教案--第四章 矩陣的特征值

1、物流學(xué)院20152016學(xué)年度第 1 學(xué)期 線性代數(shù) 課堂教學(xué)方案授課年級(jí) 2014 專(zhuān)業(yè)層次 會(huì)計(jì)學(xué)本科 授課班級(jí) 1、2、3、4班 授課教師 2015 年 8 月 28 日線性代數(shù)教案任課教師授課班級(jí)2014級(jí)會(huì)計(jì)學(xué)本科班授課時(shí)間教學(xué)時(shí)間安排2學(xué)時(shí)授課題目（章節(jié)）第四章 矩陣的特征值第一節(jié) 向量的內(nèi)積教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 了解向量?jī)?nèi)積、正交的概念 掌握規(guī)范正交基的求法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)規(guī)范正交基的求法教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書(shū)與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過(guò)程問(wèn)題導(dǎo)入：在第三章中，我們研究了向量的線性運(yùn)算，并利用它討論向量之間的線性關(guān)系，但尚未涉及到向量的度量性質(zhì).在空間

2、解析幾何中，向量和的長(zhǎng)度與夾角等度量性質(zhì)可以通過(guò)兩個(gè)向量的數(shù)量積 來(lái)表示，且在直角坐標(biāo)系中，有 , .本節(jié)中，我們要將數(shù)量積的概念推廣到維向量空間中，引入內(nèi)積的概念 內(nèi)容要點(diǎn)一、內(nèi)積及其性質(zhì)定義1 設(shè)有維向量令 稱(chēng)為向量與的內(nèi)積.注：內(nèi)積有時(shí)也記作.內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算, 其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù), 按矩陣的記法可表示為內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì) (其中,為維向量,(1) (2) (3) (4) ; 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), .二、向量的長(zhǎng)度與性質(zhì)定義2 令稱(chēng)為維向量的長(zhǎng)度(或范數(shù)).向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì):(1) 非負(fù)性 ;當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), ;(2) 齊次性 ;(3) 三角不等式 ;(4) 對(duì)任意維向量, 有 .注:

3、若令 則性質(zhì)(4)可表示為上述不等式稱(chēng)為柯西布涅可夫斯基不等式，它說(shuō)明中任意兩個(gè)向量的內(nèi)積與它們長(zhǎng)度之間的關(guān)系.當(dāng)時(shí), 稱(chēng)為單位向量.對(duì)中的任一非零向量, 向量是一個(gè)單位向量,因?yàn)樽? 用非零向量的長(zhǎng)度去除向量,得到一個(gè)單位向量,這一過(guò)程通常稱(chēng)為把向量單位化.當(dāng) 定義.稱(chēng)為維向量與的夾角.三、正交向量組定義3 若兩向量與的內(nèi)積等于零，即 ，則稱(chēng)向量與相互正交. 記作.定義4 若維向量是一個(gè)非零向量組，且中的向量?jī)蓛烧?，則稱(chēng)該向量組為正交向量組.定理1 若維向量是一組正交向量組，則線性無(wú)關(guān).四、規(guī)范正交基及其求法定義5 設(shè)是一個(gè)向量空間， 若是向量空間的一個(gè)基，且是兩兩正交的向量組，則稱(chēng)是向量

4、空間的正交基. 若是向量空間的一個(gè)基,兩兩正交, 且都是單位向量, 則稱(chēng)是向量空間的一個(gè)規(guī)范正交基(或標(biāo)準(zhǔn)正交基).若是的一個(gè)規(guī)范正交基, 則中任一向量能由線性表示, 設(shè)表示式為,為求其中的系數(shù)可用左乘上式, 有即 這就是向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)的計(jì)算公式.利用這個(gè)公式能方便地求得向量在規(guī)范正交基下的坐標(biāo)為： 因此, 我們?cè)诮o出向量空間的基時(shí)常常取規(guī)范正交基.規(guī)范正交基的求法:設(shè)是向量空間的一個(gè)基,要求的一個(gè)規(guī)范正交基, 也就是要找一組兩兩正交的單位向量,使與等價(jià). 這樣一個(gè)問(wèn)題,稱(chēng)為把這個(gè)基規(guī)范正交化，可按如下兩個(gè)步驟進(jìn)行： (1) 正交化容易驗(yàn)證兩兩正交,且與等價(jià).注: 上述過(guò)程稱(chēng)為施密特

