工業(yè)機(jī)器人技術(shù)第5講

1、2021-11-161 第四章 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人是主動(dòng)機(jī)械裝置，原則上，它的每個(gè)自由度都具有單獨(dú)傳機(jī)器人是主動(dòng)機(jī)械裝置，原則上，它的每個(gè)自由度都具有單獨(dú)傳動(dòng)。從控制的觀點(diǎn)來看，機(jī)械手系統(tǒng)是冗余、多變量和本質(zhì)非線性動(dòng)。從控制的觀點(diǎn)來看，機(jī)械手系統(tǒng)是冗余、多變量和本質(zhì)非線性的自動(dòng)控制系統(tǒng)，也是復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)耦合系統(tǒng)。每個(gè)控制任務(wù)本身的自動(dòng)控制系統(tǒng)，也是復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)耦合系統(tǒng)。每個(gè)控制任務(wù)本身就是一個(gè)動(dòng)力學(xué)任務(wù)。因此研究機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)問題就是為了進(jìn)一就是一個(gè)動(dòng)力學(xué)任務(wù)。因此研究機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)問題就是為了進(jìn)一步討論控制問題。步討論控制問題。為使機(jī)器人連桿加速，驅(qū)動(dòng)器必須有足夠大的力和力矩來驅(qū)動(dòng)機(jī)器人連桿

2、和關(guān)節(jié)，以使他們能以期望的加速度和速度運(yùn)動(dòng)，否則連桿將因運(yùn)動(dòng)遲緩而損失機(jī)器人的位置精度。因此必須建立決定機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系方程，用來計(jì)算每個(gè)驅(qū)動(dòng)器所需的驅(qū)動(dòng)力。2021-11-162 第四章 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方法：方法：1 1 牛頓牛頓歐拉法；歐拉法；2 2 拉格朗日方法。拉格朗日方法。 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程可以確定機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，但實(shí)際上除最簡單的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程可以確定機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，但實(shí)際上除最簡單的情況外，求解機(jī)器人的全部動(dòng)力學(xué)方程幾乎是不可能的。情況外，求解機(jī)器人的全部動(dòng)力學(xué)方程幾乎是不可能的。作用：作用：1 確定力和力矩，以便在機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)上產(chǎn)生期望的加速度；確定力和力矩，以便在機(jī)器人

3、連桿和關(guān)節(jié)上產(chǎn)生期望的加速度；2 考察不同負(fù)載對(duì)機(jī)器人的影響及根據(jù)期望的加速度來考察某些負(fù)載的重要性；考察不同負(fù)載對(duì)機(jī)器人的影響及根據(jù)期望的加速度來考察某些負(fù)載的重要性；2021-11-163 第四章 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)牛頓歐拉法從運(yùn)動(dòng)學(xué)出發(fā)求得加速度，并消去各內(nèi)作用力。拉格牛頓歐拉法從運(yùn)動(dòng)學(xué)出發(fā)求得加速度，并消去各內(nèi)作用力。拉格朗日方法，它只需要速度而不必求內(nèi)作用力，是比較直接的方法。朗日方法，它只需要速度而不必求內(nèi)作用力，是比較直接的方法。對(duì)于動(dòng)力學(xué)，有兩個(gè)相反的問題：一是動(dòng)力學(xué)的正問題：已知機(jī)對(duì)于動(dòng)力學(xué)，有兩個(gè)相反的問題：一是動(dòng)力學(xué)的正問題：已知機(jī)械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度

4、和加速度。主械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度。主要應(yīng)用于仿真研究；二是動(dòng)力學(xué)的逆問題：已知機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡，要應(yīng)用于仿真研究；二是動(dòng)力學(xué)的逆問題：已知機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡，即各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度求各關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動(dòng)力或力矩。即各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度求各關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動(dòng)力或力矩。主要是實(shí)時(shí)控制的需要主要是實(shí)時(shí)控制的需要 一般機(jī)器人的動(dòng)態(tài)方程由一般機(jī)器人的動(dòng)態(tài)方程由6個(gè)非線性微分方程聯(lián)立表示，實(shí)際上個(gè)非線性微分方程聯(lián)立表示，實(shí)際上除了一些簡單的情況外，不可能求得方程的一般解。在實(shí)際控除了一些簡單的情況外，不可能求得方程的一般解。在實(shí)際控制時(shí)往往對(duì)動(dòng)態(tài)方程作出某些假設(shè)，進(jìn)

