函數(shù)周期與對稱軸

1、精品資料歡迎下載抽象函數(shù)的周期與對稱軸1. 函數(shù) yf ( x) 的圖象的對稱性（自身）:定理 1:函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于直 xab 對稱f (ax)f (b x)f (ab x)f (x) 。特殊的有：2函數(shù)函數(shù)yf ( x) 的圖象關(guān)于直線xa 對稱f (ax)f (ax)f (2 ax)f (x) 。yf ( x) 的圖象關(guān)于 y 軸對稱（奇函數(shù)）f ( x)f (x)。函數(shù) yf (xa) 是偶函數(shù)f ( x) 關(guān)于 xa 對稱。定理 2：函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于點 (a, b) 對稱f (x)2bf (2ax)f (ax)f (ax)2b ；特殊的有：函數(shù)函數(shù)函數(shù)y

2、f (x) 的圖象關(guān)于點 (a,0) 對稱f (x)f (2ax)。yf (x) 的圖象關(guān)于原點對稱（奇函數(shù)）f ( x)f ( x) 。yf ( x a) 是奇函數(shù)f (x) 關(guān)于點 a,0對稱。 f (a x)f (b x)f ( x)ab則的圖象，以(, 0)為對稱中心。42證：方法一：要證原結(jié)論成立只需證f (abx)abx)2f (2令 xxb a 代入 f ( a x)f (b x)則 f ( a bx)f ( a bx)222方法二：設(shè)y f ( x)它的圖象為C;P(x0, y0)C 則P關(guān)于點(, 0)的對稱點P a b x0,y0)ab(2f (a b x0 ) f a (

3、b x0 )f b (b x0 )f (x0 ) f ( x0 )y0 f (a b x0)y0 P C定理 3：（性質(zhì)）若若若y f ( x) 的圖像有兩條鉛直對稱軸 x=a 和 x=b(a 不等于 b), 那么 f (x ) 為周期函數(shù)且 2|a-b| 是它的一個周期。yf ( x) 的圖像有一個對稱中心M(m.n) 和一條鉛直對稱軸x=a, 那么 f ( x ) 為周期函數(shù)且4|a-m| 為它的一個周期。yf ( x) 圖像同時關(guān)于點A (a ,c)和點 B (b ,c)成中心對稱（ a b），則 f ( x ) 是周期函數(shù)，且2| a b| 是其一個周期。若一個函數(shù)的反函數(shù)是它本身,

4、那么它的圖像關(guān)于直線y=x 對稱。2. 兩個函數(shù)圖象的對稱性 :函數(shù) yf ( x) 與函數(shù) yf (x)的圖象關(guān)于直線x0 ( 即y 軸 ) 對稱 .函數(shù) yf (mx a) 與函數(shù) yf (bmx) 的圖象關(guān)于直線xab 對稱 .2m特殊地 :y f (x a) 與函數(shù) yf (ax) 的圖象關(guān)于直線 xa 對稱函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于直線xa 對稱的解析式為yf (2 ax)函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于點 ( a,0)對稱的解析式為yf (2ax)3. 若 f ( x) 是偶函數(shù)，則必有f ( axb)f (axb)；若 f ( x) 是奇函數(shù)，則必有 f ( axb)f(a

5、xb)若 f ( axb) 為偶函數(shù)，則必有f (ax b)f ( axb) ；若 f (ax b) 是奇函數(shù)，則必有f (axb)f (ax b)2. 函數(shù)的周期性的主要結(jié)論：結(jié)論 1 ：如果 f ( xa)f(xb) （ ab ），周期 Ta b結(jié)論 2 ：如果 f ( xa)f ( xb) （ ab ），周期T2 ab證：令 xx af ( x)f (xba)令 xx bf ( xa b)f ( x) 由得：f x( ab)f x(ba)f x( ab)f x(ba) T 2 b a精品資料歡迎下載結(jié)論 3 ：如果定義在 R 上的函數(shù)f ( x) 有兩條對稱軸xa 、 xb 對稱，那么f

6、 ( x) 是周期函數(shù)，其中一個周期 T2 ab結(jié)論 4：如果偶函數(shù)f (x) 的圖像關(guān)于直線 xa （a0）對稱，那么f (x) 是周期函數(shù)，其中一個周期T2 a結(jié)論 5：如果奇函數(shù)f (x) 的圖像關(guān)于直線 xa （a0）對稱，那么f (x) 是周期函數(shù)，其中一個周期T4 a結(jié)論 6：如果函數(shù)同時關(guān)于兩點a, c、 b, c （ ab ）成中心對稱，那么 f(x) 是周期函數(shù)，其中一個周期T2 ab結(jié)論 7：如果奇函數(shù)f (x) 關(guān)于點a, c （ a0 ）成中心對稱，那么f (x) 是周期函數(shù)，其中一個周期T2 a結(jié)論 8：如果函數(shù)f ( x) 的圖像關(guān)于點a, c（ a0 ）成中心對稱