5、(Schimidt)正交化過(guò)程. 它滿足對(duì)任何, 向量組與等價(jià).(2) 單位化: 取則是的一個(gè)規(guī)范正交基.注： 施密特(Schimidt)正交化過(guò)程可將中的任一組線性無(wú)關(guān)的向量組化為與之等價(jià)的正交組；再經(jīng)過(guò)單位化，得到一組與等價(jià)的規(guī)范正交組五、正交矩陣與正交變換定義6 若階方陣滿足 (即),則稱(chēng)為正交矩陣, 簡(jiǎn)稱(chēng)正交陣.定理2 為正交矩陣的充分必要條件是的列向量都是單位正交向量組.定義7 若為正交矩陣,則線性變換稱(chēng)為正交變換.正交變換的性質(zhì)：正交變換保持向量的長(zhǎng)度和內(nèi)積不變.例題選講例1 設(shè) 試用施密特正交化方法, 將向量組正交規(guī)范化.例2 已知三維向量空間中兩個(gè)向量 正交，試求使， 構(gòu)成三維

6、空間的一個(gè)正交基.例3 判別下列矩形是否為正交陣.理論講解45分鐘，習(xí)題選講25分鐘，練習(xí)、答疑20分鐘注: 若, 則與任何向量都正交.注： 由與等價(jià),定理的結(jié)論對(duì)行向量也成立.即為正交矩陣的充分必要條件是的行向量都是單位正交向量組.作業(yè)與課外訓(xùn)練1. 試將線性無(wú)關(guān)的向量組正交化 .2. 已知 求一組非零向量, 使兩兩正交.P121 2 4課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排1.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)編寫(xiě)組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)指導(dǎo)，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習(xí)題精選精解，山東科學(xué)技術(shù)出版社，20093. 課后小結(jié)本節(jié)介紹了向量?jī)?nèi)積以及正交的概念，特別是向量組基的規(guī)范正交化轉(zhuǎn)化方法要牢記

7、。線性代數(shù)教案任課教師授課班級(jí)2014級(jí)會(huì)計(jì)學(xué)本科班授課時(shí)間教學(xué)時(shí)間安排2學(xué)時(shí)授課題目（章節(jié)）第二節(jié) 矩陣的特征值與特征向量教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 了解矩陣特征值、特征向量等概念 掌握求二階矩陣特征值和特征向量的方法 熟悉矩陣特征值、特征向量等有關(guān)性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)矩陣的特征值、特征向量及其基本性質(zhì)教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書(shū)與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過(guò)程內(nèi)容導(dǎo)入在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)常涉及到經(jīng)濟(jì)計(jì)算問(wèn)題，在計(jì)算過(guò)程中常常遇到求特征值及特征向量，因此特征值和特征向量的概念不僅在理論上重要，而且可以用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。自本節(jié)開(kāi)始直到課程結(jié)束，將討論一個(gè)問(wèn)題：線性變換（矩陣、線性方程

8、組）在不同基下的不同表現(xiàn)形式問(wèn)題對(duì)角化（矩陣相似）。前面涉及到的矩陣表現(xiàn)形式：一般矩陣行階梯形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)型（等價(jià)）：可逆矩陣，滿足若：為方陣且互為逆矩陣時(shí)，上述結(jié)果又會(huì)如何呢？（在一定條件下，矩陣是對(duì)角矩陣，此時(shí)矩陣互為相似矩陣），那么這個(gè)條件是什么？接下來(lái)章節(jié)將要介紹。在此結(jié)論成立條件下：，其中即令，則有，即，因此有這就是我們這節(jié)課將要討論的內(nèi)容特征值與特征向量。內(nèi)容要點(diǎn)一、特征值與特征向量定義1 設(shè)是階方陣, 如果數(shù)和維非零向量使成立, 則稱(chēng)數(shù)為方陣的特征值, 非零向量稱(chēng)為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量（或稱(chēng)為的屬于特征值的特征向量）.注：1. 階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組 有

9、非零解的值, 即滿足方程的都是矩陣的特征值.稱(chēng)關(guān)于的一元次方程為矩陣的特征方程，稱(chēng)的一元次多項(xiàng)式 為矩陣的特征多項(xiàng)式.根據(jù)上述定義，即可給出特征向量的求法：設(shè)為方陣的一個(gè)特征值，則由齊次線性方程組 可求得非零解，那么就是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，且 的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量全體是方程組的全體非零解。即設(shè)為的基礎(chǔ)解系，則的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量全體是不同時(shí).二、特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1 階矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值.性質(zhì)2 設(shè)是階矩陣，則 其中是的全體階主子式的和. 設(shè)是的個(gè)特征值，則由次代數(shù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系知，有(1) (2) 其中的全體特征值的和稱(chēng)為矩陣的跡, 記為 .*性質(zhì)3

