C2

21、 : x2y22x 4 y40，直線 l : x2y0 ，求經(jīng)過圓C1、 C2 的交點(diǎn)且和直線 l相切的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為x2y22x4 y4( x2y 24)0 ，即： (1) x2(1) y22 x4 y440 ，得：22圓心坐標(biāo)為11,2；半徑 r121416 1，1211所求圓與直線 l相切，圓心到直線的距離14224211611111r，解得1 ，舍去1d52所求圓的方程為： x2y2x2 y 0要熟練掌握過兩圓交點(diǎn)的圓系的方程及公共弦的直線方程（=-1）7、如果實(shí)數(shù) x 、 y 滿足 ( x2)2y23，求 y 的最大值、2y x 的最小值。xy 的最大值。解：（ 1）

22、問題可轉(zhuǎn)化為求圓( x2) 2y23 上點(diǎn)到原點(diǎn)的連線的斜率kx設(shè)過原點(diǎn)的直線方程為ykx ，由圖形性質(zhì)知當(dāng)直線斜率取最值時(shí)，直線與圓相切。得：2k03 ，k3 ，x3k21ymax（ 2）x, y 滿足 ( x2) 2y23 ，x23 cosy3 sin2xy423cos3 sin415 sin()2xy min415 。注意學(xué)習(xí)掌握解 （2）中利用圓的參數(shù)方程將關(guān)于x,y的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的一元函數(shù)， 從而方便求解的技巧。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載8、已知圓 C : ( x1)2( y2) 225 ，直線 l : (2 m1)x(m1) y7m40 ， (mR) 。（ 1）證明：不論 m 取

23、什么實(shí)數(shù)，直線 l 與圓恒交于兩點(diǎn)；（ 2）求直線被圓 C 截得的弦長最小時(shí) l 的方程 .解：（ 1）解法 1： l 的方程 ( xy4) m(2 x y7)0 ， ( mR)2xy70,x3,即 l恒過定點(diǎn)A(3,1)xy40,y1,圓心坐標(biāo)為 C (1,2)，半徑 r5， AC5r ，點(diǎn) A 在圓 C 內(nèi)，從而直線l 恒與圓 C 相交于兩點(diǎn)。解法 2：圓心到直線 l 的距離 d| 3m1|， d 25( 4m3) 205m26m25m26m2d55r ，所以直線 l 恒與圓 C 相交于兩點(diǎn)。（2）弦長最小時(shí)， lAC ，kAC121 ，kl2 ，2m12m3312m14代入 (2m 1)

24、x( m 1) y 7m 40 ，得 l的方程為 2xy50 。注意掌握以下幾點(diǎn)： （ 1）動直線斜率不定，可能經(jīng)過某定點(diǎn)；（ 2）直線與圓恒有公共點(diǎn)直線經(jīng)過的定點(diǎn)在圓內(nèi)，此結(jié)論可推廣到圓錐曲線；（ 3）過圓內(nèi)一點(diǎn)，最長的弦為直徑，最短的弦為垂直于直徑的弦。9、已知圓 C : ( x 3)2( y5) 2r 2 和直線 l : 4x3y2 0，（ 1）若圓 C 上有且只有 4 個(gè)點(diǎn)到直線 l 的的距離等于 1，求半徑 r 的取值范圍；（ 2）若圓 C 上有且只有 3 個(gè)點(diǎn)到直線 l 的的距離等于 1，求半徑 r 的取值范圍；（ 3）若圓 C 上有且只有 2 個(gè)點(diǎn)到直線 l 的的距離等于 1，求

25、半徑 r 的取值范圍；解一：與直線l : 4 x3y20 平行且距離為1 的直線有兩條，分別為：l1 : 4 x3 y30 ， l 2 : 4 x3y70 ，注意掌握平行直線的表示方法及其距離計(jì)算。圓心 C 到直線 l1 的的距離為 d16 , 到直線 l2 的的距離為d24 , 則：（ 1）圓 C 上有且只有 4 個(gè)點(diǎn)到直線 l 的的距離等于 1（ 2）圓 C 上有且只有 3 個(gè)點(diǎn)到直線 l 的的距離等于 1（ 3）圓 C 上有且只有 2 個(gè)點(diǎn)到直線 l 的的距離等于 1解二：圓心 C 到直線 l 的距離 d5 ，則：（ 1）圓 C 上有且只有 4 個(gè)點(diǎn)到直線 l 的的距離等于 1（ 2）圓

26、 C 上有且只有 3 個(gè)點(diǎn)到直線 l 的的距離等于 1（ 3）圓 C 上有且只有 2 個(gè)點(diǎn)到直線 l 的的距離等于 1r4且 r6r6r4且 r6r6r4且 r64r6rd1r6，rd1r6，1rd14 r6解法 1 采用將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來解決，具有直觀明了的優(yōu)點(diǎn)，對解決這類問題特別有效；解法2 的著眼點(diǎn)是觀察從劣弧的點(diǎn)到直線l 的最大距離 , 請仔細(xì)體會。10、已知 O 為原點(diǎn)，定點(diǎn)Q (4,0) ，點(diǎn) P 是圓 x2y24 上一動點(diǎn)。（ 1）求線段 PQ 中點(diǎn)的軌跡方程；（ 2）設(shè) POQ 的平分線交 PQ 于 R ，求 R 點(diǎn)的軌跡方程。解：（ 1）設(shè) PQ 中點(diǎn) M (x

27、, y) ，則 P(2 x4,2 y) ，代入圓的方程得( x 2)2y21。0 ， P(m, n) ，由 PROP21 ，P（ 2）設(shè) R( x, y) ，其中 yRRQOQ42OQ優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載3x4m2，代入圓方程x2y24 并化簡得：3yn24216 ( yxy20) 。 當(dāng) y=0 時(shí)，即 P 在 x 軸上時(shí)，POQ 的平分線無意義。39（1）本題的解法稱作相關(guān)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡，其核心是找到未知與已知?jiǎng)狱c(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系；（ 2）處理“角平分線”問題，一般有以下途徑：轉(zhuǎn)化為對稱問題利用角平分線性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為比例關(guān)系利用夾角相等。11、如圖所示，過圓O : x2y24 與 y 軸正半軸的交點(diǎn)A 作圓的切線 l ， M為 l 上任意一點(diǎn)，再過 M作圓的另一切線， 切點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn) M在直線 l上移動時(shí)， 求三角形 MAQ的垂心的軌跡方程。解：設(shè) Q (x1, y1 )， AM 邊上的高為QB， MQ 邊上的高為 AC ，連