高中積分微分知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題及答案

1、積分和微分積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種1、不定積分設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù),我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)f(x)+c（c為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分. 記作f(x)dx.其中叫做積分號(hào), f(x)叫做被積函數(shù), x叫做積量,f(x)dx叫做被積式,c叫做積分常數(shù),求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分.由定義可知：求函數(shù)f(x)的不定積分,就是要求出f(x)的所有的原函數(shù),由原函數(shù)的性質(zhì)可知,只要求出函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù),再加上任意的常數(shù)c,就得到函數(shù)f(x)的不定積分.也可以表述成,積分是微分的逆運(yùn)算,即知道了導(dǎo)函數(shù),求原函數(shù).2、定積分眾所

2、周知,微積分的兩大部分是微分與積分.微分實(shí)際上是求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而積分是已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求這一函數(shù).所以,微分與積分互為逆運(yùn)算.實(shí)際上,積分還可以分為兩部分.第一種,是單純的積分,也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù),而若f(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x),那么f(x)+c（c是常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)也是f(x),也就是說,把f(x)積分,不一定能得到f(x),因?yàn)閒(x)+c的導(dǎo)數(shù)也是f(x),c是無窮無盡的常數(shù),所以f(x)積分的結(jié)果有無數(shù)個(gè),是不確定的,我們一律用f(x)+c代替,這就稱為不定積分.而相對(duì)于不定積分,就是定積分.所謂定積分,其形式為f(x) dx (上限a寫在上面,下限b寫在下面).之所以稱其為定積分,

3、是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的,是一個(gè)數(shù),而不是一個(gè)函數(shù).定積分的正式名稱是黎曼積分,詳見黎曼積分.用自己的話來說,就是把直角坐標(biāo)系上的函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個(gè)矩形,然后把某個(gè)區(qū)間a,b上的矩形累加起來,所得到的就是這個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間a,b的面積.實(shí)際上,定積分的上下限就是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)a、b.我們可以看到,定積分的本質(zhì)是把圖象無限細(xì)分,再累加起來,而積分的本質(zhì)是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù).它們看起來沒有任何的聯(lián)系,那么為什么定積分寫成積分的形式呢?定積分與積分看起來風(fēng)馬牛不相及,但是由于一個(gè)數(shù)學(xué)上重要的理論的支撐,使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系.把一個(gè)圖形無限細(xì)分再累加,這似乎是不

4、可能的事情,但是由于這個(gè)理論,可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算積分.這個(gè)重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式,它的內(nèi)容是：若f'(x)=f(x) 那么f(x) dx (上限a下限b)=f(a)-f(b)牛頓-萊布尼茲公式用文字表述,就是說一個(gè)定積分式的值,就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差.正因?yàn)檫@個(gè)理論,揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系,可見其在微積分學(xué)以至更高等的數(shù)學(xué)上的重要地位,因此,牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理.3、微積分積分是微分的逆運(yùn)算,即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),反求原函數(shù).在應(yīng)用上,積分作用不僅如此,它被大量應(yīng)用于求和,通俗的說是求曲邊三角形的面積,這巧妙的求解方法是積分

5、特殊的性質(zhì)決定的。一個(gè)函數(shù)的不定積分（亦稱原函數(shù)）指另一族函數(shù),這一族函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為前一函數(shù).其中：f(x) + c' = f(x)。一個(gè)函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分,是一個(gè)實(shí)數(shù).它等于該函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在b的值減去在a的值.幾何意義：設(shè)x是曲線y = f(x)上的點(diǎn)m的在橫坐標(biāo)上的增量,y是曲線在點(diǎn)m對(duì)應(yīng)x在縱坐標(biāo)上的增量,dy是曲線在點(diǎn)m的切線對(duì)應(yīng)x在縱坐標(biāo)上的增量.當(dāng)|x|很小時(shí),|ydy|比|y|要小得多(高階無窮小),因此在點(diǎn)m附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段.多元微分：同理,當(dāng)自變量為多個(gè)時(shí),可得出多元微分得定義.運(yùn)算法則：dy=f'(x)dx d(u+v)=

