數(shù)學(xué)美在生活中

1、查查 中中 偉偉 舞臺(tái)上,少女隨著音樂翩翩起舞,那是向你展示音樂藝術(shù)美；青城天下幽，峨嵋天下秀，那是向你描述自然風(fēng)光美；“雨停了,太陽堆起笑臉,將溫暖盡情地瀉在原野上”,那是給你動(dòng)人的語言美。而數(shù)學(xué)美在何方？我的回答是:哪里有數(shù)，哪里就有美！或者說，數(shù)學(xué)美在生活中。一、什么是數(shù)學(xué)美一、什么是數(shù)學(xué)美 二、二、對(duì)正整數(shù)的美學(xué)審視對(duì)正整數(shù)的美學(xué)審視 三、三、對(duì)非有理數(shù)的美學(xué)品味對(duì)非有理數(shù)的美學(xué)品味四、四、數(shù)學(xué)美的主要表征數(shù)學(xué)美的主要表征五、五、結(jié)束語結(jié)束語 一、一、什么是數(shù)學(xué)美什么是數(shù)學(xué)美 美是人類創(chuàng)造性實(shí)踐活動(dòng)的產(chǎn)物，是人類文明進(jìn)步美是人類創(chuàng)造性實(shí)踐活動(dòng)的產(chǎn)物，是人類文明進(jìn)步的結(jié)晶。一般地說，美是

2、人們直覺的感性形式，是人類的結(jié)晶。一般地說，美是人們直覺的感性形式，是人類本質(zhì)力量的感性表現(xiàn)。通常所說的美包括自然美、社會(huì)本質(zhì)力量的感性表現(xiàn)。通常所說的美包括自然美、社會(huì)美和藝術(shù)美等，而我們這里是談數(shù)學(xué)美。什么是數(shù)學(xué)美？美和藝術(shù)美等，而我們這里是談數(shù)學(xué)美。什么是數(shù)學(xué)美？歷史上許多文學(xué)家、藝術(shù)家、數(shù)學(xué)家、專家學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)歷史上許多文學(xué)家、藝術(shù)家、數(shù)學(xué)家、專家學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)美從不同側(cè)面作過生動(dòng)的闡述。美從不同側(cè)面作過生動(dòng)的闡述。 亞里士多德說：“雖然數(shù)學(xué)沒有明顯地提到善和美，但善和美不能和數(shù)學(xué)分離。因?yàn)槊赖闹饕问骄褪侵刃?、勻稱和確定性，這些正是數(shù)學(xué)所研究的原則?！?達(dá)芬奇認(rèn)為：“美感完全建立在各部分之

3、間神圣的比例關(guān)系上。” 彭加勒說：“數(shù)學(xué)家把重大的意義與他們的方法和他們的結(jié)果完美地聯(lián)系起來。給我們以美感的是什么呢？是各部分的和諧，是它們的對(duì)稱、它們的巧妙平衡。總而言之，就是引入秩序，給出統(tǒng)一，容許我們同時(shí)清楚地觀察和理解整體與細(xì)節(jié)的東西”。 維納認(rèn)為：“數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種”。 認(rèn)真研究上述看法，從美學(xué)與數(shù)學(xué)角度進(jìn)行總結(jié)，可認(rèn)真研究上述看法，從美學(xué)與數(shù)學(xué)角度進(jìn)行總結(jié)，可這么說，數(shù)學(xué)美是科學(xué)本質(zhì)力量的感性與理性的顯現(xiàn)，是這么說，數(shù)學(xué)美是科學(xué)本質(zhì)力量的感性與理性的顯現(xiàn)，是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)。它是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)。它是一種真實(shí)的美，是反映

4、客觀世界并能動(dòng)地改造客觀世界的一種真實(shí)的美，是反映客觀世界并能動(dòng)地改造客觀世界的科學(xué)美?？茖W(xué)美。數(shù)學(xué)美不僅有表現(xiàn)的形式美，而且有內(nèi)容美與嚴(yán)數(shù)學(xué)美不僅有表現(xiàn)的形式美，而且有內(nèi)容美與嚴(yán)謹(jǐn)美；不僅有具體的公式、定理美，而且有結(jié)構(gòu)美與整體謹(jǐn)美；不僅有具體的公式、定理美，而且有結(jié)構(gòu)美與整體美；不僅有語言精巧美，而且有方法美與思維美；不僅有美；不僅有語言精巧美，而且有方法美與思維美；不僅有邏輯抽象美，而且有創(chuàng)造美與應(yīng)用美。邏輯抽象美，而且有創(chuàng)造美與應(yīng)用美。 二、對(duì)正整數(shù)的美學(xué)審視二、對(duì)正整數(shù)的美學(xué)審視 每個(gè)人最初接觸的是正整數(shù)。那么，我們每個(gè)人就每個(gè)人最初接觸的是正整數(shù)。那么，我們每個(gè)人就可以首先問問自己

