矢量分析和場論基礎(chǔ)PPT課件

1、1.1 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量1.2 矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算1.3 標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場1.4 特殊正交曲線坐標(biāo)系特殊正交曲線坐標(biāo)系1.5 場論場論1.6 拉普拉斯算子拉普拉斯算子1.7 電磁場的分類和亥姆霍茲定理電磁場的分類和亥姆霍茲定理第1頁/共65頁1.1 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量分析和場論是學(xué)習(xí)電磁場理論必備的數(shù)矢量分析和場論是學(xué)習(xí)電磁場理論必備的數(shù)學(xué)工具，本章簡要介紹矢量分析和場論的基本概學(xué)工具，本章簡要介紹矢量分析和場論的基本概念和定理。念和定理。標(biāo)量標(biāo)量是指用單一數(shù)量就可以完整描述的物理量，是指用單一數(shù)量就可以完整描述的物理量，比如比如質(zhì)量質(zhì)量、時(shí)間時(shí)間、溫度溫度和和功功等。

2、等。在本教材中用粗正體字母表示矢量，比如矢量在本教材中用粗正體字母表示矢量，比如矢量A可以寫成可以寫成 AAAe(1-1) 矢量是指既有大小又有方向的物理量，比如力、電場和磁場等。 單位矢量作業(yè)要求寫成：作業(yè)要求寫成：AAAe第2頁/共65頁1.2.1直角坐標(biāo)系中矢量的表示直角坐標(biāo)系中矢量的表示1.2 矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算圖1-2 直角坐標(biāo)系中 矢量的描述 圖1-1 矢量表示 xxyyzzAAAAeee在直角坐標(biāo)系中，矢量在直角坐標(biāo)系中，矢量A可寫為可寫為(1-6)cos,cos,cos .xyzAAAAAA其中其中矢量常用帶箭頭的線段表示矢量常用帶箭頭的線段表示222xyzAAAAA(1-3

3、)第3頁/共65頁1.2.2矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算1.矢量加法矢量加法xxyyzzDDDD =eeeA+B+C(1-7)xxxxyyyyzzzzDABCDABCDABC(1-8)式中式中矢量滿足結(jié)合律和交換律，即()()ABCABCACBBCA(1-9)(1-10)第4頁/共65頁2.矢量的標(biāo)積矢量的標(biāo)積cosA BA B(1-11)圖圖1-3 矢量的標(biāo)積和矢積矢量的標(biāo)積和矢積 矢量的標(biāo)積是一個(gè)數(shù)量，并滿足交換律、分配律和數(shù)乘，即A BB A()ABCA BA C()()()kkkA BABAB(1-12)(1-13)(1-14)坐標(biāo)表示為 xxyyzzA BA BA BA B(1-15)llA

4、 A e矢量投影為：矢量投影為： ,xxyyzzAAAA eA eA e第5頁/共65頁3.矢量的矢積矢量的矢積sinABA Bn(1-17)式中式中 n 是一垂直于由矢量是一垂直于由矢量 A 和和 B 構(gòu)成的平面的單位矢量，并遵循構(gòu)成的平面的單位矢量，并遵循右手螺旋法則，見圖右手螺旋法則，見圖1-3。 矢量的矢積不滿足交換律：矢量的矢積不滿足交換律： ABBA(1-18)矢積滿足分配律和數(shù)乘，即矢積滿足分配律和數(shù)乘，即圖圖1-3 矢量的標(biāo)積和矢積矢量的標(biāo)積和矢積()ABCABAC()()()kkkABABAB(1-20)(1-19)第6頁/共65頁矢量矢積的坐標(biāo)表示為矢量矢積的坐標(biāo)表示為 (

5、) ()xxyyzzxxyyzzAAABBBABeeeeee()()()yzzyxzxxzyxyyxzA BA BA BA BA BA BeeexyzxyzxyzAAABBBeeeA B(1-23)或簡記為或簡記為 利用利用 exey=ez， eyez=ex， ezex=ey exex= eyey= ezez=0 可直接證明?？芍苯幼C明。 矢量恒等式()()()AB CCABBCA()()()AB CA C BA B C(1-24)(1-25)第7頁/共65頁例例 1.1 計(jì)算由矢量計(jì)算由矢量A、B和和C構(gòu)成的平行六面體的構(gòu)成的平行六面體的體積，矢量體積，矢量 A=2ex+ey-2ez，B=-

