高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第3講函數(shù)的奇偶性與周期性教案

1、第 3 講函數(shù)的奇偶性與周期性【2013 年高考會這樣考】1判斷函數(shù)的奇偶性2利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值3考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用【復(fù)習指導(dǎo)】本講復(fù)習時應(yīng)結(jié)合具體實例和函數(shù)的圖象， 理解函數(shù)的奇偶性、 周期性的概念， 明確它們在研究函數(shù)中的作用和功能重點解決綜合利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題基礎(chǔ)梳理1奇、偶函數(shù)的概念一般地，如果對于函數(shù)f ( x) 的定義域內(nèi)任意一個x，都有f ( x) f ( x) ，那么函數(shù)f ( x) 就叫做偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f ( x) 的定義域內(nèi)任意一個x，都有f ( x) f ( x) ，那么函數(shù)f ( x)就叫做奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于

2、原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對稱2奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1) 奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反(2) 在公共定義域內(nèi)兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)3周期性(1) 周期函數(shù)： 對于函數(shù) y f ( x) ，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當 x 取定義域內(nèi)的任何值時，都有 f ( x T) f ( x) ，那么就稱函數(shù)y f ( x) 為周期函數(shù)，稱T 為這個函數(shù)的周期(2) 最小正周期：如果在周期函數(shù) f ( x) 的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫

3、做 f ( x) 的最小正周期一條規(guī)律奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件兩個性質(zhì)(1) 若奇函數(shù) f ( x) 在 x 0 處有定義，則 f (0) 0.(2) 設(shè) f ( x) ， g( x) 的定義域分別是 D1， D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶×偶偶，奇×偶奇三種方法判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法：(1) 定義法； (2) 圖象法； (3) 性質(zhì)法三條結(jié)論(1) 若對于 R 上的任意的x 都有 f (2 a x) f ( x) 或 f ( x) f (2 a x) ，則 y

4、f ( x) 的圖象關(guān)于直線 xa 對稱(2) 若對于 R 上的任意 x 都有 f (2 a x) f ( x) ，且 f (2 b x) f ( x)( 其中 a b) ，則：y f ( x)是以 2( ba) 為周期的周期函數(shù)(3) 若 f ( x a) f ( x) 或 f ( x a) f1或 f ( x a) f1，那么函數(shù) f ( x) 是周期函xx數(shù)，其中一個周期為T 2a；(3) 若f( ) ( )(a ) ，那么函數(shù)f(x) 是周期函數(shù)，其中一個周期為 2|.x afx bbTa b雙基自測1(2011 ·全國 ) 設(shè) f ( x) 是周期為 2 的奇函數(shù)，當 0

5、x1時， f ( x) 2x(1 x) ，則 f 52() 1B.1C.11A. D.22445511解析因為 f ( x) 是周期為2 的奇函數(shù)，所以f2 f2 f2 2.故選 A.答案A2(2012 ·福州一中月考) f ( x) 1 x 的圖象關(guān)于 () xA y 軸對稱B直線 y x 對稱C坐標原點對稱D直線 y x 對稱11解析f ( x) 的定義域為 ( ，0) (0 ， ) ，又 f ( x) x ( x) x x f ( x) ，則 f ( x) 為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱答案 C3(2011 ·廣東 ) 設(shè)函數(shù) f ( x) 和 g( x) 分別是 R 上

6、的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是() A f ( x) | g( x)| 是偶函數(shù)B f ( x) | g( x)| 是奇函數(shù)C |f(x)| (x) 是偶函數(shù)D |f(x)|() 是奇函數(shù)gg x解析由題意知f ( x) 與 |g( x)|均為偶函數(shù)，A 項：偶偶偶；B 項：偶偶偶，B錯； C項與D 項：分別為偶奇偶，偶奇奇均不恒成立，故選A.答案A4(2011 ·福建 ) 對于函數(shù)f ( x) asin x bxc( 其中， a， bR，c Z) ，選取 a， b， c 的一組值計算 f(1) 和 f ( 1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是() A4和6B3和1C2和4D1

7、和2解析f(1)sin 1 ，( 1) asin 1c且c Z，f(1) (1)2 是ab cfbfc偶數(shù)，只有 D 項中兩數(shù)和為奇數(shù)，故不可能是D.答案D5(2011 ·浙江 ) 若函數(shù) f ( x) x2 | x a| 為偶函數(shù)，則實數(shù)a _.解析法一 f ( x) f ( x) 對于 xR 恒成立， | x a| | x a| 對于 x R 恒成立， 兩邊平方整理得ax 0 對于 xR 恒成立，故 a 0.法二由 f ( 1) f (1)，得| a 1| | a 1| ，得 a 0.答案 0考向一判斷函數(shù)的奇偶性【例 1】 ?下列函數(shù)：f ( x) 1 x2x2 1； f (

