[電磁場與電磁波3

1、第第3章章 靜電場分析靜電場分析以矢量分析和亥姆霍茲定理為基礎(chǔ)，討論靜電場（包括恒定電場）的特性和求解方法。2021-11-16第3章靜電場分析2主要內(nèi)容主要內(nèi)容n建立真空、電介質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)中電場的基本方程，以及電介質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)的特性方程、電場的邊界條件。 (3.1 靜電場分析的基本變量 3.2 真空中靜電場的基本方程 3.8 電介質(zhì)的極化 極化強度 3.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件 3.10 恒定電場的基本方程 邊界條件)2021-11-16第3章靜電場分析3主要內(nèi)容主要內(nèi)容n將靜電場的求解歸結(jié)為電位問題的求解，導(dǎo)出電位的微分方程，邊值問題的求解 ( 3.3 電位函數(shù) 3.4 泊松方程 拉

2、普拉斯方程 3.7 唯一性定理)n電場基本方程在電磁工程問題中的應(yīng)用（3.11 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容 3.12 電場能量 靜電力）2021-11-16第3章靜電場分析43.1 靜電場分析的基本變量n分析靜電場的基本變量n一個源變量: (r) (標(biāo)量性質(zhì)的)n兩個場變量: E(r)和D(r) 或J(r)nE(r) 表示電場對帶電質(zhì)點產(chǎn)生作用的能力。nD(r) 或J(r)描述構(gòu)成物質(zhì)的帶電粒子在電場作用下出現(xiàn)移動或運動現(xiàn)象的另一場量。2021-11-16第3章靜電場分析53.1 靜電場分析的基本變量n電介質(zhì)內(nèi)束縛電荷在電場作用下出現(xiàn)移動現(xiàn)象，電位矢量D(r), 電介質(zhì)的特性方程D(r)= E(r), 為

3、電介質(zhì)的介電常數(shù)。真空中的電位移D0(r)=0E(r) 。n導(dǎo)體內(nèi)自由電子在電場的作用下運動形成電流，電流密度矢量J(r), 導(dǎo)體的特性方程J(r)=E(r), 為導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率。2021-11-16第3章靜電場分析63.2 真空中靜電場的基本方程n分析求解電磁場問題的兩種方法：n積分方程法n微分方程法n矢量場的基本方程n積分形式：矢量在閉合面上的通量特性和矢量在閉合回路上的環(huán)流特性。n微分形式：矢量的散度和矢量的旋度2021-11-16第3章靜電場分析73.2 真空中靜電場的基本方程n真空中靜電場的基本方程n積分形式真空中的高斯定理靜電場的環(huán)路定理 真空中的特性方程0CE dl 0SD d

4、Sq00DE2021-11-16第3章靜電場分析83.2 真空中靜電場的基本方程n證明：n立體角n球面上面元對球心的立體角Sr (球面度)整個球面對球心的立體角為4。 2Rdsd2021-11-16第3章靜電場分析93.2 真空中靜電場的基本方程n非球面上面元對球心的立體角立體角是一個代數(shù)量 任意閉合面對一點的立體角為4（點在閉合面內(nèi)）或 0（點在閉合面外）22cos =ddSdRR rS e2021-11-16第3章靜電場分析103.2 真空中靜電場的基本方程n閉合面的電位移通量n無界真空中的點電荷q在閉合面內(nèi)q在閉合面外2021-11-16第3章靜電場分析113.2 真空中靜電場的基本方程

5、n無界真空中的點電荷系nN個點電荷，其中k個閉合面S2021-11-16第3章靜電場分析123.2 真空中靜電場的基本方程n無界真空中的體電荷靜電場的閉合面的通量僅與面內(nèi)的電荷有關(guān)。2021-11-16第3章靜電場分析133.2 真空中靜電場的基本方程n閉合回路的環(huán)流n無界真空中的點電荷由電場的可疊加性，可知點電荷系或連續(xù)分布的電荷的電場也滿足上式。即靜電場的閉合回路的環(huán)流為零。2021-11-16第3章靜電場分析143.2 真空中靜電場的基本方程n物理意義：物理意義：n靜電場靜電場 E 穿過閉合面穿過閉合面 S 的通量只與閉合的通量只與閉合面內(nèi)所圍電荷量有關(guān)面內(nèi)所圍電荷量有關(guān)n在靜電場中將單

6、位電荷沿任一閉合路徑在靜電場中將單位電荷沿任一閉合路徑移動一周，靜電力做功為零移動一周，靜電力做功為零靜電場靜電場為保守場。（電力線不構(gòu)成閉合回路）為保守場。（電力線不構(gòu)成閉合回路）n靜電場的基本性質(zhì)：靜電場的基本性質(zhì)：真空中的靜電場是有散無旋場，真空中的靜電場是有散無旋場，其散度源是電荷體密度。其散度源是電荷體密度。2021-11-16第3章靜電場分析153.2 真空中靜電場的基本方程n微分形式由散度定理和斯托克斯定理可得根據(jù)亥姆霍茲定理，在場源已知的條件下，通過D00E聯(lián)立求解兩矢量方程可求得E。2021-11-16第3章靜電場分析163.2 真空中靜電場的基本方程n當(dāng)電荷分布具有一定稱性

