排列組合中涂色問(wèn)題的常見(jiàn)方法及策略(新)

1、所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。排列組合中涂色問(wèn)題的常見(jiàn)方法及策略與涂色問(wèn)題有關(guān)的試題新穎有趣 ，其中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想。 解決涂色問(wèn)題方法技巧 性強(qiáng)且靈活多變，故這類(lèi)問(wèn)題的利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、分析問(wèn)題與觀察問(wèn)題的能 力，有利于開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力。本專(zhuān)題總結(jié)涂色問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及求解方法。區(qū)域涂色問(wèn)題放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷！1、根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，對(duì)各個(gè)區(qū)域分步涂色，這是處理染色問(wèn)題的基本方法 例1、 用5種不同的顏色給圖中標(biāo)、的各部分涂色，每部分只涂一種 顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？6個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不（

2、4）與同色、分析：先給號(hào)區(qū)域涂色有 5種方法，再給號(hào)涂色有 4種方法，接著給號(hào)涂色方 法有3種，由于號(hào)與、不相鄰，因此號(hào)有 4種涂法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的 涂色方法有5 4 3 42402、根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計(jì)算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法 原理求出不同的涂色方法種數(shù)。例2、（ 2003江蘇卷）四種不同的顏色涂在如圖所示的 能同色。分析：依題意只能選用 4種顏色，要分四類(lèi):（1） 與同色、與同色，則有A ；（2） 與同色、與同色，則有A4 ；（3） 與同色、與同色，則有A ；4與同色，則有 A4 ；（ 5）與同色、與同色，則有所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5a4=120例

3、3、（2003年全國(guó)高考題）如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？分析：依題意至少要用 3種顏色1）當(dāng)先用三種顏色時(shí)，區(qū)域 2與4必須同色,所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。（2）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著色兩不同的顏色時(shí),2 2有C3A4種著色方法，此時(shí)B、D、F有3 2 2種著色方法，故共有2 2C3A43 2 2432種著色方法。32）區(qū)域3與5必須同色，故有A種；3）當(dāng)用四種顏色時(shí)，若區(qū)域 2與4同色，.44）則區(qū)域3與5不同色，有 A種；若區(qū)域3與5同色，則區(qū)域

4、2與4不同色,亠 44有A種，故用四種顏色時(shí)共有 2A種。由加法原理可知滿(mǎn)足題意的著色方法共有 A3 +2 A4 =24+224=723、根據(jù)某兩個(gè)不相鄰區(qū)域是否同色分類(lèi)討論，從某兩個(gè)不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計(jì)算出兩種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同涂色方法總數(shù)例4用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個(gè)區(qū)域內(nèi)，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？分析：可把問(wèn)題分為三類(lèi)：（1）四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為 A；（2）有且僅兩個(gè)區(qū)域相同的顏色，即只有一組對(duì)角小方格涂相同的顏色，涂法種數(shù)為2c5a4 ；25）兩組對(duì)角小方格分別

5、涂相同的顏色，涂法種數(shù)為A，因此，所求的涂法種數(shù)為 A 2C5A" A 2604、根據(jù)相間區(qū)使用顏色的種類(lèi)分類(lèi)例5如圖，6個(gè)扇形區(qū)域A、B、C、D、E、F，現(xiàn)給這6個(gè)區(qū)域著色，要求同一 區(qū)域涂同一種顏色，相鄰的兩個(gè)區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有 可供選擇解（1）當(dāng)相間區(qū)域 A、C、E著同一種顏色時(shí)，有4種著色方法，此時(shí)，B、D、F各有3種著色方法， 此時(shí)，B、D、F各有3種著色方法故有 4 3 3 3 108 種方法。3（3）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著三種不同的顏色時(shí)有 A種著色方法，此時(shí)B、D、 放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷！3F各有2種著色方法。此時(shí)共有 A4 2 2 219

6、2種方法。故總計(jì)有108+432+192=732種方法。說(shuō)明：關(guān)于扇形區(qū)域區(qū)域涂色問(wèn)題還可以用數(shù)列中的遞推公來(lái)解決。二、點(diǎn)的涂色問(wèn)題方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類(lèi)討論（2）根據(jù)相對(duì)頂點(diǎn)是否同色分類(lèi)討論，（3）將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問(wèn)題。例6、將一個(gè)四棱錐 S ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一：滿(mǎn)足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。（1） 若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S，再?gòu)挠嘞碌?四種顏色中任選兩種涂 A、B、C、D四點(diǎn)，此時(shí)只能 A與C、B與D1 2分別同色，故有C5

7、A460種方法。（2） 若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S，再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，2故有A種染法；再?gòu)挠嘞碌膬煞N顏色中任選一種染D或C，而D與C，而 D與C中另一個(gè)只需染與其相對(duì)頂點(diǎn)同色即可，故有12 11C5A4C2C2240 種方法。綜上所知，滿(mǎn)足題意的染色方法數(shù)為 解法二：設(shè)想染色按 SA B C D的順序進(jìn)行，對(duì) 種染色方法。由于C點(diǎn)的顏色可能與 A同色或不同色， 故分類(lèi)討論：C與A同色時(shí)（此時(shí) C對(duì)顏色的選取方法唯一）（3）若恰用五種顏色染色，有 A 120種染色法60+240+120=420 種。這影響到D點(diǎn)顏色的選取