6、du+dv d(u-v)=du-dv d(uv)=du·v+dv·ud(u/v)=(du·v-dv·u)/v21、定積分說明：（1）定積分的值是一個(gè)常數(shù)，可正、可負(fù)、可為零；（2）用定義求定積分的四個(gè)基本步驟：分割；近似代替；求和；取極限.2、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式)如果，且在上可積，則，【其中叫做的一個(gè)原函數(shù)，因?yàn)椤?、常用定積分公式（為常數(shù)） 4、定積分的性質(zhì)（k為常數(shù)）； ；（其中;利用函數(shù)的奇偶性求定積分:若是上的奇函數(shù),則;若是上的偶函數(shù),則.5、定積分的幾何意義定積分表示在區(qū)間上的曲線與直線、以及軸所圍成的平面圖形（曲邊梯形）的面

7、積的代數(shù)和。6、求曲邊梯形面積的方法與步驟畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖像；借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；寫出定積分表達(dá)式；求出曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和.一、選擇題1(2010·山東理，7)由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形面積為()a. b. c. d.2由三條直線x0、x2、y0和曲線yx3所圍成的圖形的面積為()a4 b. c. d63曲線ycosx(0x2)與直線y1所圍成的圖形面積是()a2 b3 c. d4函數(shù)f(x)t(t4)dt在1,5上()a有最大值0，無最小值 b有最大值0和最小值c有最小值，無最大值 d既

8、無最大值也無最小值5已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn2n2n，函數(shù)f(x)dt，若f(x)<a3，則x的取值范圍是()a. b(0，e21) c(e11，e) d(0，e11)6(2010·福建廈門一中)如圖所示，在一個(gè)長(zhǎng)為，寬為2的矩形oabc內(nèi)，曲線ysinx(0x)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形oabc內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形oabc內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是()a. b. c. d.7(2010·吉林質(zhì)檢)函數(shù)f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形面積s為()a. b1 c4 d.8(2010·沈陽二十中)設(shè)函數(shù)f(x)x

9、x，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如1.22，1.21，11.又函數(shù)g(x)，f(x)在區(qū)間(0,2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為m，f(x)與g(x)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為n，則g(x)dx的值是()a b c d9(2010·江蘇鹽城調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行一項(xiàng)游戲比賽，比賽規(guī)則如下：甲從區(qū)間0,1上隨機(jī)等可能地抽取一個(gè)實(shí)數(shù)記為b，乙從區(qū)間0,1上隨機(jī)等可能地抽取一個(gè)實(shí)數(shù)記為c(b、c可以相等)，若關(guān)于x的方程x22bxc0有實(shí)根，則甲獲勝，否則乙獲勝，則在一場(chǎng)比賽中甲獲勝的概率為()a. b. c. d.10(2010·吉林省調(diào)研)已知正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為o(0,0)，a(1,0)，b

10、(1,1)，c(0,1)，曲線yx2(x0)與x軸，直線x1構(gòu)成區(qū)域m，現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)地投入正方形中，則質(zhì)點(diǎn)落在區(qū)域m內(nèi)的概率是()a. b. c. d.二、填空題11(2010·蕪湖十二中)已知函數(shù)f(x)3x22x1，若f(x)dx2f(a) 成立，則a_.12已知a0(sinxcosx)dx，則二項(xiàng)式(a)6的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是_13拋物線y22x與直線y4x圍成的平面圖形的面積為_14(2010·安徽合肥質(zhì)檢)拋物線y2ax(a>0)與直線x1圍成的封閉圖形的面積為，若直線l與拋物線相切且平行于直線2xy60，則l的方程為_15(2010·福

