高考數(shù)學(xué)圓周運(yùn)動(dòng)綜合復(fù)習(xí)(含知識(shí)點(diǎn)和例題詳解)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載圓周運(yùn)動(dòng)一、描述述圓周運(yùn)動(dòng)物理量：弧長(zhǎng)v s1、線速度 矢量方向切向時(shí)間t理解：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)的弧長(zhǎng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)不勻速,是角速度不變的運(yùn)動(dòng)可理解為前面學(xué)過(guò)的即時(shí)速度角度2、角速度矢量方向不要求單位： rad / s弧度 / 秒時(shí)間t理解：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度3 線速度和角速度是從兩個(gè)不同的角度去描速同一個(gè)運(yùn)動(dòng)的快慢3、周期和頻率周期（ T ）物體運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間頻率（ f）單位時(shí)間內(nèi)完成多少個(gè)圓周 1T1， 周期倒數(shù) (Hz S )f轉(zhuǎn)速（ n）單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)（ r/s r/min ）【例 1】如圖所示裝置中，三個(gè)輪的半徑分別為r 、2r 、 4r ， b 點(diǎn)到圓心的距

2、離為r ，求圖中 a、 b、 c、 d 各點(diǎn)的線速度之比、角速度之比、加速度之比。解析： va= v c，而所以 a b c 124二、向心力和加速度21、大小 Fm rv vv=1 24，所以v v v v=2 1 2 4； =21，而 =d，bcdabcdabbcd =21 1 1；再利用a=v ，可得 aa ab ac ad=4cbaFm v 2rd2、方向：把力分工切線方向，改變速度大小半徑方向，改變速度方向，充當(dāng)向心力注意：區(qū)分勻速圓周運(yùn)動(dòng)和非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的力的不同3、來(lái)源：一個(gè)力、某個(gè)力的分力、一些力的合力v242（ 2）方向：總指向圓心，時(shí)刻變化（ 3）向心加速度a：（ 1）大小

3、： a =2r2 r 4 2 f 2rrT物理意義：描述線速度方向改變的快慢。學(xué)習(xí)必備歡迎下載三、應(yīng)用舉例（臨界或動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題）提供的向心力需要的向心力 m v2r圓周運(yùn)動(dòng)近心運(yùn)動(dòng)離心運(yùn)動(dòng) 0切線運(yùn)動(dòng)1、火車(chē)轉(zhuǎn)彎如果車(chē)輪與鐵軌間無(wú)擠壓力，則向心力完全由重力和支持力提供mg tanm v 2rvgrtan ,v 增加，外軌擠壓，如果v 減小，內(nèi)軌擠壓N問(wèn)題： 飛機(jī)轉(zhuǎn)彎的向心力的來(lái)源2、汽車(chē)過(guò)拱橋m v 2mgmg cosNrmg sin= f如果在最高點(diǎn)，那么mg Nm v2此時(shí)汽車(chē)不平衡， mg Nr說(shuō)明： F mv2 / r 同樣適用于變速圓周運(yùn)動(dòng)，F(xiàn) 和 v 具有瞬時(shí)意義， F 隨 v 的

4、變化而變化。補(bǔ)充：Nmgm v2(拋體運(yùn)動(dòng) )Nr3、圓錐問(wèn)題N sinmgN cosm 2 r tangg2rr tanmg例：小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試分析圖中的（小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v、周期 T 的關(guān)系。mg tanmv2mR sin2 ，R sin由此可得： vgRtan sin, T 2Rcos2h ，gg學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、繩桿球FNFG 繩GF這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是 ：由于機(jī)械能守恒，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的速率時(shí)刻在改變，物體在最高點(diǎn)處的速率最小，在最低點(diǎn)處的速率最大。物體在最低點(diǎn)處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；而在最

5、高點(diǎn)處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進(jìn)行討論。彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有mv2F mgmgR即 vgR ，否則不能通過(guò)最高點(diǎn)。彈力只可能向上，如車(chē)過(guò)橋。在這種情況下有：mgFmv2mg,vgR ，否則車(chē)將離開(kāi)橋面，做R平拋運(yùn)動(dòng)。彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)（或桿連球、環(huán)穿珠）。這種情況下，速度大小v 可以取任意值。但可以進(jìn)一步討論：當(dāng) vgR 時(shí)物體受到的彈力必然是向下的；當(dāng)vgR 時(shí)物體受到的彈力必然是向上的；當(dāng)vgR時(shí)物體受到的彈力恰好為零。當(dāng)彈力大小<時(shí)，向心力有兩解：± ；當(dāng)彈力大小 >時(shí)，向心F mgmg F

