華東師大版八年級下冊17.4.4求一次函數(shù)關(guān)系式的常見題型應(yīng)用舉例

1、1744求一次函數(shù)關(guān)系式的常見題型應(yīng)用舉例一次函數(shù)及其圖像是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是每年中考的重點必考內(nèi)容其中求一次函數(shù)關(guān)系式就是一類常見題型 現(xiàn)以近年來中考題為例介紹幾種求一次函數(shù)關(guān)系式的常見題型，供同學(xué)們參考 一.定義型2例1.函數(shù)y( m-3)xm 83是一次函數(shù)，求其關(guān)系式解：由一次函數(shù)定義知m28 1m 3 om 3m 3 m=-3，故一次函數(shù)的關(guān)系式為y=-3x+3評注：利用定義求一次函數(shù) y=kx+b關(guān)系式時，要保證 k工0. .兩點型例2.一次函數(shù)物圖象經(jīng)過A(-2,-3),B(1,3)兩點.(1) 求這個一次函數(shù)的關(guān)系式；(2) 試判斷點P(-1,1)是否在這個一次函數(shù)的圖象上

2、解：設(shè)所求關(guān)系式為y=kx+b ,由題意得2k bk b 33，解得kb-5 )、(6,-2)3k6kb 5解得k b 2k <0,那么圖象經(jīng)過-5 )、(-3,-2)6k3k解得_ 1y= 一 x-4 或 y=3評注：解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的增減性分故該函數(shù)的關(guān)系式式為1x-3.3k>0、 k <0兩種情況確定圖象所經(jīng)所求關(guān)系式為y=2x+1.(2)因為當(dāng)x=-1時，y=2 x( -1) +仁-1，所以點P (-1, 1 )不該函數(shù)圖象上. 評注：這種求函數(shù)關(guān)系式的方法稱為待定系數(shù)法，是確定函數(shù)關(guān)系式的最常用方法 例3.一次函數(shù)y = kx + b的自變量的取值范圍是

3、一3<xw,6相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是5W yw 2那么這個函數(shù)的關(guān)系式為 解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b k>0 ,那么圖象經(jīng)過(-3,過的兩點的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法來解決三.圖像型例4.某中汽車油箱可儲油 60升，加滿油并開始行駛，油箱中的余油量y (升)與行駛里程x ( km)之間的關(guān)系是一次函數(shù)，如圖：1 求y與x的函數(shù)關(guān)系式.2加滿一箱油汽車可行駛多少千米? 解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式 由圖可知該函數(shù)的圖像過點那么5550k b，解得5280k by=kx+b50， 55、 80， 5211060故這個函數(shù)的關(guān)系式為y=1x 60102令 y=0,可得 x=600.評注

4、：圖象法求關(guān)系式的關(guān)鍵是確定圖象上點的坐標(biāo) 四交點型例5.一次函數(shù)y=kx+3的圖象與坐標(biāo)軸的兩個交點之間的距離為5,那么k的值為解：該圖象與坐標(biāo)軸交點為0，3，早，0，根據(jù)勾股定理可得332=52，解得 k= ± -. k過點AA.2x-y+3=0C.2y-x+3=0解：由圖象直線ABAB關(guān)系式為y=kx+b，3 ，解得kb 2b32+例6如圖, 數(shù)的方程是4的一次函數(shù)與反比例函數(shù)B.x-y-3=0D.x+y-3=0經(jīng)過 A0，3，B 1，y=2x的圖象交于點2，設(shè)直線山b那么k3y=-x+3,應(yīng)選 D能表示這"一次函B，故所求一次函數(shù)關(guān)系式為評注：一次函數(shù) y=kx+b

