第六章 常微分方程數(shù)值解(歐拉方法)

1、6 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法常微分方程常微分方程歐拉方法歐拉方法龍格龍格-庫塔方法庫塔方法一階線性常微分方程初值問題一階線性常微分方程初值問題 數(shù)值方法的基本思想數(shù)值方法的基本思想 在解的存在區(qū)間上取在解的存在區(qū)間上取n + 1個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn) 012naxxxxb利用數(shù)值計(jì)算方法尋求利用數(shù)值計(jì)算方法尋求y(x)在節(jié)點(diǎn)上的近似值：在節(jié)點(diǎn)上的近似值：y0, y1, . yn連續(xù)連續(xù) 離散離散 一階線性常微分方程初值問題一階線性常微分方程初值問題 012,nbaaxxxxbhnx0 x1x2xixi+1xn6.1 歐拉方法與歐拉方法與Runge-Kutta法法一、歐拉一、歐拉(Euler)

2、方法方法xn=x0+nh，h為步長1. 差分方法差分方法幾何意義：幾何意義：用折線近似曲線y=y(x), 歐拉法又稱為折線法折線法已知初值y0,依據(jù)遞推公式逐步算出y1,y2, , yn,yn+1 , 遞推公式又稱為差分格式或差分方程，它與常微方程的誤差稱為截?cái)嗾`差2. 數(shù)值積分方法（也可導(dǎo)出歐拉公式）數(shù)值積分方法（也可導(dǎo)出歐拉公式）（1）顯式差分格式）顯式差分格式（單步）顯式格式（單步）顯式格式左矩形公式左矩形公式由右矩形公式由右矩形公式想求（近似的）想求（近似的）y，但等式的等號左右都有：隱式，但等式的等號左右都有：隱式如如還有一種隱式：積分用梯形公式還有一種隱式：積分用梯形公式也是隱式也

3、是隱式預(yù)測預(yù)測-校正公式校正公式也叫預(yù)報(bào)也叫預(yù)報(bào)-校正公式校正公式改進(jìn)的歐拉公式改進(jìn)的歐拉公式二、歐拉方法的局部截?cái)嗾`差與精度二、歐拉方法的局部截?cái)嗾`差與精度前提：一個假前提：一個假設(shè)（重要！即設(shè)（重要！即所謂的局部）所謂的局部）一階精度，看書上一階精度，看書上泰勒公式：泰勒公式：類似地，梯形公式類似地，梯形公式/改進(jìn)的歐拉公式改進(jìn)的歐拉公式-局部局部截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差有二階精度有二階精度參考第參考第5章章5.1節(jié)節(jié)P66頁頁例例 用歐拉法求初值問題 補(bǔ)例子：歐拉補(bǔ)例子：歐拉(Euler)方法方法當(dāng)當(dāng)h = 0.02時在區(qū)間時在區(qū)間0, 0.10上的數(shù)值解上的數(shù)值解 歐拉歐拉(Euler)方法方法nxnyny(xn)n = y(xn) - yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021再補(bǔ)例子：再補(bǔ)例子：例例 在區(qū)間在區(qū)間0, 1.5上，取上，取h = 0.1。 （