材料力學(xué) 能量法

1、 能量法第十二章第十二章 能量法能量法1 12 2-1 -1 功能原理功能原理 在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱(chēng)為彈性變形能，簡(jiǎn)稱(chēng)應(yīng)變能。在體內(nèi)積蓄的能量，稱(chēng)為彈性變形能，簡(jiǎn)稱(chēng)應(yīng)變能。 物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的應(yīng)變能在數(shù)物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力在加載過(guò)程中在相應(yīng)位移上所做的功，值上等于外力在加載過(guò)程中在相應(yīng)位移上所做的功，即即Ve e=W 能量法1 12 2-2 -2 桿件應(yīng)變能計(jì)算桿件應(yīng)變能計(jì)算一、軸向拉伸和壓縮一、軸向拉伸和壓縮WV PPll12Pl12PPlEAEAlFEAlP2

2、22N2lxxEAxFVd)(2)(2N 能量法二、扭轉(zhuǎn)二、扭轉(zhuǎn)WV emm12m 122222mmlG Im lG IT lG IppplpxxIGxTVd)(2)(2e 能量法三、彎曲三、彎曲WV e純彎曲：橫力彎曲：lxxIExMVd)(2)(2e12mIElmm21m lEIM lEI2222 能量法 例：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求例：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由端自由端B的撓度。的撓度。 能量法解：解：xPxM)(lxIExMVd2)(2lxIEPx02d2)(P lEI2 36BwPW21，得由WV EIPlwB33)( 能量法 例：試求圖示梁的變形能

3、，并利用功能原理求例：試求圖示梁的變形能，并利用功能原理求C截面的撓度。截面的撓度。 能量法解：解：lxIExMVd2)(2eP bEI laP aEI lb222322232323CwPW21baxIExlPaxIExlPb02220121d2d2P a bEI l2226，得：由WV elEIbPawC3221xlPb2xlPa 能量法1 12 2-3 -3 應(yīng)變能的普遍表達(dá)式應(yīng)變能的普遍表達(dá)式組合變形桿件應(yīng)變能組合變形桿件應(yīng)變能llplxxIExMxxIGxTxxAExFVd)(2)(d)(2)(d)(2)(222N 能量法 例：軸線(xiàn)為半圓形的平面曲桿，作用于例：軸線(xiàn)為半圓形的平面曲桿，

4、作用于A端的集端的集中力中力P垂直于軸線(xiàn)所在的平面。試求垂直于軸線(xiàn)所在的平面。試求A點(diǎn)的垂直位移。點(diǎn)的垂直位移。已知已知GIp、EI為常量。為常量。 能量法解：解：,( )sinMPRWPAV12，得：由WV eAVpPRGIPREI32233RellpRIEMRIGTVd2)(d2)(22TPR( )(cos )13442323P RGIP REIpS 能量法 例：試求圖示四分之一圓曲桿的變形能，并利用功例：試求圖示四分之一圓曲桿的變形能，并利用功能原理求能原理求B截面的垂直位移。已知截面的垂直位移。已知EI 為常量。為常量。 能量法解：解：MPR( )sinWPBV12得：由,WV eBV

5、PREI34RelRIEMVd2)(2(sin )PREIR2022dP REI238 能量法1 12 2-4 -4 互等定理互等定理載荷作用點(diǎn)載荷作用點(diǎn)位移發(fā)生點(diǎn)i j 能量法功的互等定理功的互等定理: :PP112221位移互等定理:若，則得PP121221 能量法 例：求圖示簡(jiǎn)支梁例：求圖示簡(jiǎn)支梁C截面的撓度。截面的撓度。 能量法vC1B221BCmwP解：由功的互等定理IElPmwPC1621得：IElmwC1621由此得： 能量法 例：求圖示懸臂梁中點(diǎn)C處的鉛垂位移C。 能量法vC1B221BCmwP解：由功的互等定理IElPmwPC2221得：IElmwCC821由此得： 能量法例

