機(jī)器人技術(shù)—數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、第三章第三章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講授預(yù)備知識(shí)講授預(yù)備知識(shí)目的：運(yùn)動(dòng)學(xué)目的：運(yùn)動(dòng)學(xué) 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)研究對(duì)象：研究對(duì)象： 工業(yè)機(jī)器人工業(yè)機(jī)器人第第2.52.5章章 機(jī)器人學(xué)關(guān)鍵技術(shù)機(jī)器人學(xué)關(guān)鍵技術(shù)1. 1. 機(jī)器人學(xué)機(jī)器人學(xué) 機(jī)器人學(xué)機(jī)器人學(xué)機(jī)械電子工程的典型案例機(jī)械電子工程的典型案例 機(jī)械電子的由來(lái)？機(jī)械電子的由來(lái)？ Mechatronics Mechanics + Electronics Tetsuro Mori（森哲郎）（森哲郎） 日本安川電氣公司工程師日本安川電氣公司工程師 1969年提出、年提出、1971年注冊(cè)年注冊(cè)第第2.52.5章章 機(jī)器人學(xué)關(guān)鍵技術(shù)機(jī)器人學(xué)關(guān)

2、鍵技術(shù)2. 2. 機(jī)器人學(xué)特點(diǎn)機(jī)器人學(xué)特點(diǎn) 機(jī)械電子工程機(jī)械電子工程 交叉學(xué)科特性交叉學(xué)科特性 Dr. Kevin Craig Marquette University第第2.52.5章章 機(jī)器人學(xué)關(guān)鍵技術(shù)機(jī)器人學(xué)關(guān)鍵技術(shù)3. 3. 機(jī)器人學(xué)研究?jī)?nèi)容機(jī)器人學(xué)研究?jī)?nèi)容 IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA) 2013 Karlsruhe (德國(guó)德國(guó)) 文章：文章：873/2265 (38.5%) 分會(huì)場(chǎng)：分會(huì)場(chǎng)：84 國(guó)家：國(guó)家：63 IEEE/RSJ International Conference on

3、Intelligent Robots and Systems (IROS) 2013 Tokyo (日本日本) 文章：文章：904/2094 (43.2%) 分會(huì)場(chǎng)：分會(huì)場(chǎng)：153 國(guó)家：國(guó)家：-I. 機(jī)器人學(xué)內(nèi)容機(jī)器人學(xué)內(nèi)容第第2.52.5章章 機(jī)器人學(xué)關(guān)鍵技術(shù)機(jī)器人學(xué)關(guān)鍵技術(shù)3. 3. 機(jī)器人學(xué)研究?jī)?nèi)容機(jī)器人學(xué)研究?jī)?nèi)容 Technical Session的主要內(nèi)容的主要內(nèi)容Human robot interactionMedical roboticsSensor fusionLegged robotsUnderwater robotsManipulator motion planningC

4、amera calibrationIntelligent transportation systemsSLAM: Features and landmarksHumanoid robot body motionMicrorobotsBiologically-inspired robotic devicesRehabilitation roboticsField roboticsGraspingNanorobotic manipulationFish-like robot第三章第三章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參考教材參考教材 美美付京遜付京遜機(jī)器人學(xué)機(jī)器人學(xué) 中南大學(xué)中南大學(xué)

5、蔡自興蔡自興機(jī)器人學(xué)機(jī)器人學(xué) 美美理查德理查德鮑爾鮑爾機(jī)器人操作手機(jī)器人操作手?jǐn)?shù)學(xué)數(shù)學(xué)編編程與控制程與控制參考教材參考教材 美美付京遜付京遜機(jī)器人學(xué)機(jī)器人學(xué)n 美籍華人美籍華人n 普渡大學(xué)（普渡大學(xué)（Purdue University）電機(jī)工程專業(yè)）電機(jī)工程專業(yè)著名教授著名教授n 4部著作、部著作、400多篇論文多篇論文n 第一任國(guó)際模式識(shí)別學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，被譽(yù)為自動(dòng)模第一任國(guó)際模式識(shí)別學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，被譽(yù)為自動(dòng)模式識(shí)別之父式識(shí)別之父n 1985年去世年去世參考教材參考教材 中南大學(xué)中南大學(xué)蔡自興蔡自興n 中南大學(xué)教授，我國(guó)人工中南大學(xué)教授，我國(guó)人工智能和機(jī)器人領(lǐng)域著名專智能和機(jī)器人領(lǐng)域著名專家家n 中國(guó)