6、ex+3ey+5ez，C=5ex-2ey-2ez。 解解 平行六面體的體積可表示為三重積的行列式形式平行六面體的體積可表示為三重積的行列式形式()xyzxyzxyzAAAVBBBCCCAB C21213557522 第8頁/共65頁例例 1.2 給定三個(gè)矢量給定三個(gè)矢量 A=ex+2ey-3ez, B=-4ey+ez, C=5ex-2ey，試求試求 和和 。A BA C(23) ( 4)11xyzyz A Beeeee12361512520 xyzxyz eeeA Ceee解解第9頁/共65頁1.3 標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場 從數(shù)學(xué)上講，場是物理量隨空間坐標(biāo)變化的函數(shù)。從數(shù)學(xué)上講，場是物理

7、量隨空間坐標(biāo)變化的函數(shù)。物理量可以是標(biāo)量或矢量，因而，場可以是物理量可以是標(biāo)量或矢量，因而，場可以是標(biāo)量場標(biāo)量場或或矢量場矢量場。圖1-4 溫度場分布示意圖 圖1-5 電場分布示意圖 如果物理量僅隨空間點(diǎn)而變化，不隨時(shí)間變化，這種場稱之為靜態(tài)場，否則，稱之為動(dòng)態(tài)場或時(shí)變場。第10頁/共65頁1.4.1直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系1.4 特殊正交曲線坐標(biāo)系特殊正交曲線坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系由三個(gè)相互垂直的有向線段構(gòu)成，三直直角坐標(biāo)系由三個(gè)相互垂直的有向線段構(gòu)成，三直線稱為線稱為X、Y和和Z軸，三個(gè)單位矢量軸，三個(gè)單位矢量 ex、ey 和和 ez相互相互垂直，分別表示垂直，分別表示X、Y和和Z軸的方向。軸的方向

8、。 1.位置矢量 xyzxyzreee如圖1-6所示。 圖1-6 位置矢量 ( , , )x y z第11頁/共65頁2.距離矢量 21212121()()()xyzxxyyzzRrreee如圖1-7所示。 距離大小 21222212121 ()()()xxyyzzRrr圖1-7 距離矢量 第12頁/共65頁dVdxdydzxxyyzzddydzddxdzddxdySeSeSexyzddxdydzleee體微分元 面微分元 線微分元 圖1-8 面微分元和體微分元 圖1-9 線微分元 3.體、面和線微分元 第13頁/共65頁1.4.2圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圖1-10 圓柱坐標(biāo)與坐標(biāo)對應(yīng)的單位矢量為

9、 ( ) 三者相互垂直，服從右手法則。,zeee( , , ) z 為位置矢量 r 在 X-Y 平面上投影的大小；為XOZ平面與POZ平面之間的夾角，逆時(shí)針方向正;z 是r 在 Z 軸上的投影。注意注意和和 是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)eezzree1.位置矢量 式中，式中，,zzr er e對于任意的對于任意的r，0r e第14頁/共65頁2.直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)之間的關(guān)系cossinxyzz22xyarctg y xzz002z 取值范圍 圖1-10 圓柱坐標(biāo)圖1-11 柱坐標(biāo)系的三個(gè)正交面 柱坐標(biāo)的三個(gè)正交面如圖柱坐標(biāo)的三個(gè)正交面如圖1-11所示所示第15頁/共65頁圖1-12 面微

10、分元和體微分元圖1-13 線微分元 dVd d dz zzdd dzdd dzdd d SeSeSezddddz leee3.體、面和線微分元 面微分元 線微分元 體微分元 第16頁/共65頁4.單位矢量的變換 cossinsincosxyxy eeeeee圖1-14 單位矢量之間的變換cossin0sincos0001xyzz eeeeeecossin0sincos0001xyzzeeeeee矩陣形式 逆變換 任意矢量的變換 cossin0sincos0001xyzzAAAAAA(1-47) 同理，已知直角坐標(biāo)系的分量表達(dá)式，利用其逆變換可得柱坐標(biāo)下的分量表達(dá)式。 第17頁/共65頁1.4.