7、，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使 D0或E只有一個坐標(biāo)分量，具僅是該坐標(biāo)的函數(shù)時，可以證明E自動滿足因此，可由或獲得場解。2021-11-16第3章靜電場分析173.2 真空中靜電場的基本方程n利用高斯定理求解靜電場利用高斯定理求解靜電場關(guān)鍵：高斯面的選擇。關(guān)鍵：高斯面的選擇。高斯面的選擇原則：高斯面的選擇原則：n場點位于高斯面上；場點位于高斯面上；n高斯面為閉合面；高斯面為閉合面；n在整個或分段高斯面上，在整個或分段高斯面上，E 或或 EdS為恒定值。為恒定值。2021-11-16第3章靜電場分析183.2 真空中靜電場的基本方程n靜電場的基本方程：靜電場的基本方程：完整地反映出了靜電場的基本性質(zhì)，完

8、整地反映出了靜電場的基本性質(zhì)，是分析求解靜電場問題的基礎(chǔ)。是分析求解靜電場問題的基礎(chǔ)。 n基本方程的積分形式和微分形式可互相轉(zhuǎn)換?；痉匠痰姆e分形式和微分形式可互相轉(zhuǎn)換。積分形式反映了一定區(qū)域內(nèi)的整體性質(zhì)，而微積分形式反映了一定區(qū)域內(nèi)的整體性質(zhì)，而微分形式反映出場中每一點的特性。在不同媒質(zhì)分形式反映出場中每一點的特性。在不同媒質(zhì)的分界面上或有面電荷分布之處，微分形式方的分界面上或有面電荷分布之處，微分形式方程不適用，而積分形式仍適用。程不適用，而積分形式仍適用。2021-11-16第3章靜電場分析192021-11-16第3章靜電場分析202021-11-16第3章靜電場分析212021-11

9、-16第3章靜電場分析222021-11-16第3章靜電場分析232021-11-16第3章靜電場分析243.3 電位函數(shù)n電位函數(shù)的定義由可令0EE xyzEeeexyz ldE dlE dl lEl 2021-11-16第3章靜電場分析253.3 電位函數(shù)n兩點的電位差兩點之間的電位差等于在電場力作用下移動單位正電荷從起點到終點所作的功。n若選 P 點為電位的參考點（P0），有BABAABE dlE dl , , ,PPPxyzx y zx y zE dl2021-11-16第3章靜電場分析263.3 電位函數(shù)n說明：說明：n電位函數(shù)為電場的輔助函數(shù)，是一個標(biāo)量電位函數(shù)為電場的輔助函數(shù)，是

10、一個標(biāo)量函數(shù)；函數(shù)；n“”表示電場指向電位減小最快的方向。表示電場指向電位減小最快的方向。n電位具有明確的物理意義，它表示將正電電位具有明確的物理意義，它表示將正電荷從場點移動到參考點時電場力所做的功。荷從場點移動到參考點時電場力所做的功。 n電位具有相對意義，在同一個靜電場中，電位具有相對意義，在同一個靜電場中，各點的電位值與參考點的選取有關(guān)。但場各點的電位值與參考點的選取有關(guān)。但場中兩點之間的電位差是絕對的，與參考點中兩點之間的電位差是絕對的，與參考點的選擇無關(guān)。的選擇無關(guān)。2021-11-16第3章靜電場分析273.3 電位函數(shù)n電位的計算公式電位的計算公式n點電荷的電位點電荷的電位20

11、4RqEeR220004411 4PPRRRRRPqqdRedlRRqRR2021-11-16第3章靜電場分析283.3 電位函數(shù)n若若電位參考點在無窮遠(yuǎn)處，電位參考點在無窮遠(yuǎn)處，即即式中式中PR Rrr0( )4qrR2021-11-16第3章靜電場分析293.3 電位函數(shù)n體電荷n面電荷n線電荷01( )( )4VrrdVcR0( )1( )4sSrrdScR0( )1( )4llrrdVcR式中：式中：當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域，若參考點在無窮遠(yuǎn)當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域，若參考點在無窮遠(yuǎn)處，處，c=0。上三式可分別由（上三式可分別由（2.6.12.6.1） 、（、（2.6.22.6.2）、）、 （

12、2.6.32.6.3）直接給出。）直接給出。2021-11-16第3章靜電場分析303.3 電位函數(shù)n關(guān)于電位參考點的說明：關(guān)于電位參考點的說明：n電位參考點的選擇具有一定的任意性，但電位參考點的選擇具有一定的任意性，但要使電位的表達(dá)式有意義，即除個別特殊要使電位的表達(dá)式有意義，即除個別特殊的點外，不能出現(xiàn)無窮大的電位值；的點外，不能出現(xiàn)無窮大的電位值；n應(yīng)使電位的表達(dá)式盡可能簡單。當(dāng)電荷分應(yīng)使電位的表達(dá)式盡可能簡單。當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)時，通常選擇無窮遠(yuǎn)處為布在有限區(qū)域內(nèi)時，通常選擇無窮遠(yuǎn)處為電位參考點；電位參考點；在電荷分布到無限遠(yuǎn)時，選在電荷分布到無限遠(yuǎn)時，選有限區(qū)域中的點作為參考點。

13、工程上一般有限區(qū)域中的點作為參考點。工程上一般取大地為電位參考點。取大地為電位參考點。n同一個問題同一個問題中只能選擇一個電位參考點。中只能選擇一個電位參考點。2021-11-16第3章靜電場分析313.3 電位函數(shù)n電位由源分布的標(biāo)量積分計算。電位由源分布的標(biāo)量積分計算。一般情況下較矢量積分簡單。一般情況下較矢量積分簡單。引入電位函數(shù)的意義：簡化電場引入電位函數(shù)的意義：簡化電場的求解！的求解！n求解電場時，可先求電位函數(shù)，求解電場時，可先求電位函數(shù)，然后計算電位函數(shù)的負(fù)梯度便得然后計算電位函數(shù)的負(fù)梯度便得到電場變量。到電場變量。2021-11-16第3章靜電場分析322021-11-16第3