8、方法數(shù),S、A、B 染色，有 5 4 3 60，D應(yīng)與A（ C）、S不同色，有3 種選擇；C與A不同色時(shí)，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對(duì) C、 D染色有1 3 2 27種染色方法。由乘法原理，總的染色方法是 60 7420解法三：可把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問(wèn)題：如圖， 對(duì)這五個(gè)區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？解答略。三、線(xiàn)段涂色問(wèn)題對(duì)線(xiàn)段涂色問(wèn)題，要注意對(duì)各條線(xiàn)段依次涂色，主要方法有：（1）根據(jù)共用了多少顏色分類(lèi)討論（2）根據(jù)相對(duì)線(xiàn)段是否同色分類(lèi)討論。例7、用紅、黃、藍(lán)、白四種顏色涂矩形ABCD的四條邊，每條邊只涂一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏

9、色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一 ：（i）使用四顏色共有 a4種（2） 使用三種顏色涂色，則必須將一組對(duì)邊染成同色，故有c1c2a2種，（3） 使用二種顏色時(shí)，則兩組對(duì)邊必須分別同色，有a4種因此，所求的染色方法數(shù)為 a4 c4c2a3 A 84種解法二：涂色按AB BC- CD DA的順序進(jìn)行，對(duì) AB、BC涂色有4 3 12種涂色方 法。由于CD的顏色可能與 AB同色或不同色，這影響到 DA顏色的選取方法數(shù)， 故分類(lèi)討論：當(dāng)CD與AB同色時(shí)，這時(shí)CD對(duì)顏色的選取方法唯一，則 DA有3種顏色可供選 當(dāng)CD與AB不同色時(shí)，CD有兩種可供選擇的顏色， DA也有兩種可供選擇的顏色，

10、 從而對(duì)CD、DA涂色有1 3 2 27種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數(shù)為12 7 84種例8、用六種顏色給正四面體 A BCD的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色 且共頂點(diǎn)的棱涂不同的顏色，問(wèn)有多少種不同的涂色方法？解：（1）若恰用三種顏色涂色， 則每組對(duì)棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有A種方法。（2）若恰用四種顏色涂色，則三組對(duì)棱中有二組對(duì)棱的組內(nèi)對(duì)棱涂同色，但組與組之間34不同色，故有CeAe種方法。（3） 若恰用五種顏色涂色，則三組對(duì)棱中有一組對(duì)棱涂同一種顏色，故有C1A5種方法。（4） 若恰用六種顏色涂色，則有A種不同的方法。綜上，滿(mǎn)足題意的總的染色方法數(shù)為A63

11、CjA； C3A5 A® 4080種。四、面涂色問(wèn)題對(duì)線(xiàn)段涂色問(wèn)題，要注意對(duì)各條線(xiàn)段依次涂色，主要方法有：按色數(shù)來(lái)分例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個(gè)正方體的6個(gè)面涂色，每?jī)蓚€(gè)具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要 3三種顏色，由于有多種不同情況，仍應(yīng)考慮利用加法原理分類(lèi)、乘法原理分步進(jìn)行討論解：根據(jù)共用多少種不同的顏色分類(lèi)討論（1）用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一種所涂面為左側(cè)面，則其余3個(gè)面有3!種涂色方案，根據(jù)乘法原理山 5 3! 30（2）共

12、用五種顏色，選定五種顏色有C；6種方法，必有兩面同色（必為相對(duì)面），確定為上、下底面，其顏色可有 5種選擇，再確定一種顏色為左側(cè)面，此時(shí)的方法數(shù)取決于右側(cè)面的顏色，有 3種選擇（前后面可通過(guò)翻轉(zhuǎn)交換）n2 C5 5 3 90共用四種顏色，仿上分析可得門(mén)3 C；C： 90（4）共用三種顏色E C； 20ABCD，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個(gè)面上，要求相鄰不例10、四棱錐PC放棄很簡(jiǎn)單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷!10B1、2、3、4相當(dāng)于四個(gè)解：這種面的涂色問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問(wèn)題，如右圖，區(qū)域 側(cè)面，區(qū)域5相當(dāng)于底面；根據(jù)共用顏色多少分類(lèi)：（1） 最少要用3種顏色，即1與3同色、2與4同色，此時(shí)有 A：種;(2) 當(dāng)用4種顏色時(shí)，1與3同色、2與4兩組中只能有一組同色，此時(shí)有C；A：；故滿(mǎn)足題意總的涂色方法總方法交總數(shù)為 a3 c2a472環(huán)形問(wèn)題的解決如：如圖，把一個(gè)圓分成 n(n 2)個(gè)扇形，每個(gè)扇形用紅、 染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？解：設(shè)分成n個(gè)扇形時(shí)染色方法為 an種(1)當(dāng) n=2 時(shí) A,、A 有 A： =12 種，即 a2=12白、藍(lán)、(2) 當(dāng)分成n個(gè)扇形，如圖，A與A2不同色，A與A不同色，An ,同色的情形； A與A同