6、F mg力只有一解： F +mg；當(dāng)彈力 F=mg時(shí)，向心力等于零。四、牛頓運(yùn)動(dòng)定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用（圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題）1向心力 （ 1）大?。?Fv22R42m42f2Rma向 mmm2 RRT（ 2）方向：總指向圓心，時(shí)刻變化2處理方法：一般地說(shuō)，當(dāng)做圓周運(yùn)動(dòng)物體所受的合力不指向圓心時(shí)，可以將它沿半徑方向和切線方向正交分解，其沿半徑方向的分力為向心力， 只改變速度的方向， 不改變速度的大??； 其沿切線方向的分力為切向力，只改變速度的大小，不改變速度的方向。 分別與它們相應(yīng)的向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢。做圓周運(yùn)動(dòng)物體所受的向心力和向心加速度的關(guān)系同

7、樣遵從牛頓第二定律：nnF=ma 在列方程時(shí)，根據(jù)物體的受力分析，在方程左邊寫(xiě)出外界給物體提供的合外力，右邊寫(xiě)出物體需要的向心力（可選用mv 222或 m2 R或 mR 等各種形式） 。RT【例 1】 如圖所示的裝置是在豎直平面內(nèi)放置光滑的絕緣軌道，處于水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，以帶負(fù)電荷的小球從高h(yuǎn) 的 A處?kù)o止開(kāi)始下滑，沿軌道ABC運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入圓環(huán)內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。已知小球所受到電場(chǎng)力是其重力的3 4，圓滑半徑為 R，斜面傾角為 ， sBC=2R。若使小球在圓環(huán)內(nèi)能作完整的圓周運(yùn)動(dòng)，h 至少為多少？解析：小球所受的重力和電場(chǎng)力都為恒力，故可兩力等效為一個(gè)力F，如圖所示?？芍?F1.25mg，方向與豎

8、直方向左偏下37o，從圖 6 中可知，能否作完整的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)是能否通過(guò)D點(diǎn)，若恰好能通過(guò) D點(diǎn)，即達(dá)到 D點(diǎn)時(shí)球與環(huán)的彈力恰好為零。由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)得：Fm vD2即： 1.25mg m vD2RR學(xué)習(xí)必備歡迎下載由動(dòng)能定理： mg( h RR cos37 )3 mg(h cot2R Rsin 37 )1 mvD242聯(lián)立、可求出此時(shí)的高度h。五、綜合應(yīng)用例析【例 2】如圖所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為=0.6kg 的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤(pán)上，細(xì)繩另M一端通過(guò)轉(zhuǎn)盤(pán)中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為 m=0.3kg 的小球 B，A的重心到 O點(diǎn)的距離為 0.2m若A與轉(zhuǎn)盤(pán)間的最大靜摩擦力為f =2N，為

9、使小球 B 保持靜止， 求轉(zhuǎn)盤(pán)繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度 的取值范圍解析：要使B 靜止， A 必須相對(duì)于轉(zhuǎn)盤(pán)靜止具有與轉(zhuǎn)盤(pán)相同的角速度A 需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成角速度取最大值時(shí)，A有離心趨勢(shì)，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時(shí)， A 有向心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，靜摩擦力背離圓心O對(duì)于 B， T=mg對(duì)于 A， T fMr221T f Mr 21 6.5 rad/s2 2.9rad/s所以 2.9 rad/s6.5 rad/s【例 3】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多） 在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)） A球的質(zhì)量為 m， B球的質(zhì)量為

10、m它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)12最低點(diǎn)時(shí)的速度都為v0設(shè) A 球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B 球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么 m1、 m2、 R與 v0 應(yīng)滿足的關(guān)系式是 _解析： A 球通過(guò)圓管最低點(diǎn)時(shí)，圓管對(duì)球的壓力豎直向上，所以球?qū)A管的壓力豎直向下若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，B 球?qū)A管的壓力一定是豎直向上的，所以圓管對(duì) B 球的壓力一定是豎直向下的最高點(diǎn)時(shí) 1 m2v 2m2 g 2R1 m2v0222根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律對(duì)于 A球，v02對(duì)于 B球，v2N 1m1 gm1 RN 2m2 gm2 R又 N=N解得(m1v02(m15m2 ) g 0m2 )12