5、的圖象與坐標(biāo)軸的交點是K-，0、 0，b 次函數(shù)圖象的重要特征點，在解題中有著廣泛的應(yīng)用k五. 平移型例7.在平面直角坐標(biāo)系中， 直線y=kx+bk,b為常數(shù)，k工0,b 0可以看成是將直線 y=kx 沿y軸向上平行移動 b個單位而得到的，那么將直線 y=kx沿x軸向右平行移動 mm 0個 單位得到的直線方程是 .解：y=kx m =kx-km評注：函數(shù)圖象平移的實質(zhì)是點的平移，對于直線y=kx，平移過程中k的大小不變，故只須在圖象上再找一個特殊點，將該點按要求平移，再代入即可六. 對稱型例8.假設(shè)正比例函數(shù)y = kx與y= 2x的圖象關(guān)于x軸對稱，那么k等于.解：y = 2x的圖象經(jīng)過1,

6、 2，該點關(guān)于x軸對稱點為1，-2在y = kx 上,故k=-2 例9.直線y=2x+1，1求直線與y軸交點A的坐標(biāo)；2假設(shè)直線y=kx+b與直線關(guān)于y軸對稱，求k和b.解：1令x=0，y=2 x 0+1=1，直線與y軸交點A的坐標(biāo)為0，1.2直線y=kx+b與直線y=2x+1關(guān)于y軸對稱，兩直線的交點為 A 0，1 b=1在直線y=2x+1上取一點 B 1, 3,那么點B關(guān)于y軸的對稱點B '-1, 3在直線y=kx+b上， 3=-k=1/ k=-2.評注：直線對稱有多種，可以是關(guān)于x軸對稱、y軸對稱、某點對稱，也可以是關(guān)于某直線對稱，無論哪一種，都可歸結(jié)為點的對稱，只要找出某特殊點

7、，確定符合條件的對稱點， 進(jìn)而用待定系數(shù)法解決.七. 開放型例10.寫一個一次函數(shù)關(guān)系式，使它的圖象與x軸夾角為45°，這個一次函數(shù)關(guān)系式為.解：y= ± x+b b可取任意實數(shù)評注：這類問題答案不唯一.例11.某一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點一 1, 2,且函數(shù)y的值隨自變量的增大而減小，請 寫出一個滿足上述條件的函數(shù)關(guān)系式： .解：根據(jù)題意，所求的函數(shù)是一次函數(shù)，由于函數(shù)y的值隨自變量的增大而減小，可得kv 0.設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式是 y= kx+ b,因為函數(shù)圖象經(jīng)過一1, 2,所以2=- k+ b.設(shè) k =- 1,貝U b= 3.得 y= x+ 3;設(shè) k = 2,貝U b=

8、 4.得 y= 2 x+ 4.評注：在此題中，一次函數(shù)關(guān)系式中的k是不確定的，我們只要根據(jù)條件賦予k一個負(fù)值，就可以確定一個一次函數(shù)關(guān)系式.八. 探索型例12.下面的圖形是由邊長為I的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的.門i-1觀察圖形，填寫下表:圖形正方形的個數(shù)8圖形的周長18推測第n個圖形中，正方形的個數(shù)為 ,周長為都用含n的代數(shù)式表示.3這些圖形中，任意一個圖形的周長，與它所含正方形個數(shù)石之間的函數(shù)關(guān)系式為 .解：1正方形的個數(shù)為：13, 18 圖形的周長為28, 382正方形的個數(shù)為 5n+3,圖形的周長為10n+83 所含正方形個數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2n+2評注：此題可從特殊到一般進(jìn)

9、行探究，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法九. 猜測型例13.某衡器廠的RGN120型體重秤，最大稱重 120千克，你在體檢時可看到如圖 顯示盤.，指針順時針旋轉(zhuǎn)角x 度與體重y 千克有如下關(guān)系：根據(jù)表格的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng) 的點，順次連結(jié)各點后，你發(fā)現(xiàn)這些點在哪一種圖象上？ 合情猜測符合這個圖形的函數(shù)關(guān)系式；X 度°41442厲y 千克025丸75x的取值范驗證這些點的坐標(biāo)是否滿足函數(shù)關(guān)系式，歸納你的結(jié)論寫出自變量圍;當(dāng)指針旋轉(zhuǎn)到158.4度的位置時，顯示盤上的體重讀數(shù)模糊不清, 時的體重.解：1根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點，連線可得圖象如圖用關(guān)系式求出此猜測符合這個圖形的函數(shù)關(guān)系式為：