5、：對(duì)正整數(shù)的感覺如何？很多的人可可以首先問問自己：對(duì)正整數(shù)的感覺如何？很多的人可能說能說 “沒有什么感覺沒有什么感覺” ，然而，正整數(shù)曾引起過無數(shù)，然而，正整數(shù)曾引起過無數(shù)人的興趣和喜好，而且是一個(gè)長(zhǎng)盛不衰的論題。人的興趣和喜好，而且是一個(gè)長(zhǎng)盛不衰的論題。（一）完美數(shù)（一）完美數(shù) 我們不妨要問：你喜歡哪個(gè)數(shù)？許多人未曾思索過，我們不妨要問：你喜歡哪個(gè)數(shù)？許多人未曾思索過，一時(shí)答不上。稍加思考，也覺得一時(shí)答不上。稍加思考，也覺得1 1，2 2，3 3，4 4，好像，好像沒有什么差別。當(dāng)然，根據(jù)我們漢語的發(fā)音，有人喜歡沒有什么差別。當(dāng)然，根據(jù)我們漢語的發(fā)音，有人喜歡8 8，因?yàn)槟撬坪跻馕吨驗(yàn)槟?/p>

6、似乎意味著“發(fā)發(fā)”；也有人喜歡；也有人喜歡6 6，因?yàn)槟且猓驗(yàn)槟且馕吨樌?。但這并不是出自對(duì)數(shù)本身性質(zhì)的原因而產(chǎn)生味著順利。但這并不是出自對(duì)數(shù)本身性質(zhì)的原因而產(chǎn)生的喜好。我們還是再看一看的喜好。我們還是再看一看1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7這幾這幾個(gè)數(shù)字，它們本身就具有一種和諧美，代表不同的七個(gè)個(gè)數(shù)字，它們本身就具有一種和諧美，代表不同的七個(gè)音階，就能譜出優(yōu)美動(dòng)人和諧的樂曲，讓世人在音樂中音階，就能譜出優(yōu)美動(dòng)人和諧的樂曲，讓世人在音樂中陶醉。陶醉。 數(shù)有許多不同的性質(zhì)，人們可能不會(huì)因?yàn)樗心撤N數(shù)有許多不同的性質(zhì)，人們可能不會(huì)因?yàn)樗心撤N性質(zhì)而一定喜歡它，但是一些奇妙的

7、性質(zhì)很可能引起人性質(zhì)而一定喜歡它，但是一些奇妙的性質(zhì)很可能引起人們的興趣。奇妙的性質(zhì)也不少，人們對(duì)數(shù)的興趣也可能們的興趣。奇妙的性質(zhì)也不少，人們對(duì)數(shù)的興趣也可能各不相同，也可能有多方面的興趣。各不相同，也可能有多方面的興趣。 6 6 這個(gè)數(shù)的因數(shù)有這個(gè)數(shù)的因數(shù)有1 1，2 2，3 3，6 6（暫約定（暫約定1 1和和6 6自身亦自身亦算其因數(shù)），其和恰為算其因數(shù)），其和恰為1212，6 6的兩倍；如果不計(jì)的兩倍；如果不計(jì)6 6自身，自身，則其因數(shù)之和恰是它自己。則其因數(shù)之和恰是它自己。 28 28 也具有這樣的性質(zhì)，其因數(shù)是也具有這樣的性質(zhì)，其因數(shù)是1 1，2 2，4 4，7 7，1414之和

8、恰好等于之和恰好等于2828，這是第二個(gè)具有這種性質(zhì)的正整數(shù)。，這是第二個(gè)具有這種性質(zhì)的正整數(shù)。 496496，仔細(xì)看看，仔細(xì)看看，1 1，2 2，4 4，8 8，1616，3131，6262，124124，248 248 是它的因數(shù)，它們的和也正等于是它的因數(shù)，它們的和也正等于496496。 第四個(gè)具有這種性質(zhì)的數(shù)稍難找一些，它是第四個(gè)具有這種性質(zhì)的數(shù)稍難找一些，它是81288128。一千八百多年之前就有人知道一千八百多年之前就有人知道81288128具有其各因數(shù)之和恰具有其各因數(shù)之和恰為它自己（不計(jì)它自己）的性質(zhì)。為它自己（不計(jì)它自己）的性質(zhì)。 人們把這種數(shù)稱之為人們把這種數(shù)稱之為完美數(shù)，

9、完美數(shù)，即各因數(shù)之和為它的即各因數(shù)之和為它的兩倍或不計(jì)它自己時(shí)恰等于它的那種數(shù)叫兩倍或不計(jì)它自己時(shí)恰等于它的那種數(shù)叫完美數(shù)。完美數(shù)。6 6，2828，496496，8128 8128 便是很久以前知道的便是很久以前知道的4 4個(gè)最小的完美數(shù)。個(gè)最小的完美數(shù)?？磥?，完美數(shù)不多，已可初步看到，前八千多個(gè)正整數(shù)看來，完美數(shù)不多，已可初步看到，前八千多個(gè)正整數(shù)中才中才4 4個(gè)！個(gè)！物以稀為貴，完美數(shù)，稀罕！物以稀為貴，完美數(shù)，稀罕！ 完美數(shù)，人們用美來形容數(shù)。順便看一下漢語里以完美數(shù)，人們用美來形容數(shù)。順便看一下漢語里以“美美”字組詞的情況。美好，把美與善聯(lián)系在一起；美字組詞的情況。美好，把美與善聯(lián)系

