2019年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編31：銳角三角函數(shù)

1、、選擇題11. （2019湖南懷化，8, 4分） 已知/ “為銳角，且sin =,則/產(chǎn)（）2A.30 ° B.45 °C.60 °D.90 °【答案】A.【思路分析】 根據(jù)特殊角三角函數(shù)值即可得出答案.1【解答過程】 解：.一/ a為銳角，且sin =，2二 / 行30° .故選A.【知識點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值2. （2019山東濱州，10, 3分）滿足下列條件時(shí)， ABC不是直角三角形的為（）A. AB= ?41 , BC = 4, AC=5B. AB: BC: AC =3: 4: 51費(fèi) 任；C. / a： / b： /C=3： 4： 5

2、d. cosA +僚anB ±= 02和 3 +【答案】C【思路分析】 選項(xiàng)A和B用勾股定理進(jìn)行判斷；選項(xiàng)C利用三角形內(nèi)角和定理求出各角的度數(shù)再進(jìn)行判斷；選項(xiàng)D中，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，特殊角的銳角三角函數(shù)值求出/A和/ B的度數(shù)，再利用內(nèi)角和進(jìn)行判斷.【解題過程】A 中，. 4V5V J4i , AC2+BC2=52+42=41 , AB 2= ( J41 ) 2=41, . . AC2+BC2=AB 2,， ABC 是 直角三角形；B 中， AB : BC: AC=3 : 4: 5,設(shè) AB=3k , BC=4k , AC=5k , -. AB 2+BC2= (3k) 2+ (4k)

3、 2=25k2,AC2=(5k)2=25k2, AB2+BC2=AC2, ABC 是直角三角形；C 中，/ A : / B : / C=3 : 4:5, . . / A=180° X =455X =75° ,12 ABC 不是直角三角形；D 中，12/ B=180° X =60° ,/ C=18012“1rcosA + 每an B 2?二T?二0，又;3 -.1 嘗rcosA - - >0, ?tanB 立 t>0, cosA= - ，tanB=3 -2ZB=30° , . ABC是直角三角形.故選C.【知識點(diǎn)】勾股定理；三角形內(nèi)角

4、和定理；特殊角的銳角三角函數(shù)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)3. （2019四川達(dá)州，題號 10, 3分）矩形 OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知 B （2/3, 2）, 點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn) C在y軸上，P是對角線 OB上一動點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），連接PC,過點(diǎn)P作PD，PC交x 軸于點(diǎn)D,下列結(jié)論：OA=BC= 2/3;當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到OA的中點(diǎn)處時(shí)，PC2+PD2=7;在運(yùn)動過程中，/CDP是一個(gè)定值；當(dāng) ODP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（竽,0）,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（A. 1個(gè) B. 2個(gè) C.3個(gè) D. 4個(gè)【答案】D【思路分析】可以結(jié)合圖形根據(jù)題意，逐個(gè)判斷【解題過程】已知 B （2J3,

5、2）,所以O(shè)A=BC= 2J3,故正確；當(dāng)點(diǎn) D運(yùn)動到OA的中點(diǎn)處時(shí)，OD= J3 ,而OC=2 ,所以O(shè)C2=7,在直角三角形 CPD中，PC2+PD2=7,故正確；過點(diǎn) P作PDLPC交x軸于點(diǎn)D,所以在運(yùn)動過程中，/CDP是一個(gè)定值，故正確；當(dāng) ODP為等腰三角形時(shí)，OC，BD, /CDO=60 °OC2 32 3所以66 J3，即OD= ，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（號 ,0）【知識點(diǎn)】勾股定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)4. （2019四川省涼山市，9, 4）如圖，在 AA B C 中，CA = CB = 4 , cos C =sinB的值為()A而A .215B . 3D.叵4

6、【答案】D【思路分析】 過點(diǎn)A作AD，BC于點(diǎn)D,先利用cosC求CD,再借助勾股定理求 AD、AB,最后求sinB.【解題過程】 過點(diǎn)A作AD± BC于點(diǎn)D,中，AB= .( 15)2 322 6 , sinB=ADAB. COSC=1 , AC=4, .-.CD=1, .BD=3, AD=v；42 12 屈,在 RtAABD 41510 上小小l ,故選D.2 .-64A第9題答圖【知識點(diǎn)】銳角三角函數(shù)；勾股定理5. （2019天津市，2, 3分）2sin60的值等于（A） 1（B） 一 2 （C） , 3 （D）2【答案】C“一，一1 一， 一【解析】常用特殊角三角函數(shù)值sin