14、章靜電場分析332021-11-16第3章靜電場分析342021-11-16第3章靜電場分析352021-11-16第3章靜電場分析363.4 泊松方程 拉普拉斯方程n拉普拉斯運算拉普拉斯運算n標(biāo)量場的拉普拉斯運算標(biāo)量場的拉普拉斯運算對標(biāo)量場的梯度求散度的運算稱對標(biāo)量場的梯度求散度的運算稱為拉普拉斯運算。記作為拉普拉斯運算。記作：式中稱為拉普拉斯算符。式中稱為拉普拉斯算符。2uu 2“”式中：式中：2021-11-16第3章靜電場分析373.4 泊松方程 拉普拉斯方程n在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：2222222uuuuxyz2021-11-16第3章靜電場分析383.4 泊松方程 拉普拉斯

15、方程n柱面坐標(biāo)系下的拉普拉斯運算柱面坐標(biāo)系下的拉普拉斯運算n球面坐標(biāo)系下的拉普拉斯運算球面坐標(biāo)系下的拉普拉斯運算2021-11-16第3章靜電場分析393.4 泊松方程 拉普拉斯方程n矢量場的拉普拉斯運算矢量場的拉普拉斯運算在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：2()()FFF 2222xxyyzzFeFeFeF2021-11-16第3章靜電場分析403.4 泊松方程 拉普拉斯方程n靜電場電位方程的建立靜電場電位方程的建立即：電位的泊松方程即：電位的泊松方程在無源區(qū)域，電位的拉普拉斯方程在無源區(qū)域，電位的拉普拉斯方程20/ 200/EE 0/ 2021-11-16第3章靜電場分析413.4 泊松方程

16、 拉普拉斯方程n場的求解：場的求解：n無界空間：僅由源分布可確定場分布，無界空間：僅由源分布可確定場分布，采用場源積分法。采用場源積分法。n有界空間：由源分布和邊界條件確定有界空間：由源分布和邊界條件確定場分布。在給定邊界條件下求解有界場分布。在給定邊界條件下求解有界區(qū)域內(nèi)的場分布問題，稱為邊值問題區(qū)域內(nèi)的場分布問題，稱為邊值問題（第（第4章）章） 。2021-11-16第3章靜電場分析423.4 泊松方程 拉普拉斯方程n靜電場的邊值問題：靜電場的邊值問題：在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。即電位的偏微分方程可用于泊松方程。即電位的偏微分方程可用于求

17、解靜電場的邊值問題。求解靜電場的邊值問題。n邊值問題的求解方法：邊值問題的求解方法：直接求解法（偏微分方程退化或通過分直接求解法（偏微分方程退化或通過分離變量法轉(zhuǎn)化為常微分方程）和間接求離變量法轉(zhuǎn)化為常微分方程）和間接求解法（等效法），不同方法適合不同的解法（等效法），不同方法適合不同的問題。問題。2021-11-16第3章靜電場分析432021-11-16第3章靜電場分析442021-11-16第3章靜電場分析453.4 泊松方程 拉普拉斯方程小結(jié)：求空間電場分布的方法小結(jié)：求空間電場分布的方法n場源積分法場源積分法積分困難，對大多數(shù)問題不能得出解積分困難，對大多數(shù)問題不能得出解析解。析解。

18、n應(yīng)用高斯定理求解應(yīng)用高斯定理求解只能應(yīng)用于電荷成對稱分布的問題。只能應(yīng)用于電荷成對稱分布的問題。n間接求解法間接求解法先求解空間電位分布，再求解空間電先求解空間電位分布，再求解空間電場。在實際應(yīng)用中，間接求解法應(yīng)用場。在實際應(yīng)用中，間接求解法應(yīng)用最為廣泛，適用于邊值問題的求解。最為廣泛，適用于邊值問題的求解。2021-11-16第3章靜電場分析463.5 點電荷的 函數(shù)表示 格林函數(shù)n單位點電荷的 函數(shù)表示:（將點電荷視為分布電荷的特例。）2021-11-16第3章靜電場分析473.5 點電荷的 函數(shù)表示 格林函數(shù)n格林函數(shù)單位點電荷產(chǎn)生的電位函數(shù)應(yīng)滿足的泊松方程為格林函數(shù)的定義和滿足的微分

19、方程2021-11-16第3章靜電場分析483.5 點電荷的 函數(shù)表示 格林函數(shù)由無界空間中單位點電荷產(chǎn)生的電位可得在無界空間內(nèi)格林函數(shù)的解為2021-11-16第3章靜電場分析493.6 格林定理 泊松方程的積分公式n格林定理由矢量場的散度定理令2021-11-16第3章靜電場分析503.6 格林定理 泊松方程的積分公式可得格林第一恒等式格林第二恒等式2021-11-16第3章靜電場分析513.6 格林定理 泊松方程的積分公式n引入格林函數(shù)后，可以把微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程。n利用格林第二恒等式和函數(shù)的性質(zhì)可得有限空間內(nèi)泊松方程的積分解為2021-11-16第3章靜電場分析523.6 格林定理