10、在一起；美妙，把美與奇異聯(lián)系在一起；美滿，把美與情感聯(lián)系在妙，把美與奇異聯(lián)系在一起；美滿，把美與情感聯(lián)系在一起；美言、美談、美味、一起；美言、美談、美味、用美來形容一些行為和用美來形容一些行為和感覺。還有壯美、俊美、秀美、完美、感覺。還有壯美、俊美、秀美、完美、對(duì)不同性質(zhì)對(duì)不同性質(zhì)的美進(jìn)行了區(qū)分。漢語有關(guān)美的豐富詞匯本身反映了在的美進(jìn)行了區(qū)分。漢語有關(guān)美的豐富詞匯本身反映了在我們文化中對(duì)美的多方面的準(zhǔn)確理解。我們文化中對(duì)美的多方面的準(zhǔn)確理解。 用完美來形容用完美來形容 6 6、2828、496496、這一類數(shù)也很恰當(dāng)。這一類數(shù)也很恰當(dāng)。這種數(shù)的完美，一方面表現(xiàn)在它稀罕、奇妙這種數(shù)的完美，一方面

11、表現(xiàn)在它稀罕、奇妙；一方面表一方面表現(xiàn)在它的完滿，各因數(shù)之和不多不少等于它自己?，F(xiàn)在它的完滿，各因數(shù)之和不多不少等于它自己。 第五個(gè)完美數(shù)在哪里？很不容易尋找。在距離發(fā)現(xiàn)第五個(gè)完美數(shù)在哪里？很不容易尋找。在距離發(fā)現(xiàn)第四個(gè)完美數(shù)之后一千多年，于公元第四個(gè)完美數(shù)之后一千多年，于公元15381538年年才發(fā)現(xiàn)第五才發(fā)現(xiàn)第五個(gè)完美數(shù)個(gè)完美數(shù)33 550 33633 550 336。又過了又過了5050年才發(fā)現(xiàn)第六個(gè)是：年才發(fā)現(xiàn)第六個(gè)是：8 589 869 0568 589 869 056。 尋找這種數(shù)那么難，卻還是有人去尋找，到現(xiàn)在為尋找這種數(shù)那么難，卻還是有人去尋找，到現(xiàn)在為止也還只發(fā)現(xiàn)二十多個(gè)。為

12、什么去尋找呢？是因?yàn)檫@種止也還只發(fā)現(xiàn)二十多個(gè)。為什么去尋找呢？是因?yàn)檫@種數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有什么特別的用途嗎？目前確實(shí)還沒有數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有什么特別的用途嗎？目前確實(shí)還沒有發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)，是它的奇導(dǎo)和美麗吸引了許多的人。是它的奇導(dǎo)和美麗吸引了許多的人。 （二）數(shù)的諧聲借意（二）數(shù)的諧聲借意 人的智商是有差異的，其中最重要的表現(xiàn)在記憶力人的智商是有差異的，其中最重要的表現(xiàn)在記憶力的強(qiáng)弱上。有人過目不忘，但有人苦于無法記住，我們的強(qiáng)弱上。有人過目不忘，但有人苦于無法記住，我們可以借用數(shù)的諧聲來強(qiáng)化對(duì)數(shù)的記憶。可以借用數(shù)的諧聲來強(qiáng)化對(duì)數(shù)的記憶。6267848977452614159. 3、 上海市出租汽車公

13、司的電話號(hào)碼為上海市出租汽車公司的電話號(hào)碼為2580000025800000，該公司的該公司的宣傳廣告語宣傳廣告語“讓我撥五個(gè)零讓我撥五個(gè)零”。就是借助上海方言對(duì)數(shù)的諧。就是借助上海方言對(duì)數(shù)的諧聲讓能牢記住這個(gè)號(hào)碼。聲讓能牢記住這個(gè)號(hào)碼。 又如眾所周知的火警電話號(hào)碼為又如眾所周知的火警電話號(hào)碼為“119”119”，數(shù)的諧聲就是，數(shù)的諧聲就是“要要救要要救”。美國(guó)紐約的火警電話號(hào)碼為。美國(guó)紐約的火警電話號(hào)碼為“911”911”，恐怖分，恐怖分子制造了子制造了“9.119.11事件事件“，就是利用這個(gè)號(hào)碼來統(tǒng)一行動(dòng)。，就是利用這個(gè)號(hào)碼來統(tǒng)一行動(dòng)。 祖沖之算出了精確的圓周率，造福于后人。我曾經(jīng)編了祖

