高中數(shù)學(xué)必修4《兩角差的余弦公式》教案

1、課題：兩角差的余弦公式教材：人教A 版 數(shù)學(xué)必修 4一、教學(xué)目標(biāo)：1. 探究并糾正常犯的直覺性錯(cuò)誤；2. 探究并理解用單位圓上的三角函數(shù)線推導(dǎo)兩角差的余弦公式；3. 探究并理解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式；4. 掌握兩角差的余弦公式的初步運(yùn)用 .二、教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立探索和討論交流，導(dǎo)出兩角差的余弦公式難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索與證明三、教學(xué)方法與手段：1. 在教學(xué)中可以利用多媒體動態(tài)演示“用單位圓上的三角函數(shù)線推導(dǎo)兩角差的余弦公式”以及“用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式”的過程，結(jié)合課件配合教學(xué)。2. 利用課件中的單位圓及線段、角度等，可以清晰的演示出公式的探索過程

2、。四、教學(xué)過程：教學(xué)提出問題設(shè)計(jì)意圖學(xué)生活動過程1. 計(jì)算 cos15cos 4530?猜想，是一不是等于 cos 45cos30 呢？、引2. cos() 是否等于 coscos？入3. 三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道， cos 等于角 與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角的余弦線來表示。二、怎樣構(gòu)造角和角？三角4. 怎樣作出角的余弦線以及角函數(shù)、的正弦線、余弦線？怎樣利用幾何線直觀尋求 OM 的表示式？推導(dǎo)方法5. 思考：上面的推導(dǎo)是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？是否存在特殊性？通過具體例子體會差角的余弦是否等于 學(xué)生動筆計(jì)算，驗(yàn)證余弦值之差由特殊到一般，明 學(xué)生動腦，動手驗(yàn)證確直覺性的錯(cuò)誤出錯(cuò)原因，體會“恒等

3、”的含義復(fù)習(xí)三角函數(shù)線的學(xué)生畫單位圓，作出有關(guān)知識相關(guān)角的余弦線使學(xué)生從直觀角度學(xué)生結(jié)合單位圓， 親加強(qiáng)對差角公式結(jié)構(gòu) 自探索的形式特征，探索用三角函數(shù)線表示cos()培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)師生共同作答： 推導(dǎo)過習(xí)態(tài)度，體會所舉例程是在、的特殊性，能否推廣到一般情況6. 我們來仔細(xì)觀察猜想的結(jié)構(gòu)，等式的引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，提左邊是差角的余弦，我們在什么地方見到出證明方法三過類似結(jié)構(gòu)？、7. 應(yīng)選擇哪幾個(gè)向量，它們怎么表示？怎讓學(xué)生經(jīng)歷用向量向 樣利用向量數(shù)量積的概念和計(jì)算公式得知識解出數(shù)學(xué)問題的量 到探索結(jié)果？過程，體會向量方法數(shù)的作用量積推8. 對以上推導(dǎo)是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？若有，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃紝?dǎo) 請作

4、出補(bǔ)充 .維習(xí)慣，小心求證方法9. 小結(jié)：對比一下兩種證明方法，你認(rèn)為對比和理解兩種探哪種更簡單？索方法的思路，并了四解探究過程應(yīng)遵循的原則、歸納結(jié)論10. 例 1：利用差角余弦公式求cos15的本例是通過應(yīng)用理解公式的基本練習(xí)，值。應(yīng)注意變式題：利用差角余弦公式求sin 75的（1）具體的角應(yīng)適當(dāng)值。拆分成差角的形式五（2）拆分的情況可能、不唯一例（3）思考變式問題，題計(jì)算 sin 75 可由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)換成求 cos15 的余弦得到，啟發(fā)學(xué)生多角度都是銳角，且的情況下得到的。 同學(xué)們可以課后動手試證明對任意角、，都成立學(xué)生思考回答：向量的數(shù)量積根據(jù)老師的引導(dǎo)和觀察動態(tài)課件， 學(xué)生共

