恩波2012考研《高等數(shù)學(xué)》系列綜合訓(xùn)練題及答案

1、高等數(shù)學(xué)系列綜合訓(xùn)練（1）1已知 則 ， 。2極限的值是 （A）0， （B）1， （C）2， （D）不存在3當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限為 （A）2， （B）0， （C）， （D）不存在但不為。4試求下列極限 5設(shè)是三次多項(xiàng)式，且有 試求 。6設(shè)在的某鄰域內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)且 ， 試求 。7設(shè) 試求的間斷點(diǎn)，并說(shuō)明間斷點(diǎn)的類型。高等數(shù)學(xué)系列綜合訓(xùn)練（2）1 設(shè)函數(shù) 具有任意階導(dǎo)數(shù)，且，則 。2 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，試討論的存在性，若存在，并求之。3 設(shè)函數(shù)試求。4設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，試求。 5試討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。6求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 7求下列參數(shù)方程所確定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) 8設(shè) 在處可導(dǎo)，試確定

2、常數(shù)a,b,c.高等數(shù)學(xué)系列綜合訓(xùn)練（3）1. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且 ,則 。2. 設(shè)函數(shù), 則 , 。3. 在積分曲線族中,與直線相切的曲線方程為 。4. 。(A) , (B) , (C) , (D) 。5計(jì)算下列不定積分 6設(shè) 的一個(gè)原函數(shù)為,試求。7設(shè)函數(shù)滿足 ,試求。8試求不定積分 。高等數(shù)學(xué)系列綜合訓(xùn)練（4）4 設(shè)函數(shù)在a,b上有定義，且在a,b上可積，則積分 存在。5 定積分= ， 。6 設(shè)在（0，+）上連續(xù)，且當(dāng)x>0,y>0時(shí)有，則 。4 曲線與軸所圍圖形面積可表示為 （A） （B） （C） （D） 5設(shè)是在-a,a上連續(xù)的奇函數(shù)，-a<b<a,則下列定積分中

3、不為0的有 （A） （B） （C） （D） 6用定積分的幾何意義求 。7計(jì)算下列定積分 8設(shè) 在0，+）內(nèi)連續(xù)且單調(diào)不減，。試討論函數(shù)在0，+上的連續(xù)性與單調(diào)性（n>0）。9試求連續(xù)函數(shù)，使其滿足 10設(shè)，試求。高等數(shù)學(xué)系列綜合訓(xùn)練（5）1. 已知函數(shù)在處取極大值，則 .2. 曲線 的拐點(diǎn)為 .3. 數(shù)列的最大項(xiàng)為 .4. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且嚴(yán)格單調(diào)增加,則對(duì) 必有(A) (B) (C) (D) .5. 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且.則（A）為的極小值 . （B）為的極大值.（C）為的駐點(diǎn). （D）在某鄰域內(nèi)為凹的.6. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且的圖形如圖所示,則 有 (A) 1個(gè)極小值點(diǎn)和2個(gè)

4、極大值點(diǎn),無(wú)拐點(diǎn). (B) 2個(gè)極小值點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn),無(wú)拐點(diǎn). (C) 2個(gè)極小值點(diǎn)和2個(gè)極大值點(diǎn),1個(gè)拐點(diǎn). (D) 2個(gè)極小值點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn),1個(gè)拐點(diǎn).7.設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,. 則（A）是的極小值點(diǎn),且是曲線的拐點(diǎn).（B）是的極小值點(diǎn),且不是曲線的拐點(diǎn).（C）不是的極小值點(diǎn),且不是曲線 的拐點(diǎn).（D）不是的極值點(diǎn),且是曲線的拐點(diǎn).8. 試求曲線的漸近線9. 試確定函數(shù)中的值, 使該函數(shù)的曲線在其拐點(diǎn)處的法線過(guò)原點(diǎn).10. 已知函數(shù)在內(nèi)滿足 其中是不為零的常數(shù),且. (1) 試求及; (2) 若,試求的極值.11. 求由區(qū)域與所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體