5、行簡化處理制時(shí)往往對(duì)動(dòng)態(tài)方程作出某些假設(shè)，進(jìn)行簡化處理。2021-11-1644.1 慣性矩 首先，在圖首先，在圖41里通過把質(zhì)點(diǎn)的平移運(yùn)動(dòng)改作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的分析，里通過把質(zhì)點(diǎn)的平移運(yùn)動(dòng)改作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的分析，來了解慣性矩的物理意義。來了解慣性矩的物理意義。 若將力若將力f作用到質(zhì)量為作用到質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)時(shí)的平移運(yùn)動(dòng)，看的質(zhì)點(diǎn)時(shí)的平移運(yùn)動(dòng)，看作是運(yùn)動(dòng)方向的標(biāo)量，則作是運(yùn)動(dòng)方向的標(biāo)量，則可以表示為：可以表示為： fxm 式中：式中： 表示加速度。若把這一運(yùn)動(dòng)看作是質(zhì)量可以忽略的棒長為表示加速度。若把這一運(yùn)動(dòng)看作是質(zhì)量可以忽略的棒長為r的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則得到加速度和力的關(guān)系式為：的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則得到加速度和力的

6、關(guān)系式為： x rxrnf 2021-11-1654.1 慣性矩 式中，式中， 和和n是繞軸回轉(zhuǎn)的角加速度和慣性力矩，將是繞軸回轉(zhuǎn)的角加速度和慣性力矩，將 和和f f代入上代入上式得：式得： 令令 ，上式上式可以變?yōu)椋嚎梢宰優(yōu)椋?（41） nmr 22mri in式（式（41）是質(zhì)點(diǎn)繞固定軸進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程式，）是質(zhì)點(diǎn)繞固定軸進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程式，i相相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量，稱為慣性矩。當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量，稱為慣性矩。求質(zhì)量連續(xù)分布物體的慣性矩時(shí)，可以將其分割成假想的微小物求質(zhì)量連續(xù)分布物體的慣性矩時(shí)，可以將其分割成假想的微小物體，然后將微小物體的慣性矩加在一起，這時(shí)，微小物體的質(zhì)量體

7、，然后將微小物體的慣性矩加在一起，這時(shí)，微小物體的質(zhì)量dm及其微小物體體積及其微小物體體積dv的關(guān)系可用密度的關(guān)系可用密度 表示為：表示為： x 2021-11-1664.1 慣性矩 那么，它的慣性矩為：那么，它的慣性矩為： dvdmdvrdmrdi22整個(gè)物體的慣性矩可用下式表示：整個(gè)物體的慣性矩可用下式表示： dvrdii2（42） 例例4.1 4.1 求圖求圖4 42 2所示質(zhì)量為所示質(zhì)量為m m，長度為長度為l l的勻質(zhì)桿（粗細(xì)忽略），的勻質(zhì)桿（粗細(xì)忽略），繞其一端回轉(zhuǎn)時(shí)的慣性矩繞其一端回轉(zhuǎn)時(shí)的慣性矩i i。 2021-11-1674.1 慣性矩 例例4 42 2 試求上例的桿繞重心回

8、轉(zhuǎn)時(shí)的慣性矩試求上例的桿繞重心回轉(zhuǎn)時(shí)的慣性矩i ic c。解：由于該桿是重心位于中心的勻質(zhì)桿，因此，可先就桿的一半解：由于該桿是重心位于中心的勻質(zhì)桿，因此，可先就桿的一半來求解，然后再加倍即可。假定來求解，然后再加倍即可。假定x x為離桿中心的距離，則得到：為離桿中心的距離，則得到： 解：微小物體的質(zhì)量用線密度解：微小物體的質(zhì)量用線密度 （m/lm/l）表示，所以其慣性矩表示，所以其慣性矩為為 。因此將。因此將didi在長度方向積在長度方向積分，即可得到：分，即可得到： 20302313mlxlmdxxill2203202121322mlxlmdxxillcdxx22021-11-1684.2

