用向量的方法證明平行與垂直關(guān)系

1、用向量的方法證明平行與垂直關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一：求平面的法向量例 1.已知平面 經(jīng)過(guò)三點(diǎn) A（1,2,3） ，B（2,0 ，1），C（3，2，0），試求平面 的一個(gè)法向 量解: A（1,2,3） ， B（2,0 ，1） ， C（3 ， 2,0） ，uuur AB （1 ， 2， 4） ， AC （1 ， 2， 4） ， 設(shè)平面 的法向量為 n（x ，y，z） uuur 依題意，應(yīng)有 n· AB = 0 ， n · AC = 0.x 2y 4z 0x 2y即 2x4y 3z0，解得 z0令 y 1，則 x2.平面 的一個(gè)法向量為 n （2,1,0） 反思】 用待定系數(shù)法求平面的法向量

2、， 關(guān)鍵是在平面內(nèi)找兩個(gè)不共線(xiàn)向量，列出方程組，取其中一組解 （ 非零向量 ） 即可用向量法”求法向量的解題步驟：（ 1）設(shè)平面的一個(gè)法向量為 n （ x, y, z） ；（ 2）找出（或求出） 平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量的坐標(biāo) a （a1,b1,c1）,b （a2,b2,c2 ）；3）根據(jù)法向量的定義列出方程組n?an?b0；04）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量。練習(xí)：， 如圖所示，已知點(diǎn) A（a,0,0）, B（0,b,0）,C（0,0,c）， 求平面 ABC 的一個(gè)法向量。知識(shí)點(diǎn)二：利用向量方法證平行關(guān)系（1）線(xiàn)線(xiàn)平行：設(shè)直線(xiàn) l1 、 l2的方向向量分別為 a、b，則 l1/l2

3、a/b a b（2）線(xiàn)面平行： 由線(xiàn)面平行的判定定理，只要證明已知直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)的某一向量平行即可； 設(shè)直線(xiàn) l的方向向量為 a，平面 的法向量為 ，則 l/ a a 0； 由共面向量定理知， 只要證已知直線(xiàn)的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量表示即可（3）面面平行：證明兩個(gè)平面的法向量平行，即兩個(gè)平面的法向量 / ；證明一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)的方向向量分別和另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)的方向向 量平行 .例 2在正方體 ABCD A1B1C1D1中， O是B1D1的中點(diǎn)，求證： B1C /面ODC 1 . uuuur uuuur B1C / A1D ，又 A1D 面ODC1 , B1C

4、 面ODC1證方法一： B1C= A1D ， B1C/ 面 ODC1uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur 證法二： B1C =B1C1 + B1B =B1O+OC1+D1O +ODuuuur uuur=OC1+ODuuuur uuuur uuur B1C ，OC1，OD 共面. 又 B1C面 ODC1， B1C面 ODC1.證法三 : 如圖建系空間直角坐標(biāo)系D xyz ，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1 ，則可得B1(1,1,1) ，C(0,1,0) ，O 21， 21， 1 ，C1(0,1,1) ，uuuurB1C ( 1,0 ， 1) ，uuur 1 1OD

5、 2， 2， 1 ，uuuur 1 1OC1 2，2， 0 .設(shè)平面 ODC1的法向量為 n（x 0，y0，z0），11uuur n OD 則 uuuur n OC1 x0 y0 z0 00,22得0,110,2x0 2y00 令 x01，得 y 0 1， z0 1， n （1,1 ， 1） uuuur又 B1C ·n1×10×1 （1）×（ 1）0，uuuur B1C n，B1C平面 ODC1.反思】 證明線(xiàn)面平行問(wèn)題， 可以有三個(gè)途徑， 一是在平面 ODC1 內(nèi)找一向量與 B1C共線(xiàn)；二是說(shuō)明 B1C 能利用平面 ODC1 內(nèi)的兩不共線(xiàn)向量線(xiàn)性表示，

6、三是證明 B1C 與 平面的法向量垂直練 習(xí) ： 如 圖 所 示 ， 矩 形 ABCD 和 梯 形 BEFC 所 在 平 面 互 相 垂 直 ， BE / CF ，BCFCEF 90 ， AD 3 ， EF2. 求證： AE/ 平面 DCF .證明：如圖所示，以點(diǎn) C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 CB、CF和 CD所在直線(xiàn)分別作為 立空間直角坐標(biāo)系 C xyz.x 軸、 y 軸和 z 軸，建設(shè) AB a， BEb， CF c，則 C（0,0,0） ，A（ 3，0，a） ，B（ 3，0,0） ，E（ 3，b,0） ，F(xiàn)（0 ，c,0） uuurAE （0 ， b， a） ， CB （ 3，0,0） ，uuu

