備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)——二次函數(shù)（壓軸題專(zhuān)項(xiàng)）（含詳細(xì)解析）

1、備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二次函數(shù)（壓軸題專(zhuān)項(xiàng)）1、【2019遂寧中考】如圖，頂點(diǎn)為P（3，3）的二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B在該圖象上，OB交其對(duì)稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，連接BN、ON（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式（2）若點(diǎn)B在對(duì)稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：連接OP，當(dāng)OPMN時(shí)，請(qǐng)判斷NOB的形狀，并求出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)求證：BNMONM2、如圖，直線yxn交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C(0，4)，拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B(0，2)，點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PD，過(guò)點(diǎn)B作BDPD于點(diǎn)D，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

2、(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)BDP為等腰直角三角形時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)3、如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(n,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)(n0)以AO為一邊作矩形AOBC，點(diǎn)C在第二象限，且OB2OA矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形AGDE.過(guò)點(diǎn)A的直線ykxm交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)BFA拋物線yax2bxc過(guò)點(diǎn)E、F、G且和直線AF交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HMx軸，垂足為M.(1)求k的值；(2)點(diǎn)A位置改變時(shí)，AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變？說(shuō)明你的理由4、已知拋物線yx2(2m1)x2m(m0.5)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4. (1) 求拋物線的解析式； (2) 如圖1，拋物線與x

3、軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線上的一點(diǎn)，BD平分四邊形ABCD的面積，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； (3) 如圖2，平移拋物線yx2(2m1)x2m，使其頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y2上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線，分別與拋物線有唯一的公共點(diǎn)E、F(直線PE、PF不與y軸平行)，求證：直線EF恒過(guò)某一定點(diǎn). 5、如圖1，點(diǎn)A是直線ykx(k0，且k為常數(shù))上一動(dòng)點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線y(xh)2m交直線yx于另一點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B，交直線EF于點(diǎn)C(點(diǎn)A，E，F(xiàn)兩兩不重合)(1)請(qǐng)寫(xiě)出h與m之間的關(guān)系；(用含k的式子表示)(2)當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使EF與x軸

4、平行時(shí)(如圖2)，求線段AC與OF的比值圖1 圖26、已知直線yx2t與拋物線ya(xt)2k(a>0，t0，a、t、k為已知數(shù))，在t2時(shí)，直線剛好經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)(1)求k的值；(2)t由小變大時(shí)，兩函數(shù)值之間大小不斷發(fā)生改變，特別當(dāng)t大于正數(shù)m時(shí)，無(wú)論自變量x取何值，yx2t的值總小于ya(xt)2k的值，試求a與m的關(guān)系式；(3)當(dāng)0tm時(shí)，設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，在a為定值時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否存在最大值，若有，請(qǐng)求出相應(yīng)的t的取值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由7、如圖，已知矩形ABCO在坐標(biāo)系的第一象限，它的長(zhǎng)AO是寬OC的倍，且有兩邊在坐標(biāo)軸上將ACO沿對(duì)角線AC翻折的

5、ACP，P點(diǎn)落在經(jīng)過(guò)矩形ABCO四個(gè)頂點(diǎn)的E上，E的半徑為R.(1)用R的式子表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若拋物線yax2xc經(jīng)過(guò)P、A兩點(diǎn)，請(qǐng)你判斷點(diǎn)C是否在此拋物線上；(3)若(2)中的拋物線的頂點(diǎn)為Q，該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M，那么直線OB將AMQ的面積分為兩個(gè)部分的比值k是否是一個(gè)定值？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果是，請(qǐng)求出其比值k.8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yxm(m為大于0的常數(shù))與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)C，開(kāi)口向下的拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸相交于另一點(diǎn)B，以AB為直徑的M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)(用含m的式子表示)；(2)求ac的值；(

