圓切線證明地方法

1、切線證明法切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑切線的性質定理的推論1:經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.切線的性質定理的推論2:經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心1_ 1ji- -jm-.ijmm ii r- mm ii r- mm i-u-i ni- j- - m i-i.-u-u-i ni- j-j- m i -i.-u-u-i nij- r切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和 圓心的連線平分兩條切線的夾角。MWWWMWWWWMUlWWWMWWWWWWVWWWWWMWWWMMWW

2、UWWWWWWIWWWWMWIWMWVWIWWWVWWWWWdh一、要證明某直線是圓的切線，如果已知直線過圓上的某一個點，那么作出 過這一點的半徑，證明直線垂直于半徑.【例1】如圖1，已知AB為。O的直徑，點D在AB的延長線上，BD =OB，點C在圓上，/CAB = 30o .求證：DC是O O的切線.思路：要想證明DC是。O的切線，只要我們連接 0C,證明ZOCD = 90o 即可.證明：連接OC，BC.AB 為O O 的直徑，：ZACB = 90o .1 vzCAB = 30o ,BC=丄 AB = OB .21'.'BD = OB，.°.BC= OD .

3、6;.zOCD = 90o .2DC是O O的切線.【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結論， 特別要注意“經過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.【例2】如圖2，已知AB為OO的直徑，過點B作O O的切線BC,連接圖20C,弦AD /0C .求證：CD是O O的切線.精彩文檔思路：本題中既有圓的切線是已知條件， 又證明另一條直線是圓的切線. 也 就是既要注意運用圓的切線的性質定理， 又要運用圓的切線的判定定理.欲證明 CD是OO的切線，只要證明/ ODC = 90o即可.證明：連接OD .OC /AD ," =/3 ,/2 = /4 .&

4、#39;'OA = OD , '/! = /2 . /3 =/4 .又 vOB = OD , OC = OC ,/.zOBC/ODC . A/OBC = /ODC .BC 是O O 的切線，：/OBC = 90o .QDC = 90o .DC是O O的切線.【例3】如圖2，已知AB為O O的直徑，C為O O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為 D .求證：AC平分ZDAB .思路：利用圓的切線的性質一一與圓的切線垂直于過切點 的半徑.證明：連接OC .CD是O O的切線，：0C丄CD .AD 丄 CD , AOC /AD ." =/2.''OC

5、= OA , a/1 =/3 .z2 = /3 .AC 平分ZDAB .【評析】已知一條直線是某圓的切線時，切線的位置一般是確定的.在解決 有關圓的切線問題時，輔助線常常是連接圓心與切點，得到半徑，那么半徑垂直切線.【例4】 如圖1 , B、C是。O上的點，線段AB經過圓心0,連接AC、BC,過點C作CD丄AB于D ,ZACD=2 ZB . AC是。0的切線嗎？為什么？解：AC是。0的切線.理由：連接0C,vOC=OB,zOCB= ZB.v/COD是ABOC的外角，zCOD= ZOCB+ ZB=2 ZB.vZCD=2 ZB,ZCD = /COD .CD 丄 AB 于 D , /DCO+ ZCO

6、D=90 /DCO+ ZACD=90 即OC丄AC .C為O O上的點， AC是O O的切線.【例5】如圖2，已知0 0是厶ABC的外接圓，AB是OO的直徑，D是AB的延長線上的一點，AE丄DC交DC的延長線于點E,且AC平分ZEAB.求證:DE是O O的切線.證明：連接OC,貝U OA=OC, zCAO= TACO,VAC 平分 /EAB,zEAC= ZCAO= ZAC O,AE/CO,又AE丄DE,CO 丄DE,DE是。O的切線.、直線與圓的公共點未知時須通過圓心作已知直線的垂直線段，證明此垂線段的長等于半徑【例6】如圖3 , AB=AC , OB=OC , O O與AB邊相切于點D .證

7、明:連接OD , 作 OE丄AC,垂足為E.VAB=AC, OB = OC .AO 為/BAC 角平分線，Z DAO= /EAOVOO與AB相切于點D , zBDO= ZCEO=90 ° .VO=AO ZADO 也 AEO，所以 OE= OD .OD是O O的半徑，：OE是O O的半徑. OO與AC邊相切.【例7】 如圖，在AABC中，AB=AC，以AB為直徑的O O交BC于D，交AC于E, B為切點的切線交OD延長線于F.求證：EF與O O相切.證明：連結OE, AD.VAB是O O的直徑，AD 丄 BC.又VAB=BC，/= Z4.BD=DE，Z1= Z2.又 VOB=OE，OF

