均差與牛頓插值公式

1、12.3 2.3 均差與牛頓插值公式均差與牛頓插值公式 2.3.1 2.3.1 均差及其性質(zhì)均差及其性質(zhì) 利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式，公利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)時(shí)全部插值基函數(shù) 均要隨之變化，整個(gè)均要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化公式也將發(fā)生變化. .), 1 ,0)(nkxlk2)()()(102010 xxxxaxxaaxPn),()(10nnxxxxa其中其中 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)，naaa,10), 1 ,0()(njfxPjjn確

2、定確定. . 為了克服這一缺點(diǎn)，可把插值多項(xiàng)式表示為如下便于為了克服這一缺點(diǎn)，可把插值多項(xiàng)式表示為如下便于計(jì)算的形式計(jì)算的形式: :可由可由 個(gè)插值條件個(gè)插值條件1n下面我們來確定這些系數(shù)的值下面我們來確定這些系數(shù)的值.3 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 0 xx .)(000faxPn 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1xx .01011xxffa.12010102022xxxxffxxffa依此遞推可得到依此遞推可得到 . . naa,3 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2xx 21202202102)()()(fxxxxaxxaaxPn推得推得推得推得101101)()(fxxaaxPn由由 ，由由為了得到系數(shù)為了得到系數(shù)ak的一般表達(dá)式

3、，我們引入了的一般表達(dá)式，我們引入了均差均差定義。定義。4 稱稱 為函數(shù)為函數(shù) 關(guān)關(guān)于點(diǎn)于點(diǎn) 的的一階均差一階均差. . 000)()(,xxxfxfxxfkkk)(xfkxx ,0110010,xxxxfxxfxxxfkkk稱為稱為 的的二階均差二階均差. .)(xf定義定義顯然，二階均差為一階均差的均差。顯然，二階均差為一階均差的均差。511102010,kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf 一般地，稱一般地，稱為為 的的 階均差階均差k)(xf（均差也稱為差商）（均差也稱為差商）. .6均差的基本性質(zhì)：均差的基本性質(zhì)： 1均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，稱為均差的均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，

4、稱為均差的對(duì)稱性對(duì)稱性. . .,0120110 xxxfxxxxfxxxfkkk即即7 2 2.,010110 xxxxfxxfxxxfkkkk11102010,kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf證明：證明：10kxx01xxk均差的表達(dá)到底有沒有規(guī)律均差的表達(dá)到底有沒有規(guī)律?8 3 3 若若 在在 上存在上存在 階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點(diǎn)階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點(diǎn))(xf,ban,10baxxxn.,!)(,)(10banfxxxfnn則則 階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下：階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下：n9作作輔輔助函助函數(shù)數(shù))(t0)(0)(xxi1, 1 , 0ni顯顯然然 共共n+1個(gè)個(gè)零點(diǎn)。零點(diǎn)。)( t)( t)(

5、)(tn),(10nxx由由Roll定理有定理有有有n個(gè)個(gè)零點(diǎn)，零點(diǎn)，有有n1個(gè)個(gè)零點(diǎn)，零點(diǎn)，有一有一個(gè)個(gè)零點(diǎn)。零點(diǎn)。，則則有有令該零點(diǎn)為令該零點(diǎn)為)()(,)()()(1101101nnnxtxtxtxxxxftNtft證明：證明：100!,)()()(110)(1)()(nxxxxfNfnnnnn!)(,)(110nfxxxxfnn!)(,)(110nfxxxxfnnn因?yàn)樯鲜綄?duì)任意因?yàn)樯鲜綄?duì)任意,bax成立，取成立，取得到得到nxx 11,)(,)(,)(,)()()(4321043214324344321032132332102122101100 xxxxxfxxxxfxxxfxxfx

6、fxxxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfxxfxkk四階均差三階均差二階均差一階均差 均差的計(jì)算均差的計(jì)算: :均差表均差表12例：設(shè)例：設(shè)f(x)x7+5x3+1，求均差，求均差f20,21， f20,21,22，f20,21,27， f20,21,28.解：解： f(20)=7, f(21)=169, f(22)=16705162716922)2()2(2 ,2010110fff826821691670522)2()2(2 ,2121221fff1! 7! 7! 7)(2 ,2 ,2 ,2)7(7210ff0! 80! 8)(2 ,2 ,2 ,2)8(8210

7、ff270231628268222 ,22 ,22 ,2 ,2021021210fff13 2.3.2 2.3.2 牛頓插值公式牛頓插值公式 根據(jù)均差定義，把根據(jù)均差定義，把 看成看成 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，x,ba),(,)()(000 xxxxfxfxf),(,110100 xxxxxfxxfxxf).(,101010nnnnxxxxxxfxxxfxxxf可得可得14只要把后一式代入前一式，就得到只要把后一式代入前一式，就得到 )(,)()(0100 xxxxfxfxf)(,10210 xxxxxxxf),()(xRxNnn)(,)()(0100 xxxxfxfxNn)(,10210 xxxxx

