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文檔簡介

1、3.1 3.1 問題的提出問題的提出 函數解析式未知函數解析式未知,通過實驗觀測得到的一組數據通過實驗觀測得到的一組數據, 即在即在某個區(qū)間某個區(qū)間a, b上給出一系列點的函數值上給出一系列點的函數值 yi= f(xi)xx1x2xmyy1y2ym 3.23.2. . 曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法n數據含有誤差。數據含有誤差。節(jié)點上的函數值是由實驗或觀測得到的節(jié)點上的函數值是由實驗或觀測得到的數據,不可避免地帶有測量誤差,如果要求所得的近似數據,不可避免地帶有測量誤差,如果要求所得的近似函數曲線精確無誤地通過所有的點函數曲線精確無誤地通過所有的點( (x xi i,y,yi i),

2、),就會使曲線就會使曲線保留著一切測試誤差。當個別數據的誤差較大時保留著一切測試誤差。當個別數據的誤差較大時, ,插值效插值效果顯然是不理想的。果顯然是不理想的。n數據量很大。數據量很大。由實驗或觀測提供的數據個數往往很多由實驗或觀測提供的數據個數往往很多, ,如果用插值法如果用插值法, ,勢必得到次數較高的插值多項式,這樣是勢必得到次數較高的插值多項式,這樣是不可行的。不可行的。為此為此, ,我們希望從給定的數據我們希望從給定的數據( (x xi i,y,yi i) )出發(fā)出發(fā), ,構造一個構造一個近似函數近似函數 , ,不要求函數不要求函數 完全通過所有的數完全通過所有的數據點,只要求所得

3、的近似曲線能反映數據的基本趨據點,只要求所得的近似曲線能反映數據的基本趨勢,如圖勢,如圖3.13.1所示。所示。)(x)(x y o x 圖圖3.13.1曲線擬合示意圖曲線擬合示意圖 曲線擬合曲線擬合: :求一條曲線求一條曲線, ,使數據點均在離此曲線的上方使數據點均在離此曲線的上方或下方不遠處或下方不遠處, ,所求的曲線稱為擬合曲線所求的曲線稱為擬合曲線, ,它既能反映它既能反映數據的總體分布數據的總體分布, ,又不至于出現局部較大的波動又不至于出現局部較大的波動, ,更能更能反映被逼近函數的特性反映被逼近函數的特性, ,使求得的逼近函數與已知函數使求得的逼近函數與已知函數從總體上來說其偏差

4、按某種方法度量達到最小。從總體上來說其偏差按某種方法度量達到最小。 與函數插值問題不同與函數插值問題不同, ,曲線擬合不要求曲線通過所有曲線擬合不要求曲線通過所有已知點已知點, ,而是要求得到的近似函數能反映數據的基本關系而是要求得到的近似函數能反映數據的基本關系。在某種意義上。在某種意義上, ,曲線擬合更有實用價值曲線擬合更有實用價值。 函數插值是插值函數函數插值是插值函數P(xP(x) )與被插函數與被插函數f(xf(x) )在節(jié)點在節(jié)點處函數值相同處函數值相同, ,即即 而曲線而曲線擬合函數擬合函數 不要求嚴格地通過所有數據點不要求嚴格地通過所有數據點 , ,也也就是說擬合函數就是說擬合

5、函數 在在x xi i處的偏差處的偏差( (亦稱殘差)亦稱殘差) 不都嚴格地等于零。但是不都嚴格地等于零。但是, ,為了使近似曲線能盡量反為了使近似曲線能盡量反映所給數據點的變化趨勢映所給數據點的變化趨勢, ,要求要求 按某種度量標準按某種度量標準最小。若記向量最小。若記向量 , ,即要求向量即要求向量 的的某種范數某種范數 最小最小, ,如如 的的1-范數范數 或或-范數范數即即 )()(iixfxP(1,)im)(x),(iiyx)(x()()iiixfx(1,)imi1,Tmeeee1ee111()()mmiiiiiexfxmaxmax ( )() ()iiiiiexf x最大偏差或或

6、最小。最小。為了便于計算、分析與應用,通常要求為了便于計算、分析與應用,通常要求 的的2-2-范數范數 e112222211()()mmiiiiiexfx( 均 方 誤 差 )222211()()mmiiiiiexfx即即 為最小。這種要求誤差(偏差)平方和最小的擬為最小。這種要求誤差(偏差)平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。合稱為曲線擬合的最小二乘法。 一般曲線擬合的 最小二乘法的求法001102010011100111:( )( )( )( )( ),()()()min,0()()()()0(0,1, )( )nnnkkkmniinniiikmkiiinniiixaxaxaxaxS