6、人工智能學(xué)會(huì)智能機(jī)中國(guó)人工智能學(xué)會(huì)智能機(jī)器人專委會(huì)理事長(zhǎng)器人專委會(huì)理事長(zhǎng)n 曾在普渡大學(xué)工作過(guò)曾在普渡大學(xué)工作過(guò)第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 串聯(lián)機(jī)器人可以用一個(gè)開(kāi)環(huán)關(guān)節(jié)鏈來(lái)建模串聯(lián)機(jī)器人可以用一個(gè)開(kāi)環(huán)關(guān)節(jié)鏈來(lái)建模 由數(shù)個(gè)驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的由數(shù)個(gè)驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)或或移動(dòng)移動(dòng)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成關(guān)節(jié)串聯(lián)而成 一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝工具（末端一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝工具（末端執(zhí)行器），用以操縱物體，或完成各種任務(wù)執(zhí)行器），用以操縱物體，或完成各種任務(wù)inoa 關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致桿件的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致桿件的運(yùn)動(dòng)，使末端執(zhí)行器定位于所需要的方使末端執(zhí)行器定位于所需要的方位上位上

7、在一般機(jī)器人應(yīng)用問(wèn)題中，人們?cè)谝话銠C(jī)器人應(yīng)用問(wèn)題中，人們感興趣的是：末端執(zhí)行器相對(duì)于感興趣的是：末端執(zhí)行器相對(duì)于固定參考坐標(biāo)數(shù)的固定參考坐標(biāo)數(shù)的空間幾何描述空間幾何描述，也就是機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題也就是機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題 機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)即是研究機(jī)器人機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)即是研究機(jī)器人手臂手臂末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與與關(guān)關(guān)節(jié)變量空間節(jié)變量空間之間的關(guān)系之間的關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的問(wèn)題運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的問(wèn)題Where is my hand?Direct KinematicsHERE!How do I put my hand here?Inverse Kinematics: Choose these

8、angles! 運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué) 滾動(dòng)接觸滾動(dòng)接觸 非完整控制非完整控制 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-剛體運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng) 參考文獻(xiàn)：參考文獻(xiàn)：機(jī)器人操作的數(shù)學(xué)導(dǎo)論機(jī)器人操作的數(shù)學(xué)導(dǎo)論 作者：理查德作者：理查德摩雷摩雷 李澤湘李澤湘 夏卡恩夏卡恩薩斯特里薩斯特里 翻譯：徐衛(wèi)良翻譯：徐衛(wèi)良 錢(qián)瑞明（東南大學(xué)）錢(qián)瑞明（東南大學(xué)）n 1955年丹納維特（年丹納維特（Denavit）和哈頓伯格（）和哈頓伯格（Hartenberg）提出）提出了一種了一種采用矩陣代數(shù)方法采用矩陣代數(shù)方法解決機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題解決機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題D-H方方法，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)即是法，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)即是齊次變換齊次變換 具有直觀的幾何意義具有直觀的幾

9、何意義 能表達(dá)動(dòng)力學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)和能表達(dá)動(dòng)力學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)和 比例變換問(wèn)題比例變換問(wèn)題 為以后的比例變換、透視變換為以后的比例變換、透視變換 等打下基礎(chǔ)等打下基礎(chǔ)1000pppTzyyyxxxzzzyxwww第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次坐標(biāo)和齊次變換齊次坐標(biāo)和齊次變換2.1 2.1 點(diǎn)和面的齊次坐標(biāo)點(diǎn)和面的齊次坐標(biāo)2.1.1 2.1.1 點(diǎn)的齊次坐標(biāo)點(diǎn)的齊次坐標(biāo) 一般來(lái)說(shuō)，一般來(lái)說(shuō)，n維空間的齊次坐標(biāo)表示是一個(gè)（維空間的齊次坐標(biāo)表示是一個(gè)（n+1）維空間實(shí)體。有一）維空間實(shí)體。有一個(gè)特定的投影附加于個(gè)特定的投影附加于n維空間，也可以把它看作一個(gè)附加于每個(gè)矢量的維空間，也可以把它看作一個(gè)附