20、 泊松方程的積分公式n無界空間內(nèi)泊松方程的積分解為n有界空間內(nèi)拉普拉斯方程的積分解為2021-11-16第3章靜電場分析533.7 唯一性定理n靜電場的邊值問題靜電場的邊值問題 在給定邊界條件下求泊松方在給定邊界條件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解，這種程或拉普拉斯方程的解，這種求解稱為偏微分方程法。求解稱為偏微分方程法。2021-11-16第3章靜電場分析543.7 唯一性定理n解的存在性：解的存在性：從工程實際中抽象出的電位邊值從工程實際中抽象出的電位邊值問題，其解是一定存在的。問題，其解是一定存在的。n解的唯一性：解的唯一性：在什么條件下，邊值問題才有唯在什么條件下，邊值問題才有唯一的解。

21、一的解。2021-11-16第3章靜電場分析553.7 唯一性定理n邊界條件的類型邊界條件的類型第一類，給定整個邊界上電位的值。第一類，給定整個邊界上電位的值。第二類，給定整個邊界上電位的法向?qū)?shù)值。第二類，給定整個邊界上電位的法向?qū)?shù)值。第三類，給定一部分邊界上電位的值，而給定第三類，給定一部分邊界上電位的值，而給定另一部分邊界上電位的法向?qū)?shù)值。另一部分邊界上電位的法向?qū)?shù)值。1Sf2Sfn11Sf22Sfn12()SSS2021-11-16第3章靜電場分析563.7 唯一性定理n對于導(dǎo)體邊界，上 述三類邊界為：給定各導(dǎo)體表面的電位；給定各導(dǎo)體的總電量;給定一部分導(dǎo)體的電位和另一部分導(dǎo)體的

22、電荷量。 說明：若對同一面積，同時給定和 的值，則不存在唯一解。n2021-11-16第3章靜電場分析573.7 唯一性定理n唯一性定理唯一性定理當(dāng)在場域中電位滿足泊松方程或當(dāng)在場域中電位滿足泊松方程或拉普拉斯方程，在邊界上滿足三拉普拉斯方程，在邊界上滿足三類邊界條件之一時，電位是唯一類邊界條件之一時，電位是唯一的。的。2021-11-16第3章靜電場分析583.7 唯一性定理證明格林第一恒等式令式中得2021-11-16第3章靜電場分析593.7 唯一性定理n對于拉普拉斯方程，有得2021-11-16第3章靜電場分析603.7 唯一性定理利用反證法，假定有兩個解和 滿足拉普拉斯方程和邊界條件

23、,兩解的差 = - 也滿足所以有2021-11-16第3章靜電場分析613.7 唯一性定理n在第一類邊界條件下，在邊界S上 = - =0即故即 為常數(shù)。由于 在S上為零，所以 為零，證明 = ，即解是唯一的。2021-11-16第3章靜電場分析623.7 唯一性定理n在第二類邊界條件下，在邊界S上有同樣有 即 為常數(shù)。 - =C，對于電場來說，解也是唯一的。 若 與 取同一個參考點，則在參考點處 則C=0，即 = 在第三類邊界條件下，可以得到同樣的結(jié)果。2021-11-16第3章靜電場分析633.7 唯一性定理n對于泊松方程仍假設(shè)有兩個解和 滿足泊松方程和邊界條件,即有兩式相減得到即 應(yīng)是拉普

24、拉斯方程的解，用同樣的方法可以證明解的唯一性。2021-11-16第3章靜電場分析643.7 唯一性定理n唯一性定理的意義唯一性定理的意義n指出了靜態(tài)場邊值問題具有唯一解的指出了靜態(tài)場邊值問題具有唯一解的條件。條件。n為靜態(tài)場邊值問題求解方法提供了理為靜態(tài)場邊值問題求解方法提供了理論依據(jù)，為結(jié)果正確性提供了判據(jù)。論依據(jù)，為結(jié)果正確性提供了判據(jù)。n唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理論依據(jù)。程（泊松方程）的理論依據(jù)。2021-11-16第3章靜電場分析653.7 唯一性定理n在電荷分布和媒質(zhì)具有一定對稱在電荷分布和媒質(zhì)具有一定對稱性，使電位僅和一個坐

25、標(biāo)有關(guān)，性，使電位僅和一個坐標(biāo)有關(guān)，即電位為一元函數(shù)時，偏微分方即電位為一元函數(shù)時，偏微分方程退化為常微分。直接求解常微程退化為常微分。直接求解常微分方程，再由邊界條件確定積分分方程，再由邊界條件確定積分常數(shù)。常數(shù)。2021-11-16第3章靜電場分析662021-11-16第3章靜電場分析672021-11-16第3章靜電場分析682021-11-16第3章靜電場分析693.8 電介質(zhì)的極化 極化強度n真空中的電場真空中的電場n物質(zhì)（媒質(zhì)）中的電場物質(zhì)（媒質(zhì)）中的電場n導(dǎo)電媒質(zhì)（導(dǎo)電體或?qū)w，自由電荷）導(dǎo)電媒質(zhì)（導(dǎo)電體或?qū)w，自由電荷）n電介質(zhì)（絕緣體，束縛電荷）電介質(zhì)（絕緣體，束縛電荷）n