7、 aaaaxaxaxySSaxaxaxaxyknh x設擬合函數為由最小二乘原則應使對函數 求偏導數并令其為零可得若對于任意函數1,( ):,() ()miiig xh gh x g x引入記號000010n01101111n0n1n0011n01,(0,1, )( ),( ),( )nnnkknknknaaafafafaknxxxf 稱為法方程即寫成矩陣組形式為或正規(guī)方程組。當線性無關時,方程組有唯一解。1110211111112111101( )1,( ),( ),mmmniiiiiimmmmniiiiiiiiinmnnmmmnnnniiiiiiiiimxxyaxxxax yaxxxxxx

8、xxx y取相應的法方程組為例例1 1 設有某實驗數據如下:設有某實驗數據如下: 1 2 3 4 1 2 3 4 1.36 1.37 1.95 2.28 1.36 1.37 1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.963 14.094 16.844 18.475 20.963iixiy 用最小二乘法求以上數據的擬合函數用最小二乘法求以上數據的擬合函數. . 解解: :把表中所給數據畫在坐標紙上把表中所給數據畫在坐標紙上, ,將會看到數據點的將會看到數據點的分布可以用一條直線來近似地描述分布可以用一條直線來近似地描述, ,故設擬合直線為故設擬合直線為 記x1=1.36

9、, x2=1.37, x3 =1.95 x4 =2.28, y1 =14.094, y2= 16.844, y3=18.475, y4=20.963則正規(guī)方程組為則正規(guī)方程組為 01( )xaa x4401114442011114iiiiiiiiiiiaaxyaxaxx y32. 741iix8434.13412iix376.7041iiy12985.13241iiiyx其中其中 將以上數據代入上式正規(guī)方程組將以上數據代入上式正規(guī)方程組, ,得得12985.1328434.1332. 7376.7032. 741010aaaa013.9374,7.4626aa解得解得 即得擬合直線即得擬合直線

10、 xy4626. 79374. 3例例2 2 設某實驗數據如下:設某實驗數據如下: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5 2 1 1 2 3 5 2 1 1 2 3iixiy用最小二乘法求一個多項式擬合這組數據用最小二乘法求一個多項式擬合這組數據. . 解:將已給數據點描在坐標系中,可以解:將已給數據點描在坐標系中,可以看出這些點看出這些點 接近一條拋物線,因此設所求的多項式為接近一條拋物線,因此設所求的多項式為 2210 xaxaay由法方程組由法方程組, , 經計算得經計算得 m=6, 612616161461361261122

11、,30,14,797,225,55,15iiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyxxxx其法方程組為其法方程組為 122979225553022555151455156210210210aaaaaaaaa解之得解之得 5000. 0,7857. 2,7143. 4210aaa25000.07857.27143.4xxy所求的多項式為所求的多項式為 (4 4)可化為線性擬合的非線性擬合)可化為線性擬合的非線性擬合n對于一個實際的曲線擬合問題,一般先按觀測值在直對于一個實際的曲線擬合問題,一般先按觀測值在直角坐標平面上角坐標平面上描出散點圖描出散點圖,看一看散點的分布同哪類,看一看散點的分布同哪

12、類曲線圖形接近,然后曲線圖形接近,然后選用合適的擬合函數選用合適的擬合函數。n非線性擬合函數可以通過非線性擬合函數可以通過變量替換變量替換轉化為線性擬合問轉化為線性擬合問題題,按線性擬合解出后,按線性擬合解出后再還原再還原為原變量所表示的曲線為原變量所表示的曲線擬合方程。擬合方程。 表表3-4列舉了幾類經適當變換后化為線性擬合求列舉了幾類經適當變換后化為線性擬合求解的曲線擬合方程及變換關系解的曲線擬合方程及變換關系 表表3-43-4 曲線擬合方程曲線擬合方程 變換關系變換關系 變換后線性擬合方程變換后線性擬合方程bxya eln,yy(ln)yabx aabaxxyxxyy1,1xbaybax

13、y1yy1yaxbcbxaxy21yy1cbxaxy2cbxaxxy2yxy cbxaxy2幾種常見的數據擬合情況。幾種常見的數據擬合情況。圖圖 ( a ) 數據接近于直線,故宜采用線性函數擬合;數據接近于直線,故宜采用線性函數擬合;圖圖( (b)b)數據分布接近于拋物線可采數據分布接近于拋物線可采擬合擬合二次多項式二次多項式擬合;擬合;xaay102210 xaxaay y y O x O x ( (a)a)( (b)b)圖圖( (c)c):開始曲線上升較快隨后逐漸變慢開始曲線上升較快隨后逐漸變慢, ,宜采用雙曲線型宜采用雙曲線型函數函數 或指數型函數或指數型函數 圖圖( (d)d):開始曲