6、3)若直線l平行于AC，且與拋物線yax2bxc有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，連接PA，PC，當(dāng)PAC的面積等于4時(shí)，求M與拋物線yax2bxc的交點(diǎn)坐標(biāo)9、如圖1，拋物線yax29ax36a（a0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OCOA，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)D，連接PC（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P只在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接PB，試問(wèn)PCB的面積是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出其最大值，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將CPD沿直線CP翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，試問(wèn)，四邊形CDPQ是否能成為菱形？如果能，請(qǐng)直

7、接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案1、【2019遂寧中考】如圖，頂點(diǎn)為P（3，3）的二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B在該圖象上，OB交其對(duì)稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，連接BN、ON（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式（2）若點(diǎn)B在對(duì)稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：連接OP，當(dāng)OPMN時(shí)，請(qǐng)判斷NOB的形狀，并求出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)求證：BNMONM【解析】（1）二次函數(shù)頂點(diǎn)為P（3，3）設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)a（x3）2+3二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A（6，0）（63）2a+30，解得：a 二次函數(shù)的關(guān)系式為y（x3）2+3x2+2x（2）設(shè)B（b，b2+2b）（b3）直線OB解析式

8、為：y（b+2）xOB交對(duì)稱軸l于點(diǎn)M當(dāng)xM3時(shí)，yM（b+2）×3b+6M（3，b+6）點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱NPMP3（b+6）b3，yN3+b3b，即N（3，b）OPMNOPMPb3解得：b3+3b2+2b×（3+3）2+2×（3+3）3 B（3+3，3），N（3，3+3）OB2（3+3）2+（3）236+18，ON232+（3+3）236+18，BN2（3+33）2+（333）272+36OBON，OB2+ON2BN2NOB是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為（3+3，3）證明：如圖，設(shè)直線BN與x軸交于點(diǎn)D B（b，b2+2b）、N（3，b）設(shè)直線BN解析式為

9、ykx+d 解得：直線BN：ybx+2b當(dāng)y0時(shí)，bx+2b0，解得：x6D（6，0）C（3，0），NCx軸NC垂直平分OD NDNO BNMONM2、如圖，直線yxn交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C(0，4)，拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B(0，2)，點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PD，過(guò)點(diǎn)B作BDPD于點(diǎn)D，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)BDP為等腰直角三角形時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)【解析】：(1)由直線yxn過(guò)點(diǎn)C(0，4)，得n4，yx4.令y0時(shí)，x40，解得x3.A(3，0)拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)，B(0，2)，拋物線的解析式

10、為yx2x2.(2)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，P，D(m，2)若BDP為等腰三角形，則PDBD.當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上方時(shí)，PDm2m.()若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則m 0，BDm.m2mm，m10(舍去)，m2(舍去)()若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，則m 0，BDm.m2mm，m30(舍去)，m4.當(dāng)點(diǎn)P在直線BD下方時(shí)，m 0，BDm，PDm2m.m2mm，m50(舍去)，m6.綜上所述，當(dāng)m或，BDP為等腰直角三角形，此時(shí)PD的長(zhǎng)為或.3、如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(n,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)(n0)以AO為一邊作矩形AOBC，點(diǎn)C在第二象限，且OB2OA矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形AGDE.過(guò)點(diǎn)

11、A的直線ykxm交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)BFA拋物線yax2bxc過(guò)點(diǎn)E、F、G且和直線AF交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HMx軸，垂足為M.(1)求k的值；(2)點(diǎn)A位置改變時(shí)，AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變？說(shuō)明你的理由【解析】 (1)根據(jù)題意得到：E(3n,0)，G(n，n)當(dāng)x0時(shí)，ykxmm，點(diǎn)F坐標(biāo)為(0，m)RtAOF中，AF2m2n2，F(xiàn)BAF，m2n2(2nm)2，化簡(jiǎn)，得m0.75n，對(duì)于ykxm，當(dāng)xn時(shí)，y0，0kn0.75n，k0.75(2)拋物線yax2bxc過(guò)點(diǎn)E、F、G，解得a，b，c0.75n.拋物線為yx2x0.75n.解方程組：得：x15n，y13n；x20，