11、建福州市)已知函數(shù)f(x)x3ax2bx(a，br)的圖象如圖所示，它與x軸在原點(diǎn)處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為_17用s表示圖中陰影部分的面積，則s的值是()af(x)dxb|f(x)dx|cf(x)dxf(x)dxdf(x)dxf(x)dx18設(shè)yf(x)是二次函數(shù)，方程f(x)0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表達(dá)式；(2)求yf(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積19由直線x，x2，曲線y及x軸所圍成圖形的面積為()a. b.c.ln2 d2ln211函數(shù)f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為()a. b1c2 d

12、.第1節(jié) 交流電的產(chǎn)生和變化規(guī)律第2節(jié) 一、交變電流：大小和方向都隨時(shí)間作周期性變化的電流叫做交變電流，簡(jiǎn)稱交流。如圖15-1所示（b）、（c）、（e）所示電流都屬于交流，其中按正弦規(guī)律變化的交流叫正弦交流。如圖（b）所示。而（a）、(d)為直流其中（a）為恒定電流。二、正弦交流的產(chǎn)生及變化規(guī)律。1、產(chǎn)生：當(dāng)線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁場(chǎng)方向的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，線圈中產(chǎn)生的交流是隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的。即正弦交流。2、中性面：勻速旋轉(zhuǎn)的線圈，位于跟磁感線垂直的平面叫做中性面。這一位置穿過線圈的磁通量最大，但切割邊都未切割磁感線，或者說這時(shí)線圈的磁通量變化率為零，線圈中無感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。3、規(guī)律： （1）

13、、函數(shù)表達(dá)式：從中性面開始計(jì)時(shí)，則e=nbssint 。用m表示峰值m=nbs則e=msint在純電阻電路中,電流i=sint=isint，電壓u=usint 。4、交流發(fā)電機(jī)（1）發(fā)電機(jī)的基本組成：用來產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的線圈（叫電樞）用來產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁極（2）發(fā)電機(jī)的基本種類旋轉(zhuǎn)電樞式發(fā)電機(jī)（電樞動(dòng)磁極不動(dòng)）旋轉(zhuǎn)磁極式發(fā)電機(jī)（磁極動(dòng)電樞不動(dòng)）無論哪種發(fā)電機(jī)，轉(zhuǎn)動(dòng)的部分叫轉(zhuǎn)子，不動(dòng)的部分叫定子第二節(jié) 表征交變電流的物理量1、表征交變電流大小物理量瞬時(shí)值：對(duì)應(yīng)某一時(shí)刻的交流的值 用小寫字母x 表示，e i u峰值：即最大的瞬時(shí)值 用大寫字母表示，ummmm= nsb m=m/ r注意：線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)

14、中繞垂直于磁感線方向的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的峰值為=nbs，即僅由匝數(shù)n，線圈面積s，磁感強(qiáng)度b和角速度四個(gè)量決定。與軸的具體位置，線圈的形狀及線圈是否閉合都是無關(guān)的。有效值：、意義：描述交流電做功或熱效應(yīng)的物理量、定義：跟交流熱效應(yīng)相等的恒定電流的值叫做交流的有效值。、正弦交流的有效值與峰值之間的關(guān)系是= i= u=。注意：正弦交流的有效值和峰值之間具有=，u=的關(guān)系，非正弦（或余弦）交流無此關(guān)系，但可按有效值的定義進(jìn)行推導(dǎo)，如對(duì)于正負(fù)半周最大值相等的方波電流，其熱效應(yīng)和與其最大值相等的恒定電流是相同的，因而其有效值即等于其最大值。即i=i。、交流用電器的額定電壓和額定電流指的是有

15、效值；交流電流表和交流電壓表的讀數(shù)是有效值。對(duì)于交流電若沒有特殊說明的均指有效值。、在求交流電的功、功率或電熱時(shí)必須用交流電的有效值。、峰值、有效值、平均值在應(yīng)用上的區(qū)別。 峰值是交流變化中的某一瞬時(shí)值，對(duì)純電阻電路來說，沒有什么應(yīng)用意義。若對(duì)含電容電路，在判斷電容器是否會(huì)被擊穿時(shí)，則需考慮交流的峰值是否超過電容器的耐壓值。 交流的有效值是按熱效應(yīng)來定義的，對(duì)于一個(gè)確定的交流來說，其有效值是一定的。而平均值是由公式確定的，其值大小由某段時(shí)間磁通量的變化量來決定，在不同的時(shí)間段里是不相同的。如對(duì)正弦交流，其正半周或負(fù)半周的平均電動(dòng)勢(shì)大小為，而一周期內(nèi)的平均電動(dòng)勢(shì)卻為零。在計(jì)算交流通過電阻產(chǎn)生的熱