14、線下降快:開始曲線下降快, ,隨后逐漸變慢隨后逐漸變慢, ,宜采用宜采用 或或 或或 等數據擬合。等數據擬合。bxaxyxbaeybxaxy2bxaxybxaey y y O x O x ( c ) ( d )例例3 3 設某實驗數據如下設某實驗數據如下: : 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.3 2.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.3iixiy用最小二乘法求擬合曲線。用最小二乘法求擬合曲線。 解解: :將已給數據點描在坐標系中下圖所示將已給數據點描在坐標系

15、中下圖所示, ,可以看出這些點可以看出這些點接近指數曲線接近指數曲線, ,因而可取指數函數因而可取指數函數作為擬合函數作為擬合函數. .對函數對函數兩邊取對數得兩邊取對數得. . 令令 就得到線性模型就得到線性模型 bxaeybxaeybxaylnln01ln ,ln ,yy aa ab xaay10則正規(guī)方程組為則正規(guī)方程組為 6601116662011116lnlniiiiiiiiiiiaaxyaxaxxy其中其中 5 . 761iix75.13612iix043302. 2ln61iiy714112. 5ln61iiiyx將以上數據代入上式正規(guī)方程組,得將以上數據代入上式正規(guī)方程組,得7

16、14112. 575.135 . 7043302. 25 . 761010aaaa解得解得 772282. 0,562302. 010aa由由 得得aaln000.5623021.754708,aaeeba1772282.01ab由由 得得于是得到擬合指數函數為于是得到擬合指數函數為 xey772282. 0754708. 1小結小結 插值法和曲線擬合的最小二乘法都是實用性很強插值法和曲線擬合的最小二乘法都是實用性很強的方法。它們解決的實際問題雖然各式各樣,但抽象為的方法。它們解決的實際問題雖然各式各樣,但抽象為數學問題卻有它的共性,即利用已知的數據去尋求某個數學問題卻有它的共性,即利用已知的

17、數據去尋求某個較為簡單的函數較為簡單的函數P(x)P(x)來逼近來逼近f(x)f(x)。插值法和曲線擬合的插值法和曲線擬合的最小二乘法分別給出了尋求這種近似函數的兩類不同的最小二乘法分別給出了尋求這種近似函數的兩類不同的原則,以及構造近似函數的幾種具體方法。其中插值法原則,以及構造近似函數的幾種具體方法。其中插值法要求近似函數在已知的數據點必須與要求近似函數在已知的數據點必須與f(x)f(x)完全一致,曲完全一致,曲線擬合法不要求點點一致而只須滿足一定的整體逼近條線擬合法不要求點點一致而只須滿足一定的整體逼近條件。件。 n插值法中的拉格朗日插值多項式是研究數值微積分插值法中的拉格朗日插值多項式

18、是研究數值微積分與微分方程數值解的重要工具。與微分方程數值解的重要工具。n牛頓插值多項式是拉格朗日插值多項式的變形,具牛頓插值多項式是拉格朗日插值多項式的變形,具有承襲性,比拉格朗日插值多項式節(jié)省計算量。有承襲性,比拉格朗日插值多項式節(jié)省計算量。n分段低次多項式插值由于具有良好的穩(wěn)定性與收斂分段低次多項式插值由于具有良好的穩(wěn)定性與收斂性,且算法簡單,便于應用。特別是應用廣泛的三性,且算法簡單,便于應用。特別是應用廣泛的三次樣條插值,不但有較好的穩(wěn)定性和收斂性,而且次樣條插值,不但有較好的穩(wěn)定性和收斂性,而且具有較好的光滑性,從而滿足了許多實際問題的要具有較好的光滑性,從而滿足了許多實際問題的要求。需對樣條函數作進一步了解的讀者可參閱有關求。需對樣條函數作進一步了解的讀者可參閱有關文獻文獻 n曲線擬合的最小二乘法是處理實驗數據的常用方法。本章曲線擬合的最小二乘法是處理實驗數據的常用方法。本章主要介紹了最小二乘法的基本原理和線性最小二乘問題的主要介紹了最小二乘法的基本原理和線性最小二乘問題的求解方法。求解方法。n多項式擬合是線性最小二乘擬合問題的一種特殊情況

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