8、=OF， OF 也£0F (SAS). Z)BF= ZOEF.BF與。0相切，OB 丄 BF. Z)EF=90 0.£F與。O相切.說明：此題是通過證明三角形全等證明垂直的【例8】如圖，AD是/BAC的平分線，P為BC延長線上一點，且PA=PD.求證：PA與O O相切.證明一：作直徑AE,連結EC.VPA=PD ，/z2= Z1+ ZDAC.2"7CAD 是ZBAC 的平分線，zDAB= ZDAC. z2= ZB+ /DAB，/= ZB.又v/B= ZE，/= ZEVAE是。O的直徑，AC 丄EC，ZE+ /EAC=90/+ /EAC=90即 OA 丄 PA.PA

9、與O O相切.OE.證明二：延長AD交。O于E,連結OA ,ADo是ZBAC的平分線，BE=CE,0E 丄 BC.左+ ZBDE=90 0.OA=0E ,左=Z1.VPA=PD , zPAD= /PDA.又v/PDA= ZBDE, /+ ZPAD=90 0即OA丄PA.PA與O 0相切說明：此題是通過證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識的綜合運用【例9】如圖，AB=AC , AB是O 0的直徑，O 0交BC于D , DM丄AC于M求證：DM與O 0相切. 證明一：連結0D.VAB=AC ,B zB= ZC.0B=0D ,/= ZB.力=ZC.OD /AC.DM 丄AC,DM 丄 OD.D

10、M與O O相切證明二：連結OD , AD.AB是。O的直徑，AD 丄 BC.又 VAB=AC, Z= Z2.DM 丄AC, Z+ Z4=90 0OA=OD , Z= Z3. Z3+ Z4=90 0.即OD丄DM.DM是O O的切線說明：證明一是通過證平行來證明垂直的 的，解題中注意充分利用已知及圖上已知.證明二是通過證兩角互余證明垂直【例10】 如圖，已知：AB是OO的直徑，點C在OO上，且ZCAB=30 0BD=OB，D在AB的延長線上.求證：DC是O O的切線證明：連結OC、BC.OA=OC ,:./A= /仁 Z3O0.zBOC= ZA+ Z1=60 0 又vOC=OB ,zOBC是等邊

11、三角形.OB=BC.vOB=BD ,OB=BC=BD.OC 丄 CD.DC是。O的切線.說明：此題解法頗多，但這種方法較好【例12】 如圖，AB是。O的直徑，CD丄AB，且OA2=OD OP.證明：連結OCvOA2=OD OP，OA=OC，求證：PC是O O的切線.OC2=OD OP，OC OPOD OC .又/1= Z1， zOCP s/ODC. zOCP= ZODC.CD 丄 AB ,zOCP=90 0 PC是。O的切線.說明：此題是通過證三角形相似證明垂直的【例13】 如圖，ABCD是正方形，G是BC延長線上一點，AG交BD于E,交CD于F.求證：CE與CFG的外接圓相切.分析：此題圖上

12、沒有畫出 CFG的外接圓，但 CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點，為此我們取FG的中點0,連結0C，證明CE丄OC即可得解.證明：取FG中點0,連結0C.VABCD是正方形，BC 丄 CD，CFG 是 RtO是FG的中點， 0是Rt /FG的外心.vOC=OG，23= ZG，AD /BC，zG= 24.AD=CD，DE=DE，ZADE= ZCDE=45 0， DE DE (SAS).2= 21，21= 23.vz2+ /3=90 0/+ 72=90 0即CE丄OC.CE與:FG的外接圓相切二、若直線I與。O沒有已知的公共點，又要證明I是。O的切線，只需作OA丄I, A為垂足，證明OA是O

13、 O的半徑就行了，簡稱：“作垂直；證半徑”【例14】 如圖，AB=AC，D為BC中點，O D與AB切于E點.求證：AC與O D相切.證明一：連結DE，作DF丄AC，F是垂足.VAB是O D的切線，DE 丄 AB.DF 丄 AC，zDEB= ZDFC=90 0.VAB=AC，zB= ZC.又vBD=CD ，DE/CDF (AAS)DF=DE.:F在O D上.證明二:DE 丄 AB.AB=AC , BD=CD , /= Z2.DE 丄 AB , DF 丄 AC ,DE=DF.在O D上.AC與O D相切.說明：證明一是通過證明三角形全等證明 DF=DE的，證明二是利用角平分線的性質證明DF=DE的，這類習題多數與角平分線有關.【例15】已知：如圖，AC,BD與。O切于A、B,且AC /B