14、沖之算出了精確的圓周率，造福于后人。我曾經(jīng)編了一個(gè)順口溜，讓我的學(xué)生記住了小數(shù)點(diǎn)后一個(gè)順口溜，讓我的學(xué)生記住了小數(shù)點(diǎn)后1919位的圓周率：位的圓周率： 山巔一寺一壺酒，爾樂，氣死我，把酒吃，吃不死，樂而樂。山巔一寺一壺酒，爾樂，氣死我，把酒吃，吃不死，樂而樂。6267848977452614159. 3、 三、對(duì)非有理數(shù)的美學(xué)品味三、對(duì)非有理數(shù)的美學(xué)品味 古希臘的數(shù)學(xué)十分繁榮，那時(shí)的自然科學(xué)與藝術(shù)、古希臘的數(shù)學(xué)十分繁榮，那時(shí)的自然科學(xué)與藝術(shù)、哲學(xué)是緊密聯(lián)系的。古希臘哲學(xué)（例如畢達(dá)哥拉斯流派）哲學(xué)是緊密聯(lián)系的。古希臘哲學(xué)（例如畢達(dá)哥拉斯流派）對(duì)數(shù)與對(duì)世界的思考幾乎是不可分割的。對(duì)數(shù)與對(duì)世界的思考

15、幾乎是不可分割的。他們的哲學(xué)觀他們的哲學(xué)觀或世界觀是：萬物皆數(shù)?；蚴澜缬^是：萬物皆數(shù)。而而1 1是最神圣的，一切蓋源于是最神圣的，一切蓋源于1 1，并且天下只有數(shù)（即正整數(shù)）及其比（又稱可比數(shù)，即并且天下只有數(shù)（即正整數(shù)）及其比（又稱可比數(shù)，即今稱之為有理數(shù)）。他們以為今稱之為有理數(shù)）。他們以為“數(shù)生成萬物，數(shù)的規(guī)律數(shù)生成萬物，數(shù)的規(guī)律支配著萬物支配著萬物”。中國(guó)古代也有中國(guó)古代也有“一生二、二生三、三生一生二、二生三、三生萬物萬物”的說法，與萬物皆數(shù)的觀點(diǎn)相似。的說法，與萬物皆數(shù)的觀點(diǎn)相似。 可是可是，古希臘時(shí)代數(shù)學(xué)觀與哲學(xué)觀的和諧被數(shù)學(xué)的古希臘時(shí)代數(shù)學(xué)觀與哲學(xué)觀的和諧被數(shù)學(xué)的發(fā)展打破了。一

16、種無法用兩整數(shù)之比來表達(dá)的數(shù)就被信發(fā)展打破了。一種無法用兩整數(shù)之比來表達(dá)的數(shù)就被信奉上述哲學(xué)觀的流派中的成員自己發(fā)現(xiàn)了，這就是非有奉上述哲學(xué)觀的流派中的成員自己發(fā)現(xiàn)了，這就是非有理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。這種發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了一場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)。然而，與理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。這種發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了一場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)。然而，與其說是數(shù)學(xué)危機(jī)，不如說是數(shù)學(xué)與哲學(xué)的共同危機(jī)。危其說是數(shù)學(xué)危機(jī)，不如說是數(shù)學(xué)與哲學(xué)的共同危機(jī)。危機(jī)何在？機(jī)何在？原有和諧被打破了，原有美感被動(dòng)搖了，原有原有和諧被打破了，原有美感被動(dòng)搖了，原有的理論被震撼了！的理論被震撼了！ 2251 正方形的對(duì)角線與其邊長(zhǎng)之比就無法用兩整數(shù)之比正方形的對(duì)角線與其邊長(zhǎng)之比就無法用兩整數(shù)之比來

17、表示，這是今天任何一名中學(xué)生都知道的事實(shí)，然而來表示，這是今天任何一名中學(xué)生都知道的事實(shí)，然而竟是當(dāng)時(shí)發(fā)生震撼作用的源頭。同時(shí)發(fā)現(xiàn)的是：正五邊竟是當(dāng)時(shí)發(fā)生震撼作用的源頭。同時(shí)發(fā)現(xiàn)的是：正五邊形對(duì)角線長(zhǎng)與其邊長(zhǎng)之比也無法由一個(gè)可比數(shù)（即有理形對(duì)角線長(zhǎng)與其邊長(zhǎng)之比也無法由一個(gè)可比數(shù)（即有理數(shù)）來表示（正六邊形對(duì)角線長(zhǎng)與其邊長(zhǎng)之比是數(shù)）來表示（正六邊形對(duì)角線長(zhǎng)與其邊長(zhǎng)之比是2 2，引，引起麻煩的是正方形、正五邊形）?，F(xiàn)在我們大家都知道起麻煩的是正方形、正五邊形）。現(xiàn)在我們大家都知道了這兩個(gè)數(shù)分別是了這兩個(gè)數(shù)分別是 這兩個(gè)數(shù)都是無理數(shù)。說它們是無理數(shù)，不是說它這兩個(gè)數(shù)都是無理數(shù)。說它們是無理數(shù)，不是說

