高考數(shù)學(xué)二輪考點專題突破圓錐曲線的概念及性質(zhì)

1、學(xué)習必備歡迎下載第二講圓錐曲線的概念及性質(zhì)一、選擇題1(2010 安·徽 )雙曲線方程為x2 2y21，則它的右焦點坐標為()A.2，0B.5， 0C.6， 0D (3，0)222x2y22解析： 原方程可化為1 1 1， a1，2b21， c2 a2 b2 3，22右焦點為6， 0 .2答案： Cx2y22(2010 天·津 )已知雙曲線 a2 b2 1(a>0， b>0) 的一條漸近線方程是y3x，它的一個焦點在拋物線y2 24x 的準線上，則雙曲線的方程為()x2 y2 1B. x2 y2 1A. 3610892722D. x2y2x y 1 1C.108

2、36279解析： 漸近線方程是 y3x，ba3.雙曲線的一個焦點在y2 24x 的準線上，c 6.又 c2 a2 b2，由知，a2 9，b2 27，x2y2此雙曲線方程為9271.答案： B學(xué)習必備歡迎下載4(2010 遼·寧 )設(shè)拋物線 y2 8x 的焦點為F，準線為 l， P 為拋物線上一點，PA l，A 為垂足如果直線 AF 的斜率為3，那么 |PF|()A4 3B 8C8 3D16解析： 解法一： AF 直線方程為：y3(x 2)，當 x 2 時， y 4 3， A( 2,4 3)當 y 4 3時代入 y2 8x 中， x 6， P(6,4 3)， |PF| |PA| 6 (

3、 2) 8.故選 B.解法二： PA l， PA x 軸又 AFO 60°， FAP 60°，又由拋物線定義知PAPF， PAF 為等邊三角形學(xué)習必備歡迎下載又在 Rt AFF 中， FF 4， FA 8， PA 8.故選 B.答案： B5高 8 m 和 4 m 的兩根旗桿筆直豎在水平地面上，且相距10 m，則地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡為()A 圓B 橢圓C 雙曲線D拋物線解析： 如圖 1，假設(shè) AB、 CD 分別為高 4 m、 8 m 的旗桿， P 點為地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點，由于BPADPC，則 RtABP RtCDP ， BADC ，從而PA P

4、CPC 2PA.在平面 APC 上，以 AC 為 x 軸， AC 的中垂線為 y 軸建立平面直角坐標系(圖2)，則 A( 5,0)， C(5,0)，設(shè) P(x， y)，得x 5 2 y22x 5 2y2化簡得 x2 y2 503 x 25 0，顯然， P 點的軌跡為圓答案： A二、填空題222221解析： 由題知，垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓，則c<b?c <b ac? e<2，又2e(0,1)，所以 e 0， 2 .答案： 0，227(2010 浙·江 )設(shè)拋物線 y2 2px(p>0) 的焦點為 F，點 A(0， 2)若線段 FA 的中點 B 在拋物線上，

5、則B 到該拋物線準線的距離為 _pp解析： F 2，0，則 B 4，1，2p× p 1，解得 p 2.422232B 4 ， 1 ，因此 B 到 該拋物線的準線的距離為4 24 .學(xué)習必備歡迎下載答案：3242222x2y2x y 1 的焦點相同，8(2010 北·京 )已知雙曲線 a b 1 的離心率為2，焦點與橢圓 259那么雙曲線的焦點坐標為_；漸近線方程為 _x2y2解析： 橢圓259 1 的焦點為 ( ±4,0)，雙曲線的焦點坐標為 ( ±4,0) ，c 4，ac 2， c2 a2 b2，a 2，b2 12，x2y2雙曲線方程為 4 121，b

6、漸近線方程為 y± x ± 3x，a即 3x±y 0.答案： ( ±4,0)3x±y 03ca23c3c2即 xD2 ，由橢圓的第二定義得|FD | e c 2 a2a .又由 |BF| 2|FD |，得 a23c222a a，整理得 a 3c，即 e2 1，解得 e 3.33答案：33三、解答題學(xué)習必備歡迎下載10已知 P 點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P 到兩焦點的距離分別為45和25，33過 P 作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程解： 解法一：設(shè)橢圓的標準方程是x2y2y2x2a2 b2 1(a>b>0)或 a