11、3球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系r 為位置矢量為位置矢量 r 的大小，的大小，圖1-15 球坐標(biāo)rrre1.位置矢量 與坐標(biāo)對應(yīng)的單位矢量為與坐標(biāo)對應(yīng)的單位矢量為( )，三者相互，三者相互垂直，并服從右手法則。垂直，并服從右手法則。,re e e在球坐標(biāo)系下， 都是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。 ,re e e( , , )r 是位矢是位矢r與正與正Z軸之間的夾角，軸之間的夾角， 是是X軸正向與位矢軸正向與位矢r在在XY平面平面上的投影之間的夾角。上的投影之間的夾角。對于任意的對于任意的r，0r er e第18頁/共65頁2.直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的關(guān)系（見圖1-1516）。sincossinsincosxryrzr22

12、2arccos()arc()rxyzz rtg y x0020r 圖1-15 球坐標(biāo)圖1-16 球坐標(biāo)系的三個(gè)正交面 第19頁/共65頁體微分元 面微分元 線微分元 2sindVrdrd d 2sinsinrrdrd ddrdrddrdrd SeSeSesinrddrrdrd leee圖1-17 面微分元和體微分元圖1-18 線微分元3.體、面和線微分元 第20頁/共65頁4.單位矢量的變換 sin cossin sincoscos coscos sinsinsincos0rxyzeeeeeesincoscos cossinsin sincos sincoscossin0 xryzeeeeee

13、sin coscos cossinsin sincos sincoscossin0 xryzAAAAAA5.任意矢量的變換 (c) 的投影。圖1-19 球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系單位矢量間的變換(b) 的投影(a) 的投影reee第21頁/共65頁例例 1.3 在圓柱坐標(biāo)系中一點(diǎn)的坐標(biāo)為在圓柱坐標(biāo)系中一點(diǎn)的坐標(biāo)為 = 4,2/3,3，試求該點(diǎn)分別在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)，試求該點(diǎn)分別在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。系中的坐標(biāo)。, ,z 解解 利用圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系可得利用圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系可得cos4cos2 /32sin4sin2 /32 33xyzz 利用圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系可得利用

14、圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系可得222200435()(4/3)53.132 /3120rzarctgzarctg第22頁/共65頁例例 1.4 在柱坐標(biāo)系中點(diǎn)在柱坐標(biāo)系中點(diǎn) P(3,/6,5)有一矢量有一矢量 A=3 +2 +5 ，在另一點(diǎn)，在另一點(diǎn)Q(4,/3,3)有一矢量有一矢量 B = ，在點(diǎn)，在點(diǎn) S(2,/4,4) 處有矢量處有矢量 C=A+B，試求，試求C矢量。矢量。eeze2 e3 eze解解 顯然顯然A和和B兩矢量不在同一兩矢量不在同一 =常數(shù)的平面上，常數(shù)的平面上，在柱坐標(biāo)系下不能直接按分量形式求和，首先必須在柱坐標(biāo)系下不能直接按分量形式求和，首先必須把在柱坐標(biāo)系下的矢量變換到

15、直角坐標(biāo)系。把在柱坐標(biāo)系下的矢量變換到直角坐標(biāo)系。P點(diǎn)矢量點(diǎn)矢量A的直角坐標(biāo)表示為的直角坐標(biāo)表示為 cos/6sin/603sin/6cos/6020015xyzAAA A1.5983.2325xyzeee第23頁/共65頁同理，同理， Q點(diǎn)矢量點(diǎn)矢量B的直角坐標(biāo)表示為的直角坐標(biāo)表示為3.5980.232xyz Beee于是得于是得234xyz CABeee再將再將C變換到柱坐標(biāo)系中點(diǎn)變換到柱坐標(biāo)系中點(diǎn)S(2,/4,4)處的矢量處的矢量cos /4sin /402sin /4 cos /4 030014zCCC C0.7073.5354zeee第24頁/共65頁1.5 場論場論1.5.1數(shù)量場