18、它們沒有道理，是因?yàn)檫@類數(shù)的發(fā)現(xiàn)是在有理數(shù)之后。們沒有道理，是因?yàn)檫@類數(shù)的發(fā)現(xiàn)是在有理數(shù)之后。 無理數(shù)之美，我們來仔細(xì)品味無理數(shù)之美，我們來仔細(xì)品味品味品味。 是正五邊形是正五邊形對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)之比，而邊長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)之比則為對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)之比，而邊長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)之比則為 。 這兩個(gè)數(shù)之積為這兩個(gè)數(shù)之積為1 1，這兩個(gè)數(shù)之差也為，這兩個(gè)數(shù)之差也為1 1。因此它們也是方程。因此它們也是方程251215 因此稱它們?yōu)榇鷶?shù)無理數(shù)。比值因此稱它們?yōu)榇鷶?shù)無理數(shù)。比值 特別被人注意，它特別被人注意，它 人是自然界長(zhǎng)期發(fā)展的產(chǎn)物，人體美在自然人是自然界長(zhǎng)期發(fā)展的產(chǎn)物，人體美在自然界界中具有最強(qiáng)的完中具有最強(qiáng)的完

19、美性。大詩人莎士比亞曾經(jīng)贊頌道美性。大詩人莎士比亞曾經(jīng)贊頌道：“人類是一件多么了不得的杰人類是一件多么了不得的杰作！宇宙的精華、萬物的靈長(zhǎng)。作！宇宙的精華、萬物的靈長(zhǎng)?！逼鋵?shí)，莎士比亞也許不知道，人其實(shí)，莎士比亞也許不知道，人體相關(guān)各部分之間是符合黃金分割率的，肚臍是黃金分割的黃金點(diǎn)。體相關(guān)各部分之間是符合黃金分割率的，肚臍是黃金分割的黃金點(diǎn)。在軀干部分，乳房位置的上下長(zhǎng)度比；咽喉至頭頂和至肚臍之比；在軀干部分，乳房位置的上下長(zhǎng)度比；咽喉至頭頂和至肚臍之比；膝蓋至腳后跟和至肚臍之比等，都是黃金分割數(shù)膝蓋至腳后跟和至肚臍之比等，都是黃金分割數(shù)0.6180.618的近似數(shù)。的近似數(shù)。如果一個(gè)人的人

20、體對(duì)上述各部分比例均符合黃金如果一個(gè)人的人體對(duì)上述各部分比例均符合黃金分割分割律的話，就顯律的話，就顯得協(xié)調(diào)勻稱。古希臘斷臂維納斯、雅典娜女神和得協(xié)調(diào)勻稱。古希臘斷臂維納斯、雅典娜女神和“海姑娘海姑娘”阿曼達(dá)，阿曼達(dá)，其體型結(jié)構(gòu)比例完全符合黃金律，美妙絕倫。其體型結(jié)構(gòu)比例完全符合黃金律，美妙絕倫。 215 x2 + x 1 = 0 的 解的近似值是的近似值是0.6180.618（即（即 ），），這是一個(gè)有理數(shù)，人們稱其為這是一個(gè)有理數(shù)，人們稱其為 黃金分割比值黃金分割比值。它被認(rèn)為是最美的數(shù)值，具有很高的美學(xué)價(jià)值。它被認(rèn)為是最美的數(shù)值，具有很高的美學(xué)價(jià)值。1018.6 科學(xué)家和藝術(shù)家普遍認(rèn)為，

21、黃金律是建筑藝術(shù)必須遵科學(xué)家和藝術(shù)家普遍認(rèn)為，黃金律是建筑藝術(shù)必須遵循的規(guī)律。在建筑造型上，人們?cè)诟咚狞S金分割點(diǎn)處建循的規(guī)律。在建筑造型上，人們?cè)诟咚狞S金分割點(diǎn)處建樓閣或設(shè)計(jì)平臺(tái)，便能使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩；樓閣或設(shè)計(jì)平臺(tái)，便能使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩；而在摩天大樓的黃金分割處布置腰線或裝飾物，則可使整而在摩天大樓的黃金分割處布置腰線或裝飾物，則可使整個(gè)樓群顯得雄偉雅致。古代雅典的巴特農(nóng)神殿，當(dāng)今世界個(gè)樓群顯得雄偉雅致。古代雅典的巴特農(nóng)神殿，當(dāng)今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔，舉世聞名的法國(guó)巴最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔，舉世聞名的法國(guó)巴黎埃菲爾鐵塔，都是根據(jù)黃金分割的