7、rBE（0 ，b,0） ，所以u(píng)uur CB ·AE = 0 ，uuur uuurCB · BE = 0 ，從而CBAE，CBBE.所以 CB平面 ABE.因?yàn)?CB平面 DCF，所以平面 ABE平面 DCF.故 AE平面 DCF.知識(shí)點(diǎn)三 利用向量方法證明垂直關(guān)系1）線(xiàn)線(xiàn)垂直：設(shè)直線(xiàn) l1、 l2 的方向向量分別為 a、 b ，則 l1 l2 a b a b 02）線(xiàn)面垂直：設(shè)直線(xiàn) l的方向向量為 a ，平面 的法向量為 ，則 la/ a k由線(xiàn)面垂直的判定定理，只要證明已知直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量垂直。( 3)面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，即兩個(gè)平面的

8、法向量 0 ； 由面面垂直的判定定理可知：只要證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)的方向向量和一個(gè)平面內(nèi) 的兩條相交直線(xiàn)的方向向量垂直 .例 3在正方體 ABCD A1B1C1D1中， E,F 分別是棱 AB, BC的中點(diǎn)，試在棱 BB1上找一點(diǎn)M ，使得 D1M 平面 EFB1.解：建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2，則 E(2,1,0) ， F(1,2,0) ， D1(0,0,2) ， B1(2,2,2) 設(shè) M( 2，2，m)，則uuurEF = （ 1，1， 0），B1E=（0，1，2)，uuuuurD1M = （2，2，m 2）D1M 平面 EFB1， uuuuur uuurD1

9、M · EF = 0 且-2+2=0,m 1，-2-2（m-2）=0,D1M EF， D1M B1E， uuuuur D1M · B1E = 0 ，故取 B1B 的中點(diǎn)為 M就能滿(mǎn)足D1M平面 EFB1.【反思感悟】 證明直線(xiàn)與平面垂直有兩種方法： (1) 用直線(xiàn)與平面垂直的判定 定理； (2) 證明該直線(xiàn)所在向量與平面的法向量平行練習(xí)： 1在正方體 ABCD A1B1C1D1中， E是棱 BC的中點(diǎn)，試在棱 CC1上求一點(diǎn) P，使得平面 A1B1P 平面 C1DE .2在正三棱柱 ABC A1 B1C1中， B1C A1B. 求證： AC1 A1B .證明 建立空間直角坐

10、標(biāo)系 C1xyz ，設(shè) AB a， CC1 b.則 A1 23a，a2，0 ， B（0 ，a， b） ，B1（0 ， a,0） ，C（0,0 ，b） ，A 23a，21a，b ，C1（0,0,0）uuuur 3 1 uuuur uuuur 3 a于是 A1B = 2 a，2a，b B1C =（0， a，b），AC1 2 a， 2， b .uuuur uuuura2 2B1CA1B， B1C · A1B 2b 0,2而 uAu1uCur · uAu1uBur 34a214a2b2a2 b20uuuur uuuur A1C A1B即 AC1A1B. 課堂小結(jié) ： 1用待定系數(shù)法

11、求平面法向量的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（2）設(shè)平面的法向量為 n（x ，y，z） （3）求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量的坐標(biāo)a（a1，b1，c1），b（a 2，b2，c2）a·n 0（4）根據(jù)法向量定義建立方程組 .b·n0（5）解方程組，取其中一解，即得平面的法向量 . 2平行關(guān)系的常用證法uuur AB CD. 證明線(xiàn)面平行可轉(zhuǎn)化為證直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量垂直，然后說(shuō)明直線(xiàn) 在平面外，證面面平行可轉(zhuǎn)化證兩面的法向量平行3垂直關(guān)系的常用證法 要證線(xiàn)線(xiàn)垂直，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的向量垂直 要證線(xiàn)面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這條直線(xiàn)與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)垂直 要證面面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證

12、明兩個(gè)平面的法向量垂直跟蹤練習(xí)：、選擇題uuur1.已知 A（3，5，2），B（-1，2，1），把 AB 按向量 a（2,1,1） 平移后所得的向量是 （)A( 4， 3,0)B（ 4， 3，1）C( 2， 1,0)D（ 2， 2,0）uuur 答案 B AB （4，3， 1）平移后向量的模和方向是不改變的2平面 的一個(gè)法向量為(1,2,0)，平面 的一個(gè)法向量為 （2 ，1,0） ，則平面 與平面 的位置關(guān)系是 （)A平行B相交但不垂直C垂直D不能確定答案 C 解析 (1,2,0) ·（2，1,0） 0，兩法向量垂直，從而兩平面也垂直3從點(diǎn) A（2 ，1,7） 沿向量a(8,9，1