5、之體積.12. 討論函數(shù)的性態(tài)并作圖.高等數(shù)學(xué)系列綜合訓(xùn)練（6）1. 設(shè)函數(shù) ,則= .2. 設(shè)函數(shù) 由方程 所確定,則 = .3. 設(shè)函數(shù)可微，。則當(dāng)時(shí)， .4. 設(shè)函數(shù)，其中各函數(shù)都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且。則 .5. 設(shè)函數(shù) 則 .6. 設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，。設(shè)，則 .7. 拋物面被平面截成一橢圓，則原點(diǎn)到該橢圓的最長(zhǎng)和最短距離分別為 .8. 二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，則下列說(shuō)法正確的是 （A）若在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則在處連續(xù).（B）若存在，則沿軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)都存在且等于.（C）若沿軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)都存在，則存在.（D）若存在，則沿軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)都存在且它們之

6、和為0.9. 試證：可微函數(shù)是的函數(shù)的充分必要條件為.10. 考察函數(shù)在點(diǎn)處偏導(dǎo)的存在性及其連續(xù)性，可微性.11. 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并滿足。試證：.高等數(shù)學(xué)系列綜合訓(xùn)練（7）1. = . 設(shè)區(qū)域D 為由與軸、軸所圍成的第一象限部分,則二重積分 .2.介于兩個(gè)圓間的均勻薄片的重心為.3.直角坐標(biāo)系下的累次積分在柱面坐標(biāo)系下的累次積為 ，在球面坐標(biāo)系下的累次積分為 .4.曲面將球體分成上下兩部分，則此兩部分體積之比為.5.設(shè)由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)曲面與平面所圍成，則三重積分 .6.估計(jì)二重積分值 ，正確的是 （A） （B）（C） （D）.7.計(jì)算二重積分，其中.8.求由拋物線及直

7、線所圍成的面密度的均勻薄片關(guān)于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.9.試證：.10.計(jì)算三重積分，其中是球體.11.計(jì)算三重積分，其中由所圍成.12.試求由閉曲面所圍立體之體積.高等數(shù)學(xué)系列綜合訓(xùn)練（8）1. 曲線由方程所確定,且在點(diǎn)處與直線相切,則該曲線方程為 .2.設(shè)微分方程的一個(gè)特解為,則常數(shù) ,原方程通解為 .3. 已知積分曲線族為,它們滿足的微分方程為 .4. 設(shè)函數(shù)可導(dǎo),且曲線積分在右半平面上與路徑無(wú)關(guān),則 .5.設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,為任意常數(shù),則該方程的通解為(A) (B) (C) (D)6. 微分方程的正確的特解形式為 (A) (B) (C) (D) 7.求解下列微分方程

8、8. 求解下列微分方程 9. 求解下列微分方程 10. 求解下列微分方程 11.已知可微函數(shù)滿足 ,試求.12.設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足方程 ,試求函數(shù).13.設(shè)彈簧上端固定,下端掛有三個(gè)質(zhì)量均為的相同物體,使彈簧伸長(zhǎng)了,今突然取走兩個(gè)物體,則剩余那個(gè)物體從靜止開(kāi)始振動(dòng),試求其振動(dòng)規(guī)律.高等數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練1答案與提示1. 提示:分母提出主項(xiàng) ,再再利用等價(jià)無(wú)窮小替換;或者利用二項(xiàng)展開(kāi)式2.(B) 提示:各項(xiàng)分拆 3.(D) 提示:分左右極限 4. 提示:利用等價(jià)無(wú)窮小替換 1. 提示:分左右極限 1. 提示:利用恒等式 .利用恒等式 .提示:根號(hào)中提出主項(xiàng), .提示:分子提出,再利用;或

9、利用多或少,直接應(yīng)用羅比達(dá)法則. . 提示:分母中的極限可先計(jì)算出,然后再利用等價(jià)無(wú)窮小替換 1. 提示:利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):,及等價(jià)無(wú)窮小替換 .提示:根式有理化,再提出主項(xiàng) .提示:利用恒等式,再利用定積分的定義5. .提示:設(shè)6. . 提示:利用恒等式, 7. 為的第一類間斷點(diǎn) (屬跳躍間斷點(diǎn)),為的第二類間斷點(diǎn)高等數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練2答案與提示1. .數(shù)學(xué)歸納法 2. 存在且等于A.3. 4. 5.在處連續(xù)但不可導(dǎo) 6. 提示:將根號(hào)改寫為冪函數(shù)形式,或者兩邊取對(duì)數(shù),再求導(dǎo).7. 8. 高等數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練3答案與提示1. 2. 3. 4. (D)5. 提示:分子配出, ,然后拆分 提示:分子用