9、 牛頓、歐拉運(yùn)動(dòng)方程式 圖圖4 43 3所示的單一剛體的運(yùn)動(dòng)方程式可用下式來表示：所示的單一剛體的運(yùn)動(dòng)方程式可用下式來表示： （43） 式中，式中，m m（標(biāo)量）是剛體的質(zhì)量；標(biāo)量）是剛體的質(zhì)量； 是繞重心是繞重心c c的慣性矩陣；的慣性矩陣；f fc c是作用于重心的平動(dòng)力；是作用于重心的平動(dòng)力；n n是慣性力是慣性力矩；矩；vcvc是重心的平移速度；是重心的平移速度； 為角速為角速度。式（度。式（4 43 3）及式（）及式（4 44 4）分別被稱為牛頓運(yùn)動(dòng)方程式及歐拉）分別被稱為牛頓運(yùn)動(dòng)方程式及歐拉運(yùn)動(dòng)方程式。運(yùn)動(dòng)方程式。icic的各元素表示對(duì)應(yīng)的力矩元素和角加速度元素間的的各元素表示對(duì)應(yīng)

10、的力矩元素和角加速度元素間的慣性矩。慣性矩。ccfvmniicc)(（44） 33ric2021-11-1694.2 牛頓、歐拉運(yùn)動(dòng)方程式 下面我們來求圖下面我們來求圖4 44 4所示所示1 1自由度機(jī)械自由度機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方程式。這種場合，由于關(guān)節(jié)軸手的運(yùn)動(dòng)方程式。這種場合，由于關(guān)節(jié)軸制約連桿的運(yùn)動(dòng)，所以可以把式（制約連桿的運(yùn)動(dòng)，所以可以把式（4 44 4）的運(yùn)動(dòng)方程式看作是繞固定軸的運(yùn)動(dòng)。假的運(yùn)動(dòng)方程式看作是繞固定軸的運(yùn)動(dòng)。假定繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩為定繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩為i i，取垂直紙面的取垂直紙面的方向?yàn)榉较驗(yàn)閦 z軸，則得到：軸，則得到： ii000000000ii2021-11-16104

11、.2 牛頓、歐拉運(yùn)動(dòng)方程式 式中：式中：g g為重力常數(shù)；為重力常數(shù)； 是在第三行第三列上是在第三行第三列上具有繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩陣，把這些公式代入（具有繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩陣，把這些公式代入（4 44 4），），提取只有提取只有z z分量的回轉(zhuǎn)則得到：分量的回轉(zhuǎn)則得到： cos00cmgln33ri2021-11-16114.2 牛頓、歐拉運(yùn)動(dòng)方程式 式中：式中：（4 45 5）coscmgli 2ccmlii對(duì)于一般形式的連桿，由于對(duì)于一般形式的連桿，由于i i 除第三分量以外，其它分量皆不除第三分量以外，其它分量皆不為零，所以為零，所以 i i 不是零向量。不是零向量。 i i 的第的第1 1

12、，2 2分量成了改變軸分量成了改變軸方向的力矩，但在固定軸的場合，與這個(gè)力矩平衡的約束力生成方向的力矩，但在固定軸的場合，與這個(gè)力矩平衡的約束力生成式式n n的第的第1 1，2 2分量，不產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。分量，不產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。由于機(jī)器人是具有分布質(zhì)量的三維、多自由度機(jī)構(gòu)，利用牛頓由于機(jī)器人是具有分布質(zhì)量的三維、多自由度機(jī)構(gòu)，利用牛頓力學(xué)建模非常困難，拉格朗日力學(xué)成為主要的動(dòng)力學(xué)分析方法。力學(xué)建模非常困難，拉格朗日力學(xué)成為主要的動(dòng)力學(xué)分析方法。 2021-11-16124.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式僅僅包涵能量拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式僅僅包涵能量項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)變量和時(shí)間的微分，結(jié)構(gòu)簡單，項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)變量和