7、60=,v3,再乘以2,可得答案C【知識點(diǎn)】有理數(shù)的乘法運(yùn)算及特殊三角函數(shù)值計(jì)算BAC=Z %下列結(jié)論6（2019浙江省金華市，8, 3分）如圖，矩形 ABCD的對角線交于點(diǎn) O,已知AB=m, 錯(cuò)誤的是（）B. BC= m tan amC. AO=2sinD. BD =cos【答案】C.【解析】由銳角三角函數(shù)的定義，得sina= 里，.AO=-BC,故選C.2OA2sin【知識點(diǎn)】銳角三角函數(shù)1 , ABC的頂點(diǎn)都7. （2019湖北宜昌，11, 3分）如圖，在5X4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是在這些小正方形白頂點(diǎn)上，則sin/ BAC的值為（）A.3B- 4【解析】 解：如圖，過

8、 C作CDLAB于D,則/ ADC=90AC二心口葉43"2 工5.，sin/BAC 二里=I.AC 5故選：D.3【知識點(diǎn)】解直角三角形125,8. (2019四川綿陽，10, 3分)公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解周髀算經(jīng)時(shí)給出的“趙爽弦圖” 如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果大正方形的面積是小正方形面積是 25,則(sin 0- cos 0) 2=()A.C.9DG【答案】A【解析】解：二大正方形的面積是125,小正方形面積是 25,，大正方形的邊長為 55,小正方形的邊長為 5,5V5cos 0- 5M5sin 0= 5, . c

9、os 0- sin 上百，2 I1 . ( sin 0- cos0)三百.故選A.【知識點(diǎn)】 數(shù)學(xué)常識；勾股定理的證明；解直角三角形的應(yīng)用9. (2019浙江嘉興，5, 3分)如圖是一個(gè)2 2的方陣，其中每行、每列的兩數(shù)和相等，則 a可以是()阿V司A. tan60B.1C. 0D. 12019【答案】D【解析】解：由題意可得：a | 2| 3密2°,貝U a 2 3 ,解得：a 1 ,故a可以是12019 .故選：D.【知識點(diǎn)】 零指數(shù)哥；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)值二、填空題1. （2019山東聊城，16,3分）如圖，在RtAABC中,/ACB = 90° ,ZB =

10、 60° ,DE為ABC的中位線，延長BC至F使CF= 1BC,連接FE并延長交 AB于點(diǎn)M,若BC = a狽U4FMB的周長為2第16題圖2【解析】BC = a,，CF= - BC= 1a,，BF= 3a-DE 為4ABC 的中位線，DE / BF,DE=- a,.-.A MEDAMFB, 2222MD ED，在 RtABC 中，/ ACB = 90° ,ZB = 60° ,.-. Z A = 30° ,AB = 2a,BD= a,.- MD = 1 a,MB = - a, / MBMB FB22= FB,/B = 60° ,ABMF是等邊三

11、角形，周長=9a2【知識點(diǎn)】三角函數(shù)2. （2019山東淄博，17, 4分）如圖，以 A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形紙片ABC中，將B角折起，使點(diǎn) B處，折痕是 EF.重合）落在AC邊上的點(diǎn)D （不與點(diǎn)A, C34;1 一如圖 1,當(dāng) CD= AC 時(shí)，tan 15 12;21 一如圖 2,當(dāng) CD= - AC 時(shí)，tan 23，一 一 1如圖3,當(dāng)CD= AC時(shí) tan 34 ，依次類推，當(dāng)CD = AC n 1（n為正整數(shù)）時(shí)，tan n第14題圖- 2n 1【答案12n(n 1)【解析】當(dāng)n= 1時(shí),tan當(dāng)n=2時(shí),tan5125;2 6當(dāng)n=3時(shí),tan72473-8;tan n2n2

12、n 1n(2n 2) 2n(n 1)【知識點(diǎn)】幾何變換，規(guī)律探究題3. （2019四川省樂山市，14, 3）如圖,.則AB邊的長為- 3在 ABC 中， B 30 , AC 2, cosC 一 5【答案】- 5【解析】解：過點(diǎn) A 作 ADLBC 于點(diǎn) D,ADB=/ ADC = 90° 在 RtAADC 中，. / ADC = 90° , cosCAC=2, DC=3 X2=6, AD .AC2 CD2 122 68,在 Rt ADB 中，/ ADB= 90° , / B= 30°5555AD116sin B= - ,AB=2AD= AB25【知識點(diǎn)】