8、x) x3 x； f ( x) ln( xx2 1) ； f ( x) 3x 3 x；2f ( x) lg1 x. 其中奇函數(shù)的個數(shù)是 () 1 xA2B 3C4D5 審題視點 利用函數(shù)奇偶性的定義判斷解析 f ( x) 1x2x2 1的定義域為 1,1 ，又 f ( x) ± f ( x) 0，則 f ( x) 1 x2 x2 1是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)； f ( x) x3x 的定義域為 R，又 f ( x) ( x) 3 ( x) ( x3 x) f ( x) ，則 f ( x) x3x 是奇函數(shù)；由xx2 1>|x| 0知f(x) ln(x2 1) 的定義域為 R，xx又

9、f ( x) ln( x x2 ln x1 1)x2 1 ln( x x2 1) f ( x) ，則 f ( x) 為奇函數(shù)；3x 3 x f ( x) 的定義域為 R， 23x 3x3x 3x f ( x) ，又 f ( x) 22則 f ( x) 為奇函數(shù)；1 x(x) ln1 x由>0 得 1< <1，的定義域為 ( 1,1) ，1 xxf1 x1 x1 x 11 x又 f ( x) ln 1 x ln1 x ln 1 x f ( x) ，則 f ( x) 為奇函數(shù)答案 D判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法是：(1) 求函數(shù)的定義域； (2) 證明 f ( x) f ( x)或

10、 f ( x) f ( x) 成立；或者通過舉反例證明以上兩式不成立如果二者皆未做到是不能下任何結(jié)論的，切忌主觀臆斷【訓(xùn)練 1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：4 x2(1) f ( x) | x 3| 3；(2) f ( x) x2| x a| 2.4 x20，解(1) 解不等式組| x 3| 30，得 2 x<0，或 0<x2，因此函數(shù) f ( x) 的定義域是 2,0) (0,2 ，則 f ( x) 4 x2x.f ( x) 4x24 x2 f ( x) ，xx所以 f ( x) 是奇函數(shù)(2) f ( x) 的定義域是 ( ， ) 當 a 0 時， f ( x) x2| x| 2，

11、f ( x) x2| x| 2 x2 | x| 2 f ( x) 因此 f ( x) 是偶函數(shù)；當 a0時， f ( a) a22，f ( a) a2|2 a| 2，f ( a) f ( a) ，且 f ( a) f ( a) 因此 f ( x) 既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)考向二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用11【例 2】 ?已知 f ( x) x 2x 12 ( x0) (1) 判斷 f ( x) 的奇偶性； (2) 證明： f ( x) 0. 審題視點 (1)用定義判斷或用特值法否定；(2) 由奇偶性知只須求對稱區(qū)間上的函數(shù)值大于 0.(1) 解法一f ( x) 的定義域是 ( ， 0) (0 ，)1 1

12、 x 2x 1 f ( x) x 2x 1 2 2· 2x 1. x 2x 1 xf ( x) · x ·2212故 f ( x) 是偶函數(shù)2x 12x 1f ( x) 法二f ( x) 的定義域是 ( ， 0) (0 ， ) ，33f (1) 2， f ( 1) 2， f ( x) 不是奇函數(shù)f ( x) f ( x) x11x11x x2 1 221 212x1 2x x 2x 1 12x 1 x 2x 1 1 x( 1 1) 0，f ( x) f ( x) ， f ( x) 是偶函數(shù)(2) 證明當 x 0 時， 2x 1,2 x 1 0，1 1所以 f (

13、x) x 2x 1 2 0.當 x 0 時， x 0，所以 f ( x) 0，又 f ( x) 是偶函數(shù)， f ( x) f ( x) ，所以 f ( x) 0.綜上，均有f ( x) 0.根據(jù)函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是常用的方法奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同； 偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反所以對具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的研究，只需研究對稱區(qū)間上的單調(diào)性即可【訓(xùn)練2】已知奇函數(shù)f ( x) 的定義域為 2,2 ，且在區(qū)間 2,0 內(nèi)遞減，求滿足： f (1 ) (1 2) 0 的實數(shù)的取值范圍mfmm解 f( x) 的定義域為2,2 ，有21 m2，221 m2，解得 1 m3. 又