22、原則來建造的。黎埃菲爾鐵塔，都是根據(jù)黃金分割的原則來建造的。 在日常生活中，最和諧悅目的矩形，如電視屏幕、寫在日常生活中，最和諧悅目的矩形，如電視屏幕、寫字臺(tái)面、書籍、衣服、門窗等，其短邊與長(zhǎng)邊之比為字臺(tái)面、書籍、衣服、門窗等，其短邊與長(zhǎng)邊之比為0.6180.618，你會(huì)因此比例協(xié)調(diào)而賞心悅目。甚至連火柴盒、國(guó)旗的長(zhǎng)你會(huì)因此比例協(xié)調(diào)而賞心悅目。甚至連火柴盒、國(guó)旗的長(zhǎng)寬比例設(shè)計(jì)，都恪守寬比例設(shè)計(jì)，都恪守0.6180.618；二胡要獲得最佳音色，其二胡要獲得最佳音色，其“千千斤斤”則須放在琴弦長(zhǎng)度的則須放在琴弦長(zhǎng)度的0.6180.618處。最有趣的是，在消費(fèi)領(lǐng)處。最有趣的是，在消費(fèi)領(lǐng)域中你也可以妙

23、用域中你也可以妙用0.618 0.618 這個(gè)這個(gè) “ “黃金黃金分割分割數(shù)數(shù)”，而獲得，而獲得 不少植物葉，相鄰的兩片在與莖垂直的平面上的投影夾角為13728，顯然，圓周角的另一部分是36013728=22232。然而，又恰有“物美價(jià)廉物美價(jià)廉”的效果。據(jù)專家統(tǒng)計(jì)，在同一商品有多個(gè)的效果。據(jù)專家統(tǒng)計(jì)，在同一商品有多個(gè)品種、多種價(jià)值情況下，將高檔價(jià)格減去低檔價(jià)格再乘品種、多種價(jià)值情況下，將高檔價(jià)格減去低檔價(jià)格再乘以以0.6180.618，即為挑選商品的首選價(jià)格。，即為挑選商品的首選價(jià)格。 正因?yàn)辄S金比體現(xiàn)了美與適用，溝通了人與自然，所以在某些名曲中，樂章的高潮出現(xiàn)在全曲的0.6180.618處

24、。并且，這個(gè)角度對(duì)于植物葉子的通風(fēng)、采光而言，都是最佳的，從而最有利于植物的生長(zhǎng)。3222228137= 0.618 四、數(shù)學(xué)美的主要表征四、數(shù)學(xué)美的主要表征 人們對(duì)美的本身有許多形容，有壯美、俊美、秀美、人們對(duì)美的本身有許多形容，有壯美、俊美、秀美、柔美、優(yōu)美等，不同的形容方式反映了人們對(duì)美的不同理柔美、優(yōu)美等，不同的形容方式反映了人們對(duì)美的不同理解和感受，反映了美的多樣性。解和感受，反映了美的多樣性。 數(shù)學(xué)美也有其多樣性，也可以適當(dāng)加以分類，我認(rèn)為數(shù)學(xué)美也有其多樣性，也可以適當(dāng)加以分類，我認(rèn)為數(shù)學(xué)美可以表征為和諧美、簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美和奇異美。下數(shù)學(xué)美可以表征為和諧美、簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美和奇異美。

25、下面在這四方面作一些簡(jiǎn)單分析。面在這四方面作一些簡(jiǎn)單分析。 （一）和諧美（一）和諧美 數(shù)學(xué)的和諧美前面已經(jīng)涉及很多，不妨作一歸納。數(shù)學(xué)的和諧美前面已經(jīng)涉及很多，不妨作一歸納。 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一為有理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)一在實(shí)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一為有理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)一在實(shí)數(shù)內(nèi)，而復(fù)數(shù)又包含著實(shí)數(shù)與虛數(shù)。在這些數(shù)系之中，數(shù)內(nèi)，而復(fù)數(shù)又包含著實(shí)數(shù)與虛數(shù)。在這些數(shù)系之中，1 1是最簡(jiǎn)單的數(shù)，但同時(shí)可以說一切又起源于是最簡(jiǎn)單的數(shù)，但同時(shí)可以說一切又起源于1 1。由。由1 1演變演變?yōu)樗凶匀粩?shù)為所有自然數(shù) 2 2，3 3，4 4， ，后來又有它的相反數(shù)，后來又有它的相反數(shù) -1-1，-2-2，-3-3，

26、，之后又加進(jìn)，之后又加進(jìn) 0 0，再就是兩個(gè)整數(shù)所，再就是兩個(gè)整數(shù)所表示的分?jǐn)?shù)，這樣就構(gòu)成有理數(shù)系，而南北朝時(shí)期，祖表示的分?jǐn)?shù)，這樣就構(gòu)成有理數(shù)系，而南北朝時(shí)期，祖沖之就已經(jīng)在計(jì)算沖之就已經(jīng)在計(jì)算 的值，故無理數(shù)也早就出現(xiàn)了。的值，故無理數(shù)也早就出現(xiàn)了。 i i 在幾百年前才有，在幾百年前才有，i i 可表示成可表示成 0+0+i i。 實(shí)數(shù)、虛數(shù)中的實(shí)數(shù)、虛數(shù)中的1 1，0 0，i i 都有其獨(dú)特的地位，無理數(shù)中，都有其獨(dú)特的地位，無理數(shù)中， 和和 e e 又是相當(dāng)獨(dú)特的，這又是相當(dāng)獨(dú)特的，這5 5個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 1 1，0 0，i i， ，e e 都融合在都融合在一個(gè)奇妙式子中，一個(gè)奇妙式子中，