26、有極性分子（單個分子有電偶極矩，有極性分子（單個分子有電偶極矩，大量分子的統(tǒng)計平均呈電中性）大量分子的統(tǒng)計平均呈電中性）n無極性分子無極性分子(呈電中性呈電中性)n半導(dǎo)體半導(dǎo)體2021-11-16第3章靜電場分析703.8 電介質(zhì)的極化 極化強度n電場中的導(dǎo)體n自由電荷在電場的作用下發(fā)生移動，表面出現(xiàn)感應(yīng)電荷，導(dǎo)體內(nèi)外的電場發(fā)生變化，很快達(dá)到靜電平衡。n達(dá)到靜電平衡后，導(dǎo)體內(nèi)凈電荷為零，導(dǎo)體內(nèi)電場為零，導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面是等位面，表面上的電場與表面垂直。n導(dǎo)體殼可以起靜電屏蔽作用。2021-11-16第3章靜電場分析713.8 電介質(zhì)的極化 極化強度n電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的極化電介質(zhì)在的外電

27、場的作用下，介質(zhì)電介質(zhì)在的外電場的作用下，介質(zhì)中分子和原子的正負(fù)電荷在外加電中分子和原子的正負(fù)電荷在外加電場力的作用下發(fā)生小的位移，形成場力的作用下發(fā)生小的位移，形成定向排列的電偶極矩；或原子、分定向排列的電偶極矩；或原子、分子固有電偶極矩不規(guī)則的分布，在子固有電偶極矩不規(guī)則的分布，在外場作用下形成規(guī)則排列。出現(xiàn)電外場作用下形成規(guī)則排列。出現(xiàn)電偶極矩的統(tǒng)計平均值不為零的現(xiàn)象。偶極矩的統(tǒng)計平均值不為零的現(xiàn)象。2021-11-16第3章靜電場分析723.8 電介質(zhì)的極化 極化強度n介質(zhì)極化的種類n第一種，電子極化（電子云相對于原子核發(fā)生位移，存在于單原子介質(zhì)和所有化合物）n第二種，離子極化（正、負(fù)

28、離子間發(fā)生位移，存在于所有化合物）n第三種，取向極化（固有電矩在電場中定向排列，存在于部分化合物）2021-11-16第3章靜電場分析733.8 電介質(zhì)的極化 極化強度2021-11-16第3章靜電場分析743.8 電介質(zhì)的極化 極化強度n電場中的電介質(zhì)發(fā)生極化，電介電場中的電介質(zhì)發(fā)生極化，電介質(zhì)極化的結(jié)果是產(chǎn)生宏觀的附加質(zhì)極化的結(jié)果是產(chǎn)生宏觀的附加電場，從而改變原來的電場分布。電場，從而改變原來的電場分布。2021-11-16第3章靜電場分析753.8 電介質(zhì)的極化 極化強度n描述電介質(zhì)極化的兩種模型（等價的）n電偶極矩電偶極矩極化強度的定義 （C/m2）pav為分子的平均電矩，N為分子密度

29、數(shù)。av0limiN pPp2021-11-16第3章靜電場分析763.8 電介質(zhì)的極化 極化強度n兩種電介質(zhì)n對于通常的介質(zhì)，P 受到介質(zhì)中總的電場控制，實驗證明其受控關(guān)系為式中E為介質(zhì)極化中的總電場，e稱為極化系數(shù)，是一個無單位的比例系數(shù)。n對于永久性極化體（駐極化），P 才是獨立的變量。EPe02021-11-16第3章靜電場分析773.8 電介質(zhì)的極化 極化強度n極化電偶極矩在真空中產(chǎn)生的電位為 P001( )411 4dRdRR2P rerP r2021-11-16第3章靜電場分析783.8 電介質(zhì)的極化 極化強度n束縛電荷束縛電荷利用矢量恒等式和高斯定理，上式可改寫為式中 (n由介

30、質(zhì)內(nèi)指向介質(zhì)外)分別稱為束縛電荷體密度和面密度。fffAAA 000011( )4411 44PSPPSddSRRddSRR P rP rnrrrPP P P n2021-11-16第3章靜電場分析793.8 電介質(zhì)的極化 極化強度n區(qū)域 中的束縛電荷為ss PPQdddNqdS PPSl n2021-11-16第3章靜電場分析803.8 電介質(zhì)的極化 極化強度n如果介質(zhì)不均勻或介質(zhì)內(nèi)存在場如果介質(zhì)不均勻或介質(zhì)內(nèi)存在場源電荷分布，則介質(zhì)內(nèi)將會出現(xiàn)源電荷分布，則介質(zhì)內(nèi)將會出現(xiàn)束縛電荷分布。束縛電荷分布。n介質(zhì)均勻極化時，束縛電荷體密介質(zhì)均勻極化時，束縛電荷體密度為零。束縛電荷只出現(xiàn)在介質(zhì)度為零。

31、束縛電荷只出現(xiàn)在介質(zhì)表面。表面。2021-11-16第3章靜電場分析813.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n無論是自由電荷，還是極化電荷，它們無論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場，服從同樣的庫侖定律和高都激發(fā)電場，服從同樣的庫侖定律和高斯定律。斯定律。n介質(zhì)的極化過程包括兩個方面：介質(zhì)的極化過程包括兩個方面：n一方面外加電場的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極一方面外加電場的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；化電荷；n另一方面，極化電荷反過來激發(fā)電場，兩者另一方面，極化電荷反過來激發(fā)電場，兩者相互制約，并達(dá)到平衡狀態(tài)。相互制約，并達(dá)到平衡狀態(tài)。n介質(zhì)中的電場應(yīng)該是外加電場和極化電介質(zhì)中的電場應(yīng)該是外加