11、R【例 5】如圖所示，滑塊在恒定外力作用下從水平軌道上的A點(diǎn)由靜止出發(fā)到 B 點(diǎn)時(shí)撤去外力，又沿豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，且恰好通過(guò)軌道最高點(diǎn) C，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到原出發(fā)點(diǎn) A，試求滑塊在 AB段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的加速度 .解析：設(shè)圓周的半徑為R，則在 CvC2點(diǎn)： mg=mR離開(kāi) C點(diǎn)，滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，則2R gt 2 2vCt sAB由B到C22過(guò)程： mvC /2+2mgR mvB /2 由A到B運(yùn)動(dòng)過(guò)程：B2 2asABv由式聯(lián)立得到：a=5g4例 6、如圖所示， M 為懸掛在豎直平面內(nèi)某一點(diǎn)的木質(zhì)小球，懸線長(zhǎng)為L(zhǎng) ，質(zhì)量為 m 的子彈以水平速度 V0射入球中而未射出，要使

12、小球能在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且懸線不發(fā)生松馳，求子彈初速度V 0應(yīng)滿足的條件。分兩種情況：LV 0學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 1）若小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)滿足：(mM ) g(mM )V22/ L由機(jī)械能守定律得：1 ( mM )V221 (m M )V122(m M ) gL22m M5gL .由以上各式解得：V0m(2)若木球不能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則上升的最大高度為L(zhǎng) 時(shí)滿足：1(mM )V12(mM )gL解得： V0m M2 gL .2m所以，要使小球在豎直平面內(nèi)做懸線不松馳的運(yùn)動(dòng)，V 0 應(yīng)滿足的條件是：mMmM2gLV0m5gL 或 V0m1.圖 4211在觀看雙人花樣滑冰表演時(shí)，

13、觀眾有時(shí)會(huì)看到女運(yùn)動(dòng)員被男運(yùn)動(dòng)員拉著離開(kāi)冰面在空中做水平方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng) 已知通過(guò)目測(cè)估計(jì)拉住女運(yùn)動(dòng)員的男運(yùn)動(dòng)員的手臂和水平冰面的夾角約為45°，重力加速度為 g 10235 kg，據(jù)此可估算該女運(yùn)動(dòng)員()m/s ，若已知女運(yùn)動(dòng)員的體重為A受到的拉力約為3502 NB受到的拉力約為350 NC向心加速度約為10 m/s2D向心加速度約為102 m/s2解析： 本題考查了勻速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析以女運(yùn)動(dòng)員為研究對(duì)象，受力分析如圖題意有 G mg 350 N ；則由圖易得女運(yùn)動(dòng)員受到的拉力約為3502 N， A 正確；向心加速度約為根據(jù)2正確答案： AC2.學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖 4212

14、中央電視臺(tái)今日說(shuō)法欄目最近報(bào)道了一起發(fā)生在湖南長(zhǎng)沙某區(qū)湘府路上的離奇交通事故家住公路拐彎處的張先生和李先生家在三個(gè)月內(nèi)連續(xù)遭遇了七次大卡車(chē)側(cè)翻在自家門(mén)口的場(chǎng)面，第八次有輛卡車(chē)沖進(jìn)李先生家，造成三死一傷和房屋嚴(yán)重?fù)p毀的血腥慘案經(jīng)公安部門(mén)和交通部門(mén)協(xié)力調(diào)查，畫(huà)出的現(xiàn)場(chǎng)示意圖如圖4 2 12 所示交警根據(jù)圖示作出以下判斷，你認(rèn)為正確的是()A由圖可知汽車(chē)在拐彎時(shí)發(fā)生側(cè)翻是因?yàn)檐?chē)做離心運(yùn)動(dòng)B由圖可知汽車(chē)在拐彎時(shí)發(fā)生側(cè)翻是因?yàn)檐?chē)做向心運(yùn)動(dòng)C公路在設(shè)計(jì)上可能內(nèi)(東 )高外 (西 )低D公路在設(shè)計(jì)上可能外(西 )高內(nèi) (東 )低解析： 由題圖可知發(fā)生事故時(shí)，卡車(chē)在做圓周運(yùn)動(dòng)，從圖可以看出卡車(chē)沖入民宅時(shí)做離心