16、的等值面和矢量場的矢量線數(shù)量場的等值面和矢量場的矢量線1.數(shù)量場的等值面 場的整體性描述：場的整體性描述：標(biāo)量場 u 的等值面方程 ( , , )u x y zc常數(shù)場的局部特性描述：等值面、等值線和矢量線標(biāo)量場，方向?qū)?shù)和梯度；矢量場，散度和旋度。第25頁/共65頁圖1-20 標(biāo)量場的等值面 同理，如果標(biāo)量場是二維函數(shù)，同理，如果標(biāo)量場是二維函數(shù)， 令令u(x, y)=c 得到等值線。得到等值線。比如地形圖上的比如地形圖上的等高線等高線，地面氣象圖上的，地面氣象圖上的等溫線等溫線、等壓線等壓線等，都是平面標(biāo)量場等值線的例子。等，都是平面標(biāo)量場等值線的例子。常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系

17、列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn)：第26頁/共65頁2.矢量場的矢量線 直角坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)表示: ( , , )( , , )( , , )( , , )xxyyzzx y zA x y zA x y zA x y zAeee概念：概念：矢量線是這樣的曲線，在曲線上每一點(diǎn)處矢矢量線是這樣的曲線，在曲線上每一點(diǎn)處矢量場的方向都在該點(diǎn)的切線方向上。量場的方向都在該點(diǎn)的切線方向上。圖1-21 矢量場的矢量線 靜電場的電場線靜電場的電場線、磁場的磁場磁場的磁場線線和和流速場的流線流速場的流線等都是矢量線等都是矢量線的例子。的例子

18、。 意義：意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。第27頁/共65頁共線矢量共線矢量 dr 與與 A(x, y, z) 滿足滿足0dArxyzdxdydzAAA或或(1-64) 此即矢量線所滿足的微分方此即矢量線所滿足的微分方程組。求解該方程組可得一矢程組。求解該方程組可得一矢量線族；矢量線通?；ゲ幌嘟?。量線族；矢量線通常互不相交。 假設(shè)假設(shè) P(x, y, z) 為矢量線上任一點(diǎn)，則過點(diǎn)為矢量線上任一點(diǎn)，則過點(diǎn) P 沿矢沿矢量線的位移元量線的位移元 dr 與矢量與矢量 A(x, y, z)共線。共線。矢量線方程：圖1-21 矢量場的矢量線第28頁/共

19、65頁d xd yyx求解該微分方程，得到矢量線方程為22xyc可見，該矢量場的矢量線為同心圓，見圖1-22。 圖1-22 二維場的矢量線例例 1.5 有一二維矢量場有一二維矢量場 F(r) = -yex+xey，求矢量線，求矢量線方程，并定性畫出該矢量場的圖形。方程，并定性畫出該矢量場的圖形。解解 由場的表達(dá)式可知，由場的表達(dá)式可知，F(xiàn)x= -y，F(xiàn)y=x，則根據(jù)式，則根據(jù)式（1-64）可得到矢量線的微分方程為）可得到矢量線的微分方程為第29頁/共65頁1.5.2標(biāo)量場的梯度和方向?qū)?shù)標(biāo)量場的梯度和方向?qū)?shù)標(biāo)量場u(x, y, z)的兩個(gè)等值面u和u+du如圖1-23所示，圖1-23 方向?qū)?/p>

20、數(shù)和梯度uuududxdydzxyzP點(diǎn)到Q點(diǎn)的位移元為xyzddxdydzleee(1-65)兩邊同除以 dl ，得到標(biāo)量場u(x, y, z)在P點(diǎn)沿dl 方向的方向?qū)?shù)1.梯度的定義及其方向?qū)?shù)梯度的定義及其方向?qū)?shù)根據(jù)全微分定義(1-65)duu dxu dyu dzdlx dly dlz dl第30頁/共65頁duu dxu dyu dzdlx dly dlz dl設(shè)位移元 dl 的方向余弦為 ，即 cos,cos,coscos, cos, cosdxdydzdldldl所以方向?qū)?shù)表示為coscoscoslduuuudlxyzG axyzuuuxyzGeeecoscoscoslxy