7、，且關(guān)于直線x b （ ab ）成軸對稱，那么f ( x) 是周期函數(shù)，其中一個周期T4 ab結(jié)論 9 ：如果 f ( xp)1或 f ( x p)1，那么 f (x) 是周期函數(shù)，其中一個周期 T2 pf ( x)f (x)結(jié)論 10 ：如果 f ( xp )1f ( x) 或 f ( xp )1f ( x) ，那么 f ( x) 是周期函數(shù)，其中一個周期T 2 p21f ( x)21f ( x)結(jié)論 11 ：如果 f (xp)f ( x) ，那么 f ( x)是周期函數(shù)，其中一個周期典型例題1：設(shè) f (x) 是定義在 R上的函數(shù)，x R 均有f ( x)f ( x 2) 0 當 1 x1

8、時 f ( x)2x 1 ，求當 1x3 時， f ( x) 的解析式。解： 由 xR 有 f ( x)f ( x2)得T 4設(shè) x(1 , 3 則 ( x 2) (1,1f ( x 2)f ( x 2 4)f (x 2)f ( x) f (x)f (x 2)2( x 2) 12x5 1 x 3時 f (x)2x 5例 2：已知 f (x) 滿足 f ( x2)f (x2) ，f (4 x)f ( 4 x) ，當 6x2 時，f ( x) x 2bx c 且 f (4)13 ，若 mf ( b ) ，3n f ( c ) ， p f (11) 求 m 、 n 、 p 的大小關(guān)系？ 2解： x

9、= 0 ，x =1 是 y = f (x) 對稱軸。 T=2 f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f ( 0.6 ) = 0.3例 3：定義在 R 上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x) 為偶函數(shù)，且f (5 x) = f (5+x), 則 f (x) 一定是（）（第十二屆希望杯高二）(A) 是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(B) 是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)(D) 是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解： f (10+x) 為偶函數(shù)， f (10+x) = f (10 x). f (x) 有兩條對稱軸 x = 5 與 x =10 ，因此 f (x) 是以 1

10、0 為其一個周期的周期函數(shù)，x =0 即 y 軸也是 f (x) 的對稱軸，因此f (x) 還是一個偶函數(shù)。故選(A)例 4：設(shè)定義域為 R 的函數(shù) yf (x ) 、 yg( x ) 都有反函數(shù)，并且 f (x 1) 和 g 1 ( x2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線 y=x 對稱，若g(5) 1999那么 f (4)（ C）。A 1999 ； B 2000 ； C 2001；D2002 。解： T4，對稱軸 x4 x4 也為一條對稱軸b4 b8f (4c6424)134c 3 mf (83f (3) ， nf ( ) ， p f (11)32 n m p練習：設(shè) f ( x) 是定義在 R 上的偶函

11、數(shù)， 且 f (1x )f (1x ) ,當 1 x0， f ( x )1 x ，則 f(8.6)= _解： f (x1) 和 g 1 ( x 2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x 對稱f ( x 1)g(x) 2有 f (5 1) g(5) 2例 5：若函數(shù) y=f(x)的圖像有一個對稱中心A(a ,c) 和一條對稱軸 x=a, 那么 f(x)為周期函數(shù)且 4|a-m| 為它的一個周期。解析 y = f (x) 圖像既關(guān)于點A (a ,c) 成中心對稱， f (x) + f (2a x) =2c，用 2b x 代 x 得：f (2b x) + f 2a (2bx) =2c （*）又函數(shù) y = f

12、(x) 圖像直線x =b 成軸對稱，2精品資料 f (2b x) = f (x) 代入（ *）得：f (x) = 2c f 2(a b) + x （ * ）， x=2（a b） x 得 f 2 (a b)+ x = 2c f 4(a b) + x 代入（ * ）得： f (x) = f 4(a b) + x, 故 y = f (x) 是周期函數(shù)。練習 1：若函數(shù) f (x) (xa) 3xR 有f (1x)f (1x) 求 f ( 2)f (2)。解：f (1x)f (1 x) 知 f (x) 圖象關(guān)于 (1 , 0)對稱而 f ( x)( x a) 3的對稱中心 P(a , 0) a1 f

13、(x)(x 1)3 則 f (2)f (2) 1 (3)3262 已知 f ( x) 是定義在 R 上的函數(shù)且滿足f ( x)f ( x 1) 1，當 x 0 , 1 時有 f (x)x2 則1 f ( x) 是周期函數(shù)且周期為22 當 x1, 2 時， f ( x)2x x 23 f (2004 , 5)3其中正確的是 12 343.對于 yf ( x) ， xR 有下列命題。1 在同一坐標系下，函數(shù)yf (1x) 與 yf (1x) 的圖象關(guān)于直線 x1對稱。2 若 f (1x)f (1x) 且 f (2x)f (2x) 均成立，則 f ( x) 為偶函數(shù)。3 若 f ( x1)f (x1