10、倍角公式. 提示:令 提示:令 提示:令或倒代換 提示:分母有理化再令     提示:令 提示:先用分步積分公式,再令  提示:利用 提示:應(yīng)用兩次分部積分公式6. 提示:應(yīng)用分部積分公式7. 8. 高等數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練4答案與提示1. 不一定存在,反例:2. 3. 4. (C) 5. (B) 6. 7. 提示:令 提示:令 或倒代換 提示:定積分,根號(hào)中開(kāi)出來(lái)要加絕對(duì)值 提示:拆分分子,后面復(fù)雜部分為奇函數(shù),在對(duì)稱區(qū)間上積分為零 提示: 用分部積分公式 提示: 拆分分子,再用分部積分公式 提示:再現(xiàn)技術(shù),令8. 在上連續(xù),單調(diào)增. 提示:應(yīng)用羅畢

11、達(dá)法則和積分中值定理9. . 提示:先令將積分化簡(jiǎn),再在方程兩邊對(duì)求導(dǎo)10. 2. 提示:再現(xiàn)技術(shù), 用分部積分公式高等數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練5答案與提示1. 2. 提示:利用函數(shù)的參數(shù)式方程求導(dǎo)法3. 提示:求函數(shù)的最大值4. (B) 5. (A) 提示:利用極限的保號(hào)性6. (C) 提示:利用函數(shù)單調(diào)性、極值、拐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)間的關(guān)系7(D) 提示:利用二階泰勒公式,及極限的保號(hào)性 一般地有下列結(jié)論 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù),且 則當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是極值點(diǎn),且當(dāng)時(shí),是極小值;當(dāng)時(shí),是極大值;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),不是極值點(diǎn),但是拐點(diǎn).8. 水平漸近線 , 斜漸近線.9. 10. 時(shí),是 的極小值,時(shí),是 的

12、極大值. 11 12 O 高等數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練6答案與提示1. .2. .3. . 提示:在方程 兩邊對(duì)求導(dǎo)4. . 提示:在三個(gè)方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)即可解出5. 1. 提示:按定義 6. . 提示:復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則7. , . 提示:條件極值問(wèn)題的拉格朗日乘數(shù)法8. (D). 提示: 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)存在不是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的充分條件,如:在處兩個(gè)偏導(dǎo)均存在,但在處不連續(xù),故(A)不正確; 當(dāng)存在時(shí),在處沿軸正向的方向?qū)?shù)為, 沿軸負(fù)向的方向?qū)?shù)為,故(B)、(C)錯(cuò)。9提示:復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則10在處兩偏導(dǎo)存在，可微，但偏導(dǎo)在處不連續(xù)。11提示：在方程 兩邊對(duì)求導(dǎo)，再令高等數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練(7)答案與提示

13、1. 提示:交換積分次序 提示:轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系2. 3. 柱面坐標(biāo): 球面坐標(biāo): +4. 提示: 采用柱面坐標(biāo)5. 提示: 曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面為,采用柱面坐標(biāo)6. (B) 提示:由積分區(qū)域D關(guān)于的對(duì)稱性知, 從而有,注意到:當(dāng)時(shí),由積分保號(hào)性即得7. 提示:拆分區(qū)域,去掉絕對(duì)值8. 提示:薄片上任意點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為9. 提示:區(qū)域 由即可證得10.提示:利用對(duì)稱性,11. 提示:應(yīng)用截面法及極坐標(biāo)系12. 提示:采用球面坐標(biāo)系,先用球面坐標(biāo)改寫原曲面方程高等數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練(8)答案與提示1. 2. ,通解為3. 提示:方程兩邊對(duì)求導(dǎo),消去任意常數(shù)4. 5. (D) 6. (B)7. 提示:和差化積化為可分離變量型 提示: 平移變換化為齊次型