5、同探索，明確應(yīng)選擇哪幾個(gè)向量，具體怎樣表示，怎樣利用數(shù)量積的計(jì)算得到探索結(jié)果實(shí)例中討論的存在取值范圍0，如一般情形，是否仍然成立，留學(xué)生思考，課后進(jìn)一步完善學(xué)生小結(jié)、比較兩種方法。用單位圓上的三角函數(shù)線推導(dǎo)可從直觀角度加強(qiáng)對差角公式的認(rèn)識， 用向量推導(dǎo)突出向量運(yùn)算的威力，過程簡潔。小結(jié)，得出公式：對于任意角,都有cos()coscossinsin求解過程可由學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行，教師適當(dāng)點(diǎn)評，規(guī)范步驟，教師黑板板演學(xué)生自己動手算第二種方法，做到邊學(xué)邊練，并練習(xí)加以引申的題目。看問題11. 例2 ： 已 知 sin4 ,(, ) ，差角余弦公式的進(jìn)正確運(yùn)用公式計(jì)算52一步熟練運(yùn)用，應(yīng)使差角的余弦， 學(xué)生

6、先作cos5 ，是第三象限角，求學(xué)生體會：答，教師對答題中出現(xiàn)13（1）應(yīng)用差角公式應(yīng)的問題進(jìn)行修正， 明確cos() 的值。做的必要準(zhǔn)備規(guī)范答題的步驟（2）結(jié)合相應(yīng)角的取變式 題對 題目加以變式題：若將例2 的條件(,) 去掉，值范圍確定角的正余引申，若去掉這個(gè)條弦值件，應(yīng)進(jìn)行分類討論完2該題如何解答？成12. 通過本節(jié)學(xué)習(xí)你有哪些收獲 ?自我小結(jié)本節(jié)課的師生共同歸納： 本節(jié)收獲，讓學(xué)生通過小課用單位圓上的三角結(jié)，加深對公式及其函數(shù)線和向量的數(shù)量推導(dǎo)過程的理解積兩種方法推導(dǎo)出兩六角差的余弦公式。、理解和掌握探索的課過程，可引導(dǎo)學(xué)生從兩堂方面進(jìn)行小結(jié)：（ 1）對小公式的探索過程， 用到結(jié)了哪些

7、知識， 怎樣探索并完善的；（2）認(rèn)識差角余弦公式的結(jié)構(gòu)特征，能表述變換過程。五、課后練習(xí)1利用兩角差的余弦公式，求cos75設(shè)計(jì)意圖： 題型同例 1，評價(jià)學(xué)生是否正確記憶并使用公式。2化簡求值：（1）cos80 cos 20sin 80sin 2013sin15（2） cos1522設(shè)計(jì)意圖： 評價(jià)學(xué)生能否掌握公式的逆用，從反方向上正確運(yùn)用公式化簡求值。第（2）小題需要根據(jù)公式右邊的特點(diǎn)，先分別將1 、 3 化成同角的余、正弦。223已知 sin2 ,cos3 ,在第二象限，求 cos()34設(shè)計(jì)意圖： 題型同例 2，評價(jià)學(xué)生是否正確掌握并運(yùn)用公式。學(xué)生需要思考使用公式前應(yīng)作出的必要準(zhǔn)備，結(jié)合

8、同角三角函數(shù)的知識進(jìn)行計(jì)算。4,(0,), tan4 3,cos()11 ，求cos214設(shè)計(jì)意圖： 通過本題評價(jià)學(xué)生對差角公式掌握情況，以及靈活運(yùn)用情況，難度較大?？疾鞂W(xué)生將拆分為兩個(gè)已知角之差： ()，由已知角的范圍進(jìn)一步求的正、余弦值，的余弦值，需要結(jié)合同角三角函數(shù)的知識運(yùn)算。附：教案說明1、本節(jié)課中，兩角差的余弦公式的推導(dǎo)是本節(jié)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，尤其要引導(dǎo)學(xué)生通過主動參與，獨(dú)立探索，試著自己歸納結(jié)論。有些學(xué)生往往重“結(jié)論” ，輕“過程”，只記憶結(jié)論，而輕視公式、定理的推導(dǎo)過程，而這往往是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維嚴(yán)密性及邏輯關(guān)系的一個(gè)部分，也恰恰是最能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的。教學(xué)中可側(cè)重分析公式的結(jié)構(gòu)特征，引起學(xué)生尋求適當(dāng)方法推出公式的欲望，教師應(yīng)在引導(dǎo)上多下功夫。配合 ppt 課件進(jìn)行動態(tài)演示，可以收到較好的效果。2、對于例 1，例 2 的教學(xué)，應(yīng)通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生能逐步熟記公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，正確運(yùn)用公