10、 設(shè)是階矩陣,如果(1) 或(2) 有一個(gè)成立, 則矩陣的所有特征值的模小于1, 即定理1 階矩陣的互不相等的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān).注：1. 屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的; 2. 屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量 3. 矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的, 一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一; 一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值.例題選講例1 求矩陣的特征值和特征向量. 例2 設(shè) 求A的特征值與特征向量.例3求n階數(shù)量矩陣的特征值與特征向量.例4 試證: n階矩陣A是奇異矩陣的充分必要條件是A有一個(gè)特征值為零.注: 此例也可以敘述為：n階矩陣

11、A可逆它的任一特征值不為零.例5設(shè)是方陣A的特征值, 證明(1) 是的特征值; (2) 當(dāng)A可逆時(shí), 是的特征值.注：易進(jìn)一步證明：若是的特征值, 則是的特征值，是的特征值，其中 特別地, 設(shè)特征多項(xiàng)式 則是的特征值, 且例6 設(shè)3階矩陣A的特征值為, 求例7 設(shè)和是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值, 對(duì)應(yīng)的特征向量依次為和, 證明不是A的特征向量.例8 正交矩陣的實(shí)特征值的絕對(duì)值為1.注:的特征值是特征方程的根，也是的根.的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量是齊次方程組的非零解，也是的非零解.理論講解45分鐘，習(xí)題選講40分鐘，練習(xí)、答疑5分鐘提問(wèn)：矩陣A的特征值與矩陣的行列式|A|之間有什么關(guān)系？.作業(yè)與課外訓(xùn)

12、練1.求矩陣的特征值和特征向量.2.求矩陣的特征值與特征向量.P126 6 9課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排1.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)編寫(xiě)組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)指導(dǎo)，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習(xí)題精選精解，山東科學(xué)技術(shù)出版社，20093. 課后小結(jié)這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了特征值與特征向量的概念，通過(guò)學(xué)習(xí)我們知道每一特征向量只能屬于一個(gè)特征值；我們還學(xué)習(xí)了特征值與特征向量的求法，特征值和特征向量的基本性質(zhì)，這些知識(shí)在以后的工程應(yīng)用方面發(fā)揮著巨大的作用. 課后加強(qiáng)特征值和特征向量的計(jì)算。線性代數(shù)教案任課教師授課班級(jí)2014級(jí)會(huì)計(jì)學(xué)本科班授課時(shí)間教學(xué)時(shí)間安排2學(xué)時(shí)授課題目（章節(jié)）第三節(jié) 相

13、似矩陣教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 了解相似矩陣的概念 掌握矩陣對(duì)角化的條件及方法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)矩陣對(duì)角化的條件及方法教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書(shū)與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過(guò)程內(nèi)容要點(diǎn)一、相似矩陣的概念定義1 設(shè)都是階矩陣, 若存在可逆矩陣,使,則稱(chēng)是的相似矩陣, 并稱(chēng)矩陣與相似.記為.對(duì)進(jìn)行運(yùn)算稱(chēng)為對(duì)進(jìn)行相似變換, 稱(chēng)可逆矩陣為相似變換矩陣.矩陣的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系，滿足:(1) 反身性: 對(duì)任意階矩陣,有相似;(2) 對(duì)稱(chēng)性: 若相似, 則與相似;(3) 傳遞性: 若與相似, 則與相似, 則與相似. 兩個(gè)常用運(yùn)算表達(dá)式： (1) ; (2) , 其中為任意實(shí)數(shù).二、相似

14、矩陣的性質(zhì)定理1 若n階矩陣A與B相似,則A與B的特征多項(xiàng)式相同,從而A與B的特征值亦相同.因此具有相同的跡（2015年考研真題）。相似矩陣的其它性質(zhì):(1) 相似矩陣的秩相等;(2) 相似矩陣的行列式相等; (3) 相似矩陣具有相同的可逆性, 當(dāng)它們可逆時(shí),則它們的逆矩陣也相似.三、矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件定理2 n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.注: 定理的證明過(guò)程實(shí)際上已經(jīng)給出了把方陣對(duì)角化的方法.推論1 若n階矩陣A有n個(gè)相異的特征值,則A與對(duì)角矩陣相似.對(duì)于n階方陣A,若存在可逆矩陣P, 使為對(duì)角陣, 則稱(chēng)方陣A可對(duì)角化.定理3 n階矩陣A可對(duì)角