12、y20.75n.H坐標(biāo)(5n,3n)，HM3n，AMn5n4n，AMH的面積0.5×HM×AM6n2.而矩形AOBC的面積2n2，AMH的面積矩形AOBC的面積31，不隨著點(diǎn)A的位置的改變而改變4、已知拋物線yx2(2m1)x2m(m0.5)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4. (1) 求拋物線的解析式； (2) 如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線上的一點(diǎn)，BD平分四邊形ABCD的面積，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； (3) 如圖2，平移拋物線yx2(2m1)x2m，使其頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y2上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線，分別與拋物線有唯一的公共點(diǎn)E、

13、F(直線PE、PF不與y軸平行)，求證：直線EF恒過(guò)某一定點(diǎn). 【解析】(1) yx2(2m1)x2m(xm0.5)2m2m0.25，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，m2m0.254，即4m24m150，m1.5或2.5. m0.5，m1.5. 拋物線的解析式為yx22x3. (2) yx22x3，A(3，0)，B(1，0)，C(0，3). 連AC交BD于E，過(guò)A作AMBD于M，過(guò)C作CNBD于N， 由ABD與CBD面積相等，得AMCN. 于是易得AEMCEN(AAS)，AECE，E(1.5，1.5). 又B(1，0)，直線BE的解析式為y0.6x0.6. 由，解得D(，). (3) 設(shè)E(t，t2)，F(xiàn)

14、(n，n2)，設(shè)直線PE為yk1(xt)t2，由，得 x2k1xk1tt20，k124(k1tt2)(k12t)20，k12t. 直線PE為y2t(xt)t2，即y2txt2. 令y2，得xP. 同理，設(shè)直線PF為yk2(xn)n2，xP，得：， tn，tn2. 設(shè)直線EF的解析式為ykxb，由，得x2kxb0， xE·xFb，即tnb，b2. 直線EF為ykx2，過(guò)定點(diǎn)(0，2).5、如圖1，點(diǎn)A是直線ykx(k0，且k為常數(shù))上一動(dòng)點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線y(xh)2m交直線yx于另一點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B，交直線EF于點(diǎn)C(點(diǎn)A，E，F(xiàn)兩兩不重合)(1)請(qǐng)

15、寫(xiě)出h與m之間的關(guān)系；(用含k的式子表示)(2)當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使EF與x軸平行時(shí)(如圖2)，求線段AC與OF的比值圖1圖2【解析】 (1)拋物線頂點(diǎn)(h，m)在直線ykx上，mkh；(2)解方程組將代入得到：(xh)2khkx，整理得：(xh)(xh)k0，解得：x1h，x2kh.代入到方程得y1kh，y2k2hk.所以點(diǎn)E坐標(biāo)是(kh，k2hk)當(dāng)x0時(shí)，y(xh)2mh2kh，點(diǎn)F坐標(biāo)是(0，h2kh)當(dāng)EF和x軸平行時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)相等，即k2khh2kh解得：hk(hk舍去，否則E，F(xiàn)，O重合)此時(shí)點(diǎn)E(2k,2k2)，F(xiàn)(0,2k2)，C(k,2k2)，A(k，k2)ACOFk22

16、k2126、已知直線yx2t與拋物線ya(xt)2k(a>0，t0，a、t、k為已知數(shù))，在t2時(shí)，直線剛好經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)(1)求k的值；(2)t由小變大時(shí)，兩函數(shù)值之間大小不斷發(fā)生改變，特別當(dāng)t大于正數(shù)m時(shí)，無(wú)論自變量x取何值，yx2t的值總小于ya(xt)2k的值，試求a與m的關(guān)系式；(3)當(dāng)0tm時(shí)，設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，在a為定值時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否存在最大值，若有，請(qǐng)求出相應(yīng)的t的取值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 (1)由題意，t2時(shí)，直線剛好經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)而此時(shí)直線解析式為yx4，對(duì)稱軸坐標(biāo)為直線x2.易得k2.(2)當(dāng)tm時(shí)，無(wú)論自變量x取何值，一次函