10、加于每個(gè)矢量的特定坐標(biāo)特定坐標(biāo)比例系數(shù)。比例系數(shù)。 引入齊次坐標(biāo)的目的是為了表示幾何變換的旋轉(zhuǎn)、平移和縮放引入齊次坐標(biāo)的目的是為了表示幾何變換的旋轉(zhuǎn)、平移和縮放kcj bi av zy x TwwzyxV式中式中i, j, k為為x, y, z 軸上的單位矢量，軸上的單位矢量，a= , b= , c= ，w為比例系數(shù)為比例系數(shù) wxwywz 顯然，齊次坐標(biāo)表達(dá)顯然，齊次坐標(biāo)表達(dá)并不是唯一并不是唯一的，隨的，隨w值的不同而不同。在計(jì)算機(jī)圖學(xué)中，值的不同而不同。在計(jì)算機(jī)圖學(xué)中，w 作為通用比例因子，它可取任意正值，但作為通用比例因子，它可取任意正值，但在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分析中，總是取在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分析

11、中，總是取w=1 。列矩陣列矩陣一個(gè)點(diǎn)矢：一個(gè)點(diǎn)矢： 例例11：kjiV543可以表示為：可以表示為： V=3 4 5 1V=3 4 5 1T T 或或 V=6 8 10 2V=6 8 10 2T T 或或 V=-12 -16 -20 -4V=-12 -16 -20 -4T T n 齊次坐標(biāo)與三維直角坐標(biāo)的區(qū)別齊次坐標(biāo)與三維直角坐標(biāo)的區(qū)別 V點(diǎn)在點(diǎn)在OXYZ坐標(biāo)系中表坐標(biāo)系中表示是示是唯一唯一的（的（a、b、c） 而在齊次坐標(biāo)中表示可而在齊次坐標(biāo)中表示可以是多值的。以是多值的。不同的表不同的表示方法代表的示方法代表的V點(diǎn)在空間點(diǎn)在空間位置上不變。位置上不變。 xyzzzxV圖2-2on 幾個(gè)特

12、定意義的齊次坐標(biāo)：幾個(gè)特定意義的齊次坐標(biāo)： 0 0 0 nT坐標(biāo)原點(diǎn)矢量的齊次坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)矢量的齊次坐標(biāo)，n為任意為任意非零比例系數(shù)非零比例系數(shù) 1 0 0 0T 指向無(wú)窮遠(yuǎn)處的指向無(wú)窮遠(yuǎn)處的OX軸軸 0 1 0 0T 指向無(wú)窮遠(yuǎn)處的指向無(wú)窮遠(yuǎn)處的OY軸軸 0 0 1 0T 指向無(wú)窮遠(yuǎn)處的指向無(wú)窮遠(yuǎn)處的OZ軸軸 0 0 0 0T 沒(méi)有意義沒(méi)有意義n 2個(gè)常用的公式：個(gè)常用的公式：zzyyxxbabababakbabajbabaibababbbaaakjibaxyyxzxxzyzzyzyxzyx)()()(點(diǎn)乘點(diǎn)乘:叉乘叉乘:2.1.2 2.1.2 平面的齊次坐標(biāo)平面的齊次坐標(biāo) 平面齊次坐標(biāo)由

13、平面齊次坐標(biāo)由行矩陣行矩陣P=a b c d 來(lái)表示來(lái)表示 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)v=x y z wT處于平面處于平面P內(nèi)時(shí)，矩陣乘積內(nèi)時(shí)，矩陣乘積PV=0，或記為，或記為 0dwczbyaxwzyxdcbaPV與點(diǎn)矢與點(diǎn)矢 相仿，平面相仿，平面 也沒(méi)有意義也沒(méi)有意義 T00000000n 點(diǎn)和平面間的位置關(guān)系點(diǎn)和平面間的位置關(guān)系設(shè)一個(gè)平行于設(shè)一個(gè)平行于x、y軸，且在軸，且在z軸上的坐標(biāo)為單位距離的平軸上的坐標(biāo)為單位距離的平面面P可以表示為：可以表示為： 或或 有：有： PV= 1100P2200P v0 v0 v0 點(diǎn)在平面下方點(diǎn)在平面上點(diǎn)在平面上方例如：點(diǎn)例如：點(diǎn) V=10 20 1 1T 必定處于此平