21、zaeee其中u的梯度dl的單位矢量第31頁/共65頁引入梯度算子 xyzxyz eeegradxyzuuuuuxyz eeeG由 u的梯度表示為coscoscoslduuuudlxyzG a可知 當(dāng)al與G平行時(shí)，方向?qū)?shù) 取得最大值|G|。dudl梯度的方向是標(biāo)量u隨空間坐標(biāo)變化最快的方向；梯度的大小表示標(biāo)量u的空間變化率的最大值。梯度矢量 的的物理意義u所以第32頁/共65頁梯度在柱坐標(biāo)系下的表達(dá)式 1zuuuuz eee梯度在球坐標(biāo)系下的表達(dá)式 11sinruuuurrr eeexyzuuuuxyz eee2.梯度在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的表達(dá)式 梯度在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式 第33頁/共

22、65頁梯度運(yùn)算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0第34頁/共65頁例例1.6 求標(biāo)量函數(shù)求標(biāo)量函數(shù)u(x, y, z)=x2yz的梯度，并求在空的梯度，并求在空間坐標(biāo)點(diǎn)間坐標(biāo)點(diǎn)P(2, 3, 1)處，沿方向處，沿方向 的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。345505050lxyzaeee解解22222()()()2xyzxyzux yzx yzx yzxyzxyzx zx y eeeeee22645505050lduxyzx zx yudl a代入代入P點(diǎn)的空間坐標(biāo)點(diǎn)的空間坐標(biāo) (2,3,1)，得方向?qū)?shù)值為，得方向?qū)?shù)值為 36166011250505050dud

23、l第35頁/共65頁補(bǔ)充例題：補(bǔ)充例題：其中，其中，R2）1()R求：求：1）222)()()(zzyyxxrrR解：解：RRR 311()()dRRRdR RR 第36頁/共65頁1.5.3矢量場的通量和散度矢量場的通量和散度1.通量的定義通量的定義 圖1-24 通量定義 如圖，矢量場如圖，矢量場A=A(x, y, z)在有在有向曲面向曲面S上的通量定義為上的通量定義為 ( )( )cosSSdAdS AS面元面元dS的法向的法向n與張著與張著S的環(huán)線的環(huán)線L滿足右手螺旋關(guān)系。滿足右手螺旋關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中( )( )xyzSSdA dydzA dzdxA dxdy AS第3

24、7頁/共65頁對閉合曲面對閉合曲面n取外法向?yàn)檎?，總通量表示為取外法向?yàn)檎偼勘硎緸?( )( )SSddS ASA n 矢量線的通量概念是對矢量場在空間分布的宏觀矢量線的通量概念是對矢量場在空間分布的宏觀描述，要描述每一點(diǎn)的情況，需引入描述，要描述每一點(diǎn)的情況，需引入散度散度的概念。的概念。通量計(jì)算存在三種情況通量計(jì)算存在三種情況1)1)00，表明閉合曲面內(nèi)部有產(chǎn)生矢量線的源，表明閉合曲面內(nèi)部有產(chǎn)生矢量線的源，正源正源2)2)00，表明，表明M點(diǎn)有發(fā)出矢量線的正源；點(diǎn)有發(fā)出矢量線的正源；如果如果divA0，表明，表明M點(diǎn)有吸收矢量線的負(fù)源；點(diǎn)有吸收矢量線的負(fù)源；如果如果divA=0，表明

25、，表明M點(diǎn)無源，矢量線在該點(diǎn)連續(xù)。點(diǎn)無源，矢量線在該點(diǎn)連續(xù)。第39頁/共65頁4.散度在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的表達(dá)式 11()zAAAzA球坐標(biāo)系下的表達(dá)式 22111()(sin)sinsinrAr AArrrrA3.散度在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式 yxzAAAxyzA柱坐標(biāo)系下的表達(dá)式 第40頁/共65頁散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(0第41頁/共65頁5. 高斯散度定理高斯散度定理如圖，矢量場場如圖，矢量場場A(x, y, z)的散度在體積的散度在體積V上的三重積上的三重積分等于矢量場分等于矢量場A(x, y, z)穿過包圍