15、化的充要條件是對(duì)應(yīng)于A的每個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)恰好等于該特征值的重?cái)?shù). 即設(shè)是矩陣A的重特征值, 則A與相似。四、矩陣對(duì)角化的步驟若矩陣可對(duì)角化，則可按下列步驟來(lái)實(shí)現(xiàn): (1) 求出的全部特征值;(2) 對(duì)每一個(gè)特征值,設(shè)其重?cái)?shù)為,則對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系由個(gè)向量構(gòu)成, 即為對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量；(3) 上面求出的特征向量恰好為矩陣的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量;(4) 令, 則五、利用矩陣對(duì)角化計(jì)算矩陣多項(xiàng)式定理4 設(shè)是矩陣A的特征多項(xiàng)式,則.例題選講例1 設(shè)有矩陣 試驗(yàn)證存在可逆矩陣, 使得A與B相似.例2 試對(duì)矩陣驗(yàn)證前述定理2的結(jié)論.注: 本例子說(shuō)明了A的特征值不全互異時(shí),

16、A也可能化為對(duì)角矩陣.例3判斷矩陣能否化為對(duì)角陣.例4 設(shè) 問(wèn)為何值時(shí), 矩陣能對(duì)角化?理論講解50分鐘，習(xí)題選講20分鐘，練習(xí)、答疑20分鐘提問(wèn)：屬于s個(gè)不同特征值的s個(gè)特征向量構(gòu)成的向量組是否一定線性無(wú)關(guān)？提問(wèn)：求方陣A的對(duì)角化的步驟是怎樣的？作業(yè)與課外訓(xùn)練1.判斷矩陣能否化為對(duì)角陣.2.判斷下列兩矩陣A,B是否相似.P130 5 6課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排1.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)編寫(xiě)組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)指導(dǎo)，同心出版社，19952.張?zhí)斓拢€性代數(shù)習(xí)題精選精解，山東科學(xué)技術(shù)出版社，20093. 課后小結(jié)這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了相似矩陣的概念及性質(zhì)，還學(xué)習(xí)了矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件及

17、對(duì)角化步驟. 課后要加強(qiáng)矩陣對(duì)角化的計(jì)算。線性代數(shù)教案任課教師授課班級(jí)2014級(jí)會(huì)計(jì)學(xué)本科班授課時(shí)間教學(xué)時(shí)間安排2學(xué)時(shí)授課題目（章節(jié)）第四節(jié) 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 了解正交矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的方法 掌握利用相似變換將方陣對(duì)角化的方法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值與特征向量的特殊性質(zhì)教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書(shū)與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過(guò)程內(nèi)容導(dǎo)入:從上節(jié)討論中我們已獲知，并不是數(shù)域P上的任意方陣均可對(duì)角化的，本節(jié)中我們來(lái)討論一類(lèi)可以對(duì)角化的矩陣類(lèi)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣類(lèi)實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣不僅可對(duì)角化，而且還可要求可逆矩陣P是正交矩陣，即對(duì)于任意的實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣一定存在同階正交

18、矩陣P，使得P1AP=是對(duì)角矩陣由于矩陣的對(duì)角化問(wèn)題與特征值與特征向量密切相關(guān)，首先我們來(lái)討論實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值與特征向量的特殊性質(zhì)內(nèi)容要點(diǎn)定理1 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都為實(shí)數(shù).注: 對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，因其特征值為實(shí)數(shù), 故方程組是實(shí)系數(shù)方程組, 由知它必有實(shí)的基礎(chǔ)解系, 所以的特征向量可以取實(shí)向量.定理2 設(shè)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的兩個(gè)特征值, 是對(duì)應(yīng)的特征向量. 若, 則與正交.定理3 設(shè)為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,是的特征方程的重根,則矩陣的秩,從而對(duì)應(yīng)特征值恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.定理4 設(shè)為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣, 則必有正交矩陣,使,其中是以的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.與上節(jié)將一般矩陣對(duì)角化的方法類(lèi)似，根據(jù)上述結(jié)論，可求正交變換矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的步驟為：(1) 求出的全部特征值;(2) 對(duì)每一個(gè)特征值, 由求出基礎(chǔ)解系（特征向量）;(3) 將基礎(chǔ)解系（特征向量）正交化；再單位化;(4) 以這些單位向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)正交矩陣，使 .注：中列向量的次序與矩陣對(duì)角線上的特征值的次序相對(duì)應(yīng).例題選講例1 設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 求正交矩陣P, 使為對(duì)角矩陣.例2設(shè)有對(duì)稱(chēng)矩陣 試求出正交矩陣P, 使為對(duì)角陣.例3 設(shè), 求理論講解30分鐘，習(xí)題選講30分鐘，練習(xí)、答疑30分鐘注：復(fù)數(shù)向量的內(nèi)積表示方法！作業(yè)與課外訓(xùn)練1.設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 試求出正交矩陣P, 使為對(duì)角陣.2.設(shè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A