6、：長(zhǎng)為 l 、直徑為 d 的圓桿受一對(duì)橫向壓力 P 作用，求此桿長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)量。已知E和m。 能量法解：由位移互等定理知，桿的伸長(zhǎng)量等于桿直徑的減小量ldd eedPAEd4PdE 能量法例：已知簡(jiǎn)支梁在均布載荷例：已知簡(jiǎn)支梁在均布載荷 q 作用下，梁的中點(diǎn)撓作用下，梁的中點(diǎn)撓度度 。求梁在中點(diǎn)集中力。求梁在中點(diǎn)集中力P作用下作用下( (見(jiàn)見(jiàn)圖圖) )，梁的撓曲線(xiàn)與梁變形前的軸線(xiàn)所圍成的面積，梁的撓曲線(xiàn)與梁變形前的軸線(xiàn)所圍成的面積A。IEl qw38454A 能量法IEl qPAq38454AIElPA38454 能量法1 12 2-6 -6 虛功原理虛功原理niiiPW1i3PP1P23PP1

7、P2 能量法1.在虛位移中，桿件原有外力、內(nèi)力保持不變，且始終是平衡的；2.虛位移滿(mǎn)足邊界條件和連續(xù)性條件；3.符合小變形要求；4.是實(shí)際發(fā)生的位移。 能量法NF )(dlNFdMMsFsFddd)(ddNsFMlFW內(nèi)dd)(dNsFMlFW內(nèi) 能量法dd)(dNsFMlFW內(nèi)niiiPW1外dd)(dN1sniiiFMlFP 能量法虛功原理： 在虛位移中，外力所做虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛變形上所做虛功（外力虛功等于桿件虛變形能） ddd)(dN1TFMlFPsniii可用于線(xiàn)彈性材料，也可用于非線(xiàn)彈性材料?？捎糜诰€(xiàn)彈性材料，也可用于非線(xiàn)彈性材料。 能量法1 12 2-7 -7 單位載荷法單位載

8、荷法 莫爾積分莫爾積分P1P2C用虛功原理可以導(dǎo)出計(jì)算結(jié)構(gòu)一點(diǎn)位移的單位載荷法 能量法)()(sxMxF)()(sxMxFP1P2CCP01xIExMd)(dlxIExMxMd)()(dQdd)(dN1TMlFPniiid )(1xM 能量法莫爾定理（莫爾積分）莫爾定理（莫爾積分）llplxIExMxMxIGxTxTxAExFxFd)()(d)()(d)()(NN移對(duì)應(yīng)的廣義力移對(duì)應(yīng)的廣義力把單位力看成與廣義位把單位力看成與廣義位應(yīng)看成廣義位移，應(yīng)看成廣義位移，注意：上式中注意：上式中l(wèi)xIExMxMd)()(對(duì)組合變形 能量法例：試用莫爾定理計(jì)例：試用莫爾定理計(jì)算圖算圖( (a) )所示懸臂

9、梁所示懸臂梁自由端自由端B的撓度和轉(zhuǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。角。PABABABlxxx11 能量法11xxMPxxMbB)(,)()(,) 1 (所示如圖截面作用一單位力在解：lBxIExMxMwd)()(PxEIxl20d PlEI331)(,)()(,)2(xMPxxMcB所示如圖截面作用一單位力偶在lBxIExMxMd)()(PxEIxld0PlEI22 能量法 例：計(jì)算圖（例：計(jì)算圖（a a）所示開(kāi)口圓環(huán)在）所示開(kāi)口圓環(huán)在 P力作用下切力作用下切口的張開(kāi)量口的張開(kāi)量 AB 。EI= =常數(shù)。常數(shù)。 能量法)cos1 ()(PRMd0d)()(2RIEMMAB21220PREIR(cos )d33

10、PREI)cos1 ()(RM 能量法F123456AB 已知各桿抗拉壓剛度均為EA，求B點(diǎn)的鉛垂位移。AB1lxAEFFdNNiiilFFAENN1 能量法 桿編號(hào)桿編號(hào) 桿長(zhǎng)桿長(zhǎng)123456iiilFFNNiFNiliFNF123456ABAB1F2l 2Fl0llll 2F2F1F2F0102FlFl22Fl2000EAFllFFiii)223(NN 能量法13-8 13-8 計(jì)算莫爾積分的圖形互乘法計(jì)算莫爾積分的圖形互乘法在應(yīng)用莫爾定理求位移時(shí)，需計(jì)算下列形式的積分：在應(yīng)用莫爾定理求位移時(shí)，需計(jì)算下列形式的積分：lxIExMxMd)()(lxxMxMd )()(對(duì)于等直桿，EI=con