26、穿過包圍V 的閉合曲面的閉合曲面S的通的通量，即量，即圖1-26 高斯定理物理意義 V內(nèi)的通量源總和與穿過S的總通量相等。()( )VSdVdAAS()( )()yxzVxyzSAAAdVxyzA dydzA dzdxA dxdy或第42頁/共65頁例例1.7 設(shè)有一矢量場設(shè)有一矢量場 ，（1）求該矢量場的散度；（）求該矢量場的散度；（2）取中心在原點(diǎn)的一）取中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體，求散度的體積分和矢量場對此立方個(gè)單位立方體，求散度的體積分和矢量場對此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。222223( , , )24xyzx y zxx yx y zAeee解（1）

27、2222232222()()(24)2272yxzAAAxx yx y zxyzxyzxx yx y zA1 21 21 222221 21 21 2()1(2272)24VdVxx yx y zdxdydzA（2）A對中心在原點(diǎn)的單位立方體的積分為 第43頁/共65頁矢量矢量A對單位立方體表面的積分為對單位立方體表面的積分為()()221 21 21 21 21 21 21 21 21122xyzSSdA dydzA dzdxA dxdydydzdydzAS221 21 21 21 2221 21 21 21 2331 21 21 21 222221 21 21 21 21122112424

28、22xdzdxxdzdxx ydxdyx ydxdy124可見，散度定理成立?？梢姡⒍榷ɡ沓闪?。第44頁/共65頁補(bǔ)充例題：補(bǔ)充例題：其中，其中，R2）3RR求：求：1）222)()()(zzyyxxrrR解：解：()()()xyzRxx eyy ezz e3R333110RRRRRR第45頁/共65頁如圖，式中如圖，式中L是空間有向閉合是空間有向閉合曲線，曲線，dl是曲線是曲線L上的線微分元，上的線微分元， 是在空間點(diǎn)是在空間點(diǎn)P處矢量處矢量A與與dl的夾的夾角。角。1.5.4 矢量場的環(huán)量和旋度矢量場的環(huán)量和旋度環(huán)量的定義環(huán)量的定義 A(x, y, z)沿閉合曲線沿閉合曲線L的曲線積分稱

29、為沿的曲線積分稱為沿L的環(huán)量，的環(huán)量，即即 ( )Ld Al環(huán)量描述了環(huán)量描述了L內(nèi)的總渦旋源。內(nèi)的總渦旋源。圖1-27 矢量場的環(huán)量 第46頁/共65頁旋度的定義為了定義旋度，首先考察為了定義旋度，首先考察環(huán)環(huán)量密度量密度，即單位面積的環(huán)量，即單位面積的環(huán)量( )0limLSdS Al顯然，對于給定矢量場A，環(huán)量密度的大小與所取面元S的方向n有關(guān)，如圖1-29 所示。 圖1-29 (a)矢量線構(gòu)成的渦旋面與所取微分面元S的方向垂直；(b) 矢量線構(gòu)成的渦旋面與所取微分面元S的方向夾角為；(c) 矢量線構(gòu)成的渦旋面與所取微分面元S的方向同方向。第47頁/共65頁可以看出，當(dāng)面元可以看出，當(dāng)面元

30、S沿某特定方向沿某特定方向n時(shí)，環(huán)量密度時(shí)，環(huán)量密度將取得最大值；定義該最大值與將取得最大值；定義該最大值與n之積構(gòu)成的矢量稱之積構(gòu)成的矢量稱為矢量場為矢量場A的旋度，記作的旋度，記作rotA或或 ，即，即 ( )0maxrotlimLSdS AlAAnA物理意義 矢量場在 M 點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M 點(diǎn)的環(huán)流量面密度的最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向。第48頁/共65頁柱坐標(biāo)系下的表達(dá)式 1zzzAAAeeeA球坐標(biāo)系下的表達(dá)式 2sin1sinsinrrrrrrArArAeeeA旋度在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式 xyzyyxxzzxyzxyzAAAAAAxyzyzzx

