最短路徑問題

1、最短路徑問題最短路徑問題 平面中的最短路徑平面中的最短路徑 立體圖形中的最短路徑立體圖形中的最短路徑最短路徑問題最短路徑問題平面中的最短路徑平面中的最短路徑 如圖所示，從如圖所示，從A A地到地到B B地有三條路地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？你的理由是什么？ 兩點(diǎn)之間兩點(diǎn)之間 線段最短線段最短FEDCBA 問題：如圖，點(diǎn)問題：如圖，點(diǎn) A，B 分別是直線分別是直線 l 異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在 l 上找到一個(gè)點(diǎn)，上找到一個(gè)點(diǎn)，CA CB 最短最短 作法：作法： 連接點(diǎn)連接點(diǎn) A，B 與直線與直線 l 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn) C （CA+

2、CB）min=ABA.l.BC 問題問題 2：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的其解的問題：從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆地出發(fā)，到一條筆直的河邊直的河邊l 飲馬，然后到飲馬，然后到B 地。到河邊什么地。到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAl 精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答

3、了這個(gè)問題。這個(gè)問題后來被稱為題。這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬將軍飲馬 問題問題”。 你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？嗎？BAl將將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象抽象為一條直線。為一條直線。BAl AC 作法：作法：1、過點(diǎn)、過點(diǎn) A 作直線作直線 l 的的 對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn) A2、連接、連接 AB ，與直，與直 線線 l 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn) P3、連接點(diǎn)、連接點(diǎn)A , P此時(shí)（此時(shí)（AP+PB）min P將將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象抽象為一條直線。為一條直線。BAl A C證明：證明： AP1+P1B=A

4、P1+P1B AB =AP+PB =AP+PB AP1+P1BAP+PB同理：同理：AP2+P2BAP+PB故故 （AP+PB）minP1P2P 問題問題 3：牧馬營地在點(diǎn)：牧馬營地在點(diǎn)P處，每天處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃上吃草，再到河邊草，再到河邊b飲水，最后回到營飲水，最后回到營地，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條放牧路線，使其地，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條放牧路線，使其所走的總路程最短？所走的總路程最短？b. Pa草地草地河河b. Pa草地草地河河 作法：作法：1、作點(diǎn)、作點(diǎn)P關(guān)于直線關(guān)于直線a的對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)P1，關(guān)于直線，關(guān)于直線b對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P22、連接、連接P1P2，分別交直線

5、，分別交直線 a,b于點(diǎn)于點(diǎn)A，B3、連接、連接PA，PB，由對(duì)稱軸，由對(duì)稱軸的性質(zhì)知，的性質(zhì)知，PA= P1A，PB=P2B先到點(diǎn)先到點(diǎn)A處吃草，再到點(diǎn)處吃草，再到點(diǎn)B處飲水，最后回到營地，處飲水，最后回到營地，這時(shí)的放牧路線總路程最這時(shí)的放牧路線總路程最短，即短，即 (PB+BA+AP)minBP2AP1b. Pa草地草地河河 證明：證明： PA1+A1B1+B1P = P1A1+A1B1+B1P2 P1A+AB+BP2 = PA+AB+BP PA1+A1B1+B1P PA+AB+BP故故 （PA+AB+BP）minBP2AP1B1A1 問題問題 4：為了做好國慶期間的交通為了做好：為了做