32、電場和極化電荷產(chǎn)生的電場的疊加。荷產(chǎn)生的電場的疊加。2021-11-16第3章靜電場分析823.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n介質(zhì)中的高斯定理n由真空中的高斯定理001 () ()P0SPPSqqdddd ESPEPS2021-11-16第3章靜電場分析833.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件引入輔助的電位移矢量有上式為介質(zhì)中的高斯定律。表示任意閉合曲面電位移矢量 D 的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和。其微分形式為表明電位移矢量的源是自由電荷。PED0Sdd DS D2021-11-16第3章靜電場分析843.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n當(dāng)媒質(zhì)與電荷分布具有相同的特當(dāng)媒質(zhì)與電荷分布具有

33、相同的特殊對稱性時，即自由電荷、束縛殊對稱性時，即自由電荷、束縛電荷或電荷或/和感應(yīng)電荷都具有相同和感應(yīng)電荷都具有相同的特殊對稱性時，可以用介質(zhì)中的特殊對稱性時，可以用介質(zhì)中的高斯定理方便地計算電場。的高斯定理方便地計算電場。2021-11-16第3章靜電場分析853.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系 介質(zhì)中的電場的最終求解必須知道電場E和電位移矢量D之間的關(guān)系（物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系）。對于線性均勻各向同性介質(zhì)，極化強度P 和電場強度E 有簡單的線性關(guān)系 稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)，r 稱為相對介電常數(shù)，反映物質(zhì)極化性能和存儲電能能力的重要參數(shù)。EPe000(1)er DEEE2021-11

34、-16第3章靜電場分析863.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n對于線性各向異性介質(zhì)，結(jié)構(gòu)方程為這里的D和E不再平行。111213212223313233xxyyzzDEDEDEDE2021-11-16第3章靜電場分析873.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n介質(zhì)中的靜電場的環(huán)流量束縛電荷產(chǎn)生的電場與自由電荷的電場有同樣的性質(zhì)，所以介質(zhì)中的靜電場的環(huán)流量也為零，即其微分形式為同樣可引入電位標(biāo)量函數(shù)0CE dl ( )0E rE 2021-11-16第3章靜電場分析883.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)內(nèi)，為常數(shù)由有即代入得介質(zhì)中的泊松方程在自由電荷為零處有D()EE

35、E2 E 202021-11-16第3章靜電場分析893.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n場與源的關(guān)系：場與源的關(guān)系：nE的源是自由電荷和束縛電荷nP的源是束縛電荷nD的源是自由電荷01PEP P D2021-11-16第3章靜電場分析902021-11-16第3章靜電場分析912021-11-16第3章靜電場分析923.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n靜電場的邊界條件靜電場的邊界條件n不同媒質(zhì)的分界面上總是要出現(xiàn)不同媒質(zhì)的分界面上總是要出現(xiàn)束縛電荷或感應(yīng)電荷面密度，其束縛電荷或感應(yīng)電荷面密度，其結(jié)果是使電場在分界面兩側(cè)發(fā)生結(jié)果是使電場在分界面兩側(cè)發(fā)生躍變。躍變。n分界面兩側(cè)場變量之間的關(guān)系稱

36、分界面兩側(cè)場變量之間的關(guān)系稱為媒質(zhì)交界面上的邊界條件。邊為媒質(zhì)交界面上的邊界條件。邊界條件是邊值問題定解的必要條界條件是邊值問題定解的必要條件。件。2021-11-16第3章靜電場分析933.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n在兩種不同媒質(zhì)的分量面上，場量會產(chǎn)生突變，基本方程的微分形式不適用于媒質(zhì)分界面。邊界條件由電場的基本方程的積分形式導(dǎo)出。n把分界面上的場分量分解為切向分量和法向分量，分界面的法線正方向為由媒質(zhì)2（2）指向媒質(zhì)1（1 ）。2021-11-16第3章靜電場分析943.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件nD的邊界條件的邊界條件為分界面上自由電荷面密度，不包括極化為分界面上自由電荷面密

37、度，不包括極化電荷。電荷。SD dSq 212D1Dn0h Snn12()DDn12nnDD2021-11-16第3章靜電場分析953.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n若媒質(zhì)為理想媒質(zhì)，若媒質(zhì)為理想媒質(zhì)，邊界面上不存在自由電荷，邊界面上不存在自由電荷，=0則則 即即D法向連續(xù)。法向連續(xù)。120nnDD2021-11-16第3章靜電場分析963.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件nE 的邊界條件的邊界條件（E在圖面內(nèi)）n結(jié)論：結(jié)論：E的切向總是連續(xù)。切向總是連續(xù)。0lE dl 12EnEn1122sinsinEE12ttEE 212En1E210h ls2021-11-16第3章靜電場分析973.9

38、 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n討論：討論：n理想介質(zhì)分界面的邊界條件（理想介質(zhì)分界面的邊界條件（ 0）電場與法線的夾角關(guān)系1212nnttDDEE1212D nD nEnEn 212En1E212D1D1112221122coscossinsinEEEE1122tantan2021-11-16第3章靜電場分析983.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n導(dǎo)體分界面的邊界條件導(dǎo)體分界面的邊界條件導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體外導(dǎo)體外00ED0ntDE0D nEn2021-11-16第3章靜電場分析993.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n電位邊界條件電位邊界條件由于介面處的電場為有限值，當(dāng)兩點距離l0時，有tnEee