14、面內(nèi)，而點(diǎn)必定處于此平面內(nèi)，而點(diǎn) V=0 0 2 1T處于平處于平 P 的上方，點(diǎn)的上方，點(diǎn)V=0 0 0 1T處于處于P平面下方，因?yàn)椋浩矫嫦路?，因?yàn)椋?1120101100 0 1120011000 -110001-1002.2 2.2 旋轉(zhuǎn)矩陣及旋轉(zhuǎn)齊次變換旋轉(zhuǎn)矩陣及旋轉(zhuǎn)齊次變換2.2.1 2.2.1 旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣 設(shè)固定參考坐標(biāo)系直角坐標(biāo)為設(shè)固定參考坐標(biāo)系直角坐標(biāo)為Oxyz，動(dòng)坐標(biāo)系為，動(dòng)坐標(biāo)系為O uvw，研究旋轉(zhuǎn)變換情況。研究旋轉(zhuǎn)變換情況。xyzwvuPo(O)圖2-3 初始位置時(shí)，動(dòng)靜坐標(biāo)系重合，初始位置時(shí)，動(dòng)靜坐標(biāo)系重合，O、O 重合，如圖。各軸重合，如圖。各軸對(duì)應(yīng)重合，設(shè)

15、對(duì)應(yīng)重合，設(shè)P點(diǎn)是動(dòng)坐標(biāo)系點(diǎn)是動(dòng)坐標(biāo)系O uvw中的一點(diǎn)，且固定不變。中的一點(diǎn)，且固定不變。則則P點(diǎn)在點(diǎn)在O uvw中可表示為：中可表示為： wwvvuuuvwkPjPiPP 、 、 為坐標(biāo)系為坐標(biāo)系O uvw的單位矢的單位矢量，則量，則P點(diǎn)在點(diǎn)在oxyz中可表示為：中可表示為： uivjwkzzyyxxxyzkPjPiPPxyzuvwPP 當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系O uvw繞繞O點(diǎn)回轉(zhuǎn)時(shí)，求點(diǎn)回轉(zhuǎn)時(shí)，求P點(diǎn)在固定坐標(biāo)系點(diǎn)在固定坐標(biāo)系oxyz中的位置中的位置 yzxo(O)uvwPPwPvPu圖2-4已知：已知：P點(diǎn)在點(diǎn)在O uvw中是不變的仍然中是不變的仍然成立，由于成立，由于O uvw回轉(zhuǎn)，則

16、：回轉(zhuǎn)，則： wwvvuuuvwkPjPiPPxwwvvuuxuvwxikPjPiPiP)(PywwvvuuyuvwyjkPjPiPjP)(PzwwvvuuzuvwzkkPjPiPkP)(P用矩陣表示為用矩陣表示為: wvwzvzzwvyywxvxxzyxPPPkkjkikkjjjijkijiiiPPPy（2-7） uvwxyzwzvzzwvyywxvxxPRpkkjkikkjjjijkijiii:R y則旋轉(zhuǎn)矩陣為：定義反過(guò)來(lái)：反過(guò)來(lái)： xyzuvwPRP1RRRdet*1T1RRRdet是正交矩陣，的行列式，為的伴隨矩陣，為RRRR2.2.2 2.2.2 旋轉(zhuǎn)齊次變換旋轉(zhuǎn)齊次變換 用齊次坐

