模擬試題一(解答)

1、“專升本”模擬試題一（解答）課程名稱：高等數(shù)學(xué)(理工類) 考試時(shí)間120分鐘題號(hào)一二三四五六七八總分總分人得分21得分21分評(píng)分人一、單項(xiàng)選擇題(8個(gè)小題，每小題3分，共24分)1. =【 c 】(a) - 0； (b) ； (c) ； (d) ； 2設(shè)函數(shù)在可導(dǎo)，則【 a 】 (a)；(b)；(c)為任意常數(shù)；(d)為任意常數(shù)；3已知，則【 d 】(a) (b) (c) (d) 4廣義積分 【 c 】 (a) 發(fā)散 (b) (c) (d)5函數(shù)的極小值為在【 b 】時(shí)取得。(a) 1； (b) ； (c) ； (d) ；6設(shè)，則在處有【 d 】 ×， a(a) 在不連續(xù)； (b)

2、在偏導(dǎo)數(shù)不存在(c) 在連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微； (d) 在可微（在時(shí)，的極限不存在）7級(jí)數(shù) ， 中收斂的級(jí)數(shù)有：【 c 】(a) (b) (c) (d) 8. 行列式的值為：【 c 】 (a) 0 (b) 2 (c) (d) 得分8分評(píng)分人二、填空題(5個(gè)小題，每題4分，共20分)9若，則 1 ， 0 ；10設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，則= ；×解：11= 1/2 ；×解：12. 曲線在點(diǎn)的切線方程是： (x-1)/5=(y-2)/4=(z+1)/10 ；×解 ：令，所以可取 所以可取 直線的方向向量可?。核笄芯€方程為：13以為通解的微分方程是： y=3(1/x

3、)y ； 解： 一階線性齊次方程 的解為： 觀察此題可知，應(yīng)為一階線性齊次方程的解。 此處 ， 即， 從而所以 ， 微分方程為：三、計(jì)算證明題(7個(gè)小題，每題8分，共56分，要求有必要的解題步驟)14過(guò)點(diǎn)作直線的垂面，求點(diǎn)到直線的距離； 解 過(guò)點(diǎn)作平面垂直于已知直線，平面的方程為，即 下面求直線與平面的交點(diǎn)，的長(zhǎng)就是到的距離。將的方程轉(zhuǎn)化參數(shù)方程，聯(lián)合平面方程得， 即 將代入的參數(shù)方程中得：，即點(diǎn)坐標(biāo)為 點(diǎn)到的距離 15 計(jì)算二重積分：；其中是由直線和曲線及軸所圍成的積分區(qū)域 -1/2(e-1)-1 解： 積分區(qū)域如右圖 積分區(qū)域用不等式組可表示為 16. 求微分方程的通解：；解：對(duì)應(yīng)齊次方程

4、的特征方程為 .特征根 .所以, 對(duì)應(yīng)齊次方程通解為：.原方程變?yōu)椋含F(xiàn)分別求方程和的一個(gè)特解。對(duì)于方程，由于這里 是二重特征根，可設(shè)其特解為 則 將 、代入方程得化簡(jiǎn)得 比較系數(shù)得，從而，方程，的一個(gè)特解為 對(duì)于方程，由于這里 不是特征根，可設(shè)其特解為 則 將 、代入方程得化簡(jiǎn)得 比較系數(shù)得，從而，方程，的一個(gè)特解為 故方程，的特解為 因此 原方程組的通解為：17. 求級(jí)數(shù) 的和函數(shù)。解：因?yàn)?， 級(jí)數(shù) ，令， ，=，所以 . 18. 當(dāng)參數(shù)為何值時(shí)，非齊次方程組 有解？當(dāng)它有解時(shí)，求出通解。解：當(dāng) ，即時(shí)，系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等。所以當(dāng)時(shí)，原方程組有解。此時(shí)簡(jiǎn)化后的階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組

5、為即 ， 這里為自由未知量。取得，；得原非齊次方程組的一個(gè)特解：簡(jiǎn)化后的階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的齊次方程組為即 ，這里為自由未知量。取得，, ；于是得到對(duì)應(yīng)齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：因此所給原非齊次方程的通解為：，其中為任意常數(shù)。19 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得；證明： 設(shè) ，則由于在0,2上連續(xù)， 從而在上連續(xù)。 因此 在上連續(xù)。又 ；根據(jù)方程根的存在定理知：在(1,2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使由于在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。從而在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。所以 在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。又所以因此在上滿足羅爾定理的條件所以 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 即由于因此存在，使得。20. 設(shè)有一高度為的谷堆，其側(cè)面滿足方程，求該谷堆的側(cè)面積