13、時(shí)間的微分，結(jié)構(gòu)簡單，因此多數(shù)教科書利用該方程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)因此多數(shù)教科書利用該方程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)。推導(dǎo)。 拉格朗日力學(xué)以兩個(gè)方程為基礎(chǔ)：拉格朗日力學(xué)以兩個(gè)方程為基礎(chǔ)：一個(gè)是直線運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)針對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。一個(gè)是直線運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)針對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。2021-11-16134.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式可表示為：拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式可表示為： （4 46 6）（4 47 7）式中，式中，q是廣義坐標(biāo)，是廣義坐標(biāo)， 是廣義力，當(dāng)為直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，是廣義力，當(dāng)為直線運(yùn)動(dòng)時(shí)， 為力的為力的單位，當(dāng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它為力矩的單位。單位，當(dāng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它為力矩的單位。拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式也可拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式也可表示

14、為：表示為： qlqddldtdpkl這里，這里，l l是拉格朗日算子；是拉格朗日算子；k k是動(dòng)能；是動(dòng)能；p p是勢能。是勢能。 2021-11-16144.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 例：用拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式推導(dǎo)下圖所示的單自由例：用拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式推導(dǎo)下圖所示的單自由度系統(tǒng)力和加速度的關(guān)系，車輪的質(zhì)量忽略不計(jì)：度系統(tǒng)力和加速度的關(guān)系，車輪的質(zhì)量忽略不計(jì)： 小車的動(dòng)能為：小車的動(dòng)能為：拉格朗日算子為：拉格朗日算子為：小車系統(tǒng)的勢能為：小車系統(tǒng)的勢能為： 222121xmmvk221kxp 222121kxxmpkl2021-11-16154.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 kxxl拉格朗日函數(shù)的導(dǎo)

15、數(shù)為：拉格朗日函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為： 因此小車系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：因此小車系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為： xmxlxmxmdtd )(kxxmf 2021-11-16164.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 現(xiàn)就前面講的現(xiàn)就前面講的1 1自由度機(jī)械手來具體求解。假定自由度機(jī)械手來具體求解。假定 為廣義坐標(biāo)，為廣義坐標(biāo)，則有：則有： 由于由于 221ik sincmglpilsin212cmglilcoscmgll（4 48 8） 2021-11-16174.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 所以用所以用 置換式（置換式（4 46 6）的廣義坐標(biāo)后得到下式：）的廣義坐標(biāo)后得到下式： （4 49 9） coscmgli 它與前面的結(jié)果完全

16、一致。它與前面的結(jié)果完全一致。下面推導(dǎo)圖下面推導(dǎo)圖4 45 5所示的所示的2 2自由度自由度機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方程式。機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方程式。在推導(dǎo)時(shí)，把在推導(dǎo)時(shí)，把 1 1， 2 2當(dāng)作廣義當(dāng)作廣義坐標(biāo)，坐標(biāo)， 1 1， 2 2當(dāng)作廣義力求拉格當(dāng)作廣義力求拉格朗日算子，代入式（朗日算子，代入式（4 46 6）即可）即可得到。得到。 2021-11-16184.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 第第1 1個(gè)連桿的動(dòng)能個(gè)連桿的動(dòng)能k k1 1、勢能勢能p p1 1可分別表示為：可分別表示為： 21111112121cctcippmk1111sglmpc22122222)(2121cctcippmk)(1221122

17、slslgmpc（4 41010） 2021-11-16194.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 式中，式中， 是第是第i i個(gè)連桿質(zhì)量中心的位置向量。個(gè)連桿質(zhì)量中心的位置向量。 tciycixcippp,111clpcxc111slpcyc122112clclpcxc122112slslpcyc（4 41111） 2021-11-16204.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 應(yīng)該注意到各連桿的動(dòng)能可用質(zhì)量中心平移運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和繞應(yīng)該注意到各連桿的動(dòng)能可用質(zhì)量中心平移運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和繞質(zhì)量中心回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和來表示。質(zhì)量中心回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和來表示。由式（由式（4 41111），得到式（），得到式（4 41010）中