17、標(biāo)變換來(lái)表示式（用齊次坐標(biāo)變換來(lái)表示式（2-7） 110000001wvuzyxPPPRPPP1100000011zyxwvuPPPRPPP2.2.3 2.2.3 三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣和合成旋轉(zhuǎn)矩陣三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣和合成旋轉(zhuǎn)矩陣 三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣 ),(xR即動(dòng)坐標(biāo)系即動(dòng)坐標(biāo)系 求求 的旋轉(zhuǎn)矩陣，也就是的旋轉(zhuǎn)矩陣，也就是求出坐標(biāo)系求出坐標(biāo)系 中各軸單位矢量中各軸單位矢量 在固定坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中各軸的投影分量，很容易得到在兩個(gè)坐標(biāo)系重合時(shí)，有：中各軸的投影分量，很容易得到在兩個(gè)坐標(biāo)系重合時(shí)，有：角，軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞，XOvwOvwOwvkji,Oxyz),(xR100010001Rwzv

18、zzwvyywxvxxkkjkikkjjjijkijiiiy)R(x,xyzouvwUVWO圖2-5ssin0sincos0001coiiux方向余弦陣方向余弦陣同理：同理： cos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R （ssin0sincos0001)R(x,co三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣: : xyzouvwUWOxyzouvwUWOvn 合成旋轉(zhuǎn)矩陣合成旋轉(zhuǎn)矩陣: :例例1：在動(dòng)坐標(biāo)中有一固定點(diǎn)：在動(dòng)坐標(biāo)中有一固定點(diǎn) ，相對(duì)固定參，相對(duì)固定參考坐標(biāo)系考坐標(biāo)系 做如下運(yùn)動(dòng)：做如下運(yùn)動(dòng)： R（x, 90）；）； R(z, 90)； R(y,

19、90)。求運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)。求運(yùn)動(dòng)后點(diǎn) 在固定參考坐標(biāo)系在固定參考坐標(biāo)系 下的位置。下的位置。 TuvwPo1321OxyzuvwPoOxyz解解1：用畫(huà)圖的簡(jiǎn)單方法：用畫(huà)圖的簡(jiǎn)單方法 解解2：用分步計(jì)算的方法：用分步計(jì)算的方法 R（x, 90） R（z, 90） R（y, 90） 123113211000001001-000001P12131231100001000001001-0 P1312121310000001-00100100 P（2-14） （2-15） （2-16） 上述計(jì)算方法非常繁瑣，可以通過(guò)一系列計(jì)算得到上述上述計(jì)算方法非常繁瑣，可以通過(guò)一系列計(jì)算得到上述結(jié)果。將式（結(jié)果。將式（2

20、-14）（）（2-15）（）（2-16）聯(lián)寫(xiě)為如下形式：）聯(lián)寫(xiě)為如下形式： 11000133wvuzyxPPPRPPPR3x3為二者之間的關(guān)系矩陣，我們令：為二者之間的關(guān)系矩陣，我們令： ),(),(),RR33xRzRy（定義定義1： 當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系 繞固定坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系 各坐標(biāo)軸順序有限次各坐標(biāo)軸順序有限次轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其合成旋轉(zhuǎn)矩陣為各基本旋轉(zhuǎn)矩陣依旋轉(zhuǎn)順序轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其合成旋轉(zhuǎn)矩陣為各基本旋轉(zhuǎn)矩陣依旋轉(zhuǎn)順序左乘左乘。注意：注意：旋轉(zhuǎn)矩陣間旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換不可以交換 uvwOOxyzn 平移齊次變換矩陣平移齊次變換矩陣1000100010001c) b (a TransHcba注意：

21、注意：平移矩陣間可以交換，平移矩陣間可以交換， 平移和旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換平移和旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換 zyxoowuvabc2.2.4 2.2.4 相對(duì)變換相對(duì)變換 舉例說(shuō)明：舉例說(shuō)明：例例1：動(dòng)坐標(biāo)系動(dòng)坐標(biāo)系0起始位置與固定參考坐標(biāo)系起始位置與固定參考坐標(biāo)系0重合重合,動(dòng)坐標(biāo)系動(dòng)坐標(biāo)系0做如下運(yùn)動(dòng)：做如下運(yùn)動(dòng)：R(Z,90) R（y,90） Trans(4，-3, 7)，求合成矩陣，求合成矩陣 解解1：用畫(huà)圖的方法：用畫(huà)圖的方法： ozyx74-3owuvvuwzyxoo(o)xyzuvwzyxuwo(o) v解解2：用計(jì)算的方法：用計(jì)算的方法 根據(jù)定義根據(jù)定義1，我們有：，我們有：1000