7、2 b2 1(a>b>0) ，兩個焦點2y2分別為 F 1、 F 2，則由題意，知2a |PF 1| |PF 2| 2 5， a5.在方程x12b2a中，令 x±c，得 |y| b22222y2x2bb 2a .在方程 a b 1中，令 y ±c，得 |x| a .依題意知 a3 5， b2 102222x 3y 1 或y 3x 1.3 .即橢圓的方程為510510解法二： 設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，45，|PF 2|25則 |PF1 |33.由橢圓的定義，知2a |PF 1| |PF 2| 25，即 a 5.由 |PF1 |>|PF 2|知， P

8、F2 垂直于長軸22260故在 RtPF 2F1 中， 4c |PF 1| |PF 2| ， c2 53，于是 b2 a2 c2 103.x23y2又所求的橢圓的焦點可以在x 軸上，也可以在y 軸上，故所求的橢圓方程為5103x2y2 1 或10 5 1.11 (2010 ·北湖 )已知一條曲線C 在 y 軸右邊， C 上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng) 軸距離的差都是1.(1) 求曲線 C 的方程；(2) 是否存在正數(shù) m，對于過點 M(m,0)且與曲線 C 有兩個交點 A、 B 的任一直線， 都有 FA·FB <0？若存在，求出m 的取值范圍；若不存在，請說

9、明理由解：(1) 設(shè) P(x，y)是曲線 C 上任意一點， 那么點 P(x，y)滿足x 1 2 y2x 1(x>0) ，化簡得 y2 4x(x>0) (2) 設(shè)過點 M(m,0)(m>0) 的直線 l 與曲線 C 的交點為 A(x1 ，y1 )， B(x2， y2)xtym，得設(shè) l 的方程為 x ty m，由y2 4xy2 4ty 4m 0，y1 y2 4t，16(t2 m)>0 ，于是y1y2 4m.學(xué)習必備歡迎下載又 FA (x11， y1)， FB (x2 1， y2)， FA·FB<0 ? (x1 1)(x2 1) y1y2 x1x2 (x1

10、x2) 1 y1y2<0.又 xy2y12y22y12y221<0?y1y221(y1，于是不等式等價于4· y1y2416 y1y24444y2) 2 2y1y2 1<0 ，由式，不等式等價于m2 6m 1<4t2，對任意實數(shù) t,4t2 的最小值為 0，所以不等式對于一切t 成立等價于 m2 6m 1<0，即 3 2 2<m<32 2.由此可知，存在正數(shù)m，對于過點 M(m,0)且與曲線 C 有兩個交點 A，B 的任一直 2， 3 2 2)線，都有 FA·FB<0，且 m 的取值范圍是 (3 2y2x2e512 (2009

11、 陜·西， 21)已知雙曲線 C 的方程為 221(a>0， b>0)，離心率，頂點ab22 5到漸近線的距離為 5 .(1) 求雙曲線 C 的方程；(2) 如圖， P 是雙曲線 C 上一點， A， B 兩點在雙曲線 C 的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限.若 AP PB， 1， 2 ，求 AOB 面積的取值范圍3解：解法一： (1)由題意知， 雙曲線 C 的頂點 (0，a)到漸近線 ax by0 的距離為 25，5ab22 5，即ab2525c5.a bab25，a 2，c5由c5，得 b 1，a2c5，c2 a2 b2y22雙曲線C 的方程為4 x 1.(2) 由

12、(1) 知雙曲線 C 的兩條漸近線方程為y ±2x.設(shè) A(m,2m) ，B( n,2n)， m>0，n>0.m n 2 m n由 AP PB PB得 P 點的坐標為，1 1 2將 P 點坐標代入 y x2 1，4學(xué)習必備歡迎下載21化簡得 mn，4設(shè) AOB 2， tan 2 2，14 tan ，sin 2 .25又 |OA| 5m，|OB | 5n，1 S AOB 2|OA| ·|OB| ·sin 21 1 2mn 2 1.111， 2，記 S() 2 1，31 1則 S ()2 1 2由 S () 0 得 1，又 S(1) 2，189S 3 3， S(2)4，當 1 時， AOB 的面積取得最小值2，當 1時， AOB 的面積取得最大值 833. AOB 面積的取值范圍是2，83 .解法二： (1) 同解法一(2) 設(shè)直線 AB 的方程為 y kxm由題意知 |k|<2， m>0.y kxm，由y 2x得 A 點的坐標為m ， 2m2 k 2 k ，y kxm，得 B 點的坐標為 m ， 2m由y 2x2 k2 k .由 AP=PB得 P 點的坐標為11m2k2 k， 2m 2