39、tn tnEEtn 12nnDD1122nnEE2121nn120ttEE120tt12012C2021-11-16第3章靜電場分析1003.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n理想介質(zhì)分界面的邊界條件（理想介質(zhì)分界面的邊界條件（ 0）n導(dǎo)體表面n常數(shù)2121nn1202021-11-16第3章靜電場分析1012021-11-16第3章靜電場分析1022021-11-16第3章靜電場分析1033.9 介質(zhì)中的高斯定律 邊界條件n 電容的兩種計算方法：n假設(shè)極板上的電荷Q，按 的步驟計算。當(dāng)場分布具有對稱性時，這種方法最簡便；n假設(shè)極板間的電壓U，解電位 的邊值問題，按的步驟計算。qUCEUqCE2

40、021-11-16第3章靜電場分析1043.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n恒定電場恒定電流空間存在的電場。n恒定電場的基本量E、Jn恒定電流種類n導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電流(傳導(dǎo)電流)n真空中電子或離子形成的電流（運流電流）2021-11-16第3章靜電場分析1053.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n恒定電場的基本方程n電流連續(xù)方程n保守場方程0Jt0t0J0E00JE00JE00SlJ dSE dl2021-11-16第3章靜電場分析1063.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n特性方程由歐姆定律和得 （歐姆定

41、律的微分形式）其中 為導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率。恒定電場不同于靜電場，可存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部。 UIRJE dSJ E dl高 低 dlIJ dS UE dl RdS2021-11-16第3章靜電場分析1073.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n導(dǎo)電媒質(zhì)的分類n當(dāng) ，為理想導(dǎo)體，E0。 n1107S/m，為良導(dǎo)體（0）。n1，（漏電）電介質(zhì)，實際上任何材料都有一定的電導(dǎo)率和介電常數(shù)。n 0，為理想（完純）電介質(zhì)。JE JEDE2021-11-16第3章靜電場分析1083.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件2021-11-16第3章靜電場分析1093

42、.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中， 、為常量由可得即穩(wěn)態(tài)下均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有自由電荷密度。0 JJEDE0DJ 2021-11-16第3章靜電場分析1103.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n 導(dǎo)電媒質(zhì)焦耳功率損耗密度。導(dǎo)電媒質(zhì)焦耳功率損耗密度。小體積元內(nèi)，產(chǎn)生的焦耳熱功率為：單位為W/m2。2222UE dldPEdS dldlRdS2PpEJ EdV dSJ E dl高 低 2021-11-16第3章靜電場分析1113.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n電源的電動勢要保持穩(wěn)定的電流，必須為

43、電荷運動提供能量。電源為穩(wěn)恒電流提供能量。電源內(nèi)外：恒定電場E電源內(nèi)：非庫侖力F的等效電場E F/q0lE dl 0lE dllE dl2021-11-16第3章靜電場分析1123.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n恒定電場的邊界條件n在導(dǎo)體或不同導(dǎo)體的分界面上，一般有面電荷分布，所以在分界面處J和E是不連續(xù)的。n由恒定電場的兩個基本方程的積分形式可導(dǎo)出邊界條件。用類比方法推導(dǎo)恒定電場邊界條件。2021-11-16第3章靜電場分析1133.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件nJ的邊界條件的邊界條件12120()0SnnJ dSJJnJJ20

44、21-11-16第3章靜電場分析1143.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件nE的邊界條件的邊界條件12120lttE dlEnEnEE2021-11-16第3章靜電場分析1153.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件nE或或J的折射的折射關(guān)系關(guān)系結(jié)合結(jié)合 J 和和 E 的邊界條件可得的邊界條件可得在理想導(dǎo)體表面上，在理想導(dǎo)體表面上， ，1 0 J 和和 E 都都垂直于邊界面垂直于邊界面(與靜電場中的導(dǎo)體一樣與靜電場中的導(dǎo)體一樣)。1122tantan 212En1E212J1J2021-11-16第3章靜電場分析1163.10 恒定電場的基本

45、方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n電位的邊界條件121212nn2021-11-16第3章靜電場分析1173.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n靜電場和恒定電場性質(zhì)比較靜電場和恒定電場性質(zhì)比較n相同點：相同點：場性質(zhì)相同，均為保守場；場性質(zhì)相同，均為保守場；場均不隨時間改變；場均不隨時間改變；場均不能存在于理想導(dǎo)體內(nèi)部。場均不能存在于理想導(dǎo)體內(nèi)部。2021-11-16第3章靜電場分析1183.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n不同點：不同點：源不同。靜電場的源為靜止電荷，源不同。靜電場的源為靜止電荷，恒定電場的源為運動電荷恒定電場

46、的源為運動電荷(均勻?qū)Ь鶆驅(qū)щ娒劫|(zhì)中，凈電荷只出現(xiàn)在導(dǎo)電電媒質(zhì)中，凈電荷只出現(xiàn)在導(dǎo)電媒質(zhì)表面媒質(zhì)表面)。 存在區(qū)域不同。靜電場只能存在存在區(qū)域不同。靜電場只能存在于導(dǎo)體外，恒定電場可以存在于于導(dǎo)體外，恒定電場可以存在于非理想導(dǎo)體（非理想導(dǎo)體（ 為有限值）內(nèi)。）內(nèi)。2021-11-16第3章靜電場分析1193.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n靜電場是靜止電荷產(chǎn)生的場，帶電體充有電荷后，就不再需要外電源提供能量。恒定電場是恒定流動的電荷所產(chǎn)生的電場，由于導(dǎo)體內(nèi)的電荷流動要消耗能量，所以必須有外電源提供能量才能維持導(dǎo)體中的電荷作恒定流動。n恒定電場中，導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)存在恒定