13、2） 的方向取線(xiàn)段長(zhǎng) AB34，則 B點(diǎn)的坐標(biāo)為 （)A （ 9， 7,7）B(18,17 ， 17)答案B解析，設(shè) B（x ，y，z），uuurAB =（x2，y+1，z7) =（8，9， 12 ），>0故 x 2=8 ,y+1=9 ,z 7=12，又（x222+2( y+1 +( z2 272 = 34 2，2 2 得( 17) 2 = 342， >0, =2. x = 18,y =17,z =17,即B（18， 17，17 ) .C (9,7 ， 7)D(14， 19,31)4已知 a（2,4,5） ， b（3 ， x， y）分別是直線(xiàn) l 1、 l 2的方向向量，若 l1l

14、2，則（）15Ax6， y15Bx3，y 215Cx3， y15Dx6，y 22 4 515答案 D解析 l1l2， ab，則有 ，解方程得 x6，y .3 x y25若直線(xiàn) l 的方向向量為 a （1,0,2） ，平面 的法向量為 u（2,0 ，4），則（）B l D l 與 斜交u 2a，a u，l Al C l 答案 B 解析 二、填空題6已知 A(1,112， 1) ， B(2,3,1)，則直線(xiàn) AB的模為 1 的方向向量是 2122uuuruuur答案3，3，3或3， 3， 3 解析，AB =(1，2，2)，| AB | = 3 .uuur模為1 的方向向量是±AB,|AB

15、|7已知平面 經(jīng)過(guò)點(diǎn) O（0,0,0） ，且 e（1,1,1） 是 的法向量， M（x， y， z） 是平面 內(nèi) 任意一點(diǎn)，則 x， y， z 滿(mǎn)足的關(guān)系式是 uuuur答案 xyz0 解析 OM ·e=（x，y，z）·（1，1，1）= x+y+z = 0.8若直線(xiàn) a 和 b 是兩條異面直線(xiàn)，它們的方向向量分別是（1,1,1） 和（2 ，3， 2），則直線(xiàn) a和 b 的公垂線(xiàn) （與兩異面直線(xiàn)垂直相交的直線(xiàn) ）的一個(gè)方向向量是 答案 （1,4 ， 5）（ 答案不唯一 ）解析 設(shè)直線(xiàn) a 和 b 的公垂線(xiàn)的一個(gè)方向向量為 n（x ， y，z） ， a 與 b 的方向向量分別為

16、n·n10，n1，n2，由題意得n·n20，xy z0，即： 2x3y2z0.解之得： y4x，z5x，令 x1，則有 n（1,4 ，5） 三、解答題9已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 2，E、 F分別是 BB1、 DD1的中點(diǎn)， 求證： （1）FC 1平面 ADE；（2） 平面 ADE平面 B1C1F.則有 D(0,0,0) 、A(2,0,0) ， C(0,2,0)， C1(0,2,2) ，E(2,2,1)uuuuruuuruuurF(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以 FC 1=(0，2，1），DA =（2，0，0）， AE = （0，2，（1）設(shè) n

17、1=(x1 , y1 , z 1 ）是平面ADE的法向量uuur則uuuruuur即n1·DA2x1,x1 0,n1 DA ，n1 AE ，uuur得n1·AE2y1z1,z1 2y1,令z12，則 y1 1，所以 n1(0， 1,2) 因?yàn)镕C1·n1 2 2 0，所以 FC1 n1證明FC1平面 ADE.1).如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz，（2）C1B1=（2，0，0），設(shè) n2 = (x 22 , y, z22）是平面 B1C1F 的一個(gè)法向量. 由 n2 FC1,nuuuur2C1B1, 得uuuurn 2·FC 12y2z20,x20,uuuur得得n2·C1B12x20,z22y2,令 z2 2 得y21，所以 n2（0 ， 1,2） ，因?yàn)閚1 n2，所以平面ADE平面 B1C1F.ABBC，ABBC2，BB11，E為 BB1的中點(diǎn)，又因?yàn)?FC1 平面 ADE，所以 uuuur10如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， 求證：平面 AEC1平面 AA1C1C10證明：由題建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，0，1），C（0，2，0） ，C1（ 0，2，1）