31、xyAAAeeeAeee第49頁/共65頁斯托克斯定理 ()()SLddASAl旋度不為零的場是有旋場，如旋度不為零的場是有旋場，如磁場、流速場磁場、流速場等。等。物理意義物理意義 斯托克斯定理將矢量旋度的面積分變換斯托克斯定理將矢量旋度的面積分變換成該矢量的線積分，或?qū)⑹噶砍稍撌噶康木€積分，或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中矢量旋度的面積分。式中dS的方向與的方向與dl的方向成右的方向成右手螺旋關(guān)系。手螺旋關(guān)系。 第50頁/共65頁例 1.8 設(shè)有一平面流速場( , )x y其流線的分布如圖1-32所示，圖中有些流線是閉合曲線。如果取閉合積分回路L與閉合流線重合

32、，計(jì)算流速環(huán)量圖1-32 平面流速場 ( )( , )Lx yd l顯然，積分結(jié)果不等于零，表明對于這樣的流速場，流體的運(yùn)動(dòng)具有渦旋性。第51頁/共65頁旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零FfFfFf)(CfCf)(0 CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第52頁/共65頁課堂作業(yè)課堂作業(yè)（1）標(biāo)量場的梯度構(gòu)成的矢量場是無旋場；）標(biāo)量場的梯度構(gòu)成的矢量場是無旋場； （2）矢量場的旋度構(gòu)成的矢量場是無散場。）矢量場的旋度構(gòu)成的矢量場是無散場。證明：即 證明數(shù)學(xué)恒等式（參見例1.11和例1.12）()0 A（95）()0u （93）第53頁/共65頁補(bǔ)充例題

33、：補(bǔ)充例題：其中，其中，R2）3RR求：求：1）222)()()(zzyyxxrrR解：解：()()()xyzRxx eyy ezz e0R333110RRRRRR 第54頁/共65頁一、標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算2u2 拉普拉斯算子2222222uuuuxyz 直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系概念：uu2)(1.6 拉普拉斯算子拉普拉斯算子gradxyzuuuuuxyz eee第55頁/共65頁二、矢量拉普拉斯運(yùn)算2 A概念：直角坐標(biāo)系 拉普拉斯方程22222220uuuuxyz2()() AAA2

34、222xxyyzzAAAAeee如果矢量場A的拉普拉斯為零，即22220 xxyyzzAAAAeee必然有每個(gè)分量的拉普拉斯為零，2220,0,0.xyzAAA調(diào)和函數(shù)第56頁/共65頁1.7 電磁場的分類和亥姆霍茲定理電磁場的分類和亥姆霍茲定理根據(jù)矢量場滿足散度運(yùn)算關(guān)系和旋度運(yùn)算關(guān)系的不根據(jù)矢量場滿足散度運(yùn)算關(guān)系和旋度運(yùn)算關(guān)系的不同組合，可將場分為四種類型，不同類型的電磁場同組合，可將場分為四種類型，不同類型的電磁場問題，求解的方法也各有差異。問題，求解的方法也各有差異。 第一類場第一類場 滿足滿足 00AA和該矢量場該矢量場A可通過令可通過令 ，進(jìn)而求解，進(jìn)而求解u的拉普拉的拉普拉斯方程斯

35、方程 而得解。而得解。u A20u第二類場第二類場 滿足滿足 00AA和該矢量場該矢量場A可通過令可通過令 和和 ，進(jìn)而求，進(jìn)而求解解u的泊松方程的泊松方程 而得解。而得解。u A2u A第57頁/共65頁第三類場第三類場 滿足滿足 00AA和該矢量場該矢量場A可通過令可通過令 和和 ，進(jìn)而求，進(jìn)而求解解G的泊松方程的泊松方程 而得解。而得解。AG2 GJAJ第四類場第四類場 滿足滿足 00AA和該矢量場該矢量場A可分解為無散場可分解為無散場G和無旋場和無旋場H來求解，來求解，即通過令即通過令 ，其中，其中G和和H分別滿足分別滿足AGH0000GGHH,和，類似與第二、三類場的分析，必存在類似與第二、三類場的分析，必