17、數(shù)的值總小于二次函數(shù)的值，說(shuō)明當(dāng)tm時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)可設(shè)此時(shí)直線與拋物線解析式分別為yx2m和ya(xm)22，聯(lián)立消去y，得：ax2(2am1)xam222m0，由0得：8a14am0.(3)設(shè)A(x1，y1)，B(x1，y1)，坐標(biāo)系內(nèi)構(gòu)造直角三角形后易知，AB聯(lián)立直線與拋物線解析式消去y，得：ax2(2at1)xat222t0.由求根公式可知：，AB.由于a為定值且a>0，所以4a<0，由于1,8a，、均為正，從而t0時(shí)，AB最大7、如圖，已知矩形ABCO在坐標(biāo)系的第一象限，它的長(zhǎng)AO是寬OC的倍，且有兩邊在坐標(biāo)軸上將ACO沿對(duì)角線AC翻折的ACP，P點(diǎn)落在

18、經(jīng)過(guò)矩形ABCO四個(gè)頂點(diǎn)的E上，E的半徑為R.(1)用R的式子表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若拋物線yax2xc經(jīng)過(guò)P、A兩點(diǎn)，請(qǐng)你判斷點(diǎn)C是否在此拋物線上；(3)若(2)中的拋物線的頂點(diǎn)為Q，該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M，那么直線OB將AMQ的面積分為兩個(gè)部分的比值k是否是一個(gè)定值？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果是，請(qǐng)求出其比值k.【解析】 (1)點(diǎn)B坐標(biāo)為(R，R)(2)易求點(diǎn)P坐標(biāo)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為(R,0)，則：解得拋物線的解析式為：y x2xR.由于點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，R)，因其正好為拋物線與y軸的交點(diǎn)，故點(diǎn)C在拋物線上(3)如圖，由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式易求得Q點(diǎn)坐標(biāo)為，令y0，可解得M點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而SAM

19、Q.又易求OB解析式為yx.設(shè)AQ解析式為ykxb，則：解得設(shè)AQ解析式為yx聯(lián)立AQ與OB的解析式解得交點(diǎn)N的坐標(biāo)為.從而易求SAON·R·.÷.直線OB將AMQ的面積分為兩個(gè)部分的比值k是一個(gè)定值，且k或者.8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yxm(m為大于0的常數(shù))與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)C，開(kāi)口向下的拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸相交于另一點(diǎn)B，以AB為直徑的M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)(用含m的式子表示)；(2)求ac的值；(3)若直線l平行于AC，且與拋物線yax2bxc有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，連接PA，PC，當(dāng)PAC的面積

20、等于4時(shí)，求M與拋物線yax2bxc的交點(diǎn)坐標(biāo)【解析】 (1)點(diǎn)A(2m,0)，C(0，m)；(2)以AB為直徑的M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，ACB90°.可證得，BOCCOA，OBOCOCOAOA2m，OCm，OBm.點(diǎn)B(m,0)將點(diǎn)A(2m,0)，B(m,0)，C(0，m)的坐標(biāo)分別代入yax2bxc，解得a，b，cm.拋物線的解析式為：yx2xm，ac()×m1.(3)過(guò)點(diǎn)P作PHx軸交AC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CFPH，垂足為F.直線l平行于AC，設(shè)l的解析式為：yxn.代入拋物線的解析式并整理，得x22xmn0.l與拋物線yx2xm有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，224()(mn

21、)0.解得n2m.l的解析式為：yx2m.SPACSPCESPAEPE×CFPE×AHPE×AO.AO2m，PE2mmm.SPACPE×AOm×2m4.解得m±2.m0，m2.拋物線的解析式為：yx2x2.M與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)C(0,2)的縱坐標(biāo)為2，令x2x22.解得x0或x3.M與拋物線yax2bxc的交點(diǎn)坐標(biāo)為：A(4,0)，B(1,0)，C(0,2)和C1(3,2)9、如圖1，拋物線yax29ax36a（a0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OCOA，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)D，連接PC（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P只在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接PB，試問(wèn)PCB的面積是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出其最大