47、電流，各點的電位不同。因而，導(dǎo)體不再是等位體，導(dǎo)體表面也不是等位面，這一點與靜電場是完全不同的。恒定電場中的理想導(dǎo)體與靜電場中的導(dǎo)體一樣。2021-11-16第3章靜電場分析1203.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n在導(dǎo)電媒質(zhì)中，兩電極間的電導(dǎo)(電阻的倒數(shù))定義為IGU2021-11-16第3章靜電場分析1213.10 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 邊界條件邊界條件n導(dǎo)電媒質(zhì)中，計算電導(dǎo)的三種方法：n假設(shè)兩電極間流過電流I，按的步驟計算；n假設(shè)兩電極間的電壓U，按的步驟計算；n根據(jù)靜電比擬，利用計算。G C UIGEJIUGJE2021-11-16第3章靜

48、電場分析1222021-11-16第3章靜電場分析1232021-11-16第3章靜電場分析1242021-11-16第3章靜電場分析1252021-11-16第3章靜電場分析1262021-11-16第3章靜電場分析1273.11 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容n在線性、各向同性電介質(zhì)中，兩個導(dǎo)體電極形成的電容器的電容 定義為電容的大小與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及周圍介質(zhì)有關(guān)，與電荷和電壓無關(guān)。qCU2021-11-16第3章靜電場分析1283.11 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容n在多導(dǎo)體靜電系統(tǒng)中，電容的概念有所擴展，引入部分電容的概念。部分電容又分為自(有部分)電容和互(有部分)電容。nN個位置、形狀與周圍介質(zhì)不

49、變的多導(dǎo)體系統(tǒng)和一個接地導(dǎo)體的結(jié)構(gòu)，取接地導(dǎo)體的電位為零。2021-11-16第3章靜電場分析1293.11 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容n設(shè)各導(dǎo)體帶有電量qi, 各導(dǎo)體的電位為 式中 pij為常數(shù)(為正值)，稱為電位系數(shù)，與所有導(dǎo)體的形狀、位置以及周圍的介質(zhì)等幾何條件有關(guān)。2021-11-16第3章靜電場分析1303.11 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容n對上面N個方程求解，可得各導(dǎo)體上的電荷量 ii稱為電容系數(shù) ij稱為感應(yīng)系數(shù)（具有互易性）2021-11-16第3章靜電場分析1313.11 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容n引入符號Cij=-ij, Cii=i1 + i2 +iN, 方程組可改寫為n多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每一導(dǎo)體與地之間和它與

50、其他導(dǎo)體間均存在部分電容。 Cij稱為互有部分電容（具有互易性）， Cii稱為自有部分電容。2021-11-16第3章靜電場分析1323.11 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容n一個多導(dǎo)體靜電系統(tǒng)等效為一個多端電容網(wǎng)絡(luò)。導(dǎo)體1、2兩端的電容導(dǎo)體1和地兩端的電容導(dǎo)體2和地兩端的電容用實驗測得C1、C2及C3后，由此可算得各部分電容。2021-11-16第3章靜電場分析1333.11 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容n若多導(dǎo)體系統(tǒng)的介質(zhì)是漏電媒質(zhì)(有一定的電導(dǎo)率)，且設(shè)導(dǎo)體電極為理想導(dǎo)體，則在恒定電場的條件下，引入部分電導(dǎo)(自電導(dǎo)和互電導(dǎo))的概念，利用對偶關(guān)系，可將多導(dǎo)體恒定電場系統(tǒng)等效為一個多端電導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)。2021-11-16第3章

51、靜電場分析1343.11 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容n二導(dǎo)體系統(tǒng)的等效電導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)其中G11、G22為自電導(dǎo)，G12為互電導(dǎo)。2021-11-16第3章靜電場分析1353.12 電場能量 靜電力n電場能量n電場對電荷有作用力，這說明電場具有能量。n電場能量存在于電場所在區(qū)域內(nèi)。n電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)過程中外界提供的能量。2021-11-16第3章靜電場分析1363.12 電場能量 靜電力n電場能量的計算式n假設(shè)導(dǎo)體及介質(zhì)的位置都是固定的，介質(zhì)是線性的，系統(tǒng)最終建立時，自由電荷分布為，電位為n在充電過程中，設(shè)各點的電荷和電位按同一因子增加，整個充電過程對應(yīng)從0到1。在到+d微分過程中，整個空間增加的能量為2021-11-16第3章靜電場分析1373.12 電場能量 靜電力n整個充電過程增加的能量就是系統(tǒng)的總能量n若電荷分布在表面上，則(盡管積分僅限于電荷不為零的區(qū)域，但不能認(rèn)為靜電能量僅存在于帶電體內(nèi)，其被積函數(shù)也并不表示電場能量密度。)2021-11-16第3章靜電場分析1383.12 電場能量 靜電力n若是帶電導(dǎo)體系統(tǒng)，則n若是點電荷系統(tǒng)，則n注意：前面給出的靜電場的能量是靜止電荷所具有的靜電位能，與參考點有關(guān)。12eiiiWq式中的i為除第i個點電荷之外的其余電荷在點電荷qi處所產(chǎn)生的電位之和。2021-11-16第3章靜電場分析1393.12 電場能量 靜