16、功率時(shí)，只能用有效值，而不能用平均值。在計(jì)算通過導(dǎo)體的電量時(shí)，只能用平均值，而不能用有效值。在實(shí)際應(yīng)用中，交流電器銘牌上標(biāo)明的額定電壓或額定電流都是指有效值，交流電流表和交流電壓表指示的電流、電壓也是有效值，解題中，若題示不加特別說明，提到的電流、電壓、電動(dòng)勢(shì)時(shí)，都是指有效值。、表征交變電流變化快慢的物理量、周期t：電流完成一次周期性變化所用的時(shí)間。單位：s .、頻率f：一秒內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)。單位：z.、角頻率：就是線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。單位：rad/s.、角速度、頻率、周期，的關(guān)系=2f=3、疑難辨析交流電的電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)值和穿過線圈面積的磁通量的變化率成正 比。當(dāng)線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中

17、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，線圈磁通量也是按正弦（或余弦）規(guī)律變化的，若從中性面開始計(jì)時(shí)，t=0時(shí)，磁通量最大，應(yīng)為余弦函數(shù)，此刻變化率為零（切線斜率為零），t=時(shí)，磁通量為零，此刻變化率最大（切線斜率最大），因此從中性面開始計(jì)時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式是正弦函數(shù)，如圖15-2（a）（b）所示分別是=cost和e=sint。 第三節(jié) 電感和電容對(duì)交對(duì)電流的作用1電感對(duì)交流有阻礙作用。電感對(duì)電流阻礙作用的大小用感抗來表示。感抗的大小與線圈的自感系數(shù)和交變電流的頻率有關(guān)，線圈的感系數(shù)越大，電流的頻率越大。電感對(duì)交變電流的阻礙作用就越大，感抗也就越大。低頻扼流圈和高頻扼流圈低頻扼流圈 高頻扼流圈構(gòu)造：線圈繞在鐵心上

18、，匝數(shù)多，電阻小 線圈繞在鐵氧體上，匝數(shù)少作用：“通直流、阻交流” 通過低頻，阻高頻2電容器能通交流電容器有“通交流，隔直流”的作用。電容器對(duì)交流有阻礙作用。電容器對(duì)交流阻礙作用的大小用容抗來表示。影響容抗大小的因素：c和f電容器的電容越大，電流頻率越大，容抗越小。第四節(jié) 變壓器 1變壓器的構(gòu)造 原線圈、 副線圈、 鐵心2變壓器的工作原理 在原、副線圈上由于有交變電流而發(fā)生的互相感應(yīng)現(xiàn)象，叫做互感現(xiàn)象，互感現(xiàn)象是變壓器工作的基礎(chǔ)。3理想變壓器磁通量全部集中在鐵心內(nèi)，變壓器沒有能量損失，輸入功率等于輸出功率。4理想變壓器電壓跟匝數(shù)的關(guān)系： u1/u2= n1/n2說明：對(duì)理想變壓器各線圈上電壓與