10、y = kxk> o.將x= 72 , y= 25代入，得25 = 72k，即 k = 25 ,7225y=x72驗證：將其他兩對分別代入式,均滿足.25y= 25 x由題意知，72OW x< 345.6，即自變量 x的取值范圍是 OW xw 345.6 .25度時，y=x 158.4 = 55千克，即此時的體重為72符合要求的函數(shù)關(guān)系式是(3)當(dāng) x= 158.47255千克.評注：通過列表、描點，猜測函數(shù)關(guān)系式，是在實際生產(chǎn)生活中常用的一種方法十、以形助數(shù)例14如圖1, L1、L2分別表示一種白熾燈和一種節(jié)能燈的費用y 費用=燈的售價+電費，單位：元與照明時間x小時的函數(shù)圖象，

11、假設(shè)兩種燈的使用壽命都是2000小時，照明效果一樣.1根據(jù)圖象分別求出 L1、L2的函數(shù)關(guān)系式；2當(dāng)照明時間為多少時，兩燈的費用相等；3小亮房間方案照明2500小時，他買了一 個白熾燈和一個節(jié)能燈，請你幫他設(shè)計最省錢的用燈方法直接給出答案，不必寫出解題過程.分析：1用待定系數(shù)法可求出 L1、L2的函數(shù)關(guān)系式；2需解方程；3需觀察圖象并加以分析.解: 1設(shè)L1、L2的函數(shù)關(guān)系式分別為:%b1, y2k?xbb，將 x 0 , y 2 ；x 500 , y 17分別代入y1b 1，得:b1 2500k1b117k.解得1b131002L1的函數(shù)關(guān)系式為:1002 (0 wx w 2000.)將 x

12、 0 , y 20 ； x500, y 26 分別代入y1 k2x b2，得:b2 2500k2 b23250 .20的函數(shù)關(guān)系式為：yx 20(0 wx w 2000.)250332令 x 2 = 2x 20,得x 1000 .當(dāng)照明時間為 1000小時，兩種燈的費100250用相等.3由和觀察圖象可看出節(jié)能燈使用2000小時，白熾燈使用 500小時最省錢.點評：這是一道緊密聯(lián)系實際生活的一次函數(shù)圖象信息題，解決這類問題，要從圖象提供的條件出發(fā)，運用函數(shù)知識與解方程組等知識，找出解題途徑.十一、借數(shù)求形2與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 4.求直線的表達(dá)式.例15假設(shè)直線y kx分析：令x 0

13、,得y2 ;令y 0 ,得x別是0, 2,由題意可求出解：結(jié)合圖12,由題意可得：21丄故所求表達(dá)式是2點評：注意此題沒有指明解得：k1x2k的正、負(fù)性，不要誤認(rèn)為2 .2 kk為正數(shù)，造成漏解.例16 一次函數(shù)y xb與x軸，y軸的交點分別為A, B，假設(shè) OAB的周長為2. 2( O為坐標(biāo)原點，求b的值.分析：針對此題，首先根據(jù)題意畫出符合要求的圖形，然后根據(jù)圖形進(jìn)行求解，注意到 絕對值問題的分類.解：根據(jù)題意可知，點 A的坐標(biāo)為b , 0,點B的坐標(biāo)為0, b而一次函數(shù)的圖 象經(jīng)過哪些象限又不知道，只能根據(jù)它和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長去確定取值.由圖象 知，OA |b|, OB |b|，由勾股定理可得 AB .2|b|.圖3于是，我們有：|b| |