8、xxf其中其中 )()(,1010nnxxxxxxxf)(,10 xxxxfnn),()(,1010nnxxxxxxxf),(,)()()(10 xxxxfxNxfxRnnnn返回到牛頓前插公式1 是我們希望的形式是我們希望的形式2 過過n+1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)3 次數(shù)不超過次數(shù)不超過n次次15 顯然，由上面式子確定的多項(xiàng)式顯然，由上面式子確定的多項(xiàng)式 滿足插值條件，滿足插值條件，)(xNn且次數(shù)不超過且次數(shù)不超過 ，n)., 1 , 0(,0nkxxfakk稱稱 為為牛頓（牛頓（NewtonNewton）均差插值多項(xiàng)式）均差插值多項(xiàng)式. . )(xNn 系數(shù)系數(shù) 就是均差前面表中加橫線的各階均差，它就

9、是均差前面表中加橫線的各階均差，它比拉格朗日插值計(jì)算量省，且便于程序設(shè)計(jì)比拉格朗日插值計(jì)算量省，且便于程序設(shè)計(jì). .ka其系數(shù)為其系數(shù)為 16 但這里的余項(xiàng)更有但這里的余項(xiàng)更有一般性一般性，它在，它在 是由是由離散點(diǎn)給離散點(diǎn)給出出的情形或的情形或 導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)也是適用的時(shí)也是適用的. .ff 為插值余項(xiàng)為插值余項(xiàng). .)(xRn),(,)()()(10 xxxxfxNxfxRnnnn思考思考: 由相同的由相同的N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)得到的個(gè)節(jié)點(diǎn)得到的Ln(x)和和Nn(x)是不是不是相同的是相同的?17實(shí)際上由插值多項(xiàng)式的唯一性知實(shí)際上由插值多項(xiàng)式的唯一性知)()(xNxLnn因此，它們對(duì)應(yīng)的

10、余項(xiàng)也是相等的，即因此，它們對(duì)應(yīng)的余項(xiàng)也是相等的，即)!1()(,)1(10nfxxxxfnn)!1()(,)1(110nfxxxxfnnn取取得到得到1nxx),()!1()()(,1)1(110 xnfxxxxxfnnnn均差的基本性質(zhì)均差的基本性質(zhì)3的另一種證明方法的另一種證明方法:18插值節(jié)點(diǎn)的選擇：插值節(jié)點(diǎn)的選擇：已知已知f(x)的的m個(gè)點(diǎn)的值，如果要求不高于個(gè)點(diǎn)的值，如果要求不高于n（m）次的）次的牛頓插值多項(xiàng)式，那么如何選取插值節(jié)點(diǎn)呢？牛頓插值多項(xiàng)式，那么如何選取插值節(jié)點(diǎn)呢？)()(,)(,)()()(10010nnnnnnxxxxxxxxxfxxxxfxNxfxR顯然，要求不高

11、于顯然，要求不高于n次的牛頓插值多項(xiàng)式，需要次的牛頓插值多項(xiàng)式，需要n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)。個(gè)插值節(jié)點(diǎn)。為了使插值余項(xiàng)最小，那么選擇的插值節(jié)點(diǎn)為了使插值余項(xiàng)最小，那么選擇的插值節(jié)點(diǎn)xi應(yīng)該盡量應(yīng)該盡量離插值點(diǎn)離插值點(diǎn)x近。近。因此，我們先將所有的點(diǎn)按離插值點(diǎn)因此，我們先將所有的點(diǎn)按離插值點(diǎn)x的距離從小到大的距離從小到大排序，然后選擇前排序，然后選擇前n+1個(gè)作為插值節(jié)點(diǎn)。個(gè)作為插值節(jié)點(diǎn)。190.000120.031260.228630.524931.515330.031340.213000.433481.384100.197330.358931.275730.280001.186001.11600五

12、階均差四階均差三階均差二階均差一階均差 首先根據(jù)給定函數(shù)表造出均差表首先根據(jù)給定函數(shù)表造出均差表. . 給出給出 的函數(shù)表（見表的函數(shù)表（見表2-22-2），求），求4 4次牛頓插次牛頓插值多項(xiàng)式，并由此計(jì)算值多項(xiàng)式，并由此計(jì)算 的近似值的近似值. .)596.0(f)(xf25382. 105. 102652. 190. 088811. 080. 069675. 065. 057815. 055. 040. 00.410752表2)f(xxkk例例20)55. 0)(4 . 0(28. 0)4 . 0(116. 141075. 0)(4xxxxN)65. 0)(55. 0)(4 . 0(19

