數(shù)值計(jì)算中的誤差ppt課件

1、內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差及其來(lái)源誤差及其來(lái)源誤差限和有效數(shù)字誤差限和有效數(shù)字相對(duì)誤差與有效數(shù)字的聯(lián)絡(luò)相對(duì)誤差與有效數(shù)字的聯(lián)絡(luò)算法的穩(wěn)定性分析算法的穩(wěn)定性分析主要內(nèi)容主要內(nèi)容內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作 數(shù)值計(jì)算方法，是指將所欲求解的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)問(wèn)數(shù)值計(jì)算方法，是指將所欲求解的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化成一系列算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計(jì)算機(jī)上題簡(jiǎn)化成一系列算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計(jì)算機(jī)上求出問(wèn)題的數(shù)值解，并對(duì)算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差進(jìn)求出問(wèn)題的數(shù)

2、值解，并對(duì)算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差進(jìn)展分析、計(jì)算。展分析、計(jì)算。一、誤差分析一、誤差分析1 數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法2 誤差的含義及其了解誤差的含義及其了解誤差無(wú)處不在。一個(gè)合理的算法也能夠得出錯(cuò)誤的結(jié)果。誤差無(wú)處不在。一個(gè)合理的算法也能夠得出錯(cuò)誤的結(jié)果。內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作3 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性 算法選得不恰當(dāng)，不僅影響到計(jì)算的速度和效率，還會(huì)算法選得不恰當(dāng)，不僅影響到計(jì)算的速度和效率，還會(huì)由于計(jì)算機(jī)計(jì)算的近似性和誤差的傳播、積累直接影響到計(jì)由于計(jì)算機(jī)計(jì)算的近似性和誤差的傳播、積累直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度，有時(shí)甚

3、至直接影響到計(jì)算的成敗。不適宜的算結(jié)果的精度，有時(shí)甚至直接影響到計(jì)算的成敗。不適宜的算法會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差到達(dá)不能允許的地步，而計(jì)算最終失敗，算法會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差到達(dá)不能允許的地步，而計(jì)算最終失敗，這就是算法的數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題。這就是算法的數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題。011( )nnnnp xa xa xaxa0121( )()nnp xa xa xaxaxa內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作二、誤差的種類及其來(lái)源二、誤差的種類及其來(lái)源模型誤差模型誤差觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差舍入誤差舍入誤差(湊整誤差湊整誤差)過(guò)失誤差或忽略誤差過(guò)失誤差或忽略誤差非過(guò)失誤差

4、非過(guò)失誤差內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作1、例子、例子31212x問(wèn)題：計(jì)算算式問(wèn)題：計(jì)算算式 的近似值：的近似值：可用以下四個(gè)式子進(jìn)展計(jì)算：可用以下四個(gè)式子進(jìn)展計(jì)算：分別采用近似值：分別采用近似值：4 . 15724166. 112172和和32121x6121x9970 2x 19970 2x 內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作錯(cuò)誤的結(jié)果錯(cuò)誤的結(jié)果內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作 因此，在研討算法的同時(shí)，還必需因此，在研討算法的同時(shí)，還

5、必需正確掌握誤差的根本概念，以及誤差在正確掌握誤差的根本概念，以及誤差在近似值運(yùn)算中的傳播規(guī)律，誤差分析、近似值運(yùn)算中的傳播規(guī)律，誤差分析、估計(jì)的根本方法和算法的數(shù)值穩(wěn)定性概估計(jì)的根本方法和算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念。否那么，一個(gè)合理的算法也能夠會(huì)念。否那么，一個(gè)合理的算法也能夠會(huì)得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果來(lái)。得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果來(lái)。內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作解方程解方程010) 110(992xx21,242bbacxa 來(lái)編制計(jì)算機(jī)程序，在字長(zhǎng)為8，基底為10的計(jì)算機(jī)上進(jìn)展運(yùn)算，那么由于計(jì)算機(jī)實(shí)踐上采用的是規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算，這時(shí)00000000.