22、701030014100 )R(Z,90 )90 R(y, 7) , 3- ,Trans(4T 以上均以固定坐標(biāo)系多軸為變換基準(zhǔn)，因此矩陣左乘。以上均以固定坐標(biāo)系多軸為變換基準(zhǔn)，因此矩陣左乘。如果我們做如下變換，也可以得到相同的結(jié)果：如果我們做如下變換，也可以得到相同的結(jié)果： 例例2：先平移：先平移Trans (4,-3,7)；繞當(dāng)前；繞當(dāng)前 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)90； 繞當(dāng)前繞當(dāng)前 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)90；求合成旋轉(zhuǎn)矩陣。；求合成旋轉(zhuǎn)矩陣。 vw （2-202-20）解解1：用畫(huà)圖的方法：用畫(huà)圖的方法 zyxo(o)vwuzyxoowuvozyxowvuxyzoowuv解解2：用計(jì)算的方法：用計(jì)算的方法

23、1000701030014100)R(Z,90 )90 R(y, 7) , 3- ,Trans(4Too（2-212-21）式（式（2-202-20）和式（）和式（2-212-21）無(wú)論在形式上，還是在結(jié)果上都是）無(wú)論在形式上，還是在結(jié)果上都是一致的。因此我們有如下的結(jié)論：一致的。因此我們有如下的結(jié)論：動(dòng)坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的齊次變換有動(dòng)坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的齊次變換有2 2種情況：種情況：定義定義1 1：如果所有的變換都是如果所有的變換都是相對(duì)于固定坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘左乘，稱為，稱為絕對(duì)變換絕對(duì)變換。定義定義2 2：如果動(dòng)坐標(biāo)系

24、如果動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸相對(duì)于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次平移，則齊次變換為依次右乘右乘，稱為，稱為相對(duì)變換相對(duì)變換。 結(jié)果均為動(dòng)坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)中的位姿結(jié)果均為動(dòng)坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)中的位姿（位置（位置+ +姿態(tài)）姿態(tài)）。相。相對(duì)于固定坐標(biāo)系，對(duì)于固定坐標(biāo)系，軸。軸相當(dāng)于軸，軸相對(duì)于軸，軸相當(dāng)于ZYXwv 也就是說(shuō)，動(dòng)坐標(biāo)系繞自身坐標(biāo)軸做齊次變換，也就是說(shuō)，動(dòng)坐標(biāo)系繞自身坐標(biāo)軸做齊次變換，要達(dá)到繞固要達(dá)到繞固定坐標(biāo)系相等的結(jié)果，就應(yīng)該用相反的順序。定坐標(biāo)系相等的結(jié)果，就應(yīng)該用相反的順序。 右乘的意義：右乘的意義： 機(jī)器人用到相對(duì)變換的機(jī)器人用到相對(duì)變換

25、的時(shí)候比較多時(shí)候比較多 例如機(jī)械手抓一個(gè)杯子，例如機(jī)械手抓一個(gè)杯子，如右圖所示，手爪需要如右圖所示，手爪需要轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度才抓的牢，轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度才抓的牢，相對(duì)于固定坐標(biāo)系表達(dá)相對(duì)于固定坐標(biāo)系表達(dá)太麻煩，可以直接根據(jù)太麻煩，可以直接根據(jù)手爪的坐標(biāo)系表示手爪的坐標(biāo)系表示 但也要知道在但也要知道在O中的位中的位姿，就用右乘的概念。姿，就用右乘的概念。 xyzoH2.2.5 2.2.5 繞通過(guò)原點(diǎn)的任意軸旋轉(zhuǎn)的齊次變換繞通過(guò)原點(diǎn)的任意軸旋轉(zhuǎn)的齊次變換 有時(shí)動(dòng)坐標(biāo)系有時(shí)動(dòng)坐標(biāo)系O O 可能繞過(guò)原點(diǎn)可能繞過(guò)原點(diǎn)O O的分量分別為的分量分別為rx、ry、rz的任的任意單位矢量意單位矢量r 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)角。角。研究