27、 這就是一種和諧美、統(tǒng)一美。幾何中的和諧美也到這就是一種和諧美、統(tǒng)一美。幾何中的和諧美也到處體現(xiàn)，它們使你賞心悅目。簡(jiǎn)單的點(diǎn)、線段、三角形、處體現(xiàn)，它們使你賞心悅目。簡(jiǎn)單的點(diǎn)、線段、三角形、矩形、正方形就能構(gòu)造出美麗的圖案，平面的、立體的，矩形、正方形就能構(gòu)造出美麗的圖案，平面的、立體的，讓人美不勝收。讓人美不勝收。 矩陣、行列式在代數(shù)學(xué)中起了多方面作用，它在幾矩陣、行列式在代數(shù)學(xué)中起了多方面作用，它在幾何學(xué)研究中也起發(fā)揮了作用。它把幾何圖形的某些內(nèi)在何學(xué)研究中也起發(fā)揮了作用。它把幾何圖形的某些內(nèi)在聯(lián)系提示得更清楚，從而也使人更易看清它們之間的和聯(lián)系提示得更清楚，從而也使人更易看清它們之間的和

28、諧、統(tǒng)一。這是代數(shù)與幾何和諧、統(tǒng)一的進(jìn)一步表現(xiàn)。諧、統(tǒng)一。這是代數(shù)與幾何和諧、統(tǒng)一的進(jìn)一步表現(xiàn)。e+ 1 = 0i 平面上過點(diǎn)平面上過點(diǎn)( (x x1 1 , , y y1 1) , () , (x x2 2 , , y y2 2) )，的直線方程是：，的直線方程是： x y 1x1 y1 1x2 y2 1= 0 平面上過平面上過( (x x1 1 , , y y1 1) , () , (x x2 2 , , y y2 2) )和和( (x x3 3 , , y y3 3) )點(diǎn)的圓（只要三點(diǎn)的圓（只要三點(diǎn)不共線，這種圓就存在）的方程是：點(diǎn)不共線，這種圓就存在）的方程是：01111332323

29、22222211212122yxyxyxyxyxyxyxyx這些式子確實(shí)十分整齊，十分和諧，十分美觀。這些式子確實(shí)十分整齊，十分和諧，十分美觀。 （二）（二） 簡(jiǎn)潔美簡(jiǎn)潔美 簡(jiǎn)潔美無處不在。圖案設(shè)計(jì)、國(guó)畫藝術(shù)、標(biāo)志性建簡(jiǎn)潔美無處不在。圖案設(shè)計(jì)、國(guó)畫藝術(shù)、標(biāo)志性建筑、新校區(qū)的概念性設(shè)計(jì)都要求簡(jiǎn)潔，數(shù)學(xué)更是以簡(jiǎn)潔筑、新校區(qū)的概念性設(shè)計(jì)都要求簡(jiǎn)潔，數(shù)學(xué)更是以簡(jiǎn)潔著稱。著稱。 人們?cè)谌粘Ｉ钪?，常以人們?cè)谌粘Ｉ钪?，常以“成千上萬成千上萬”來形容多，來形容多，再多就是再多就是“百萬百萬”、“千萬千萬”了，更多則是了，更多則是“億萬億萬”?？墒?，都不如數(shù)學(xué)能夠作出更簡(jiǎn)潔、更明確、更有力的可是，都不如數(shù)學(xué)

30、能夠作出更簡(jiǎn)潔、更明確、更有力的表示，比如說，表示，比如說，101025 25 這樣巨大的數(shù)字，一般語言就說不這樣巨大的數(shù)字，一般語言就說不太清楚了。更不要說太清楚了。更不要說1010221 221 以及以及 2 244 49744 497，2 286 243 86 243 這樣大的這樣大的數(shù)字了。數(shù)字了。 從微觀來說，日常語言之中，從微觀來說，日常語言之中，“失之毫厘，謬以千失之毫厘，謬以千里里”，用一毫一厘來形，用一毫一厘來形 容微小，還有形容體積之小的，容微小，還有形容體積之小的，時(shí)間之短的，距離之近的。時(shí)間之短的，距離之近的。但是，沒有比但是，沒有比1010-15-15，1010-45

31、-45這這樣一些表達(dá)更能說明問題，它們更簡(jiǎn)潔、更明了。樣一些表達(dá)更能說明問題，它們更簡(jiǎn)潔、更明了。 22222xuatu 另外，許多不同的自然現(xiàn)象又常用一個(gè)數(shù)學(xué)公式加另外，許多不同的自然現(xiàn)象又常用一個(gè)數(shù)學(xué)公式加以描述，如弦振動(dòng)、電磁波的傳播和超音速定常流動(dòng)等以描述，如弦振動(dòng)、電磁波的傳播和超音速定常流動(dòng)等都可以用雙曲型方程：都可以用雙曲型方程： 描述，可謂精美，簡(jiǎn)潔而且優(yōu)美動(dòng)人！ （ 三三 ） 對(duì)稱美對(duì)稱美 在日常生活中，舉目就可以看到對(duì)稱物。有對(duì)稱圖在日常生活中，舉目就可以看到對(duì)稱物。有對(duì)稱圖 案、對(duì)稱建筑物、對(duì)稱文學(xué)作品等。為什么講求對(duì)稱？案、對(duì)稱建筑物、對(duì)稱文學(xué)作品等。為什么講求對(duì)稱？因