6、 0101 . 0110109b011010910101010101 .01000000000.0101 .0 b9929210104)110(4 acb的第二項(xiàng)中最后兩位數(shù)“01，由于受計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制，在機(jī)器上表示不出來(lái)，于是有：1,109xx準(zhǔn)確解：準(zhǔn)確解：求根公式：求根公式：內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作29991410101022bbacxa 299241010022bbacxa 對(duì)嗎？不對(duì)，那么需求把算法進(jìn)展改良！這里利用根與對(duì)嗎？不對(duì)，那么需求把算法進(jìn)展改良！這里利用根與系數(shù)的關(guān)系：系數(shù)的關(guān)系：acxx21929111011

7、10cxa x于是有：內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作三、三、 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差1、絕對(duì)誤差、絕對(duì)誤差設(shè)某一個(gè)量的準(zhǔn)確值稱之為真值為設(shè)某一個(gè)量的準(zhǔn)確值稱之為真值為 ，其近似值，其近似值為為 ，那么，那么 與與 的差的差稱為近似值稱為近似值 的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。當(dāng)?shù)慕^對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。當(dāng) 時(shí)，時(shí)，稱為虧近似值或弱近似值，反之那么稱為盈近似值或稱為虧近似值或弱近似值，反之那么稱為盈近似值或強(qiáng)近似值。強(qiáng)近似值。xx*( )(1)xxx0)( xx*x*x內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰

8、 制作制作2、絕對(duì)誤差限，或精度、絕對(duì)誤差限，或精度)2()(*xxxx此 稱為近似值 的絕對(duì)誤差限，或精度。由于真值往往是未知或無(wú)法知道的，因此 的準(zhǔn)確值真值也就是無(wú)法求出。但普通可估計(jì)出此絕對(duì)誤差 的上限，也即可以求出一個(gè)正數(shù) ，使)(x)(x內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作二、相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限二、相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限1、 為什么要討論相對(duì)誤差為什么要討論相對(duì)誤差2 、相對(duì)誤差、相對(duì)誤差定義：絕對(duì)誤差與真值之比定義：絕對(duì)誤差與真值之比*( )( )(4)rxx xxxx4、 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差的關(guān)系：* ( )( )rxxx3、相對(duì)誤

9、差限)(xr內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作 由于一個(gè)量的真值往往是不能夠求出的，所以在求相對(duì)誤差時(shí)，常用絕對(duì)誤差與近似值的比來(lái)描畫(huà)。于是有：*( )( )rxxx*( )( )100rxxx百分誤差：內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作三、有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)三、有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)系系1、有效數(shù)字、有效數(shù)字分析：當(dāng)近似值分析：當(dāng)近似值 的誤差限是其某一位上的誤差限是其某一位上的半個(gè)單位時(shí)，就稱其的半個(gè)單位時(shí)，就稱其“準(zhǔn)確到這一位，準(zhǔn)確到這一位，且從該位起直到前面第一位非零數(shù)字為止的且從該

10、位起直到前面第一位非零數(shù)字為止的一切數(shù)字都稱為有效數(shù)字。一切數(shù)字都稱為有效數(shù)字。*x內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作例如例如 的五、六位有的五、六位有效數(shù)字分別為：效數(shù)字分別為：14159265. 314159. 3,1416. 321普通說(shuō)，設(shè)有一個(gè)數(shù)普通說(shuō)，設(shè)有一個(gè)數(shù) ，其近似值，其近似值 的規(guī)格化方式的規(guī)格化方式式中：式中： 都是都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)字，字， ；n是正整數(shù)；是正整數(shù)；m是整數(shù)。是整數(shù)。*x)5(10. 021*mnxn,2101x內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信

11、息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作)6(1021)(*nmxxx那么稱那么稱 為具有為具有n位有效數(shù)字的有效數(shù)，或稱為位有效數(shù)字的有效數(shù)，或稱為它精度到它精度到 。其中每一位數(shù)字。其中每一位數(shù)字 都都 是的有效數(shù)字。是的有效數(shù)字。*xnm10n,21*x假設(shè)假設(shè) 的誤差限為的誤差限為*x內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作幾點(diǎn)留意幾點(diǎn)留意2033，0.02033，0.02033，0.0203005*0.1524x 0.15 4x 存凝數(shù)字存凝數(shù)字內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作2、有效數(shù)字與誤差

12、的關(guān)系、有效數(shù)字與誤差的關(guān)系由上式，可以從有效數(shù)字算出近似值得絕對(duì)誤差限；有效數(shù)字的位數(shù)越多，其絕對(duì)誤差限也就越小。)6(1021)(*nmxxx絕對(duì)誤差限相對(duì)誤差限11110 (7)2n 參考：易大義，計(jì)算方法，浙江大學(xué)參考：易大義，計(jì)算方法，浙江大學(xué)內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的計(jì)算以及有效數(shù)字？絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的計(jì)算以及有效數(shù)字？例1 當(dāng)用 來(lái)表示 的近似值時(shí)，它的相對(duì)誤差是多少？1416. 3解： 具有五位有效數(shù)字， ，由(7)有1416. 331415*106110321)(xr計(jì)算題內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科