26、這種轉(zhuǎn)動(dòng)的好處是可用研究這種轉(zhuǎn)動(dòng)的好處是可用O O 繞某軸繞某軸r 的一次轉(zhuǎn)動(dòng)代替繞的一次轉(zhuǎn)動(dòng)代替繞O O各坐標(biāo)軸的數(shù)次轉(zhuǎn)動(dòng)各坐標(biāo)軸的數(shù)次轉(zhuǎn)動(dòng)為推導(dǎo)此旋轉(zhuǎn)矩陣，可作下述為推導(dǎo)此旋轉(zhuǎn)矩陣，可作下述5 5步變換：步變換：1.繞繞X 軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角，角， 使使r 軸處于軸處于XZ平面內(nèi)平面內(nèi)2.繞繞Y 軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)-角，使角，使r 軸與軸與OZ軸重合軸重合3.繞繞OZ軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角角4.繞繞Y 軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角角5.繞繞X 軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)-角角XYZrxryrzABCDBO51243rA由上圖容易求出：由上圖容易求出：2z2yyrrrsin2z2yzrrrcosxxrrrrOCsin2z2y2z2yrrrrrOBCBc

27、os由定義由定義1和定義和定義2，上述，上述5次旋轉(zhuǎn)的合成旋轉(zhuǎn)矩陣為：次旋轉(zhuǎn)的合成旋轉(zhuǎn)矩陣為：cossin0sin-cos0001cos0sin010sin-0cos1000cossin0sin-coscos0sin-010sin0coscossin0sincos0001RRRRRR,x,y, z,y,x, r（2-252-25）XYZrxryrzABCDBO51243rA帶入式帶入式（2-252-25），得），得cos)cos(1rsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrcos)cos(1rsinr)cos(1rrsinr)cos(1r

28、rcos)cos(1rR2zxzyyzxxzyyzx2yzyxzyx2x, r由該式可以推出由該式可以推出3個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣2.2.6 2.2.6 齊次變換矩陣的幾何意義齊次變換矩陣的幾何意義 設(shè)，有一個(gè)手爪，即動(dòng)坐標(biāo)系設(shè)，有一個(gè)手爪，即動(dòng)坐標(biāo)系O O ，已知，已知， 初始位置初始位置重合，那么重合，那么O O 在在O O中的齊次坐標(biāo)變換為：中的齊次坐標(biāo)變換為： ，如果手爪轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，如果手爪轉(zhuǎn)了一個(gè)角度， 則：則：111cbao1000100010001T 1111cba1000pppTzyyyxxxzzzyxwwwT反映了反映了O O 在在O O中的位置和姿態(tài)，即表示了該坐標(biāo)

29、系原中的位置和姿態(tài)，即表示了該坐標(biāo)系原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸單位矢量在固定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。點(diǎn)和各坐標(biāo)軸單位矢量在固定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。該矩陣可以由該矩陣可以由4 4個(gè)子矩陣組成，寫(xiě)成如下形式：個(gè)子矩陣組成，寫(xiě)成如下形式：比例系數(shù)透視矩陣位置矢量旋轉(zhuǎn)矩陣11311333wfPRTzzzyyyxxxwww33R為為姿態(tài)矩陣（旋轉(zhuǎn)矩陣）姿態(tài)矩陣（旋轉(zhuǎn)矩陣），表示動(dòng)坐標(biāo)系，表示動(dòng)坐標(biāo)系O O 在固定參考坐標(biāo)系在固定參考坐標(biāo)系O O中的姿態(tài)，即表示中的姿態(tài)，即表示O O 各坐標(biāo)軸單位矢量在各坐標(biāo)軸單位矢量在O O各軸上的投影各軸上的投影 為為位置矢量矩陣位置矢量矩陣，代表動(dòng)坐標(biāo)系，代表動(dòng)坐標(biāo)系O O 坐