6、好國慶期間的交通為了做好國慶期間的交通安全工作，某交警執(zhí)勤小國慶期間的交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊(duì)從隊(duì)從A處出發(fā)，先到公路處出發(fā)，先到公路 l1 上設(shè)卡檢查，再上設(shè)卡檢查，再到公路到公路 l2 上設(shè)卡檢查，最后再到達(dá)上設(shè)卡檢查，最后再到達(dá)B地執(zhí)行地執(zhí)行任務(wù)，他們?nèi)绾巫卟拍苁箍偮烦套疃?？任?wù)，他們?nèi)绾巫卟拍苁箍偮烦套疃蹋?l1l2. A. Bl1l2A . . B 作法：作法：1、作點(diǎn)、作點(diǎn) A 關(guān)于直線關(guān)于直線 l1 的對(duì)的對(duì)稱點(diǎn)稱點(diǎn) A12、作點(diǎn)、作點(diǎn) B 關(guān)于直線關(guān)于直線 l2 的對(duì)的對(duì)稱點(diǎn)稱點(diǎn) B13、連接、連接 A1B1 ，分別交直線，分別交直線 l1 ,l2 于點(diǎn)于點(diǎn) C，D，則沿路

7、線，則沿路線ACDB 走，才能使走，才能使總路程最短總路程最短先到點(diǎn)先到點(diǎn) C 處設(shè)卡檢查，再處設(shè)卡檢查，再到點(diǎn)到點(diǎn) D 處設(shè)卡檢查，最后處設(shè)卡檢查，最后回到回到 B 處執(zhí)行任務(wù)，這時(shí)處執(zhí)行任務(wù)，這時(shí)的路線總路程最短。即的路線總路程最短。即（AC+CD+DB）minA1C D B1l1l2A . . B 證明：證明： AE+EF+FB = A1E+EF+FB1 = A1E+EG+GF+FB1 A1G + GB1 = A1B1 = A1C+CD+DB1 = AC+CD+DBAE+EF+FBAC+CD+DB故故 （AC+CD+DB）minA1C D B1E F G 問題問題 5：如圖，如圖，A，B

8、兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從，橋造在何處才能使從A到到B的路徑最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋的路徑最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）要與河垂直） 作法：作法： 1 1、將點(diǎn)、將點(diǎn)B B沿垂直與河岸的方沿垂直與河岸的方 向平移一個(gè)河寬到向平移一個(gè)河寬到E E 2 2、連接、連接AEAE交河對(duì)岸與點(diǎn)交河對(duì)岸與點(diǎn)M,M,則則 點(diǎn)點(diǎn)M M為建橋的位置，為建橋的位置，MNMN為為 所建的橋所建的橋。. A. BNM. EABNME 證明：證明： AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD AE+

9、CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN AC+CD+DB AM+NB+MN故故 （ AM+NB+MN ）minCD （2011年）年）A，B兩所學(xué)校在一條東西走向公路的兩所學(xué)校在一條東西走向公路的同旁，以公路所在直線為同旁，以公路所在直線為x軸建立如圖所示的平面軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)系。 (1)一輛汽車由西向東行駛，在行駛過程中是否存一輛汽車由西向東行駛，在行駛過程中是否存在一點(diǎn)在一點(diǎn)C，使，使C點(diǎn)到點(diǎn)到A，B兩校的距離相等？如果有，兩校的距離相等？如果有，請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出該點(diǎn)，保留作圖痕跡；請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出該點(diǎn)，保留作圖痕跡； (2)若在公路邊建一游樂場若在公路邊

10、建一游樂場P， 使游樂場到兩校距離之和最使游樂場到兩校距離之和最 小，通過作圖在圖中找出所小，通過作圖在圖中找出所建建 游樂場的位置游樂場的位置 OA . Bxy 作法：作法：（1）連接）連接 A，B點(diǎn)，以點(diǎn)，以A，B為圓心，任意半徑畫圓，為圓心，任意半徑畫圓，交點(diǎn)為點(diǎn)交點(diǎn)為點(diǎn)M，N，連接，連接MN，交交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)，則點(diǎn)C就是就是所求點(diǎn)，即所求點(diǎn)，即 CA=CB（2）過）過A點(diǎn)做點(diǎn)做 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)軸的對(duì)稱點(diǎn)A1點(diǎn)，連接點(diǎn)，連接 A1B 交交 x 軸軸于點(diǎn)于點(diǎn) P，則點(diǎn)，則點(diǎn) P 就是所求就是所求點(diǎn)，即（點(diǎn)，即（AP+PB）minOA . BxyMNCPA1最短路徑問題最短路徑問題