19、匝數(shù)成正比的關(guān)系，不僅適用于原、副圈只有一個(gè)的情況，而且適用于多個(gè)副線圈的情況。即有=。這是因?yàn)槔硐胱儔浩鞯拇磐咳考性阼F心內(nèi)。因此穿過每匝線圈的磁通量的變化率是相同的，每匝線圈產(chǎn)生相同的電動(dòng)勢(shì)，因此每組線圈的電動(dòng)勢(shì)與匝數(shù)成正比。在線圈內(nèi)阻不計(jì)的情況下，每組線圈兩端的電壓即等于電動(dòng)勢(shì)，故每組電壓都與匝數(shù)成正比。5理想變壓器電流跟匝數(shù)的關(guān)系i1/i2= n2/n1 （適用于只有一個(gè)副線圈的變壓器）說明：原副線圈電流和匝數(shù)成反比的關(guān)系只適用于原副線圈各有一個(gè)的情況，一旦有多個(gè)副線圈時(shí)，反比關(guān)系即不適用了，可根據(jù)輸入功率與輸出功率相等的關(guān)系推導(dǎo)出：u1i1= u2i2+ u3i3+u4i4+再根

20、據(jù)u2=u1 u3=u1 u4= u4可得出：n1i1=n2i2+ n3i3+ n4i4+6注意事項(xiàng)（1）當(dāng)變壓器原副線圈匝數(shù)比()確定以后,其輸出電壓u2是由輸入電壓u1決定的(即u2=u1)但若副線圈上沒有負(fù)載 , 副線圈電流為零輸出功率為零 , 則輸入 功率為零,原線圈電流也為零,只有副線圈接入一定負(fù)載,有了一定的電流,即有了一定的輸出功率，原線圈上才有了相應(yīng)的電流（i1=i2），同時(shí)有了相等的輸入功率，（p入=p出）所以說：變壓器上的電壓是由原線圈決定的，而電流和功率是由副線圈上的負(fù)載來決定的。 第五節(jié) 電能的輸送1.輸電線上損失的電功率p=i2r=（p輸入2/u輸入2）r2遠(yuǎn)距離輸電

21、示意圖i2i線i3 u2u線+u3 p2p線+p3輸電電壓提高到原來的n倍輸電線上損失的電功率降為原來的1/n2高中物理力的合成分解1 下列物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持不變的是 （ ）a.勻速行駛的列車 b.地球同步衛(wèi)星c.自由下落的小球 d.在水面上浮動(dòng)的木塊2. 有關(guān)加速度的說法，正確的是 （ ）a.物體加速度的方向與物體運(yùn)動(dòng)的方向不是同向就是反向b.物體加速度方向與物體所受合外力的方向總是相同的c.當(dāng)物體速度增加時(shí)，它的加速度也就增大d.只要加速度為正值，物體一定做加速運(yùn)動(dòng)3下面關(guān)于慣性的說法中，正確的是 （ ）a. 運(yùn)動(dòng)速度大的物體比速度小的物體難以停下來，所以運(yùn)動(dòng)速度大的物體具有較大的慣性b.

22、 物體受的力越大，要它停下來就越困難，所以物體受的推力越大，則慣性越大c. 物體的體積越大，慣性越大d. 物體含的物質(zhì)越多，慣性越大4在粗糙水平面上放著一個(gè)箱子，前面的人用水平方向成仰角1的力f1拉箱子，同時(shí)后面的人用與水平方向成俯角2的推力f2推箱子，如圖所示，此時(shí)箱子的加速度為a，如果此時(shí)撤去推力f2，則箱子的加速度 （ ）a一定增大 b一定減小c可能不變 d不是增大就是減小，不可能不變5如圖單所示，有兩個(gè)物體質(zhì)量各為m1、m2,m1原來靜止，m2以速度vo向右運(yùn)動(dòng)，如果它們加上完全相同的作用力f，在下述條件下，哪些可使它們的速度有達(dá)到相同的時(shí)刻 ( ) af方向向右 m1>m2 bf方向向右 m1<m2cf方向向左 ml>m2 df方向任意 m1=m26如圖，質(zhì)量為m1的粗糙斜面上有一質(zhì)量為m的木塊勻減速下滑，則地面受到的正壓力應(yīng)當(dāng)是 ( ) a等于(ml+m2)g b大于(ml+m2)gc小于(ml+m2)g d. 以上結(jié)論都不對(duì)7在驗(yàn)證“牛頓第二定律”的實(shí)驗(yàn)中，打出的紙帶