13、733. 0 xxx于是于是 ,63192.0)596.0()596.0(4 Nf),8 . 0)(65. 0)(55. 0)(4 . 0(03134. 0 xxxx 按牛頓插值公式，將數(shù)據(jù)代入按牛頓插值公式，將數(shù)據(jù)代入選插值節(jié)點(diǎn)選插值節(jié)點(diǎn),選擇前五個(gè)選擇前五個(gè)21截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 .1063.3)596.0(,)(95504xxfxR這說明截?cái)嗾`差很小，可忽略不計(jì)這說明截?cái)嗾`差很小，可忽略不計(jì). . ,40 xxxf注意，這里注意，這里,50 xxf用用近似。近似。22帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式（補(bǔ)充）帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式（補(bǔ)充） 定義：定義： 作插值多項(xiàng)式時(shí)，若還知道節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，作插值

14、多項(xiàng)式時(shí)，若還知道節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，該節(jié)點(diǎn)被稱為重節(jié)點(diǎn)，若還知道它的該節(jié)點(diǎn)被稱為重節(jié)點(diǎn)，若還知道它的k階導(dǎo)數(shù)值則稱為階導(dǎo)數(shù)值則稱為K+1重節(jié)點(diǎn)，之所以稱為重節(jié)點(diǎn)是因?yàn)樵摴?jié)點(diǎn)要連續(xù)重節(jié)點(diǎn)，之所以稱為重節(jié)點(diǎn)是因?yàn)樵摴?jié)點(diǎn)要連續(xù)占幾個(gè)編號(hào)，占幾個(gè)編號(hào)，K+1重節(jié)點(diǎn)占重節(jié)點(diǎn)占K+1個(gè)編號(hào)。個(gè)編號(hào)。牛頓插值多項(xiàng)式優(yōu)點(diǎn)之一就是可以帶重節(jié)點(diǎn)。牛頓插值多項(xiàng)式優(yōu)點(diǎn)之一就是可以帶重節(jié)點(diǎn)。 帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式的生成表和不帶重帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式的生成表和不帶重節(jié)點(diǎn)的類似，不同之處在例子中具體說明。節(jié)點(diǎn)的類似，不同之處在例子中具體說明。23,lim,)1(00000)1(0 xxfxxfxxdef)()()(li

15、m00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx,1010 xxxxfdxdxxxxxfnn!)(,0)(1000nxfxxxfnn 個(gè)定義（重節(jié)點(diǎn)均差）定義（重節(jié)點(diǎn)均差）: 類似的有類似的有（1）（2）重節(jié)點(diǎn)均差是通過均差極限定義的，如重節(jié)點(diǎn)均差是通過均差極限定義的，如24)(4xN)5 . 1 (4N例例已知已知并計(jì)并計(jì)算算的的值值。2) 1 (f2) 1 ( f2)2(f3)2( f求求f(x)的一不高于的一不高于4次的牛頓插值多項(xiàng)式次的牛頓插值多項(xiàng)式 ,1x 2x 解解 本例中本例中和和都是都是2重重節(jié)節(jié)點(diǎn)，其點(diǎn)，其編號(hào)編號(hào)分分別為別為1、2和和3、4. 作帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓均差表

16、（數(shù)字為紅色者是已知導(dǎo)數(shù)值，作帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓均差表（數(shù)字為紅色者是已知導(dǎo)數(shù)值，用它們直接代替一階均差值）。用它們直接代替一階均差值）。ixiyi一階 二階 三階 四階001112212 3224221)0(f12031-23-1.553.2525)2() 1(25. 3) 1(5 . 1) 1(1)(224xxxxxxxxxN087125. 2)5 . 0(5 . 05 . 125. 35 . 05 . 15 . 15 . 05 . 15 . 11)5 . 1 (224N由差商表計(jì)算結(jié)果知由差商表計(jì)算結(jié)果知: 26)(4xN例例已知已知1)0( f2)0( f3)0( f3) 1 (f求求f(x)的一不高于的一不高于4次的牛頓插值多項(xiàng)式次的牛頓插值多項(xiàng)式 .解解 本例中本例中x=0 是是4重重節(jié)節(jié)點(diǎn)，其點(diǎn)，其編號(hào)編號(hào)分分別為別為0、1、2和和3. 作帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓差商表。作帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓差商表。ixiyi一階二階三階四階0011011/1!=12011/1!=1 2/2!=13011/1!=12/2!=13/3!=0.5413210-0.51)0(f2743245 . 05 . 01)(xxxxxN由差商表計(jì)算結(jié)果知由差商表計(jì)算結(jié)果知: 28插值余項(xiàng)更有一般性，它函數(shù)是由離散點(diǎn)給出的插