13、學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作例2 要使積分 的近似值 的相對(duì)誤差不超越0.1，問(wèn)至少取幾位有效數(shù)字？102dxeIx*I解：可以知道， 這樣 ，7467. 0I71%1 . 010721)(1*nrx可得可得n=3，即，即 只需取三位有效數(shù)字只需取三位有效數(shù)字 ，就能保證就能保證 的相對(duì)誤差不大于的相對(duì)誤差不大于0.1%。*I*0.747I *I內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作四、誤差的傳播與估計(jì)四、誤差的傳播與估計(jì)1、誤差估計(jì)的普通公式、誤差估計(jì)的普通公式在實(shí)踐的數(shù)值計(jì)算中，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)往往都在實(shí)踐的數(shù)值計(jì)

14、算中，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)往往都是些近似值，帶有誤差。這些數(shù)據(jù)誤差在多次是些近似值，帶有誤差。這些數(shù)據(jù)誤差在多次運(yùn)算過(guò)程中會(huì)進(jìn)展傳播，使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差。運(yùn)算過(guò)程中會(huì)進(jìn)展傳播，使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差。而確定計(jì)算結(jié)果所能到達(dá)的精度，顯然是非常而確定計(jì)算結(jié)果所能到達(dá)的精度，顯然是非常重要的，但這往往也是件很困難的事。但做一重要的，但這往往也是件很困難的事。但做一些有用的估計(jì)還是可以做到的。這里引見(jiàn)一種些有用的估計(jì)還是可以做到的。這里引見(jiàn)一種常用的誤差估計(jì)的普通公式，它是利用函數(shù)的常用的誤差估計(jì)的普通公式，它是利用函數(shù)的泰勒泰勒(Taylor展開(kāi)得到的。展開(kāi)得到的。內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)

15、學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作以二元函數(shù)為例),(21xxfy )(.)()(.)(),(),()(2*21*1*2*121*xxfxxfxxfxxfyyy絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差：*2*1)()(xfxf和分別是 和 對(duì) 的絕對(duì)誤差增長(zhǎng)因子，它們分別表示絕對(duì)誤差 經(jīng)過(guò)傳播后增大或減少的倍數(shù)。*2x*1x*y)()(21xx和內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作)(.)()(.)()(.)()(.)()()(2*2*21*1*1*2*2*1*1*xxfyxxxfyxyxxfyxxfyyyrrr相對(duì)誤差：相對(duì)誤差：*2*2*1*1)()(xfy

16、xxfyx和分別是分別是 和和 對(duì)對(duì) 的絕對(duì)誤差增長(zhǎng)因子，它的絕對(duì)誤差增長(zhǎng)因子，它們分別表示絕對(duì)誤差們分別表示絕對(duì)誤差 經(jīng)過(guò)傳播后增大或減少的倍數(shù)。經(jīng)過(guò)傳播后增大或減少的倍數(shù)。*2x*1x*y)()(2*1*xxrr和內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作2、誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播、誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播1、加、減運(yùn)算)18()()(11niiniixx)19()()(1*1*1*niirniiiniirxxxx內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作)()(2*2*1*2*2*1*121*xxxxxxx

17、xxrr)()()(2*2*1*22*2*1*121*xxxxxxxxxxrrr相減：和兩數(shù)21xx即：內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作例如，當(dāng)要求計(jì)算例如，當(dāng)要求計(jì)算 ，結(jié)果準(zhǔn)確到第，結(jié)果準(zhǔn)確到第五位數(shù)字時(shí)，至少取到八位五位數(shù)字時(shí)，至少取到八位301. 37349352. 101. 37320508. 13 3108844. 2301. 3才干到達(dá)具有五位有效數(shù)字的要求。假設(shè)變換算式五位：3108843. 27321. 17349. 101. 0301. 3301. 3301. 3內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院

18、 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作9970 2x 6( 21)x 3、例題分析、例題分析19970 2x 32121x問(wèn)題：利用問(wèn)題：利用 計(jì)算代數(shù)式計(jì)算代數(shù)式 的值，的值，并分析對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。并分析對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。72532121x內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開(kāi)騰吳開(kāi)騰 制作制作分析算法對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果有重要的影響。分析算法對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果有重要的影響。由于兩個(gè)近似數(shù)相減，使計(jì)算結(jié)果的有效由于兩個(gè)近似數(shù)相減，使計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)顯著減少，以第二種算法尤為嚴(yán)數(shù)字位數(shù)顯著減少，以第二種算法尤為嚴(yán)重。而后兩種算法中，那么有效數(shù)字的損重。而后兩種算法中，那么有效數(shù)字的損失較少。又由于近似值的失較少。又由于近似值的p次乘方的相對(duì)誤次乘方的相對(duì)誤差是該