14、 f ( x) 為奇函數(shù)，且在 2,0 上遞減，在 2,2 上遞減，222f (1 m) f (1 m) f ( m1) ? 1 m m 1，即 2 m1. 綜合可知， 1 m 1.考向三函數(shù)的奇偶性與周期性【例 3】?已知函數(shù)f ( x) 是 ( ， ) 上的奇函數(shù)，且f ( x) 的圖象關(guān)于x 1 對稱，當x 0,1 時， f ( x) 2x 1，(1) 求證： f ( x) 是周期函數(shù)；(2) 當 x 1,2 時，求 f ( x) 的解析式；(3) 計算 f (0) f (1) f (2) f (2013) 的值 審題視點 (1)只需證明f ( x T) f ( x) ，即可說明f (

15、x) 為周期函數(shù)；(2) 由 f ( x) 在 0,1 上的解析式及 f ( x) 圖象關(guān)于 x 1 對稱求得 f ( x) 在 1,2 上的解析式；(3) 由周期性求和的值(1) 證明 函數(shù) f ( x) 為奇函數(shù)， 則 f ( x) f ( x) ，函數(shù) f ( x) 的圖象關(guān)于 x 1 對稱，則 f (2 x) f ( x) f ( x) ，所以 f (4 x) f (2 x) 2 f (2 x) f ( x) ，所以 f ( x) 是以4 為周期的周期函數(shù)(2) 解 當 x 1,2時，2 x 0,1 ，又 f ( x) 的圖象關(guān)于x 1對稱，則 f ( x) f (2 x) 22 x1

16、， x 1,2(3) 解 f (0) 0，f (1) 1， f (2) 0，f (3) f ( 1) f (1) 1又 f ( x) 是以 4 為周期的周期函數(shù) f (0) f (1) f (2) f (2013)f (2 012) f (2 013) f (0) f (1)1.判斷函數(shù)的周期只需證明f ( x T) f ( x)( T0) 便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為 T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點問題【訓(xùn)練 3】 已知f(x) 是定義在 R 上的偶函數(shù)，(x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且( ) (xgg x f1) ，則 f (2 013) f (2 0

17、15) 的值為 () A1 B 1 C 0D 無法計算解析 由題意，得 g( x) f ( x 1)，又 f ( x) 是定義在 R 上的偶函數(shù)， g( x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)， g( x) g( x) ，f ( x) f ( x) ， f ( x 1) f ( x1) ， f ( x) f ( x 2) ， f ( x) f ( x 4) ， f ( x) 的周期為 4，f (2 013) f (1) ，f (2 015) f (3) f ( 1) ，又 f (1) f ( 1) g(0) 0，f (2 013) f (2 015) 0.答案C規(guī)范解答 3如何解決奇偶性、單調(diào)性、周期

18、性的交匯問題【問題研究】函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是函數(shù)的三大性質(zhì)，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系， 高考作為考查學(xué)生綜合能力的選拔性考試，在命題時， 常常將它們綜合在一起命制試題.【解決方案】根據(jù)奇偶性的定義知，函數(shù)的奇偶性主要體現(xiàn)為f x與 fx的相等或相反關(guān)系，而根據(jù)周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期性主要體現(xiàn)為fx T與 fx的關(guān)系，它們都與 fx有關(guān)，因此，在一些題目中，函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到. 函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律， 因此，在解題時， 往往需借助函數(shù)的奇偶性或周期性來確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換

19、，再利用單調(diào)性來解決相關(guān)問題.【示例】?( 本題滿分12 分)(2011 ·沈陽模擬) 設(shè)f ( x) 是 ( ， ) 上的奇函數(shù)，f ( x 2) f ( x) ，當 0 x1時， f ( x) x.(1) 求 f ( ) 的值；(2) 當 4 x4時，求 f ( x) 的圖象與 x 軸所圍成圖形的面積；(3) 寫出 ( ， ) 內(nèi)函數(shù) f ( x) 的單調(diào)增 ( 或減 ) 區(qū)間第(1) 問先求函數(shù) f ( x) 的周期，再求 f ( ) ；第(2) 問，推斷函數(shù) y f ( x) 的圖象關(guān)于直線 x 1 對稱，再結(jié)合周期畫出圖象，由圖象易求面積；第(3) 問，由圖象觀察寫出 解答示范 (1)由 f ( x 2) f ( x) 得，f ( x 4) f ( x 2) 2 f ( x 2) f ( x) ，所以 f ( x) 是以 4 為周期的周期函數(shù)，(2 分 )f ( ) f ( 1×4 ) f ( 4) f (4 ) (4 ) 4.(4分 )(2) 由 f ( x) 是奇函數(shù)與f ( x2) f ( x) ，得： f ( x 1) 2 f ( x 1) f ( x1) ，即 f (1 x) f (1