18、的質(zhì)量中心速度平方和）中的質(zhì)量中心速度平方和為：為： 利用式（利用式（4 41010）和式（）和式（4 41212），（），（4 41313），通過下式），通過下式 （4 41212） （4 41313） 212111cctclpp)(2)(212122122122212122cllllppccctc2021-11-16214.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 式中：式中： 可求出拉格朗日算子可求出拉格朗日算子l l，把它代入式（把它代入式（4 46 6）的拉格朗日運(yùn)動(dòng)）的拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式，整理后可得：方程式，整理后可得： 2121ppkkl)(),()(gcm 22211211)(mmmmm21),

19、(ccc21)(ggg2021-11-16224.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 （4 43737） 22212221212111)2(1ccccicllllmilmmc222122212)(ccciclllmm1221mm222222ccilmm)2(212222121sllmcc2021-11-16234.3 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式 是慣性力；是慣性力； 是離心力；是離心力； 表示加在機(jī)械手上的重力表示加在機(jī)械手上的重力項(xiàng)，項(xiàng)，g g是重力加速度常數(shù)。是重力加速度常數(shù)。對(duì)于多于對(duì)于多于3 3個(gè)自由度的機(jī)械手，也可用同樣的方法推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方個(gè)自由度的機(jī)械手，也可用同樣的方法推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程式，但隨自由度的增

20、多演算量將急劇增加。程式，但隨自由度的增多演算量將急劇增加。 2122122sllmcc)(1221121111clclgmcglmgcc12222cglmgc )(m),( c)(g2021-11-16244.4 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程 n 在分析了二連桿機(jī)械手的基礎(chǔ)上，我們分析由一組a變換描述的任何機(jī)械手，求其動(dòng)力學(xué)方程。分以下5步進(jìn)行推導(dǎo)：n（1） 計(jì)算任一連桿上任一點(diǎn)的速度；n（2） 計(jì)算各連桿的動(dòng)能和機(jī)械手的總動(dòng)能；n（3） 計(jì)算各連桿的位能和機(jī)械手的總位能；n（4） 建立機(jī)械手系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)；n（5）對(duì)拉格朗日函數(shù)求導(dǎo)，以得到動(dòng)力學(xué)方程。2021-11-16254.4 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方

21、程 n下圖表示一個(gè)四連桿機(jī)械手的結(jié)構(gòu)。我們先從這個(gè)例子出發(fā)，求得此機(jī)械手某個(gè)連桿（例如連桿3）上某一點(diǎn)（p）的速度、質(zhì)點(diǎn)和機(jī)械手的動(dòng)能與位能、拉格朗日算子，求系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。然后，由特殊到一般，導(dǎo)出任何機(jī)械手的速度、動(dòng)能、位能和動(dòng)力學(xué)方程的一般表達(dá)式。2021-11-16264.4 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程 2021-11-16274.4.1 速度的計(jì)算n 圖中連桿3上點(diǎn)p的位置為：pprtr330式中，為基坐標(biāo)系中的位置矢量；為局部（相對(duì)關(guān)節(jié)o3）坐標(biāo)系中的位置矢量；t3為變換矩陣，包括旋轉(zhuǎn)和平移變換。對(duì)于任一連桿i上的一點(diǎn)，其位置為：pr0pr32021-11-16284.4.1 速度的計(jì)算點(diǎn)p

22、的速度為rtrii0（4.14）pppprtrtdtdrdtdv333300)()(jjjqqtdtdtt31333pjjjprqqtv33130)(2021-11-16294.4.1 速度的計(jì)算對(duì)于連桿i上任一點(diǎn)的速度為：（4.15）rqqtdtdrviijjj13)(p點(diǎn)的加速度pkjjkkjpjjjpkjjkkjpjjjpjjjppprqqqqtrqqtrqqqqtrqdtdqtrqqtdtdrtdtdvdtda331313233133313132331333133300)()()()()()()( 2021-11-16304.4.1 速度的計(jì)算速度的平方：對(duì)于任一機(jī)械手上一點(diǎn)的速度平方為(4.16)2021-11-16314.4.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算令連桿3上任一質(zhì)點(diǎn)p的質(zhì)量為dm，則其動(dòng)能為：任一機(jī)械手連桿i上位置矢量的質(zhì)點(diǎn)，其動(dòng)能為ri2021-11-16324.4.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算對(duì)連桿3積分dk3，得連桿3的動(dòng)能為：式中，積分稱為連