15、運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)B 錯(cuò)誤；如果外側(cè)高，卡車(chē)所受重力和支持力提供向心力，則卡車(chē)不會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，也不會(huì)發(fā)生事故，故選項(xiàng)C 正確答案： ACA3.圖 4213(2010 湖·北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考 )如圖 4 2 13 所示，質(zhì)量為m 的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長(zhǎng)略大于球的直徑某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)，要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無(wú)作用力，則()A該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期一定小于2RgB該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期一定等于2RgC盒子在最低點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間的作用力大小可能小于2mgD盒子在最低點(diǎn)時(shí)盒子與小球

16、之間的作用力大小可能大于2mg2解析： 要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無(wú)作用力，則有mgmv ，解得該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度RvgR，該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2R 2RT vg.選項(xiàng) A 錯(cuò)誤， B 正確；在最低點(diǎn)時(shí)，盒子與小球2之間的作用力和小球重力的合力提供小球運(yùn)動(dòng)的向心力，由F mg mv ，解得 F 2mg，選項(xiàng) C 、 D 錯(cuò)誤R答案： B4.圖 4214如圖 4 2 14 所示，半徑為 r20 cm 的兩圓柱體A 和 B，靠電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)按相同方向均以角速度 8 rad/s轉(zhuǎn)動(dòng)，兩圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)軸互相平行且在同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向已在圖中標(biāo)出，質(zhì)量均勻的木棒水平放置其上，重心在剛開(kāi)

17、始運(yùn)動(dòng)時(shí)恰在B 的正上方，棒和圓柱間動(dòng)摩擦因數(shù) 0.16，兩圓柱體中心間的距離s 1.6 m，棒2解析： 棒開(kāi)始與A、B 兩輪有相對(duì)滑動(dòng)，棒受向左摩擦力作用，做勻加速運(yùn)動(dòng)，末速度v r 8× 0.2 m/s 1.6 m/s，加速度a g 1.6 m/s2，時(shí)間t1 v 1 s，此時(shí)間內(nèi)棒運(yùn)動(dòng)位移as 12 0.8 m 此后棒與1at1A、B 無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，棒以v r做勻速運(yùn)動(dòng)，再運(yùn)動(dòng)s2 AB s1 0.8 m ，重心到A 正上方時(shí)間t2 sv2 0.5 s，故所求時(shí)間 t t1 t2 1.5 s. 答案： 1.5 s5學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖 4215在一次抗洪救災(zāi)工作中，一架直升機(jī) A

18、用長(zhǎng) H 50 m 的懸索 (重力可忽略不計(jì) )系住一質(zhì)量m 50 k g 的被困人員 B，直升機(jī) A 和被困人員 B 以 v 010 m/s 的速度一起沿水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，如圖4 2 15 甲所示某時(shí)刻開(kāi)始收懸索將人吊起，在5 s 時(shí)間內(nèi)， A、 B 之間的豎直距離以22l 50 t (單位： m)的規(guī)律變化，取 g 10 m/s .(1)求這段時(shí)間內(nèi)懸索對(duì)被困人員B 的拉力大小(2)求在 5 s 末被困人員 B 的速度大小及位移大小(3)直升機(jī)在 t 5 s 時(shí)停止收懸索，但發(fā)現(xiàn)仍然未脫離洪水圍困區(qū)，為將被困人員B 盡快運(yùn)送到安全處，飛機(jī)在空中旋轉(zhuǎn)后靜止在空中尋找最近的安全目標(biāo)，致使被困人

19、員B 在空中做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖乙所示此時(shí)懸索與豎直方向成37°角，不計(jì)空氣阻力， 求被困人員 B 做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度以及懸索對(duì)被困人員B 的拉力(sin 37 ° 0.6， cos 37° 0.8)y H l 50 (50 t2)解析： (1) 被困人員在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上被困人員的位移 t2，由此可知，被困人員在豎直方向上做初速度為零、加速度a 2 m/s2 的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可得 F mgma，解得懸索的拉力F m(g a) 600 N.(2)被困人員 5 s末在豎直方向上的速度為vy at 10 m/s，合速度 v v 02 vy2 10 2m/s，豎直方向上的1222位移 y at 25 m，水平方向的位移x v 0t 50 m，合位移 s