13、 解直角三角形；勾股定理4. （2019 四川省眉山市，16, 3 分）如圖，在 RtAABC 中，/ B=90° , AB=5, BC=12,將 ABC 繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋”得到 ADE,使得點(diǎn)D落在AC上，則tan/ECD的值為.第16嬲圖2【解題過程】解：在 Rt ABC 中，/ B=90° , AB=5 , BC=12 , . AC= '52 122 =13, ABC 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到ED 12 3 ADE,ED=BC=12 , AD=AB=12 , / ADE=90 , . CD=AC-AD=13-5=8 , . tan / ECD=-,故答DC 8 2案為：

14、3.2【知識點(diǎn)】勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)5. （2019四川省自貢市，18, 4分）如圖，在由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)圖中，/ “、/ 3如圖所示,貝 U cos（ o+ 份=【答案】.【解題過程】解：連接BC, ,網(wǎng)絡(luò)圖是由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成,. AD=DE = CE=BE, / ADE = /BEC=120°, ADEABEC,./ EBC=a . . / BEC=1200, BE=CE, ./ BCE=(1800-1200) + 2=300, ./ ACB = /ACE + /BCE=600+300=900,設(shè)小正三角形的邊長為a,貝U AC=2

15、a, BC=V3a,在 RtA ACB 中，AB=AC-BC2 = V71. .cos/ABC=t一'-AE 擊a7又. / ABC=/ABE+/CBE" 8" COS( o+ 份=.【知識點(diǎn)】特殊角三角函數(shù)，正三角形性質(zhì)，全等三角形，勾股定理6. (2019 甘肅省，14, 3 分)在 ABC 中 C 90 , tan A ,則 cosB一3【答案】- 2【解析】 解：Q在Rt ABC中， C 90 , tan A ,3設(shè) a J3x, b 3x ,則 c 2%Qx , a 1cosB 一 一 .c 2故答案為1 .2【知識點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值7. （2019江

16、蘇宿遷，17, 6分）如圖，/ MAN = 60° ,若 ABC的頂點(diǎn)B在射線 AM上，且 AB=2,點(diǎn)C在射 線AN上運(yùn)動，當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí)，BC的取值范圍是 .y福A B 2/【答案】- -BC - ：【解析】解：如圖，過點(diǎn)B作BCH AN,垂足為C1, BC21AM,交AN于點(diǎn)C2在 RtABCi 中，AB=2, /A=60° / ABCi=30° AC1=5AB= 1,由勾股定理得：BC1= d5,在 RtABC2 中，AB=2, /A=60°AC2B=30° AC2=4,由勾股定理得：BC2=23,當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí)，點(diǎn)

17、 C在C1C2上移動，此時(shí)西BCV2再.故答案為：出MBCv 2H.A 8 M【知識點(diǎn)】勾股定理；解直角三角形8. （2019 江蘇鹽城，15, 3 分）如圖，在 ABC 中，BC J6 & , C 45 , AB J2AC ,則 AC 的長【解析】 解：過點(diǎn)A作AD BC ,垂足為點(diǎn)D ,如圖所示.設(shè) AC x ,貝U AB J2x.在 Rt ACD 中，AD ACgsinC x , 2CD ACgsosC x; 2在 Rt ABD 中，AB J2x, AD 走x , 2BD ABAD -6 . 2BC BD CD x x V6 72, 22x 2 .故答案為2.【知識點(diǎn)】勾股定理；

18、解直角三角形9（2019 四川綿陽，17, 3 分）在 4ABC 中，若/ B=45° , AB=10k, AC=5l寫，則 ABC 的面積是【答案】75或25.【解析】 解：過點(diǎn)A作ADLBC,垂足為D,如圖所示.在 RtABD 中，AD = AB?sinB= 10, BD = AB?cosB= 10;在 RtACD 中，AD=10, AC=5匕寫，1- CD =也AL =5, .BC=BD+CD = 15 或 BC= BD - CD = 5,_ 1 _ 、 一SaABC= BC?AD = 75 或 25.故答案為：75或25.三、解答題1. （2019山東省淄博市，23, 10分）如圖1,正方形 ABDE和BCFG的邊AB, BC在同一條直線上，且 AB =2BC,取EF的中點(diǎn)M.連接MD, MG , MB.試證明DMLMG,并求MB的值;MG(2)如圖2,將圖1中的正方形變?yōu)榱庑?，設(shè)/EAB=2o(0 0< a< 90°).其它條件不變，問(1)中MB的值有變化嗎？若有變化，求出該值(用含【思路分析】(1)由M是EF的中點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，(2)根據(jù)菱形+/ EAB= 2 ”可以設(shè)連接特殊線段，根據(jù)特殊垂直證明四邊形a的式子表示)；若無變化，說明理由.TBFD為矩形，再設(shè)邊長為 2和1在直角三角形用 a和邊長2和1表示出M