11、 立體圖形中的最短路徑立體圖形中的最短路徑 問題問題 6：如圖：如圖 在一個(gè)底在一個(gè)底面周長為面周長為20cm,高高AA為為4cm的圓柱石凳上，若的圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在一點(diǎn)食物在B處，恰好一處，恰好一只在只在A處的螞蟻捕捉到這處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從一信息，于是它想從A 處爬向處爬向B處，你們想一想，處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？螞蟻怎么走最近？BAA 螞蟻螞蟻AB的路的路線線BAAdABAABBAOBAArO4怎樣計(jì)算怎樣計(jì)算AB？在在RtRtAAAAB B中，利用勾股定理可得，中，利用勾股定理可得，222BAAAAB側(cè)面展開圖側(cè)面展開

12、圖其中其中AA是圓柱體的高是圓柱體的高,AB是底面圓周長的一半是底面圓周長的一半(r)結(jié)論：圓柱體中的最短路徑為展開圖中一半矩形的對(duì)結(jié)論：圓柱體中的最短路徑為展開圖中一半矩形的對(duì)角線長。角線長。例：有一圓形油罐底面圓的周長為例：有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為，高為6m，一只老鼠從距底面一只老鼠從距底面1m的的A處爬行到對(duì)角處爬行到對(duì)角B處處吃食物，它爬行的最短路線長為多少？吃食物，它爬行的最短路線長為多少？A A . . .B B分析：由于老鼠是沿著圓柱的分析：由于老鼠是沿著圓柱的表面爬行的，故需把圓柱展開表面爬行的，故需把圓柱展開成平面圖形成平面圖形.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段根據(jù)兩點(diǎn)之間線段

13、最短，可以發(fā)現(xiàn)最短，可以發(fā)現(xiàn)A、B分別在分別在圓柱側(cè)面展開圖的寬圓柱側(cè)面展開圖的寬1m處和處和長長24m的中點(diǎn)處，即的中點(diǎn)處，即AB長為最長為最短路線短路線.(如圖如圖)解：解：AC = 6 1 = 5 BC = 24 =12 由勾股定理得由勾股定理得 AB=13(m) BAC222169ABACBC12問題問題 7：如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、：如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬和高分別等于寬和高分別等于5cm，3cm和和1cm，A和和B是這個(gè)臺(tái)階的是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可點(diǎn)去吃可口的食物口的食物.請(qǐng)你想

14、一想，這只螞蟻從請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？點(diǎn)，最短線路是多少？BAABC531512 AB2=AC2+BC2=169 AB=13問題問題 8：如圖，邊長為：如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂?shù)恼襟w中，一只螞蟻從頂點(diǎn)點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離的最短距離是（是（ ） （A）3 （B） （C）2 （D）1AB分析：分析： 由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）。故需把正方體展開成平面圖形（如圖）。CABC21B5左面和

15、上面左面和上面前面和上面前面和上面前面和右面前面和右面問題問題9：如圖，一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn)：如圖，一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，出發(fā)，沿長方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)沿長方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處（三條棱長如圖所處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？ABA1B1DCD1C1214分析分析: 根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路線有三種情況線有三種情況(如圖如圖 ),由勾股由勾股定理可求得圖定理可求得圖1中中AC1爬行的路線最爬行的路線最短短.ABDCD 1C1421AC1 =442 2+3+32 2 =25 =25 前面和上面前面和上面ABB1CA1C1412 AC1 =662 2+1+12 2 =37 =37 前面和右面前面和右面AB1D1DA1C1412 AC1 =552 2+2+22 2 =29 =29左面和上面左面和上面 1、如圖是一個(gè)長方體木塊，已知、如圖是一個(gè)長方體木塊，已知