11、st，故只需計(jì)算積分 能量法tg)( xxMlxxMxMd )()(tg xCCM)(xMx)(xMyyCMlxxMxd )(tg 能量法IEMxIExMxMCld)()()(xM)(xMCMC 能量法頂點(diǎn)頂點(diǎn)23lh13lh二次拋物線(xiàn) 能量法例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。 能量法解：解：IEMxIExMxMwClBd)()(12232EIPll PlEI33M 能量法BEIPl1212PlEI22順時(shí)針M 能量法例：試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。例：試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。 能量法解：解：325

12、823222maxlqllIEw 53844qlEIql28/l / 4M 能量法max 1238122EIlqlqlEI324ql28/M 能量法例：試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。例：試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。 能量法解：解：642212maxlPllIEw PlEI348Pl / 4l / 4M 能量法max 112412EIlPlPlEI216Pl / 4M 能量法 例：試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁例：試用圖乘法求所示簡(jiǎn)支梁C截面的撓度和截面的撓度和A、B截截面的轉(zhuǎn)角。面的轉(zhuǎn)角。 能量法解：解： IElmwC162l / 4M 能量法AEIml1213mlEI6

13、順時(shí)針M 能量法BEIml1223mlEI3逆時(shí)針M 能量法例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。 能量法解：解：432312lqllIEwB qlEI48ql22M 能量法BEIlql13212qlEI36順時(shí)針ql22M 能量法 例：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點(diǎn)C處的鉛垂位移。 能量法解：解：mlIEwC812 mlEI28M 能量法 例：用圖乘法求圖示階梯狀梁A截面的轉(zhuǎn)角及E截面的撓度。 能量法解：解：APaEIPaEI22125612162212PaEI2M 能量法12322312133IEPaIEPawE13123PaEIM 能量

14、法 例：圖示梁，抗彎剛度為EI，承受均布載荷q及集中力X作用。用圖乘法求： (1)集中力作用端撓度為零時(shí)的X值； (2)集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時(shí)的X值。 能量法解：解：(1)212322322132aqlaXaaXalIEwC 0ql28/Xqla la38 ()M 能量法(2)CEIXalXaql 122321121223 0ql28/Xqlala3423()M 能量法 例：圖示剛架，EI=const。求A截面的水平位移 AH 和轉(zhuǎn)角A 。 能量法解：解：qa2qa / 2qaqa22AHqaEIqaEI 441423135838 能量法 例：圖示梁的抗彎剛度為例：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求

15、，試求D點(diǎn)的鉛垂點(diǎn)的鉛垂位移。位移。 能量法解：解：32232aPaIEwCPaEI3 能量法 例：圖示開(kāi)口剛架，EI=const。求A、B兩截面的相對(duì)角位移 AB 和沿P力作用線(xiàn)方向的相對(duì)線(xiàn)位移 AB 。 能量法解：解：ABPaEI21813212123233PaEIAB 0 能量法 例：半圓形小曲率曲桿的例：半圓形小曲率曲桿的A端固定，在自由端作端固定，在自由端作用扭轉(zhuǎn)力偶矩用扭轉(zhuǎn)力偶矩m，曲桿橫截面為圓形，其直徑為，曲桿橫截面為圓形，其直徑為d。試求試求B端的扭轉(zhuǎn)角。已知端的扭轉(zhuǎn)角。已知E、。CL12TU13 能量法解：解：RTmMmTM( )cos ,( )sin( )cos ,( )sin00BpTTGIRMMEIR( )( )( )( )0000ddmGIRmEIRpcossin2020ddmRGImREIp22RmGIEIp21132 24()RmEdGE2 1 () 能量法 例：軸線(xiàn)為半圓形的平面曲桿例：軸線(xiàn)為半圓形的平面曲桿, ,位于水平面內(nèi)位于水平面內(nèi), ,在自在自由端受垂直力由端受垂直力P作用。試求自由端作用。試求自由端A的垂直位移、繞的垂直位移、繞x軸軸的轉(zhuǎn)角和繞的轉(zhuǎn)角和繞y軸的轉(zhuǎn)角。已知軸的轉(zhuǎn)角。已知 GIp、EI為常量為常量CL12TU7,14 能量法解：解：(1),( )sinMPR32233PRGIPREIpRAVpll