14、) 恒成立，則yf ( x) 為周期函數(shù)。4 若 f ( x) 為單調(diào)增函數(shù)，則yf ( a x ) （ a0 且 a 1 ）也為單調(diào)增函數(shù)，其中正確的 2 34. 定義在 R 上的函數(shù) f ( x) 既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f (x)的最小正周期是，且當 x0 , 時， f ( x)sin x 求25) 的值。f (3解 f (5) f (2)f ( 2)f ()f ()sin333333325. 設(shè) yf ( x) 定義在 R 上，m，nR 有f (mn)f ( m)f (n) 且當 x0時， 0f (x) 1（ 1）求證：f (0)1且當 x0時， f ( x)1（ 2）求證：f (x

15、) 在 R上遞減。解： 1 令 m1， n0 得 f (1)f (1) f (0) 0f (1)1f (0)1設(shè) x0 ，則x0+歡迎下載有 f (0)f ( x) f ( x) f ( x)11f (x)（ 2）設(shè) x1x2 則 x2x100 f (x2x1 ) 1f ( x2 )f ( x1 ) f ( x2x1 ) 即 0f (x2 )1f (x1 )f ( x2 )f (x1 )f ( x) 在 R上遞減【模擬試題】1. 已知 f ( x) 滿足 f ( x3)f ( x) ， xR 且 f( x) 是奇函數(shù)，若 f (1)2則 f (2000)（ B ）A.2B.2C.32D.322

16、. 已知 f ( x) 是定義在R 上的偶函數(shù)，且f ( x4)f (x) 對任何實數(shù)均成立，當0x2 時， f ( x)x ，當398x400時， f ( x)（C ）A. x400 B.x398 C. 400x D. 398x3. 若函數(shù) f ( x)3sin(x) ，xR 都有f (6x )f (x) 則 f () 等于（ D）66A.0 B.3C.3 D.3或34.函數(shù) ycos(32 x) 是（ C）2A.周期為2 的奇函數(shù)B.周期為的偶函數(shù)C.周期為的奇函數(shù)D.周期為 4的奇函數(shù)5.f (x)2sin(2x) 的圖象關(guān)于 y 軸對稱的充要條件（ C）A.2kB.2kC.kD.k22

17、6. 如果 f (x)f (x) 且 f(x)f (x) 則 f( x) 可以是（ D）A. sin 2xB.cosxC.sin xD.sin x7.ysin(x)3cos(x)為偶函數(shù)的充要條件是（B）A.2kB.kC.2kD.k36668.設(shè) f (x) 是 R 上的奇函數(shù)， f (x2)f ( x) 當0x 1時， f ( x)x ，則 f (7.5)（ B）A. 0.5B.0.5C. 1.5D.1.59. 設(shè) f (x)x2bxc，x t有 f (2t)f (2t)那么（A）A.f (2)f (1)f (4)B.f (1)f (2)f (4)C.f (2)f (4)f (1)D.f (

18、4)f (2)f (1)10.yf ( x) 定義在 R 上，則 y f (x1)與 yf (1x)的圖象關(guān)于（ D）精品資料A. y0對稱 B.x0 對稱 C. y1對稱 D. x1對稱11.f (x) 是 R 上的奇函數(shù)，且 f (x2)f (x) ，則f ()f (2)f (3)f (2003)0。12.ysin(2 x) 圖象的對稱軸中最靠近y 軸的是 x。31213.f (x) 為奇函數(shù)，且當 x0時， f (x)x x2 則當 x 0時 f ( x)x x2 。14. 偶函數(shù) f ( x)的定義域為 R，且在 (, 0) 上是增函數(shù)，則下列正確的是 (2)。1） f ( 3)f (

19、 a2a 1) 2 ） f ( 3)f (a 2a 1)443） f ( 3)f (a2a1) 4 ） f ( 3 )f (a 2a 1)4415如果函數(shù) yf (x) 的圖象關(guān)于 xa 和 xb(ab) 都對稱，證明這個函數(shù)滿足f 2(ab)xf ( x)f()(2)(2)2b x A證：令，則f 2(ab)Af ( A) 即 f 2(ab)x f ( x)3. 已知f ( x)x 2bxc 對任意實數(shù) t都有f (1t)f (1t ) ，比較 f ( 1) 與 f (2)的大小。2解：對稱軸是 1 f( 1) f ( 3 )f(2)224. 定義在實數(shù)集上的函數(shù)f ( x) ，對一切實數(shù)x 都有f (1x)f (2x) 成立，若方程 f ( x)0 僅有 101 個不同實根，求所有實根之和。解：設(shè) u2x 即 x2u f (u)f (3u)所有實根之和為10133032 25. 求證 :若 f x x R 為奇函