30、標(biāo)原坐標(biāo)原點(diǎn)在固定參考坐標(biāo)系點(diǎn)在固定參考坐標(biāo)系O O中的位置中的位置 TzyxpppP13為為透視變換矩陣透視變換矩陣，在視覺(jué)中進(jìn)行圖像計(jì)算，在視覺(jué)中進(jìn)行圖像計(jì)算，一般置為一般置為0 0 00031f為為比例系數(shù)比例系數(shù) 1 11w如果需要求解如果需要求解O O在在O O 中的位置和姿態(tài)，此時(shí)的齊次變換矩中的位置和姿態(tài)，此時(shí)的齊次變換矩陣為陣為 ，即求逆矩陣：，即求逆矩陣： 1T1000-R-TTT1 -33T1pwpvp）（）（）（ kpjpippzyxkjizyxkvjvivvzyxkwjwiwwzyx其中：其中：這些式子以后經(jīng)常遇到，這些式子以后經(jīng)常遇到，在機(jī)器人計(jì)算中，所要在機(jī)器人計(jì)算

31、中，所要求的就是齊次變換矩陣求的就是齊次變換矩陣 2.2.7 2.2.7 透鏡成像的齊次變換透鏡成像的齊次變換 pp: Px1PP x1 1()1ppppTTy zy zypzpzpfypzpzpypfypfzpxpypfzpxpypypfypfypfypypypfypypffxpxpy 以光心為原點(diǎn)O，光軸與y軸重合，P為物點(diǎn)，用齊次坐標(biāo)表示求 的齊次坐標(biāo)，即求根據(jù)三角形相似原理：注意是負(fù)值， 是正值，所以實(shí)際上為相減關(guān)系又有設(shè)111000010000101110001ypzpypzppypzpfffxpxpxpypypypTfzpzpzpypf用矩陣表示：zyPypfozpfpzPpypp

32、: Px1PP x1 1()1ppppTTy zy zypzpzpfypzpzpypfypfzpxpypfzpxpypypfypfypfypypypfypypffxpxpy 以光心為原點(diǎn)O，光軸與y軸重合，P為物點(diǎn)，用齊次坐標(biāo)表示求 的齊次坐標(biāo)，即求根據(jù)三角形相似原理：注意是負(fù)值， 是正值，所以實(shí)際上為相減關(guān)系又有設(shè)111000010000101110001ypzpypzppypzpfffxpxpxpypypypTfzpzpzpypf用矩陣表示： 因此，進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算時(shí)，不能省略透視矩陣，有因此，進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算時(shí)，不能省略透視矩陣，有攝像頭時(shí)，透視矩陣為攝像頭時(shí)，透視矩陣為 0 -

33、 00 - 0，沒(méi)有攝像頭時(shí)為，沒(méi)有攝像頭時(shí)為0 0 0 0 0 0 。f11010010000100001T1T11pfzyxfyzyxzyxfpppfpppppp用矩陣表示：知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)： 1.1. 點(diǎn)和面的齊次坐標(biāo)和齊次變換點(diǎn)和面的齊次坐標(biāo)和齊次變換2.2. 三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣3.3. 絕對(duì)變換：如果所有的變換都是相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐絕對(duì)變換：如果所有的變換都是相對(duì)于固定坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對(duì)變換。標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對(duì)變換。4.4. 相對(duì)變換：如果動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸相對(duì)變換：如果動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐

34、標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對(duì)變換。旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對(duì)變換。5.5. 繞任意軸旋轉(zhuǎn)：繞任意軸旋轉(zhuǎn)：5 5步順序步順序6.6. 透視變換透視變換知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)： 三 個(gè) 基 本 旋三 個(gè) 基 本 旋轉(zhuǎn)矩陣轉(zhuǎn)矩陣cos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R （ssin0sincos0001)R(x,co例題例題1 1：O O 與與O O初始重合，初始重合，O O 作如下運(yùn)動(dòng)：繞作如下運(yùn)動(dòng)：繞Z Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)3030 ；繞繞X X軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)6060 ；繞；繞Y Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)9090 。求。求T T。 100001000030cos30sin0030sin30cosR11000060cos60sin0060sin60cos000012R1000090cos090sin0010090sin090cos3R1000002/12/302/34/34/102/14/34/3123RRRT例題例題2 2：O O