32、為它美。數(shù)學(xué)中的對(duì)稱更是它的一種美麗。因?yàn)樗?。?shù)學(xué)中的對(duì)稱更是它的一種美麗。 在幾何圖形中，有所謂點(diǎn)對(duì)稱，線對(duì)稱，面對(duì)稱。畢達(dá)哥在幾何圖形中，有所謂點(diǎn)對(duì)稱，線對(duì)稱，面對(duì)稱。畢達(dá)哥拉斯有句名言拉斯有句名言：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形形中最美的是圓形”。而圓形和球形正是幾何中對(duì)稱美的杰出而圓形和球形正是幾何中對(duì)稱美的杰出體現(xiàn)，圓是關(guān)于圓心對(duì)稱的，也是關(guān)于過圓心的任一條直線對(duì)體現(xiàn)，圓是關(guān)于圓心對(duì)稱的，也是關(guān)于過圓心的任一條直線對(duì)稱的。球形既是點(diǎn)對(duì)稱，又是線對(duì)稱，還是面對(duì)稱的。正是由稱的。球形既是點(diǎn)對(duì)稱，又是線對(duì)稱，還是面對(duì)稱的。正

33、是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱，才構(gòu)成了美麗于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。豐富的自然美，多彩的生活美。 是不是只有幾何中才有對(duì)稱美呢？非也！是不是只有幾何中才有對(duì)稱美呢？非也！ sincoscossin)sin(就已經(jīng)體現(xiàn)出對(duì)稱美。 下面是對(duì)稱的楊輝三角形。美嗎？當(dāng)然。下面是對(duì)稱的楊輝三角形。美嗎？當(dāng)然。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 對(duì)稱是數(shù)學(xué)中常見的形式之一，它

34、是否給人以對(duì)稱是數(shù)學(xué)中常見的形式之一，它是否給人以形式美的感覺，同時(shí)又總是與其內(nèi)容相聯(lián)系的呢形式美的感覺，同時(shí)又總是與其內(nèi)容相聯(lián)系的呢? ? 當(dāng)然是當(dāng)然是! !71（四）（四） 奇異美奇異美 平淡中無新奇，奇異中才有藝術(shù)。數(shù)學(xué)中的奇異是平淡中無新奇，奇異中才有藝術(shù)。數(shù)學(xué)中的奇異是吸引許多人喜歡數(shù)學(xué)的重要原因，吸引許多人喜歡數(shù)學(xué)的重要原因，峰回路轉(zhuǎn)，柳暗峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明，花明，這也正是數(shù)學(xué)的魅力、數(shù)學(xué)的奇異美。這也正是數(shù)學(xué)的魅力、數(shù)學(xué)的奇異美。 把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)是一件極簡(jiǎn)單的事, 化成小數(shù)，得61到0.166 6； 化成小數(shù)得0.142 857 142 857；現(xiàn)在看看一個(gè)分子分母都比較大的分?jǐn)?shù)

35、 ，只要 789321456654123987耐心一點(diǎn)，也可把它化成小數(shù)：8.000 000 072 900 000 663 390 006 036 849 054 935 326 399 114 702 39，小數(shù)點(diǎn)后一下子有點(diǎn)后一下子有7個(gè)個(gè)0，間隔，間隔3位數(shù)后是位數(shù)后是5個(gè)個(gè)0。很有規(guī)律，。很有規(guī)律，0出現(xiàn)的個(gè)數(shù)依次是出現(xiàn)的個(gè)數(shù)依次是7、5、3、1。再看中間那個(gè)。再看中間那個(gè)3位數(shù)的非位數(shù)的非 很令人驚奇的是 =8，因而1234567899零的729，它是9的3次方，即729=93，再往后看那個(gè)5位數(shù)、7位數(shù)： 66 339=9391， 6 036 84993912， 789312456654123987789321456654123987= 8 +然而， 123456789991109103nn010103)1091(109= 于是有：789321456654123987nn010103)1091(109= 8 + 奇異的東西引起人們的興趣，也引起人們?nèi)パ芯克呐d奇異的東西引起人們的興趣，也引起人們?nèi)パ芯克呐d趣，而且又從研究之中看到奇異深處隱藏的東西，這樣，你趣，而且又從研究之中看到奇異深處隱藏的東西，這樣，你就會(huì)更喜歡它，就更可能產(chǎn)生美感。就會(huì)更喜歡它，就更可能產(chǎn)生美感